1. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V i uzasadnić ze jest ¿ baza.
A. V = x , y , z , t ∈ℝ4 ; x−2y z−3t=0 ; 2x− y z t=0 ; 5x− y2z6t=0
B. V = x , y , z , t ∈ℝ4 ; x− y z2t=0 ; 6x− y2z5t=0 ; −3x−2y z t=0
2. Znaleźć jądro i obraz odwzorowania liiowego danego wzorem . Określić wymiar tych podprzestrzeni i PODAĆ BAZY.
A. f : R 4 R 3 ; f x , y , z , t = x y z , y z t , x− t
B. f : R 4 R 3 ; f x , y , z , t =− x y z t , x− y z t , z t
C. f : R 3 R 3 ; f x , y , z=− y z , x y z , x2z
D. f : R 3 R 3 ; f x , y , z = x y− z t , x− y z t , x t
E. f : R 3 R 2 : f x , y , z= x− y2z , −2x2y−4z
3. Wprost z definicji wykazać , że odwzorowanie f : R 3 R 2 wzorem f x , x , x =2x −3x − x , 4x −9x −2x jest liniowe.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Wyznaczyć jądro , obraz i podać ich bazy oraz wymairy. Odpowiedź uzasadnić.
4.Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 ma wektory właśne 1,2 , 2,−1 oraz odpowiadające wektory własne 3 oraz−2 . Oblicz f 1,0.
5. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 ma wektory właśne 2,1 , 1,−2 oraz odpowiadające wektory własne 2 oraz−3 . Oblicz f 1,0.
6. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 ma wartośći własne−2 oraz 1 i wektory własne i m odpowiadające 1,−1 , 2,−1. Oblicz f 1,−2.
7.Sprowadzić do postaci kanonicznje formę dwuliniową. Wskazać bazę.
A. f : R 3 R ; f x , y , z=2x2− y 2 z 24xy−4xz
B. f : R 3 R ; f x , y , z= x 2− y 22z2−4xy4xz
8.Sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową :
f x , y , z=− x 23y2 z 24xy−4xz2yz
Znaleźć baze w której macierz formy jest diagonalna. Podać tą macierz.
9.Podać rzut ortogonalnywektora 1,5 , −1 na podprzestrzeń V ⊂ R 3 generowańa przez wektory 1,1 ,3 , 2,1 ,4.
10.Podać rzut ortogonalnywektora −3,3 , −3 na podprzestrzeń V ⊂ R 3 generowańa przez wektory 1,3 ,1 , 2,4 ,1.
11.Znaleźć baze ortonormalną przestrzeni V ⊂ R 3 ortogonalnej do prostej t ,2 t , − t .
12.Znaleźć baze ortonormalną przestrzeni V ⊂ R 3 ortogonalnej do prostej 2t , t , −3t .
13. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 jest dane w baziee e =2,1 , e =1,3 poprzez macierz A=[2 1].
1
2
3 1
A. Podać wzór tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
B. Znaleźć macierz odwzorowania f w bazie e ' =1,2. e ' =3,1.
1
2
14. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 jest dane w baziee e =1,−2 , e =−1,1 poprzez macierz A=[2 1 ].
1
2
3 −2
Obliczyć wartość f 3,5.
15. Podać bazę ortonormalną przestrzeni V = x , y , z , t ∈ R 4 ; 2x− y z− t=0.
16. Wyznaczyć część wspólną prostej przechodzącej przez punkty 1 ; 7 ; −4 , −1 ; 4 ; −3 i płaszczyzny 4x2y−3z=−4.
17. Macierzą odwzorowania liniowego f : R 2 R 2 w bazie 1 , 1 jest A=1 −2 Wyznaczyć macierzodwzorowania f wbazie1 , 1
3
1
3 0
5
−1
18. Rozwiązać układ stosując twierdzenie Kroneckera− Cappelliego
3x−2y z−4t=1 ; x4y3z2t=3 ; 2x y2z− t=2
19. Znaleźć bazę przejscia od bazy 3,2 , 3,1 do bazy 1,1 , 1,−1