Zadanie 1
Obliczy warto pr du I oraz napi cie U na rezystancji nieliniowej R(I), której charakterystyka napi ciowo-pr dowa jest wyra ona wzorem
a) U=0.5I2.
Dane:
E=10V
R1=2Ω
R2=1Ω
Rys1
Rys 2
1. metoda analityczna
Rys 3
Oznaczamy pr dy i spadki napi jak na powy szym rysunku. Mo emy zapisa : U = U =
(dla w złów A i B)
AB
U 2
U − E + U = (dla spadków napi w lewym oczku) 2
1
0
oraz:
I
(dla w zła A)
1 = I 2 + I
1
Wiedz c, e
2
U = I (z danych zadania) mo emy podstawiaj c do zapisanych powy ej 2
równa otrzyma :
1 2
I − E + R I + I =
1 ( 2
) 0
2
poniewa :
U
1
2
2
I =
=
I
2
R
2 R
2
2
otrzymujemy ostatecznie równanie postaci:
1 2
1
I − E + R
I + I =
1 (
2
) 0
2
2 R 2
czyli:
2 1
R
I
1
1
+
+ I ⋅ R − E =
1
0
2
R 2
z czego mo na obliczy warto pr du I dla okre lonej warto ci SEM E:
1
1
2
⋅ 2
− ⋅R ⋅R + 2⋅ R 2 R 2
⋅
+ 2⋅E R 2
⋅
+ 2⋅E⋅R ⋅R
2⋅(R
1 2
1
2
2
2 1
2 + R1)
I1.2
1
1
2
⋅ 2
− ⋅R ⋅R − 2⋅ R 2 R 2
⋅
+ 2⋅E R 2
⋅
+ 2⋅E⋅R ⋅R
2⋅(R
1 2
1
2
2
2 1
2 + R1)
Otrzymane warto ci pr dów:
I1=2
I2=-3.3
Pod uwag bierzemy dodatni warto pr du. Czyli pr d I = 2 A.
Dla tak wyznaczonego pr du obliczamy warto napi cia:
1 2
1
U = I = 4 = 2 V
2
2
Wyznaczona warto pr du i napi cia stanowi punkt pracy elementu nieliniowego pracuj cego przy zasilaniu SEM E = 10 V.
2. metoda graficzna – prostej oporu
Rozpoczynamy od wyznaczenia zast pczego ródła Thevenina dla obwodu na lewo od zacisków AB – czyli po odł czeniu rezystancji nieliniowej.
1) Obliczamy warto napi ciowego ródła Thevenina
E
10
I
A
0
I =
=
=
A
0
3.33[ ]
E
R + R
+
1
2
1 2
R
R2 U
1
E = U
= I R =
⋅ =
V
T
AB
0
2
3 3
. 3 1 3 3
. [
3 ]
B
2) Obliczamy rezystancj wewn trzn
Jest to rezystancja widziana od strony zacisków AB, przy przerwie w A gał zi AB i zwarciu SEM E ródła
R
R R
R
⋅
1 2
1 2
2
1
R2
R
T =
=
=
R + R
+
1
2
1 2
3
B
3) Obliczamy pr d I metod prostej oporu
Po obliczeniu RT i ET schemat naszego obwodu mo na zast pi :
Na wykresie rysujemy zale no napi cia od pr du dla elementu nieliniowego, oraz odwrócon charakterystyk drugiego elementu (dla elementu liniowego poł czonego ze E
ródłem jest to prosta ł cz ca punkt o warto ci E
T
T na osi napi
oraz punkt o warto ci
na
RT
osi pr dów) Tak powstały wykres przedstawiono poni ej
Punkt okre lony przez przeci cie tych
dwóch wykresów wyznacza punkt pracy
układu. Mo emy odczyta :
I=2A, U=2 V
Co potwierdza obliczenia dokonane
wcze niej metod analityczn .
3. Metoda graficzna sumowania charakterystyk.
Metoda ta polega na sumowaniu kolejno pr dów lub napi dla zachowanej stałej warto ci odpowiednio napi cia lub pr du. Dla poł czenia elementów:
- Szeregowego – dodajemy ich charakterystyki w ten sposób, e sumujemy napi cia na elementach dla kolejnych warto ci pr du
- Równoległego – dodajemy ich charakterystyki w ten sposób, e sumujemy pr dy na elementach dla kolejnych warto ci napi
Dla omawianego przypadku:
Zaczynaj c od elementu nieliniowego, nanosimy
1
jego charakterystyk (
2
U = I - linia ci gła
2
czarna) a nast pnie charakterystyk poł czonego
z nim równolegle rezystora R2( U = R =
2 I
I
1
niebieska, kropkowana). Nast pnie wyznaczamy
sum charakterystyk (linia kreskowana –
czerwona, powstała w sposób pokazany na
rysunku). W ten sposób uzale nili my napi cie
U od sumy pr dów I+I2 czyli od pr du
I1(oznaczenia wg rys 3).
W kolejnym etapie b dziemy dodawa napi cie U do napi cia U1, dzi ki czemu otrzymamy zale no pomi dzy spadkami napi w oczku lewym (rys 3) oraz pr dem I1. W tym celu rysujemy na wykresie charakterystyk pr dowo-napi ciow dla rezystora R2 ( U = R =
1 I
2 I
Kropka-kreska, br zowa) i dodajemy do uzyskanej prze chwil charakterystyki (czerwona, kreskowana). (W celu rozja nienia rysunku pozostałe wcze niejsze charakterystyki zaznaczono czarnymi cienkimi liniami ci głymi). Powstała charakterystyka zaznaczona jest pogrubion ci gł lini ró ow (sposób otrzymania tej charakterystyki zaznaczono na rys).
Na zako czenie wyrysowujemy lini okre laj c warto napi cia ródła. Punkt P –
przeci cia uzyskanej charakterystyki (ró owa, ci gła) z charakterystyk ródła (br zowa przerywana) wyznacza warto pr du I1, czyli pr du płyn cego przez oczko lewe (rys3), dla którego wyznaczone s przecinaj ce si charakterystyki.
Wyznaczaj c kolejne punkty (zaznaczone na wykresie) – wyznaczamy w odwrotnej kolejno ci warto ci pr dów i napi z odpowiednich dla nich charakterystyk: I1 – punkt P. I1 =4A
Dla pr du I mo na odczyta spadki napi , które on wywołuje (czyli U1) U1 – punkt P1 – Przeci cie warto ci pr du I1=4 z prost wyznaczaj c zale no napi cia na rezystorze R2 od płyn cego przez ten rezystor pr du (I1). U1=8V
U – punkt P2 – przeci cie warto ci pr du I1=4 z zale no ci na warto napi cia U od pr du I1 (linia czerwona, przerywana) U=2V
Nast pnie dla wyznaczonego napi cia U mo emy odczyta pr dy w gał ziach na których spadek napi cia wynosi U:
I2 – punkt P3 – Przeci cie warto ci napi cia U=2 z prost wyznaczaj c zale no napi cia na rezystorze R1 od płyn cego przez ten rezystor pr du I2 (niebieska kropkowana).
I2=2A
I – punkt P4 – Przeci cie warto ci napi cia U=2V z krzyw wyznaczaj c zale no napi cia na rezystorze nieliniowym RN od płyn cego przez ten rezystor pr du (IN), czyli 1
krzyw :
2
U = I (czarna ci gła) I=2A.
2
Dla danych podanych w zadaniu punkt P3 i P4 znajduj si w tym samym miejscu. Punkt P4
oznacza punkt pracy rezystancji nieliniowej (U=2V, I=2A)
Poni ej przedstawiono analogiczny wykres powstały dla danych E=6V, R1=1 , R2=2 .
P: (2.48, 6) => I1=2.48A
P1: (2.48, 4.96) => U1=4.96V
P2: (2.48, 1.04) => U=1.04V
P3: (1.04, 1,04) => I2=1.04A
P4: (1.46, 1,04) => I=1.46A
Uwagi:
1. Przedstawione metody mo na ł czy , np. stosuj c Tw. Thevenina w metodzie analitycznej, lub Tw. Thevenina a nast pnie metod sumowania charakterystyk dla obwodu jak na rys 6 itp.
2. Charakterystyka U-I (napi ciowo – pr dowa I=f(U) elementu nieliniowego mo e by podana w postaci wzoru – jak w przykładzie lub tabeli – kolejne odpowiadaj ce sobie warto ci U i I)
3. Mo e si zdarzy inne oznaczenie osi – o pionowa I, o pozioma U –
charakterystyka pr dowo napi ciowa I-U U=f(I). Trzeba wtedy zauwa y , e sumowanie napi b dzie si odbywa w poziomie, a sumowanie pr dów w pionie (czyli odwrotnie ni w podanym przykładzie)
4. W sposób podany w punkcie 3 mo na tak e sumowa charakterystyki dwóch elementów nieliniowych.(Przykład poni ej)
Przykład 2
Obliczy punkt pracy układu:
Gdzie:
E=2V,
RN1:
RN2:
URN1 0.5 I2
⋅
URN2 0
− .1I2 + 1
Dodajemy napi cia dla kolejnych pr dów obu charakterystyk nieliniowych, punkt pracy-P
Wyznacza pr d I=0.76A oraz napi cie U=E=2V, dla pr du I odczytujemy spadki napi na rezystancjach nieliniowych URN1 = 0.3 V, oraz URN2 = 1.7 V
Dla charakterystyki I-U
Dla charakterystyki U-I