Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część IVC. Dynamika układu punktów materialnych — zasady zachowania dla ruchu obrotowego ciała sztywnego
IVC.1) Kula o początkowej prędkości v 0 = 10 m/s w ruchu postępowym wtacza się bez poślizgu na równię pochyłą o kącie nachylenia α = 45 ◦. Jaką drogę przebędzie kula po równi do chwili zatrzymania się? Przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2.
IVC.2) Rozwiązać zadanie IVB.10, punkt b), korzystając z zasady zachowania energii.
IVC.3) Obliczyć prędkości ciężarków układu pokazanego na rysunku w chwili, gdy pierwszy
ciężarek obniży się o wysokość h. Masy ciężar-ków wynoszą M a masy bloczków m; przy-spieszenie ziemskie g. Przyjąć, że początkowo układ był w spoczynku.
IVC.4) Obracający się z prędkością kątową ω walec o promieniu R zo-stał umieszczony w kącie utworzonym przez podłogę i ścianę. Przyjmując, że współczynnik tarcia walca o ścianę i podłogę wynosi f oblicz, ile obrotów wykona walec do momentu zatrzymania się. Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
IVC.5) Punktowa masa m porusza się po okręgu o promieniu r 1 z prędkością v 1. Jaką pracę należy wykonać, aby ściągnąć ją w kierunku środka okręgu na odległość r 2 < r 1? Jak zmieni się przy tym energia kinetyczna masy?
IVC.6) Na brzegu swobodnie obracającej się poziomej tarczy o masie M
i promieniu R stoi człowiek o masie m. Tarcza wykonuje f 0 obrotów na se-kundę. Jakiej zmianie ulegnie częstotliwość obrotów tarczy, gdy człowiek ten przejdzie od jej brzegu do środka? Jak zmieni się przy tym energia układu?
IVC.7) Na brzegu poziomej, okrągłej platformy o masie M i promieniu R
stoi człowiek o masie m. Platforma może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi. Jaka będzie prędkość kątowa platformy ω, jeżeli człowiek zacznie iść 1
wzdłuż jej brzegu ze stałą względem niej prędkością v? Jaką drogę przebędzie człowiek względem platformy w czasie jej jednego pełnego obrotu?
IVC.8) Gładki jednorodny pręt o masie M i długości l obraca się swobodnie z prędkością kątową ω 0 w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jeden z jego końców. Z tego punktu zaczyna ześlizgiwać się wzdłuż pręta niewielka masa m. Znaleźć jej prędkość względem pręta w chwili, gdy dotrze ona do drugiego końca pręta.
IVC.9) Na poziomym gładkim stole leży listwa o długości l i masie M.
W koniec listwy trafia pocisk o masie m, lecący z prędkością v 0 w kierunku prostopadłym do listwy. Znaleźć prędkość kątową, z jaka listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk oraz prędkość środka masy listwy. Przyjąć, że m ≪ M.
IVC.10) Belka o długości l i masie M może swobodnie obracać się wokół
poziomej osi przechodzącej przez jeden z jej końców. W drugi koniec belki uderza kula o masie m mająca poziomą prędkość v 0. Kula grzęźnie w bel-ce. Znaleźć prędkość kątową belki tuż po uderzeniu kuli i maksymalny kąt jej wychylenia z położenia równowagi. Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
Przyjąć, że m ≪ M.
Odpowiedzi
IVC.1) l =
7 v 20
= 9 , 9 m.
10 g sin α
q
q
IVC.2) v
4
10
w =
gl sin α, v
gl sin α.
3
k =
7
q
IVC.3) v
8( M −m) gh
1 =
, v
v
10 M +7 m
2 = 1
2 1.
IVC.4) N = Rω 2
f 2+1
·
.
8 πg
f ( f +1)
2
IVC.5) W = ∆ E
r 1
k = mv 21
− 1 .
2
r 2
IVC.6) ∆ f = 2 m f
1 + 2 m R 2 f 2.
M
0, ∆ Ek = 2 π 2 m
M
0
IVC.7) ω =
v
, s = 2 πR 1 + M .
R(1+ M/ 2 m)
2 m
2
q
IVC.8) v
M
n = ω 0 l
.
M +3 m
IVC.9) ω = 6 mv 0 , v = mv 0 .
M l
M
IVC.10) ω = 3 mv
3 m 2 v 2
0 , α = arc cos 1 −
0
.
M l
M 2 gl
Wzory
1. Praca stałego momentu siły:
W = M ϕ
2. Energia kinetyczna obracającego się ciała: Iω 2
Ek = 2
3. Moment pędu ciała (rys. 1):
~
L = I~
ω
n
~
L = X ( ~ri × ~pi)
i=1
4. Zasada zachowania momentu pędu (rys. 2):
~
L 1 + ~
L 2 = ~
L ′ 1 + ~L ′ 2
Rysunek 1:
Rysunek 2:
3