1. Omów schemat funkcjonalny typowego układu sterowania

14. Zdef pojecie uchybu strowania. Omów główne przyczyny

π

automatycznego z pętlą sprzężenia zwrotnego.

pojawienia się uchybów. Jakie środki zaproponujesz, aby

ϕ

(w) = −

, wzmocnienie maleje o 20 dB. Rzeczywisty człon

wielkosc Wielk \/ STER \/<=zakl.procesowe

ograniczyć wartośc uchybu.

2

zad

Uchyb – różnica pomiędzy zadaną wartością a wielkością sterowaną

k

Zadajnik -- sterownik obiekt wielkosc sterowana

e(t) = r(t)-c(t). Pewne informacje o uchybie niesie sygnał różnicowy

całkujący

(

G s) = −

gdzie: k – wzmocnienie, T– stała czasowa

przetwarzany przez sterownik. Uchyb pojawia się na skutek działania

s 1

( + sT )

Czujnik< <zakłóc. pomiarowe

zakłóceń: !) na wejściu obiektu sterowanego; 2) pomiarowych;. Uchyb

22. Omów bezpośrednie (w dziedzinie czasu) oraz pośrednie (w

Wielkość zadana podawana jest na zadajnik, którego zadaniem jest

można ograniczyć zwiększając wartośc wzmocnienia w torze głównym,

dziedzinie częstotliwości) wskaźniki jakości regulacji, odnoszące

dopasowanie tego sygnału, aby był zrozumiały dla urządzenia

ale w taki sposób, aby ukł nie stracił stabilności. Zachodzi

się do (i) stabilności układu zamkniętego oraz do (ii) szybkości

sterującego( ograniczenie sygnału, filtracja, perkompensacja,

1

1

1

procesów przejściowych w tym układzie.

dostarczenie sygnału różnicowego).

bowiem e( )

∞ =

,e( )

∞ =

,e( )

∞ =

;k

+

p=lims->∞ Gp(s)Gc(s); kv=lims-

Do wskaźników pośrednich zaliczamy te wskaźniki, które na podstawie

Sterownik ma za zadanie wypracować sygnał sterujący, na podstawie

1 k p

kv

ka

przebiegu charakterystyk częstotliwościowych pozwalają w przybliżeniu

sygnału różnicowego=wielkość zadana-wielkosc sterowana. Sygnał

>∞ sGp(s)Gc(s); ka=lims->∞ s2Gp(s)Gc(s). Albo stosując człon całkujący ocenić kształt e(t) przy określonym wymuszeniu (np. zapas stabilności).

sterujący oddziaływuje na obiekt w ten sposób, aby naśladował on w

przed węzłem , do którego wchodzą zakłócenia.

Do wskaźników bezpośrednich zaliczamy te wskaźniki, które są

jak największym stopniu sygnał zadany.

15. Podaj definicje astatyzmu I stopnia układu regulacji

bezpośrednią miarą określonej cechy przebiegu uchybu e(t)

Czujnik w torze sprzężenia zwrotnego dostarcza informacji o

automatycznej. Naszkicuj schemat.

wywołanego standardow. wymuszeniem (np. skokiem jednostkowym).

efektywności procesu sterowania.

Stabilny ukł. regulacji automatycznej charakteryzuje się astat I rzędu,

Wskaźnik jakości powinien być tak zdefiniowany, aby mierzył żądane

Zadania sterownika:-zapewnianie układowi zamkniętemu stabilności; -

jeżeli posiada skończone i niezerowe wzmocnienie prędkościowe kv ≠0;

cechy przebiegu przejściowego e(t) z dostateczną dokładnością. Nie

ograniczanie wpływu zakłóceń;- ograniczanie wpływu niepewności

kv ≠∞; kv=lims->∞ sGp(s)Gc(s); Czyli wartość uchybu sygnałowego w

może nim być sam uchyb e(t) ponieważ jest on funkcją czasu.

wiedzy o obiekcie(nieliniowość, niestacjoarność charakterystyk).

stanie ustalonym przy pobudzeniu skokiem jednostkowym jest równe

2. Scharakteryzuj dwa podstawowe zadania realizowane w

zero.

układach sterowania autom.-zadanie przestawiania i nadążania.

G(s)=s/s-k jest

G(s)=s+k(m-1)/s+mk nie jest

Spis treści:

Zadanie przestawiania: -rzadkie, ale gwałtowne zmiany sygnału

1. Omów schemat funkcjonalny typowego układu sterowania

K

1/s

K

1/s

zadającego, - duży(istotny) wpływ zakłóceń, - mały uchyb e(t) możliwy

automatycznego z pętlą sprzężenia zwrotnego.

tylko dla chwil czasu wystarczająco odległych od momentu zmiany

m

2. Scharakteryzuj dwa podstawowe zadania realizowane w układach

sygnału zadającego. ∀

, e

| (

e t) ≤ e max

max—dopuszczalny uchyb, ts-

16. Dany jest układ zamknięty z jednostkowym, ujemnym

sterowania autom.-zadanie przestawiania i nadążania.

sprzężeniem zwrotnym, obejmującym tor główny złożony z

3. Opisz typowe sytuacje, w których projektant układów regulacji

czas ustalania t>=Ts Np. sterowanie windą

szeregowo połączonych korektora Gc(s)=(s-1)/s oraz obiektu

zmuszony jest do poszukiwania kompromisowych rozwiązań.

Zadanie nadążania:-ciągłe zmiany o niegwałtownym charakterze; -

Gp(s)=2/(s-1). Dlaczego taki sposób korekcji jest niedopuszczalny.

4. Wymień podstawowe modele liniowych obiektów dynamicznych

wpływ

zakłóceń

we

wstępnych

procesach

projektowania

do

Stosując podany korektor układ zamknięty starci wewnętrzną

(modele wej-wyj oraz model w przestrzeni stanu). Omów wzajemne

pominięcia; - mały uchyb e(t) dla każdej chwili sterowania

stabilność. Istnieje bowiem zasada, że korektor nie może eliminować

związki między tymi modelami.

∀

niestabilnych biegunów obiektu (leżących w prawej domkniętej

5. Opisz klasę równoważności podobnych modeli w przestrzeni

| e(t) ≤ e max

półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej).

6. Zdefiniuj macierz fundamentalną liniowego jednorodnego r-nia

t

3. Opisz typowe sytuacje, w których projektant układów regulacji

17. Dany jest model:

różniczkowego x’(t) = A*x(t) , x(t0)∈Rn. Opisz znane Ci sposoby

zmuszony jest do poszukiwania kompromisowych rozwiązań.

r(t) k (1+sT)/s 1/[s*(1+s)] c(t)

wyznaczania takiej macierzy.

Nie można np.: uzyskac dużej dokładności sterowania i krótkiego czasu

9. Co to jest „diagonalizacja“ modelu w przestrzeni stanu? Procedura

wykonania.Ramię robota może szybko i z dużym przeregulowaniem

takiej diagonalizacji. Czy każda macierz stanu da się zdiagonalizować?

(czyli ryzykując zniszczenie przedmiotu) dosunąć go do ściany, albo

10. Podaj definicje oraz BIBO stabilności liniowej obiektów dynamiczn.

dokładnie lecz powoli przesunąc go bez takiej groźby.

- 2

11. Podaj definicję oraz kryterium stabilności asymptotycznej liniowego

4. Wymień podstawowe modele liniowych obiektów dynamicznych

obiektu dynamicznego

(modele wej-wyj oraz model w przestrzeni stanu). Omów wzajemne

12. Podaj definicje oraz kryterium stabilności wewnątrz liniowego

związki między tymi modelami.

Podaj warunki, jakie należy nałożyć na wartości nastaw k oraz T,

obiektu dynamicznego

Model wej-wyj

aby w tym układzie doprowadzić do zerowania się ustalonego

14. Zdefiniuj pojecie uchybu sterowania. Omów główne przyczyny

uchybu położeniowego. Jaka będzie wówczas wartość ustalonego

pojawienia się uchybów. Jakie środki, aby ograniczyć wartość uchybu.

U(t) G(s) y(T) G(s)-transmitancja(funkcja

U(s) Y(s) przenoszenia)ukł. Dynam.

uchybu prędkościowego?

15. Podaj definicje astatyzmu I stopnia układu regulacji automatycznej.

Y(s)=U(s)*G(s)

Hre(s)=[s3+s2+s(2T-kT)-k+2]/[s3+s2+s*2T+2]

16. Dany jest układ zamknięty z jednostkowym, ujemnym sprzężeniem

y(t) = u(t)* g(t) =granice całki[0,t] ∫ u(t)g(t-τ )dτ=∫u(t-τ)g(t)dτ <=splot

e_↑-(∞)=lim s⇒0 s*Hre(s)*(1/s)=(-k+2)/2=0 ⇒ k=2 i T>0

zwrotnym, obejmującym tor główny złożony z szeregowo połączonych

U(s) iY(s) mogą być wektorami, więc G(s) to w ogólności macierz

dla k=2 i T>0:

korektora Gc(s)=(s-1)/s oraz obiektu Gp(s)=2/(s-1). Dlaczego taki

operatorowuch transmitancji. G(t)G(s): G(s)=L[g(t)] ; g(t)=L-1[G(s)]

e_↑(∞)= lim s⇒0 s*Hre(s)*(1/s2)=0

sposób korekcji jest niedopuszczalny?

Para wielkości związana prostym i odwrotnym przekształc. Laplace’a

18. Wymień zasady wykreślania linii pierwiastkowych.

17. Dany jest model: (rysunek) Podaj warunki, jakie należy nałożyć na

Model w przestrzeni stanu:

1)LP zaczynają się w biegunach i kończą w zerach układu otwartego.

wartości nastaw k oraz T, aby w tym układzie doprowadzić do

X(t)=Ax(t)+B(t) równanie stanu, relacja dynamiczna

2)Jeżeli zer jest mniej niż biegunów, to część LP zmierza po

zerowania się ustalonego uchybu położeniowego. Jaka będzie

Y(t)=Cx(t)+D(t) równanie wyjścia, relacja statyczna

asymptotach do ∞.

wówczas wartość ustalonego uchybu prędkościowego?

X(t)- wektor stanu

3)Asymptoty (jeżeli istnieją) przecinają oś rzeczywistą w punkcie

18. Wymień zasady wykreślania linii pierwiastkowych.

u(t)- wektor pobudzeń

σ

21. Scharakteryzuj pojęcie dobrej określoności liniowego układu

a=1/(n-r)*(Σpi-Σzi), a kierunki kątowe asymptot liczymy ze wzoru

X(t)

y(t)- wektor wyjść(obserwacji) u(t) zmienna stanu y(t)

Ψ

dynamicznego. Podaj prosty przykład układu ze sprzężeniem

a=1/(n-r)*(2m+1)*Π, m=0,1,2,...; n-liczba biegunów układu otwartego;

Zmienne stanu: zbiór o minimalnej liczności takich wielkości których

r-liczba zer układu otwartego; p

zwrotnym, który nie jest dobrze określony. Zinterpretuj własności

i-bieguny; zi-zera;

znajomośc w chwili to (wraz z informacją o przyszłym sterowaniu u(t))

4)Asymptoty tworzą symetryczną gwiazdę.

takiego układu w oparciu o metodę linii pierwiastkowych.

jednoznacznie określa zachowanie się układu w przyszłości.

5)LP pokrywają się z osią rzeczywistą tam, gdzie na prawo od danego

22. Omów bezpośrednie (w dziedzinie czasu) oraz pośrednie (w

Zwiazek miedzy tymi modelami:

punktu liczba osobliwości jest nieparzysta.

dziedzinie częstotliwości) wskaźniki jakości regulacji, odnoszące się do

L[x(t)]=L[Ax(t)+Bu(t)]

6)LP spotykają się, załamują i rozchodzą w tzw. Punktach załamania

(i) stabilności układu zamkniętego oraz do (ii) szybkości procesów

SX(s)-x(0)|

będących rozwiązaniami rzeczywistymi równania: dk/ds=0.

przejściowych w tym układzie.

x(0)=0=AX(s)+BU(s)

SX(s)=AX(s)+BU(s) ϕ (s)=(sI

7)Punkty, w których LP przecinają oś jω wyznaczamy: 1+kG

31. Omów właściwości oraz zastosowanie korektora (regulatora)

m-A)-1

0(s)|s=jω=0

przyspieszającego

fazę

LEAD.

Posługując

się

metodą

linią

(SI

21. Scharakteryzuj pojęcie dobrej określoności liniowego układu

m-A)X(s)=BU(s) ϕ (t)=L-1[[(sIm-A)-1]=eAt

pierwiastkowych

oraz

metodą

charakterystycznych

X(s)=(sI

dynamicznego. Podaj prosty przykład układu ze sprzężeniem

n-A)-1BU(s) macierz fundamentalna

częstotliwościowych, podaj stosowne interpretacyjne motywujące

L[y(t)]=L[Cx(t)+Du(t)]

zwrotnym, który nie jest dobrze określony. Zinterpretuj własności

użycie takiego korektora w układzie regulacji automatycznej. (rys.)

Y(s)=CX(s)+DU(s)

takiego układu w oparciu o metodę linii pierwiastkowych.

32. Omów własności oraz zastosowanie korektora (regulatora)

Y(s)=[C(SI

Układ jest dobrze określony (czyli realizowalny), jeżeli mianownik

m-A)-1 B+D]U(s)

opóźniającego fazę LAG. Posługując się metodą linii pierwiastkowych

G(s)=C(SI

transmitancji postaci 1+R(s)G(s)M(s) nie jest ściśle właściwą, wymierną

m-A)-1B+D=Cϕ(s)B+D <=operatorowa transmitancja

oraz metoda charakterystyk częstotliwościowych, podaj stosowne

5. Opisz klasę równoważności podobnych modeli w przestrzeni

funkcją

zmiennej

zespolonej

s.

Czyli

1+RGM=A(s)/B(s)

i

interpretacje motywujące użycie takiego korektora w ukł. regulacji auto.

stanu

danego

obiektu

dynamicznego.

Podaj

niezmienniki

degA(s)>=degB(s).

33. Wyznacz orientacyjny przebieg charakterystyk Nyquista dla

stosowanych relacji podobieństwa.

Przykład: 1+RGM=13/[(s+3)(s+1)]

zadanych (prostych!) modeli (funkcji przenoszenia).

Dane są dwa n - wymiarowe modele w przestrzeni stanu:

34. Wykreśl asymptotę charakterystyki Bodego dla zadanych modeli

x’(t) = A

(s+2)/(s+3) –(s-2)/(s+2)

xx(t) + Bxux(t) , x(0).

(funkcji przenoszenia) ( rysunki )

y

x(t) = Cxx(t) + Dxux(t)

35. Podaj kryterium Nyquista stabilności układu dynamicznego ze

z’(t) = A

zz(t) + Bzuz(t) , z(0)

sprzężeniem zwrotnym. Zastosuj kryterium w zadanym przypadku.

y

- (s+5)/(s+1)

z(t) = Czz(t) + Dzuz(t)

36. Podaj definicje zapasów (marginesów) wzmocnienia oraz fazy

Modele te nazywamy parametrycznie podobnymi, jeżeli istnieje taka

układu regulacji ze sprzężeniem zwrotnym. Interpretacje tych definicji w

macierz P∈Rn x m (nieosobliwa macierz podobieństwa), że:

oparciu o charakterystyki Nyquista i Bodego otwartego układu regulacji.

A

z = P-1AxP Cz = CxP

38. Omów rolę członu całkującego w korektorze dynamiki toru

B

31. Omów właściwości oraz zastosowanie korektor (regulatora)

z = P-1Bx Dz = Dx

głównego układu regulacji. Przedstaw interpretacje w oparciu o linie

Modele te nazywamy podobnymi o ile są parametrycznie podobne a

Przyspieszającego fazę LEAD. Posługując się metodą linią

pierwiastkowe oraz charakterystyki częstotliwościowe.

ponadto : u

pierwiastkowych

oraz

metodą

charakterystycznych

x(t) = uz(t) = u(t) oraz x(0) = Pz(0)

Modele parametrycznie podobne mają taką samą operatorową

częstotliwościowych, podaj stosowne interpretacyjne motywujące

transmitancję, a więc i odpowiedzi impulsowe i skokowe:

użycie takiego korektora w układzie regulacji automatycznej.(rys.)

UWAGA:

G

G=(GcGp)/(1+GcGp) LEAD: Gc(s)=(ao+(a1*)s)/(1+(b1*)s) Wymagania:

x(s)=Gz(s)

Na audytorium nr1 będzie pisać 2,5 grupy, czas ok. 1 godz. 7 pytań

Dla modeli podobnych ponadto:

stabilność,

szybkość

=>

s*=-α*+-jβ

;

s*=|s*|ejφ*

Pilnuje prawdopodobnie 3 osoby: Suchomski, Marcińczyk i Kozłowski

x(t) = P*z(t)

a1(a0)=[a0|Gp(s*)|sin(φ*-v)+sinφ*]/[|s*|G(s*)sinv]

Nie będzie następujących zadań: 13,17,25,26,28,34,35,37,39,40,42

y

b1(b0)=[-a0|Gp(s*)|sinφ*-sin(φ*+v)]/|s*|sinv] v- kat fazowy obiektu

x(t) = yz(t) = y(t)

6. Zdefiniuj macierz fundamentalną liniowego jednorodnego r-nia

warunek

stabilności

regulatora:G1(a0)>0,

a0<a0max=[-

różniczkowego x’(t) = A*x(t) , x(t

sin(φ*+v)]/[Gp(s*)|sinφ*] ;stosowalność LEAD: v€ (-360°,-180°)

0) ∈Rn. Opisz znane Ci sposoby

Written by Relax Team®

wyznaczania takiej macierzy.

G=k[s+z]/[s+p]; |z|<|p| Stosując dynamiczny sterownik przyspieszający

January 2006

Rozwiązanie tego równania ma postać:

fazą musimy wszelako liczyć się z koniecznością zapewnienia

x(t) = eAtx(t

większych sygnałów sterujących. (stosowne wykresy)

0) , gdzie , eAt – macierz fundamentalna

jest ona definiowana przez analogię:

32. Omów własności oraz zastosowanie korektora (regulatora)

Φ(s) = (sI

opóżniającego

fazę

LAG.

Posługując

się

metodą

linii

n – A)-1 – postać operatorowa mac. fundamentalnej

pierwiastkowych

oraz

metoda

charakterystyk

£-1[1/s-α] = eαt

częstotliwościowych, podaj stosowne interpretacje motywujące

∞

i i

A t

użycie takiego korektora w układzie regulacji automatycznej.

£-1[1/sIn-A] = eAt eAt = def.= ∑

LAG: Glag=k{-z+s]/[-p+s] (rys.) Wymagania: szybkość, stabilność=>

=0

!

i

i

[-z+s]/[-p+s]przy(s=s*)=∼1 dokładność [-z+s]/[-p+s]przy(s=0)=∼(z/s)→∞

Macierz modalną można wyznaczyć poprzez diagonalizację

G=s+z/s+p Sterownik opóźniający fazę (LAG) pozwala na zmiejszenie

M = [x1 ; x2 ;…;xn] , M∈Rn x m – macierz modalna zawierająca wektory

ustalonego błędu prędkościowego. Odbywa się to kosztem: -obnizania

własne xi, i∈{1,…,n} macierzy A.

szybkości procesów przejściowych w fazie bliskiej stanowi ustalonemu

zjawisku tzw. ‘ przeciąganiu’ dotyczy to zwłaszcza odpowiedzi

 T 

λ

0

0 

y1 

 1



prędkościowej układu zamkniętego. –wzrostu wartości przeregulowaniu

M-1 =  T

y  ,y ∈Cn i∈{1,2, ,n} Λ=  0

λ

0

skokowej odpowiedzi układu zamkniętego( układu o astatyzmie

2



 2 

i





pierwszego stopnia).

 T

y

0

0

λ

n 







n 



33. Wykreśl asymptotę charakterystyki Bodego dla zadanych

modeli (funkcji przenoszenia) ( rysunki )

Λ∈Rn x m – macierz diagonalna zawierająca wartości własne λ

Człon inercyjny:

i

macierzy A

k

k

k - j Tk

ω

G(s) =

s = ωj G(s= j)

w =

=

1+ sT

1+ j T

ω

2

2

1+ ω T

 λ t1



e

0

0 

Nyquist: G(jω)=P(ω)+jQ(ω)

Λ

λ

e t = 

2t

0

e

0 





ImG(jω)



λnt

0

0

e



Body: G(jω) = |G(jω)| * exp[jφ(ω)]=|G(jω)|*arctg





Re (

G ω

j )

36. Podaj definicje zapasów (marginesów) wzmocnienia oraz fazy

n

Λ

λ

eAt = M e t M-1 lub eAt =

T

it

∑ x

układu regulacji ze sprzężeniem zwrotnym. Podaj interpretacje

i yi e

i=1

tych definicji w oparciu o charakterystyki Nyquista i Bodego

9. Co to jest „diagonalizacja“ modelu w przestrzeni stanu? Podaj

otwartego układu regulacji.

Kryterium Nyquista – Warunkiem tego, by układ opisany transmitancją

procedurę takiej diagonalizacji. Czy każda macierz stanu da się

zdiagonalizować?

G był stabilny jest, aby wielomian mianownika funkcji G był

wielomianem Hurwitz’a, co oznacza, że wielomian nie posiada zer w

diagonalizacja – wyznaczenie takiej macierzy Λ o strukturze macierzy

domkniętej prawej półpłaszczyźnie s.

diagonalnej, która pozostaje w relacji podobieństwa z pierwotną

Druga wersja twierdzenia o stabilności, – Jeżeli transmitancja układu

macierzą A, a macierzą podobieństwa jest macierz modalna M.

otwartego nie ma biegunów w otwartej prawej półpłaszczyźnie, układ

a) Wyznaczanie zbioru wartości własnych macierzy A (λ λ

1 2,..,λn)

zamknięty jest stabilny gdy wykres Nyquista transmitancji G nie

det -(A -λiIn) = 0 - r - nie charakterystyczne

okrąża punktu (-1;j0), ani nie przechodzi przez ten punkt

b) Wyznaczanie przykładowych wektorów własnych odpowiadających

Def. Odległość między punktem (-1;j0) oraz (G0(jwP);0) nazywamy

uzyskanym wartościom własnym oraz zapisanie ich w tzw. Macierzy

zapasem wzmocnienia. Wyrażamy go w skali logarytmicznej.

modalnej M:

Def. Niech wP>0 będzie taką pulsacją, dla której moduł |G0(jwP)|=1. Jest

(A -λiIn)xi = 0 , i= 1,2,..,n

to pulsacja, dla której |G0(jwP)|=1 przecina okrąg jednostkowy kąt

M = [x1 x2..xn] , M ∈Rn x m

między ujemną osią odciętych, a prostą przechodzącą przez punkt

c) Wyznaczanie macierzy diagonalnej wg wzoru:

|G0(jwP)| w kierunku (0,0) nazywamy zapasem fazy. Stabilność układu

Λ=M-1A*M , Λ∈Rn x m Λ= diag {λ

oznacza, że zapas fazy i zapas wzmocnienia są większe od 0.

i} i=1,2…n

10. Podaj definicje oraz BIBO stabilności liniowej obiektów

Zapas fazy = |<(-1)|-|<G0(jw)|=180°-|<G0(jwP)|

dynamicznych

38. Omów rolę członu całkującego w korektorze dynamiki toru

Ukł. Jest BIBO stabilny (reprezentowany przez g(t) lub G(s)) , jeżeli: 1)

głównego układu regulacji. Przedstaw interpretacje w oparciu o

u(wej) є L

linie pierwiastkowe oraz charakterystyki częstotliwościowe.

∞ => y(wyj) є L∞ ; 2) ||y||∞≤ c||u||∞ dla pewnej stałej c≥0 oraz

dla każdego u є L

Człon całkujący to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t)

∞. Czyli ukł. jest BIBO stabilny jeżeli jeżeli każdemu

ograniczonemu wejściu odpowiada ograniczone wyjście. Kryterium:

t

wszystkie bieguny transmitancji G(s) muszą być w lewej otwartej

proporcjonalny do całki sygnału wejściowego x(t): y t

( ) = k ∫ x(τ d

) τ

półpłaszczyźnie zespolonej.

0

11. Podaj definicję oraz kryterium stabilności asymptotycznej

Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace’a

liniowego obiektu dynamicznego

daje

związek

pomiędzy

transformatami

obu

sygnałów:

Ukł. x’(t)=Ax(t) jest asymptotycznie stabilny<=>gdy dla dowolnych

warunków początkowych x(0) є Rn zachodzi lim

Y(s) = 1/ s ⋅ X(s) stąd: transmitancja członu całkującego ma postać:

t->∞||x(t)||= 0. Asyst. stab.

definiuje się tylko dla ukł. o zerowym pobudzeniu u(t)=0. Kryterium AS:

wszystkie wartości właśne macierzy A muszą leżeć w lewej otwartej

Y s

( )

k

G s

( ) =

=

Jego odpowiedź impulsowa wygląda następująco:

półpłaszczyźnie płaszcz. zespolonej.

X s

( )

s

12. Podaj definicje oraz kryterium stabilności wewnątrz liniowego

obiektu dynamicznego

g(t) = k

⋅

1(t)

, charakterystyka skokowa: w dziedzinie operatorowej:

Ukł. jest wewn stabilny <=>gdy jest BIBO stabilny dla każdej pary

wejście wyjście możliwej do wyróżnienia w tym układzie. Kryterium:

k

H(s) =

, w dziedzinie czasu:

h(t) = k

⋅ t

⋅

1(t) charakterystyka

1)wyznacznik 1+G

2

p(s)Gc(s)Gs(s)=0 nie posiada zer w prawej domkniętej

s

półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej; 2) w iloczynie Gp(s)Gc(s)Gs(s)

nie występują skreślenia parach złożonych z zera i bieuna z prawej

k

amplitudowo-fazowa:

G( jw ) =

,

charakterystyka

fazowa:

półpłaszczyzny płaszcz zespolonej.

jw