SYGNAA
Jest to proces zmian w czasie pewnej wielkości fizycznej, dlatego tez za modele matematyczne sygnalu przyjmujemy
funkcje których argumentem jest czas t. Wyró\niamy rozne typy sygnałow s. jednowymiarowe(mowy, zmiana
cisnienai względem czasu), dwuwymiarowe (nieruchomy obraz), trójwymiarowe(obraz zmienny w czasie-wideo).
Przetwarzaniu sygnałów z pojeciem sygnalu uto\samiac będziemy jego model matematyczny.
MODEL SYGNAAU LOSOWEGO
Modelem losowym jest rzeczywisty lub zespolony proces stochastyczny (w szczególnym przypadku zmienna losowa),
model ten opisuje rzeczywistość dokładniej ni\ model deterministyczny (m.in. w przeciwieństwie do niego uwzględnia
szumy). W modelu losowym nie jesteśmy jesteśmy stanie określić wartości sygnalu w dowolnej chwili czasu, mo\emy
natomiast określić pewne prawdopodobieństwo wystapienia wartości osiaganych przez sygnał. Przykładowo dla
sygnalu sinusoid. Model deterministyczny: x(t) = Asin(2Ä„ft + Õ) model losowy: x(t) = A¾ sin(2Ä„f¾t + Õ¾ ) + n(t)
SYGNAA LOSOWY NOSNIKEM INFORMACJI A DETERMINISTYCZNY NIE
Z punktu widzenia odbiorcy, sygnał przekazuje informacje jedynie wówczas ma dla odbiorcy charakter losowy, gdy
odbiorca nie jest w stanie przewidzieć zachowania i wartości sygnalu, a jedynie prognnozowac to z pewnym
prawdopodobieństwem. Poniewa\ dla sygnału deterministycznego odbiorca mo\e wyznaczyc jego wartość i parametry
w dowolnej chwili czasu t to tez nie niesie on informacji.
ROZNICE MIEDZY S. CIGAYM DYSKRETNYM I CYFROWYM(sygnał x w funkcji czasu t)
s. ciagÅ‚e SA ciÄ…gÅ‚ymi funkcjami czasu, speÅ‚niajÄ…cymi zaÅ‚o\enie tµR, xµR. S. dyskretne czas jest nie ciÄ…gÅ‚y, nie
wystÄ™pujÄ… one w rzeczywistoÅ›ci speÅ‚niaja zaÅ‚o\enie tµZ, xµR. S. cyfrowe zarówno czas i wartoÅ›c sygnaÅ‚u SA nieciÄ…gÅ‚e
speÅ‚niaja zaÅ‚o\enie tµZ, xµZ (mogÄ… przyjmowac tylko okreÅ›lone wartoÅ›ci)
PRZESTRZEC ZUPEANA
P.Z. nazywamy przestrzen metryczną, w której ka\dy ciąg Cauchyego ma granice i granica ta jest elementem
przestrzeni, oraz w której wszystkie wyniki operacji na jej elementach równie\ naleza do tej przestrzeni. Przykładem
P.Z. z metryką euklidesową jest zbiór liczb rzeczywistych. R: ro(x,y)=|x-y|
PRZESTRZEN UNITARNA
P.U. zwiemy przestrzeń liniowa X, w którj określony jest iloczyn skalarny i unormowaną przez norme ||x||=sqrt(x,x),
xµX. Poniewa\ iloczyn skalarny indukuje norme, a ta z kolei metryke, wiec przestrzeÅ„ unitarna jest zarazem
przestrzeniÄ… metrycznÄ….
PRZESTRZEC HILBERTA
P.H. jest przestrzenią zupełną liniową (w przestrzeni liniowej zdefiniowane SA dwie operacje: dodawanie element.
Przestrzeni i mno\enie element. Przestrzeni przez stałą), unitarną (w P. unitarnej określony jest iloczyn skalarny i jest
ona unormowana przez norme ||x||=sqrt(x,x), xµX.) a skoro unitarnÄ… to równie\ metrycznÄ….
PRSTRZEC L²
T
P.L² jest przestrzeniÄ… metrycznÄ… i zupeÅ‚nÄ…, znormalizowanÄ… (dla przedziaÅ‚u (0,T) norma || x ||= x2(t)dt dla
+"
0
"
przedziaÅ‚u (- ", ") norma || x ||= x2(t)dt , caÅ‚kowalna w kwadracie(ale tylko L²(0,T)) (caÅ‚ka kwadratu jest
+"
- "
skończona), jest ona równie\ P. sygnałow ciągłych.
MOMENT CENTRALNY R-TEGO RZEDU DLA S. DETERMINISTYCZNEGO CIGAEGO
r r
cx = (t - mx)r x(t)dt gdzie mx-moment zwykły r-tego rzędu określony wzorem mx = trx(t)dt
+" +"
R R
JAKIE OPERACJE NA ELEMENTACH P. DEFINIOWANE SA W PRZESTRZENI LINIOWEJ
W przestrzeni liniowej definiowane sa 2 operacje na elementach P. sa to: -dodawanie elementów przestrzeni(+) XxX-
>X -mno\enie elementów P. przez stałą(*) FxX->X; F- sigma ciało zbiór wszystkich liczb R lub Z.
JAKI ZBIÓR ELEMENTÓW P. mo\e stanowić bazę p. (np. X^n). Z ilu elemen. Składa sie baza X^n.
Niech X^n będzie liniową przestrzenią n-wymiar. zbiór elemen. {xi:i=1...n}będący zbiorem liniowo niezale\nym
nazywamy bazÄ… przestrzeni. Z powy\szego prosto wynika \e baza przestrzeni X^n sklada sie z n elemen.
BAZA ORTOGONALNA I NIEORTOGONALNA
Baza O. od bazy N.O. rozni sie tym iz dla bazy O. rozwiazanie układu równań Aą=a jest duzo prostsze faktem i\
macierze A oraz A-Ä… sÄ… w przypadku bazy O. macierz. Jednostkowyi, oraz tym \e dla ka\dego elementu bazy O. norma
jest jednostkowa tj. ||xi||=1 dla i=1,2...n , oraz (xi,xj)=0, i`"j, i,j=1,2...n
WARUNEK ORTOGALNOSCI DLA 2 SYGNAAÓW W P. SYGNAAÓW
Dwa sygnały w przestrzeni sygnałów są O. jezeli ich iloczyn skalarny jest równy zeru czyli
x Ą" y <=> (x, y) = 0 =>|| x + y ||2=|| x ||2 + || y ||2 uogulnienie wzoru Pitagorasa na dowolna przestrzeń unitarną.
ZBIORY ORTOGONALNE ZUPEANE
1 2 2Ä„ 2 2Ä„
1)Trygonometryczny szereg Fouriera- caÅ‚kowany na odcinku L²(0,T) { , cos(n t, sin(n t),...n = 1,2...}
T T T T
T
2Ä„
jn t
1
T
2)zespolony szereg Fouriera - zbiór zupeÅ‚ny w L²(0,T) { e n = Ä…1,Ä…2...} 3)szereg Shannona - zbiór zupeÅ‚ny w
T
n
przestrzeni dla sygnałów dolnoprzepustowych L²(- ", "){ 2 fmSa(2Ä„fm(t - )),...n = Ä…1,Ä…2...} 4)funcje Haara
2 fm
2n +1
5)funkcje Walsha 6) wielomiany Lagrange a L2(-1,1){ Pn(t),...n = 1,2...}
2
NORMA ELEMENTU PRZESTRZENI SYGNAAÓW PODAC DEF.
Norma elementu przestrzeni to odwzorowanie elementu przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych dodatnich plus zero
(|| " ||: x- > R+ *"{0}) . Norma musi spełniac nastepujące aksjomaty:
1) jezeli ||x||=0 => x=k (x jest elementem zerowym przestrzeni)
2) ||Ä…x||=||Ä…||||x||
3) ||x+y||d"||x||+||y||
"
przykÅ‚adowa def: dla przestrzeni L²: || x ||= xi2
"
i=1
PROCEDURA GRAMMA-SCHMIDT A
1) {xi:i=1...n} zb. Nieortog. 2) {yi:i=1...n} zb. Ortogon. 3) {zi:i=1...n} zb. Ortonor. P.G-S. słuzy do sprowadzenia bazy
nieortogonalnej do ortogonalnej. Przebiega ona następująco: 1) mamy baze nieortogonalną {x1...xn} 2) tworzymy na
jej podstawie baze ortogonalna {y1...yn} 3) na podstawie utworzonej bazy ortogonalnej tworzymy baze ortogonalnÄ…
n-1 yn
{z1...zn}.. Procedura ta jest procedurą iteracyjną w której yn = xn - (xk , zk )zk zn =
"
k =1
|| yn ||
CZYM RÓZNI SIE ALGORYTMY WYZNACZANIA DYSKRETNEJ REPREZENTACJI W PRZYPADKU
BAZY ORTOGONALNEJ I NIEORTOGONALNEJ
Przy wyznaczaniu dyskretnej reprezentacji sygnału otrzymujemy układ n skalarnych równań liniowych z
niewiadomymi ąi; układ taki mozna zapisac w postaci macierzowej Aą=a. W przypadku bazy nieortogonalnej jego
zasadniczą wada jest fakt iz nalezy obliczyć wszystkie iloczyny skalarne po obu stronach powyzszgo wyrazenia, oraz
i\ do rozwiaznia rownania Ä…=A-Ä…a wymagane jest przeprowadzenie zmudnej operacji odwracania macierzy A. W
przypadku bazy ortogonalnej wygodnie jest zastosowac odpowiednią część procedury Gramma-Schmidt a w wyniku
której z bazy ortogonalnej tworzona jest baza ortonormalna (czyli unormować ją) co z kolei sprawi iz zarówno macierz
A jak i A-ą będą macierzami jednostkowymi a ostatecznie sprawi iz ą=a i zatem ze ąi=(x,xi) dla i=1...n.
DYSKRETNA REPREZENTACJA SYGNAAÓW W KATEGORII P. SYGNAAÓW
n
Jesli mamy ustaloną bazę {x1,x2...xn} oraz x(t) = aixi (t) to ciąg ą={ą1...ąn} jest dyskretną reprezentacja sygnału
"
i=1
przy danej bazie. Dla sygnału stochastycznego dyskretna reprezentacje mozna traktować jako odwzorowanie tego
sygnału w odpowiedni ciąg zmiennych losowych.
RÓśNICE MIDZY DYSKRETN REPREZENTACJA SYGN. DETERMINIST. I SYG. LOSOWEGO
Dla syg. Losowego dyskretna reprezentacja jest odwzorowniem sygnału nie w zwykły ciag ą={ą1...ąn} lecz w ciąg
odpowiednich zmiennych losowych (tzn. w przestrzen “^n lub “^ ")
TW. O RZUCIE ORTOGONALNYM
Niech X bedzie przestrzenią unitarna a X^n jej n-wymiar. podprzestrzenią rozpiętą na ortogonalnej bazie {xi; i=1...n}.
n
~ ~
Je\eli dla kazdego xµX istnieje jeden i tylko jeden element x " xn okreslony wzorem x = (x, xi)xi taki \e dla
"
i=1
~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
ka\dego x " xn gdzie x `" x zachodzi || x - x ||<|| x - x || oraz wektor µ = x - x Ä„" xn to wówczas x nazywamy nutem
~
ortogonalnym elementu x na przestrzeÅ„ X^n. || x ||2 =|| xn ||2 + || µ ||2
TW. O NUCIE ORTOGONALNYM
TW. o N.O. zapewnia ze aproksymacja sygnałów przestrzeni X przez element podprzestrzeni X^n zostanie
przeprowadzona z mo\liwie najmniejszym błędem inaczej mówiąc rozstrzyga problem umo\liwienia prostego i
efektywnego rozwiÄ…zania zagadnienia najlepszej aproksymacji.
OMÓWIC ZAGADNIENIE NAJLEPSZEJ APROKSYMACJI SYGNAAÓW PRZESTRZENI X PRZEZ
ELEMENT PODPRZESTRZENI X^n
n
~
Element x nie nale\ący do pp. X^n mo\na reprezentować elementem x " X jedynie z pewnym przybli\eniem.
Poszukiwanie najlepszegoprzyblizenia to treśc zagadnienia najlepszej aproksymacji które mo\na sformółowac
następująco: niech X bedzie P. unitarną a X^n jej n-wymiar pp. Rozpiętą na bazie {xi; i=1...n}. Dla danego elementu
n
~ ~
xµX-X^n nale\y znalezć taki element x " X dla którego norma elementu ró\nicowego || x - x || jest najmniejsza
~ ~
n
~ ~ ~ ~
(innymi słowy: dla którego zachodzi nierówność || x - x ||<|| x - x || dla ka\dego x " X ró\nego od x .
n n
~ ~
X^n=spon{x1...xn}, x = xn = Ä…ixi , µ = x - xn = x - Ä…ixi
" "
i=1 i=1
WADY REPREZENTACJI S. Z P. X PRZEZ ELEMENT PP. X^n
1) wiele ró\nych S. mo\e mieć tę sama reprezentację 2) nie wszystkie elementy przestrzeni X są dostatecznie dobrze
aproksymowane - bÅ‚Ä…d Å›r. kwadratowy ||µ|| wynikajacy z najlepszej aproksymacji moze być zaczny 4) reprezentacja
takiego wektora byłby wektor zerowy moc sygnału =0 a to bzdura
KOMBINACJA LINIOWA ELEMENTÓW PRZESTRZENI
n
Niech X bedzie P. liniową nad ciałem F i niech {xi; i=1...n}
"
i =1
Ä…iµF, i=1...n jest nazywany kombinacjÄ… liniowÄ… elementów xi.
ZBIÓR ELEMENTÓW LINIOWO NIEZALEśNYCH
Zbiór elementow {xi; i=1...n} P. liniowej X nad ciałem F nazywamy liniowo niezaleznym, a elementy tego zbioru
'"
n
liniowo niezle\nymi, jeÅ›li: Ä…ixi = 0 => i = 1...n,Ä…i = 0 gdzie k oznacza element zerowy przestrzeni X oraz Ä…iµF,
"
i=1
i=1...n. Liniowa niezale\ność elementów xi oznacza ze \aden z tych elementow nie mo\e być przedstawiony w postaci
kombinacji linowej pozostałych elementów.
DEF. S. OKRESOWEGO
S. nazywamy O. gdy jego wartości chwilowe powtarzaja sie w jednakowych odstepach czasu f(t)=f(t+nT), T`"0 gdzie T
jest okresem po którym występuja powtarzające sie elementy. Najmniejsy O. dodatni jeśli istnieje nazywamy O.
zasadniczym.
ORTOGONALNY, ZUPEANY TRYGONOMETRYCZNY SYGNAA SZEREGU FOURIERA W PRZESTRZ.
L²(0,T)
1 2 2Ä„ 2 2Ä„
Zbiór funkcji{ , cosn t, sin n t : n = 1,2...} jest zbiorem ortonormalnym zupełnym w przestrzeni
T T T T
T
L²(0,T). Ka\dy sygnaÅ‚ x(t) nale\Ä…cy do tej przestrzeni mo\na zatem reprezentować szeregiem Fouriera
1 " 2Ä„ " 2Ä„
x(t) = Ä…0 + Ä…ic cos(i t) + Ä…is sin(i t)
" "
n=1 n=1
T T
T
T T
1 2 2Ä„
Ä…0 = (x, x0) = x(t) dt Ä…ic = (x, xic) = x(t)cos(i t)dt
+" +"
0 0
T T
T
ORTOGONALNY, ZUPEANY ZESPOLONY SYGNAA SZEREGU FOURIERA W PRZESTRZ. L²(0,T)
2Ä„
jn t
1
T
W przestrzeni L²(0,T) zbiorem ortonormalnym jest zbiór funkcji { e : n = 0,Ä…1,Ä…2} Zespolony szereg Fouriera
T
T
" 1
jnÉ 0t
sygnaÅ‚u x(t) nale\Ä…cego do tej przestzeni ma wiec postac x(t) = Xne dt xn = x(t)e- jnÉ0tdt
"
+"
n=- "
0
T
JAK WYZNACZA SIE WSPÓAZYNNIKI FOURIERA DLACZEGO W PRZYPADKU BAZY ORTO
NORMALNEJ WYZNACZENIE ICH JEST AATWIEJSZE
n n
Szereg Fouriera elementu X: x = Ä…ixi tworzymy (" ,xj), j=1...n. (x, xj ) = Ä…i(xi, xj), j = 1...n np dla j=1 (x,xj)=
" "
i=1 i=1
ą1(x1,x1)+ ą2(x2,x1)+...+ ąn(xn,x1) co z kolei prowadzi do układu równań który w postaci macie\owej mo\na zapisać
jako Aą=a zatem ą=A-ąa. W przypadku bazy ortonormalnej zarówno macierz A jak A-ą sa jednakowe co elminuje
konieczność odwracania macierzy i znacznie upraszcza obliczenia.
CZY WIDMO SYGNAAU FOURIERA JEST RZECZYWISTE CZY ZESPOLONE
Widmo sygnalu jest w ogólnym przypadku funkcja zespolona zmiennej f.
PODAĆ DEF FUNKCJI KOELACJI WZAJEMNEJ POMIEDZY DWOMA PROCESAMI
NIESTACJONARNYMI PODAC ZNACZENIE OZNACZEC
Rxy(Ä)=(x,y)=calk(x(t)y(t+ Ä)d Ä)
CZY FUNKCJA KORELACJI WZAJEMNEJ DWUCH PROCESÓW JEST WIELKOŚCIA LOSOW CZY
DETERMINISTYCZN
Funkcja korelacji dwuch procesów jest wielkością deterministyczną
KIEDY FUNKCJA AUTOKORELACJI PROCESU JEST FUNKCJA TYLKO JEDNEGO CZASU
Wtedy gdy uklad jest słabo stacjonarny (stacjonarny w szerszym sensie). Wartość średnia mx procesów słabo
stacjonarnych jest stala afunkcja autokorelacji Rx zale\y tylko od przesuniÄ™cia Ä czyli mx(t1)=mx oraz Rx(t1,t1+
Ä)=Rx(Ä)
WAASCIWOSCI FUNKCJI AUTOKORELACJI RZECZYWISTEGO PROCESU STACJONARNEGO. CZY
FUNK. AUTOKORELACJI JEST WIELKOSCIA DETERMINISTYCZN CZY LOSOWA?
1) Jest funkcj. parzystÄ… R(Ä)=R(-Ä) 2) ma makisimum w zerze |R(Ä)|d"R(0), R(0)= IJ 3) funkcja autokorelacji procesu
jest wielkoscia deterministycznÄ…
JAKIM WZOREM WYRAśA SI TRANSFORMACJA FALKOWA, OMÓWIĆ
T.F jest funkcjÄ… dwóch zmiennych niezale\nych i jest definiowana jako skalar. Wyra\a siÄ™ wzorem W(a,b)=(x,Èa,b) x-
analizowany sygnał. T.F. pozwala na przeniesienie sygnału z układu czas-wartość do układu czas-częstotliwość.
ZASADA NIEOZNACZONOÅšCI
Z.N. w T.F. ma postać nastpującą: poniewa\ ka\da falka odpowiada za pewien obszar płaszczyzny(okno czasowo-
częstotliwościowe), dobrze jest konstruować falki bardzo precyzyjnie okrelające czas i częstotliwość, o małym oknie
czasowo-częstotliwosciowym. W praktyce okazuje sie, iz okno to nie mo\e być nieskończenie małe.z zasady
nieoznaczonoÅ›ci "t "fe"½ WYKRES Zjawisko to powoduje powstanie trójwymiarowych izolinii zamiast punktów.
TRANSFORMACJE CZASOWO-CZSTOTLIWOÅšCIOWE W T.F.
1 t b
Dla rodziny falek: È (t) = È ( - ) . a-wsp. skali, powoduje zmianÄ™ czasu trwania ( rozciagniecie lub
a,b
a a
a
sciaskanie ) falki, b-wsp. przesuniecia, zmienia poło\enie na osi czasu. t/a-przesunięcie w dziedzinie częstotliwości.
b/a-przesunięcie w dziedzinie czasu.
OKNO CZASOWO-CZSTOTLIWOSCIOWE W T.F.
Jest to pewien obszar czasu i częstotliwosci na plaszczyznie, za który odpowiada konkretna falka WYKRES
T. CZASOWO-CZSTOTLIWOSCIOWYM PODDAJE SIE SYGNALY STACJONARNE CZY
NIESTACJONARNE
T.C-C. poddaje się sygnały niestacjonarne.
RÓśNICA MIDZY DYSKRETN A CIGA T.F.
W(a,b)=(x,Èa,b) 1) dla ciagÅ‚ej T.F. a,bµR; a`"0 2) dla dyskretnej T.F. a=2^(-m), b=n*a; m,nµZ.
POJECIE POAOśENIA F. I ROZCIGLIWOŚCI F. W DZIEDZINI C. I C.
Poło\enie falki zale\ne jest od współczynnika przesunięcia b zaś rozciągliwość zale\y od współ. Skali a, we wzorze
1 t b
È (t) = È ( - )
a,b
a a
a
REALIZACJA PROCESU STOCHSTYCZNEGO
Ć Ća,b a
DysponujÄ…c falkowÄ… transformatÄ… Fouriera: È ( f ) = FT{È (t)} È (t) = e- j2Ä„ftÈ (af ) mo\emy okreÅ›lić poÅ‚o\enie i
w
2
1
Ća,b
rozciÄ…gÅ‚ość falki: 1) PoÅ‚o\enie na osi czasu: t = t |È (t) | dt 2) RozciÄ…gÅ‚ość na osi czasu:
+"
Ća,b
||È ||2 R
2 2
1 1
Ća,b Ća,b
"2 = (t - t )2 |È (t) | dt 1) 3)PoÅ‚o\enie na osi czÄ™stotliwoÅ›ci: f = f |È ( f ) | df 4) RozciÄ…gÅ‚ość
t
+" +"
Ća,b Ća,b
||È ||2 R ||È ||2 R
2
1
Ća,b
na osi czÄ™stotliwoÅ›ci: "2f = ( f - f )2 |È ( f ) | df
+"
Ća,b
||È ||2 R
REALIZACJA PROCESU STOCHASTYCZNEGO
P.S.-> x(t,¾ ) |¾ =const = x(t) <-realizacja P.S. Je\eli ustalimy zadanie elementarne ¾µS (przestrzeÅ„ propabilistyczna) to
mamy do czynienia z deterministyczną funkcją czasu, którą nazywamy R.P.S. Wszystkie realizacje razem wzięte
stanowią wartość procesu.
DEF. AUTOKOREL. SYG. DETERMINISTYCZNEGO
Rxx(Ä ) =
+"x(t)x(t +Ä )dÄ
PODOBIECSTWA I RÓśNICE MIDZY ZMIEN. LOSOW A PROCES. STOCHAST.
Podstawowa ró\nica miÄ™dzy Z.L. a P.S. jest taka ze P.S. jest funkcjÄ… dwóch zmiennych x(t,¾ ) , a Z.L. jest funkcja
jednej zmiennej x(¾ ) . Z.L. jest szczególnym przypadkiem P.S., gdy przyjmiemy t=const. P.S.-> x(t,¾ ) |t =const = x(¾ ) <-
Z.L.
PROCES ERGODYCZNY
P. jest E. jeśli na podstawie jednej realizacji procesu z prawdopodobieństwem 1 mozna wyznaczyć wszystkie statystyki
tego P. Oznacza to \e ka\da realizacja jest pełną reprezentacja P. Dla P-ów.E-cznych. Uśrednionych po zbiorze mo\na
zastąpić uśrednieniem po czasie. P.E. jest P. stacjonarnym.
DEF. STATYSTYKI I-RZDU
S. I-rzędu 1)dystrybuanta F(x,t)=Pr{x(t)d"x}, Pr-prawdopodobienstwo F(- ",t)=0, F(t, ",)=1, 2) gęstość prawdopoob.-
okreÅ›la P. wystÄ…pienia danego sygnaÅ‚u f(x,t)=(ÃF(x,t))/( Ãx) 3)wartość Å›rednia ozn. · lub µ lub m(t), m(t)=E{x(t)} jest
to średnia wa\ona prawdopodobieństwa m(t) = xf (x,t)dx
+"
R
DEF. STATYSTYKI II-RZDU
2
à F(x1, x2,t1,t2)
1) dystrybuanta F(x1,x2,t1,t2)=Pr(x(t1)d"x1, x(t2)d"x2) 2)gęst. prawdopod. f (x1, x2,t1,t2) =
Ãx1Ãx2
3)funkcja autokowariancji C(t1,t2)= E{[x(t1)-m(t1)][x(t2)-m(t2)]} 4)wariancja Ã^2= E{[x(t)-m(t)]^2} 5)widmowa
gęstość mocy-rozkład mocy w F. częstotliw. S(f1,f2)=FT{R(t1,t2)}= R(t1,t2)e- j 2Ą ( f 1t1+ f 2t 2)dt1dt2
+"
R^2
GSTOŚĆ PRAWDOPOD. PROCESU JEST WIELKOŚCI ZDETERMINOWAN CZY LOSOW?
WIDMO GSTOÅšCI MOCY PROCESU LOSOW. JEST WIELK. ZDETERMINOW. CZY LOSOW.
DEF. DWUWYMIAROWEJ GST. PRAWDOPOD. PROCESU STOCHASTYCZ.
2
à F(x1, x2,t1,t2)
f (x1, x2,t1,t2) =
Ãx1Ãx2
DEF. DWUWYMIAROWEJ DYSTRYBUANTY PROCESU STOCHASTYCZ.
F(x1,x2,t1,t2)=Pr(x(t1)d"x1, x(t2)d"x2)
WAASNOŚCI FUN. KORELACJI WZAJEMNEJ PROCESÓW LOSOWYCH RZECZYWIS.
Rxy(Ä)=Ryx(-Ä)
Rxy(Ä)=0=> Ryx(Ä)=0
Rxy(Ä)=E{y(t)x(t+Ä)}
JAKIE WARUNKI SPEANIA UKAAD LINIOWY
Jeśli x1,2(t)-pobudzenia oraz a1,2-skalary oraz y(t)=L[x(t)], x(t)->L->y(t) to układ jest: 1)liniowy
y(t)=L{a1x1(t)+a2x2(t)}=a1L{x1(t)}+ a2L{x2(t)} 2)niezmienny w czasie x(t,Ä1)= x(t,Ä2)=> y(t,Ä1)= y(t,Ä2)
"
3)inercyjny y(t) = x(t -Ä…)h(Ä…)
+"
- "
AUTOKOWARIANCJA PROCESU CIGAEGO(OGULNA I DLA P. STOCHASTYCZ.)
1) C(t1,t2)= E{[x(t1)-m(t1)] [x(t2)-m(t2)]} 2) C(t1,t2)=C(Ä), t1=t, t2=t+Ä, C(Ä)= E{[x(t)-m(t)][x(t+Ä)-m(t+Ä)]}
DEF. WIELOWYMIAROW. DYSTRYBUANTY STOCHASTYCZNEGO (OZNACZENIA)
F(x1.....xn)=Pr(x(t1)d"x1......x(tn)d"xn)
W KATEGORIACH ZNANYCH SYGNAAÓW ZDEFINIOWAĆ ZNANY CI WSPÓACZ. KORELACJI
(x, y) (x, y)(y, x)
Ä…xy = inaczejÄ…xy = przy czym 0d"|Ä…xy|d"1, 0-sÄ… kompletnie niepodobne, 1-sÄ… takie same
|| x |||| y ||
|| x |||| y ||
DEF. KORELACJI WZAJEMNEJ MIDZY SYGNAAAMI DETERMINISTYCZ.
N -1
Rxy(Ä)=(x,y)=caÅ‚ka(x(t)y(t+Ä)dÄ), Rxy(n) = x(n)y(n + k)
"
n=0
Rxy(Ä ) Rxy(Ä )
Unormowana F. korelacji wzajemnej: (ro)xy = =
|| x |||| y || Rxx(Ä )Ryy(Ä )
POSTAĆ AUTOKOREL. PROCESU STACJONARNEGO
Poniewa\ dla procesu stacjonarnego f(x1,x2,t,t+Ä)=f(x1,x2,Ä) oraz t1=t, t2=t+Ä, to
R(t1,t2)=caÅ‚kpoR(x1x2f(x1,x2,t1,t2)dx1dx2= caÅ‚kpoR()x1x2f()x1,x2,Ä)dx1dx2=R(Ä)
ZALEśNOŚĆ MIDZY FUNKCJ AUTOKORELAC. PROCESU STACJONARNEGO A JEGO
WIDMOW MOC
S(f1,f2)=FT{e(t1,t2)}, Widmo gęstości mocy jest transformatą Fouriera F.A. sygnału o ograniczonej mocy średniej.
F.A. i widmo gęstości mocy stanowią parę transformat Fouriera w sensie granicznym.
WZAJEMNA WIDMOWA GSTOŚĆ MOCY
"
Sxy = FT{Rxy(Ä )} = Rxy(Ä )e- jwÄ dÄ
+"
- "
DEF. WIDMOWEJ GSTOÅšCI MOCY I JAKIE INFORMACJE O PROCESIE ZAWIERA
Widma gęstości mocy są wielkościami zdeterminowanymi. Widmowa gęstość mocy jest to rozkład mocy w funkcji
częstotliwości. S(f1,f2)=FT{e(t1,t2)}= R(t1,t2)e- j 2Ą ( f 1t1+ f 2t 2)dt1dt2 Zawiera ona informacje o energii niesionej przez
+"
R^2
poszczególne składowe.
CZY WIDMOWA GSTOŚĆ MOCY MOśE PRZYJMOWAĆ UUJEMNE WARTOŚCI
Nie, z def. S(f)e"0 - widmo gęstości mocy jest funkcją nieujemną. Sygnał zawsze niesie pewna energię (a zatem i moc)
wiekszÄ… od zera.
CO POWODUJE śE WIDMOWA GSTOŚĆ MOCY JEST FUNKCJ RZECZYWIST
Widmowa gęstość mocy jest F. czysto rzeczywistą, poniewa\ lmS(f)=0. Z racji tego \e F. autokorelacji sygnałów
rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą, to i widmo gęstości mocy sygnałów rzeczywistych jest równie\ funkcją
rzeczywistÄ….
ZALEśNOŚĆ MIDZY WIDMOW GST. MOCY SYG. NE WE I WY UKAADU LINIOWEGO.
Zakładając \e Syy(f)-na wy, Sxx(f)-na we, i \e H(f)- transmitancja częstotliwościowa
układu:Syy(f)=H(f)H(f)Sxx(f)=|H(f)|^2Sxx(f)
WAAÅšCIWOÅšCI WIDM. GST. MOCY RZECZYWISTEGO PROC. STACJONAR.
1) czysto rzeczywista lmS(f)=0 2)jest parzysta S(f)=S(-f) 3)funkcja nieujemna S(f)e"0
DEF. WART.ÅšREDNIEJ PROCESU I CZY JEST ONA F. CZASU
W.Ś. (oczekiwaną) m(t) nazyw. Nielosową F. czasu, której wartość w punkcie ti jest równa wartości oczekiwanej mi(t)
zmiennej losowej dla kazdej chwili czasu ti; gdy proces jest stacjonarny, to wartość średnia nie zale\y od czasu
m(t)=E{x(t)}=całkpoR(xf(x,t)dx)
DEF. WARIANCJI I CZY JEST F. CZASU
Gdy P. jest stacjonarny to w takim wypadku wariancja procesu nie zale\y od czasu.(Ã^2=E{x^2(t)}). Def. wariancji
Ã^2(t)=E{[x(t)-m(t)]^2}.
PROCES LOSOWY
P.L. (stochastyczny) to model sygnaÅ‚u L. jest on F. dwóch zmiennych - czasu i wyniku losowania. x(t,¾)<-P.L.
PRZEKRÓJ P. STOCHAST. PO CZASIE
P.P.S.P.C. jest jednowymiarowÄ… zmiennÄ… losowÄ….
DLA JAKIEGO PROCESU WARTOŚĆ ŚREDN. NIE JEST F. CZASU
Dla P. stacjonarnego
KIEDY WARIANCJA NIE ZALEśY OD CZASU
Dla P. stacjonarnego
WARIANCJA PROCESU WART. LOSOWA CZY DETERMINISTYCZN
W.P. est wart. deterministy.
KIEDY P. JEST ÅšCIÅšLE STACJONAR. SAABO, N-TEGO RZDU
P. jest Ś.S je\eli przesunięcie punktu zerowego (obserwacji) nie oddziałuje na jego rozkłady prawdopodob. dowolnego
rzędu; dystrybuan. i gęstość nie zale\ą od czau.
P. jest S.S gdy wartość oczekiwana (średia) m(t)=m czyli nie zale\y od czasu, oraz gdy F. autokorelacji jest F. jednej
zmiennej, czyli R(t1,t2)=R(t,t+Ä)=R(Ä)
P.S.n tego rzedu dla ka\dego ciagu t1...tn i kazdego przesuniÄ™cia Ä wartoÅ›ci F. gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa sygnÅ‚u i
sygnaÅ‚u przesuniÄ™tego wzglÄ™dem niego o Ä sÄ… sobie równe czyli: f1...n(x1...n,t1...tn)=f1...n(x1...n,t1-Ä...tn-Ä)
SZUM BIAAY
S.B. jest przykładem S. losowego, który jest bardzo szybko zmienny. Jego F. autokorelacji jest delta Diraca (czyli nie
istniej powiaznie miedzy sąsiednimi w czasie próbkami), a jego widmowa gęstość mocy jest stała w funkcji
częstotliwo. Sygnał ten jest idealnie szerokopasmowy i nie daje sie on wytworzyć w układach fizycznych.
GAUSOWSKI SZUM BIALY
G.S.B. - GWN jest to szum bialy ktorego rozkład prawdopodobieństwa ma kształt krzywej gaussa, ma on równa
energie w całym paśmie częstotliwości.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
,algorytmy przetwarzania sygnałów, opracowanie kolokwium II
biernacki, algorytmy przetwarzania sygnałów, opracowanie zagadnień
przetworniki II opracowane
Podstawy Cyfrowego Przetwarzania Sygnalów
5 wybrane problemy przetwarzania sygnalow radarowych
1f Cyfrowe przetwarzanie sygnałów i obrazówid953
1f Cyfrowe Przetwarzanie sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów test
Przetwarzanie sygnałów sprawko
Lab1 Mikrokontrolery i przetwarzanie sygnałów
3 Przetwarzanie sygnalow
Układy przetwarzania sygnałów
L4 Przetwarzanie sygnałów w dziedzinie częstotliwości
więcej podobnych podstron