Egz. z metod numerycznych (24) Dzienne Nazwisko i imię ................................................ gr ........
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ZAD1 ZAD2 ZAD3 ZAD4
EGZ
LAB
Σ
OCENA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1 (5+7 pkt).
a) Omówić metodę stycznych rozwiązywania równania f(x) = 0. Podać założenia o funkcji f i o punkcie startowym zapewniające zbieżność do pierwiastka ciągu przybliżeń xk (k = 0,1, ... ) generowanego za pomocą tej metody.
2
b) Zbadać zbieżność ciągu (x
( )
k), gdy f x = −x + 5x − 4 i punkt startowy x0 = 5.Wyznaczyć pierwsze przybliżenie x1. Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2 (4+5 pkt).
Danych jest (n+1) różnych punktów x0 , x1 , .... , xn oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach y0 = f(x0), y1 = f(x1), ...., yn = f(xn).
Rozważamy aproksymację średniokwadratową dyskretną funkcji y = f(x).
a) Sformułować zadanie aproksymacji wielomianowej.
3
b) Wyznaczyć wielomian optymalny postaci F(x) = a⋅x .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3 (7+5 pkt).
b
⌠
Rozważamy zagadnienie przybliżonego obliczania całki f (x) dx.
⌡a
a) Omówić kwadratury: prosty wzór trapezów i złożony wzór trapezów (przy podziale [a,b] na n podprzedziałów o tej samej długości).
b) Za pomocą złożonego wzoru trapezów, przyjmując podział przedziału całkowania na dwa podprzedziały, 1
⌠
4
(
)
wyznaczyć przybliżoną wartość całki
x + x + 0.5
dx . Obliczenia zilustrować graficznie.
−
⌡ 1
Ad a. Prosty i złożony wzór, interpretacja geometryczna, błąd E(f) dla wzoru złożonego.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 4 (9+8 pkt).
Zakładamy, że zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x0) = y0 (*)
ma jednoznaczne rozwiązanie na [x0,b].
a) Omówić jawną i niejawną metodę Eulera rozwiązywania zagadnienia (*).
b) Dane jest zagadnienie początkowe y ' = x - 3y +1 , y(1) = 1. Za pomocą jawnej i niejawnej metody Eulera obliczyć y1 oraz y2, gdy h = 1. Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad a. Przybliżone rozwiązanie wyznaczamy w punktach równoodległych xi = x0 + ih (i = 1, 2, ..., n), gdzie h = (b-x0)/n jest krokiem całkowania; --- wzory, iteracyjne rozwiązywanie wzorów niejawnych.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3.
Zadanie 4.
3
2.5
3
2
2.5
1
2
2
0 1 2 3 4 5 6
1.5
1
1.5
2
1
1
3
4
0.5
0.5
5
1 1.5
2 2.5
3 3.5
6
1
0.5
0
0.5
1
0.5
7
8
4
y - rozwiązanie dokładne
y = x + x + 0.5
9
2
y = −x + 5x − 4