Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
PRZYKA
AD OBLICZENIA SIA
WEWN
TRZNYCH W WIELOPRZ
SA
OWEJ PA
YCIE
STROPOWEJ JEDNOKIERUNKOWO ZGINANEJ
1. Dane:
Obliczeniowe obciążenie stałe (dla łf>1): q1=5,522 kN/m2
Obliczeniowe obciążenie stałe (dla łf<1): q2=4,072 kN/m2
Obliczeniowe obciążenie zmienne: p=6,500 kN/m2
Długość pojedynczego przęsła płyty w świetle podpór: ln=2,00 m
Wysokość przekroju poprzecznego (grubość) płyty żelbetowej: hpł=0,12 m
Szerokość podpór pośrednich (żeber): bż=0,25 m
Szerokość podpór skrajnych (grubość warstwy konstrukcyjnej ściany, głębokość oparcia
płyty na ścianie: ts=0,38 m
2. Przyjęcie schematu statycznego
Przyjmuje się schemat statyczny w postaci belki ciągłej sześcioprzęsłowej, którą sprowadza
się do postaci pięcioprzęsłowej w celu wykorzystania współczynników z tablic Winklera do
obliczenia sił wewnętrznych. Jako rozpiętości przęseł belki ciągłej przyjmuje się długości
obliczeniowe leff wyznaczone na podstawie wytycznych zawartych w normie PN-B-
03264:2002.
123321
A
B C CCB A
2.12 2.12 2.12 2.12 2.12 2.12
rys. 1. Schemat statyczny płyty stropowej
12321
A
B C C B A
2.12 2.12 2.12 2.12 2.12
rys. 2. Schemat statyczny płyty stropowej sprowadzony do pięciu przęseł
Wyznaczenie długości obliczeniowych leff:
Dla przęseł skrajnych leff1=ln+a1+a2, gdzie a1 i a2 to wartości wyznaczone odpowiednio do
warunków oparcia  a1 belki na podporze skrajnej, oraz a2 belki na podporze pośredniej.
Dla przęseł pośrednich leff2=2a2
Wartość a1 to mniejsza z dwóch wartości: 0,5hpł albo 0,5ts, natomiast wartość a2 to mniejsza
z dwóch wartości: 0,5hpł albo 0,5bż.
Ostatecznie przyjęto: a1=a2=0,5hpł=0,06 m, z czego wynika, że długości obliczeniowe przęseł
płyty są jednakowe dla wszystkich przęseł:
leff1=ln+a1+a2=2,00+0,06+0,06=2,12 m oraz leff2=ln+2a2=2,00+2�0,06=2,12 m.
3. Ustalenie konfiguracji obciążeń dających ekstremalne obliczeniowe siły wewnętrzne:
Do ustalenia najniekorzystniejszych konfiguracji obciążeń przyjmuje się obciążenia
równomiernie rozłożone na całych długościach przęseł. W przęsłach, w których zwiększenie
1
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
obciążenia wywołuje powiększenie siły wewnętrznej w analizowanym punkcie belki,
przykłada się obciążenie stałe q1 oraz obciążenie zmienne p, natomiast w pozostałych
przęsłach przykłada się wyłącznie obciążenie stałe q2.
5,522 5,522 5,522
a)
12321
A
B C C B A
4,072 4,072
b)
12321
A
B C C B A
5,522 5,522 5,522
4,072 4,072
c)
12321
A
B C C B A
6,500 6,500 6,500
d)
12321
A
B C C B A
rys. 3. Konfiguracja obciążeń do wyznaczenia momentów maksymalnych w przęsłach 1 i 3,
minimalnego w przęśle 2 oraz maksymalnej siły poprzecznej i reakcji w podporze A:
a)  obciążenie stałe  q1 w przęsłach nieparzystych; b)  obciążenie stałe  q2 w przęsłach
parzystych; c)  superpozycja układu a) i b); d) obciążenie zmienne  p w przęsłach
nieparzystych
2
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
5,522 5,522
a)
12321
A
B C C B A
4,072 4,072 4,072
b)
12321
A
B C C B A
5,522 5,522
4,072 4,072 4,072
c)
12321
A
B C C B A
6,500 6,500
d)
12321
A
B C C B A
rys. 4. Konfiguracja obciążeń do wyznaczenia momentu maksymalnego w przęśle 2
i momentów minimalnych w przęsłach 1 i 3:
a)  obciążenie stałe  q1 w przęsłach parzystych; b)  obciążenie stałe  q2 w przęsłach
nieparzystych; c)  superpozycja układu a) i b); d) obciążenie zmienne  p w przęsłach
parzystych
3
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
5,522 5,522 5,522
a)
12321
A
B C C B A
4,072 4,072
b)
12321
A
B C C B A
5,522 5,522 5,522
4,072 4,072
c)
12321
A
B C C B A
6,500 6,500 6,500
d)
12321
A
B C C B A
rys. 5. Konfiguracja obciążeń do wyznaczenia momentu minimalnego nad podporą B oraz
maksymalnych sił poprzecznych i reakcji w podporze B:
a)  obciążenie stałe  q1 w przęsłach nr 1, 2 i 4; b)  obciążenie stałe  q2 w przęsłach nr 3
i 5; c)  superpozycja układu a) i b); d) obciążenie zmienne  p w przęsłach nr 1, 2 i 4
4
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
5,522 5,522 5,522
a)
12321
A
B C C B A
4,072 4,072
b)
12321
A
B C C B A
5,522 5,522 5,522
4,072 4,072
c)
12321
A
B C C B A
6,500 6,500 6,500
d)
12321
A
B C C B A
rys. 6. Konfiguracja obciążeń do wyznaczenia momentu minimalnego w podporze C, oraz
maksymalnych sił poprzecznych i reakcji w podporze C:
a)  obciążenie stałe  q1 w przęsłach nr 2, 3, 5; b)  obciążenie stałe  q2 w przęsłach nr 1
i 4; c)  superpozycja układu a) i b); d) obciążenie zmienne  p w przęsłach nr 2, 3 i 5
5
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
4. Obliczeniowe siły wewnętrzne i reakcje
- obliczenie momentów zginających  obwiednie
(ogólna formuła obliczania: M=k�q�leff2)
M M(q) M(p) M(q+p)
1, 3, 5 0,100 5,522 6,500 2,12 2,482 2,921
M1max 2,006 2,921 4,927
2, 4 -0,026 4,072 0,000 2,12 -0,476 0,000
2, 4 -0,026 5,522 6,500 2,12 -0,645 -0,760
M1min 1,185 -0,760 0,425
1, 3, 5 0,100 4,072 0,000 2,12 1,830 0,000
2, 4 0,079 5,522 6,500 2,12 1,961 2,308
M2max 1,119 2,308 3,427
1, 3, 5 -0,046 4,072 0,000 2,12 -0,842 0,000
1, 3, 5 -0,046 5,522 6,500 2,12 -1,142 -1,344
M2min 0,304 -1,344 -1,040
2, 4 0,079 4,072 0,000 2,12 1,446 0,000
1, 3, 5 0,086 5,522 6,500 2,12 2,134 2,512
M3max 1,402 2,512 3,914
2, 4 -0,040 4,072 0,000 2,12 -0,732 0,000
2, 4 -0,040 5,522 6,500 2,12 -0,993 -1,169
M3min 0,581 -1,169 -0,588
1, 3, 5 0,086 4,072 0,000 2,12 1,574 0,000
1, 2, 4 -0,119 5,522 6,500 2,12 -2,953 -3,476
MBmin -2,697 -3,476 -6,173
3, 5 0,014 4,072 0,000 2,12 0,256 0,000
2, 3, 5 -0,111 5,522 6,500 2,12 -2,755 -3,243
MCmin -2,169 -3,243 -5,412
1, 4 0,032 4,072 0,000 2,12 0,586 0,000
- obliczenie sił poprzecznych  obwiednie (ogólna formuła obliczania: T=k�q�leff)
T T(q) cz. T(q) T(p) cz. T(p) T(q+p)
1, 3, 5 0,447 5,522 6,500 2,12 5,233 6,160
TA 4,775 6,160 10,935
2, 4 -0,053 4,072 0,000 2,12 -0,458 0,000
1, 2, 4 -0,620 5,522 6,500 2,12 -7,258 -8,544
TBL -7,137 -8,544 -15,681
3, 5 0,014 4,072 0,000 2,12 0,121 0,000
1, 2, 4 0,598 5,522 6,500 2,12 7,001 8,240
TBP 6,379 8,240 14,619
3, 5 -0,072 4,072 0,000 2,12 -0,622 0,000
2, 3, 5 -0,576 5,522 6,500 2,12 -6,743 -7,937
TCL -5,854 -7,937 -13,791
1, 4 0,103 4,072 0,000 2,12 0,889 0,000
2, 3, 5 0,591 5,522 6,500 2,12 6,919 8,144
TCP 6,133 8,144 14,277
1, 4 -0,091 4,072 0,000 2,12 -0,786 0,000
6
STAA
E  q
OBCI
ŻENIE
OBCI
ŻENIE
ZMIENNE  p
WSPÓA
CZ.  k
NR-Y PRZ
SEA

DA
. OBL. L.EFF
M(q) częściowy
M(p) częściowy
OBCI
ŻONYCH
STAA
E "q"
OBCI
ŻENIE
OBCI
ŻENIE
ZMIENNE "p"
WSPÓA
CZ. "k"
NR-Y PRZ
SEA

DA
. OBL. L.EFF
OBCI
ŻONYCH
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
- obliczenie maksymalnych reakcji (ogólna formuła obliczania: R=k�q�leff)
R R(q) cz. R(q) R(p) cz. R(p) R(q+p)
1, 3, 5 0,447 5,522 6,500 2,12 5,233 6,160
RA 4,775 6,160 10,935
2, 4 -0,053 4,072 0,000 2,12 -0,458 0,000
1, 2, 4 1,218 5,522 6,500 2,12 14,259 16,784
RB 13,517 16,784 30,301
3, 5 -0,086 4,072 0,000 2,12 -0,742 0,000
2, 3, 5 1,167 5,522 6,500 2,12 13,662 16,081
RC 11,987 16,081 28,068
1, 4 -0,194 4,072 0,000 2,12 -1,675 0,000
- obliczenie uśrednionych momentów ujemnych w przęsłach nr 2 i 3:
1
MSdm,min = (MSd,p + MSd,min )
3
1
MSdm,min2 = (6,173 + 1,040) = 2,404 kNm
3
1
MSdm,min3 = (5,412 + 0,588) = 2,000 kNm
3
- obwiednie sił wewnętrznych
-6,173 -6,173
-5,412 -5,412
-2,404 -2,404
-2,000
-1,040 -1,040
-0,588
0,425
M
A B C C B A
3,427 3,427
3,914
4,927 4,927
15,681
14,619
14,277
13,791
10,935
T
12321
B C C B A
A
-10,935
-13,791
-14,277
-14,619
-15,681
rys. 7.
7
STAA
E "q"
OBCI
ŻENIE
OBCI
ŻENIE
ZMIENNE "p"
WSPÓA
CZ. "k"
NR-Y PRZ
SEA

DA
. OBL. L.EFF
OBCI
ŻONYCH
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
- obliczenie momentów krawędziowych:
W celu obliczenia największego momentu krawędziowego  zamiast obliczać
wartości dla obu krawędzi  wystarczy uwzględnić mniejszą (co do wartości bezwzględnej)
siłę poprzeczną w poniższym wzorze:
Mkr = MSd,p + T �" 0,5 �"bż
Mkr,B = -6,173 + 14,619 �" 0,5 �" 0,25 = -4,346 kNm
Mkr,C = -5,412 +13,791�" 0,5 �" 0,25 = -3,689 kNm
- obliczenie momentów podporowych rzeczywistych (z uwzględnieniem niezerowej
szerokości podpory  wzór przybliżony; wykorzystanie tych wielkości nie jest konieczne):
M =MSd,p+0,125�R�bż
gdzie R jest reakcją w analizowanej podporze, a bż to szerokość podpory, czyli
żebra
MB =-6,173+0,125�30,301�0,25=-5,226 kNm
MC =-5,412+0,125�28,068�0,25=-4,535 kNm
8
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
5. Ustalenie konfiguracji obciążeń dających ekstremalne charakterystyczne siły wewnętrzne:
Do ustalenia najniekorzystniejszych konfiguracji obciążeń charakterystycznych pod kątem
analizy drugiego stanu granicznego, przyjmuje się obciążenie stałe równomiernie rozłożone
qk na całej długości belki, a w przęsłach, w których zwiększenie obciążenia wywołuje
powiększenie siły wewnętrznej w analizowanym punkcie belki, przykłada się obciążenie
zmienne pk.
4,713
a)
12321
A
B C C B A
5,000 5,000 5,000
b)
12321
A
B C C B A
5,000 5,000
c)
12321
A
B C C B A
5,000 5,000
d)
12321
A
B C C B A
5,000 5,000
e)
12321
A
B C C B A
rys. 8. Konfiguracja obciążeń do wyznaczenia maksymalnych momentów charakter-
rystycznych w przęsłach oraz maksymalnych charakterystycznych sił poprzecznych i reakcji:
a)  obciążenie stałe  qk zawsze we wszystkich przęsłach;
b)  układ obciążeń zmiennych  pk w przęsłach nr 1, 3 i 5 do uzyskania maksymalnych
momentów w przęsłach nr 1 i 3;
c)  układ obciążeń zmiennych  pk w przęsłach nr 2 i 4 do uzyskania maksymalnych
momentów w przęśle nr 2;
d)  układ obciążeń zmiennych  pk w przęsłach nr 1, 2 i 4 do uzyskania minimalnego
momentu nad podporą B oraz maksymalnych sił poprzecznych przy podporze B;
e)  układ obciążeń zmiennych  pk w przęsłach nr 2, 3 i 5 do uzyskania minimalnego
momentu nad podporą C oraz maksymalnych sił poprzecznych przy podporze C;
9
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
6. Charakterystyczne siły wewnętrzne i reakcje
- obliczenie momentów zginających  obwiednie
(ogólna formuła obliczania: M=k�q�leff2)
M M(q) M(p) M(q+p)
1, 3, 5 0,100 5,000 2,12 2,247
M1max 1,652 2,247 3,899
wszystkie 0,078 4,713 2,12 1,652
2, 4 0,079 5,000 2,12 1,775
M2max 0,699 1,775 2,474
wszystkie 0,033 4,713 2,12 0,699
1, 3, 5 0,086 5,000 2,12 1,933
M3max 0,974 1,933 2,907
wszystkie 0,046 4,713 2,12 0,974
1, 2, 4 -0,119 5,000 2,12 -2,674
MBmin -2,224 -2,674 -4,898
wszystkie -0,105 4,713 2,12 -2,224
2, 3, 5 -0,111 5,000 2,12 -2,494
MCmin -1,673 -2,494 -4,167
wszystkie -0,079 4,713 2,12 -1,673
- obliczenie sił poprzecznych  obwiednie (ogólna formuła obliczania: T=k�q�leff)
T T(q) cz. T(q) T(p) cz. T(p) T(q+p)
1, 3, 5 0,447 5,000 2,12 4,738
TA 3,947 4,738 8,685
wszystkie 0,395 4,713 2,12 3,947
1, 2, 4 -0,620 5,000 2,12 -6,572
TBL -6,055 -6,572 -12,627
wszystkie -0,606 4,713 2,12 -6,055
1, 2, 4 0,598 5,000 2,12 6,339
TBP 5,256 6,339 11,595
wszystkie 0,526 4,713 2,12 5,256
2, 3, 5 -0,576 5,000 2,12 -6,106
TCL -4,736 -6,106 -10,842
wszystkie -0,474 4,713 2,12 -4,736
2, 3, 5 0,591 5,000 2,12 6,265
TCP 4,996 6,265 11,261
wszystkie 0,500 4,713 2,12 4,996
10
k
k
STAA
E  q 
OBCI
ŻENIE
OBCI
ŻENIE
ZMIENNE  p 
WSPÓA
CZ.  k
NR-Y PRZ
SEA

DA
. OBL. L.EFF
M(q) częściowy
M(p) częściowy
OBCI
ŻONYCH
k
k
STAA
E  q 
OBCI
ŻENIE
OBCI
ŻENIE
ZMIENNE  p 
WSPÓA
CZ. "k"
NR-Y PRZ
SEA

DA
. OBL. L.EFF
OBCI
ŻONYCH
Przykład nr 2; Wersja: 2005-11-22
- obliczenie maksymalnych reakcji charakterystycznych
(ogólna formuła obliczania: R=k�q�leff)
R R(q) cz. R(q) R(p) cz. R(p) R(q+p)
1, 3, 5 0,447 5,000 2,12 4,738
RA 3,947 4,738 8,685
wszystkie 0,395 4,713 2,12 3,947
1, 2, 4 1,218 5,000 2,12 12,911
RB 11,310 12,911 24,221
wszystkie 1,132 4,713 2,12 11,310
2, 3, 5 1,167 5,000 2,12 12,370
RC 9,732 12,370 22,102
wszystkie 0,974 4,713 2,12 9,732
- obwiednie charakterystycznych sił wewnętrznych
-4,898 -4,898
-4,167 -4,167
M
A B C C B A
2,474 2,474
2,907
3,899 3,899
12,627
11,595
11,261
10,842
8,685
T
12321
B C C B A
A
-8,685
-10,842
-11,261
-11,595
-12,627
rys. 9
11
k
k
STAA
E  q 
OBCI
ŻENIE
OBCI
ŻENIE
ZMIENNE  p 
WSPÓA
CZ. "k"
NR-Y PRZ
SEA

DA
. OBL. L.EFF
OBCI
ŻONYCH