Zderzenia Fizyka I (B+C) Wykład XVI: " Układ środka masy " Oddziaływanie dwóch ciał " Zderzenia " Przekrój czynny Układ środka masy Układ izolowany Środek masy Klasyczna definicja położenia środka masy: Izolowany układ wielu ciał: mi ri i R = m 1 m mi 3 i p 3 ! średnia ważona z ri (z wagami wi = mi) p 1 VCM Ruch środka masy: mi=const m 2 CM p d 2 mi dtri d i VCM = R = p 4 dt mi i ł ł m 4 ł układ inercjalny ! miłł VCM = mi vi i i Zasada zachowania pędu: ! P = M VCM = pi i P = pi =
i pęd układu możemy związać z ruchem środka masy A.F.Żarnecki Wykład XVI 1 Układ środka masy Prędkość środka masy: (klasycznie) Układ środka masy Układ środka masy jest w wielu pi P i VCM = = przypadkach najwygodniejszym mi M i układem odniesienia Zawsze możemy tak zmienić układ ! szereg relacji bardzo się upraszcza odniesienia, żeby środek masy spoczywał 1 3 p Zasada zachowania pędu w CMS: 3 p 1 (zmienne w CMS oznaczamy ) CM P = pi = 0 2 i p 2 4 p 4 ogólna definicja układu środka masy słuszna także w przypadku v <" c ! układ środka masy (CMS) A.F.Żarnecki Wykład XVI 2 Układ środka masy Energia kinetyczna układu: Energia układu 2 Transformacja galileusza: mi vi mi |vi + VCM|2 Ek = = 2 2 i i vi = vi + VCM 2 mi VCM mi (vi )2 mi vi VCM = + 2 + 2 2 2 i * v Z zasady zachowania pędu: 3 v3 v* v1 1 mi vi VCM = VCM mi vi = VCM P = 0 M VCM i i Ostatecznie: v2 2 v4 M VCM * v Ek = Ek + 4 v* 2 2 Energia kinetyczna układu jest sumą energii wewnętrznej (Ek) i energii kinetycznej układu jako całości. A.F.Żarnecki Wykład XVI 3 Układ środka masy Całkowity moment pędu względem początku układu Moment pędu układu Transformacja galileusza: L = mi ri vi i ri = ri + RCM = mi RCM + ri VCM + vi vi = vi + VCM łi łł ł = mił RCM VCM + RCM mivi * ł łł v i i 3 v3 v* v1 ł 1 + miri ł VCM + miri vi M i i VCM Z definicji CMS: mivi = miri = 0 v2 ! otrzymujemy: v4 * v 4 v* 2 L = MRCM VCM + L CM Moment pędu układu jest sumą wewnętrznego momentu pędu (L CM) (względem CM) i momentu pędu układu jako całości. A.F.Żarnecki Wykład XVI 4 Układ środka masy Ruch środka masy Pod działaniem sił zewnętrznych: Dla układu izolowanego zw F = Fizw i P =
zmiana pędu układu: środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym dP dpi = prostoliniowym I Zasada Dynamiki dt dt i zw = Fizw + Fij = F i i j II Zasada Dynamiki W oparciu o pojęcie środka masy możemy opisać ruch układu jako całości stosując równania ruchu punktu materialnego. A.F.Żarnecki Wykład XVI 5 Oddziaływanie dwóch ciał Ruch względny Dla układu dwóch ciał zagadnienie ruchu wewnętrznego daje się bardzo uprościć. Względne położenie (np. ciała 2 względem 1): v1 F21 r12 = r2 - r1 VCM Względna prędkość: F12 M dr12 v12 = v2 - v1 = dt v2 Przyspieszenie: III zasada dynamiki: dv12 m2 F21 = - F12 a12 = = a2 - a1 = a2 + a2 dt m1 m1 a1 = - m2 a2 Układ izolowany ! A.F.Żarnecki Wykład XVI 6 Oddziaływanie dwóch ciał Masa zredukowana Przyspieszenie w ruchu względnym: m1 + m2 m1 + m2 F12 a12 = a2 = m1 m1 m2 Możemy sprowadzić równania ruchu do postaci: a12 = F12 r12 ( ) m1 m2 1 1 1 gdzie = - masa zredukowana ( = + ) m1+m2 m1 m2 Problem względnego ruchu dwóch oddziałujących ciał możemy sprowadzić do problemu ruchu jednego ciała o masie w polu siły F12 r12 ( ) Ścisłe w przypadku klasycznym (nierelatywistycznym) dla układu izolowanego. Obowiązuje też w przypadku sił zewnętrznych nadających ciałom to samo przyspieszenie A.F.Żarnecki Wykład XVI 7 Oddziaływanie dwóch ciał Przykład Układ Ziemia-Księżyc mK : mZ H" 1 : 81 H" 0.988 mK Ziemia i Księżyc krążą wokół wspólnego środka masy, który znajduje się ok. 4700 km od środka Ziemi. mK Częstość obiegu jest raza większa niż gdyby Ziemia była nieruchoma (0.6%)
(przy danych masach i odległości Ziemia-Księżyc ; 2 r12 = F (r12) Przymując, że pole grawitacyjne Słońca jest jednorodne na odległościach Ziemia-Księżyc problem ruchu trzech ciał możemy zredukować do dwóch problemów jednociałowych (ruch względny w układzie Ziemia-Księżyc i w układzie Słońce-[Ziemia+Księżyc] ) (RSZ H" 150 000 tys. km. RZK H" 385 tys. km.; mZ : mS H" 1 : 335 000 ) A.F.Żarnecki Wykład XVI 8 Zderzenia Układ środka masy: Zderzenia nie centralne Układ laboratoryjny: V 2 Ś2 V2 V 2 V =0 2 Ś b 2 b V1 Ś1 V Ś 1 1 y y V 1 V 1 x x Zasada zachowania pędu: P = 0 1 = 2 Skomplikowane wyrażenia na prędkości końcowe w funkcji np. kąta rozproszenia 1. V1 V1 m2 = = V2 V2 m1 Aatwiej jeśli m1 = m2 A.F.Żarnecki Wykład XVI 9 Zderzenia Zderzenia sprężyste m1 Układ środka masy: Zasada zachowania energii: V2 = V1 m2 2 2 2 2 m1V1 m2V2 m1V1 m2V2 + = + V 2 2 2 2 2 Ś2 V2 m2 2 m2 2 1 1 m1 + V1 = m1 + V1 b m2 m2 V1 Ś1 ! V1 = V1 V2 = V2 y V 1 Niezależnie od mas zderzających się ciał, x wartości ich prędkości przed i po zderzeniu sprężystym są takie same. W układzie środka masy ! A.F.Żarnecki Wykład XVI 10 Zderzenia m1 = m2 Układ laboratoryjny: Układ środka masy: V 1 V V 1 2 b=R b=R V = 0 2 V V 2 2 b=2R VCM b=2R b=0 b=0 b=0 b=0 b=2R b=2R V V 1 1 V =0 CM b=R b=R A.F.Żarnecki Wykład XVI 11 Zderzenia m1 < m2 Układ środka masy: Układ laboratoryjny V V V 1 2 1 V =0 2 b=R b=R V V 2 2 b=2R b=2R b=0 b=0 b=0 b=0 VCM b=2R b=2R V V 1 1 VCM =0 b=R b=R 1 1 Dla m1 = m2 ! v1 = 2 v2 VCM = V1 2 3 A.F.Żarnecki Wykład XVI 12 Zderzenia m1 > m2 Układ środka masy: Układ laboratoryjny: V V V V =0 1 b=R 2 1 b=R 2 V V 2 2 b=2R b=2R VCM b=0 b=0 b=0 b=0 b=2R b=2R V V 1 1 b=R b=R VCM =0 1 2 Dla m1 = 2 m2 ! v1 = v2 VCM = V1 2 3 A.F.Żarnecki Wykład XVI 13 Zderzenia m1 > m2 Układ laboratoryjny: Związek między prędkościami: m1 VCM = v2 = V1 V1 V =0 2 m1 + m2 m2 m2 v1 = v2 = V1 m1 m1 + m2 V 2 V * 2 Maksymalny kąt rozproszenia pocisku : VCM v1 m2 max sin 1 = = Śmax 1 VCM m1 V * 1 V 1 Dla tarczy ograniczenie nie zależy od stosunku mas: Ą 0 < 2 < 2 A.F.Żarnecki Wykład XVI 14 Przekrój czynny Definicja klasyczna Zderzenie ciał makroskopowych zajdzie, jeśli parametr zderzenia b < bmax = r1 + r2 Jednak w przypadku zderzeń obiektów mikroskopowych (np. rozpraszanie cząstek ą na jądrach złota) nie jesteśmy w stanie kontrolować parametru zderzenia. ! możemy jedynie postawić pytanie o prawdopodobieństwo zderzenia prawdopodobieństwo reakcji możemy wyrazić poprzez całkowity przekrój czynny - A.F.Żarnecki Wykład XVI 15 Przekrój czynny Wiązka cząstek padająca na tarczę o grubości dx i Definicja klasyczna gęstości n centr rozproszenia na jednostkę objętości. Pradopodobieństwo, że cząstka wiązki ulegnie rozproszeniu: "S p = S gdzie "S - przesłonięta powierzchnia tarczy W przybliżeniu "S S (dx małe): "S = n S dx p = n dx !
W ujęciu klasycznym (zderzenia sztywnych kul) = Ą b2 = Ą r1 + r2 ( )2 max powierzchnia oddziaływania na element tarczy A.F.Żarnecki Wykład XVI 16 Przekrój czynny W przypadku gdy cząstki mogą oddziaływac na odległość całkowity przekrój czynny może być większy niż przekrój geometryczny Dla oddziaływań grawitacyjnych i kulombowskich (pojedyńczych ładunków) " (zasięg oddziaływań jest nieskończony - zawsze mamy niezerowe odchylenie) ogromna większość oddziaływań to jednak mało ciekawe rozpraszanie elastyczne ! wprowadzamy niezależnie przekroje czynne na konkretne procesy " anihilacja e+e- +-: e+e-+- <" 20nb dla wiązek o energii 1 GeV " silne oddziaływanie proton-proton: 2 pp <" 50 mb H" Ą 2 0.6310-15 m rp <" 10-15 m Jednostką przekroju czynnego w fizyce jądrowej i w fizyce cząstek elementarnych jest 1 barn: 1b = 10-28 m2 A.F.Żarnecki Wykład XVI 17 Przekrój czynny Przykład Przekrój czynny na trafienie rakietą w Księżyc W pobliżu Księżyca rakieta (już bez napędu) porusza się po hiperboli. 2 m v " Prędkość rakiety daleko od Księżyca: v " ! E = , L = m b v " 2 Maksymalny parametr zderzenia zapewniający zderzenie z Księżycem: bmax Z zasady zachowania energii (rakieta zawraca w r = RK): 2 2 m v " L2 b2 v " GMm max e E = = Epff(RK) = + Ep(RK) = - 2 2 2 2 m RK 2 RK RK GM 2 2 ! = Ąb2 = ĄRK 1 + ĄRK v " "
max 2 Rv " A.F.Żarnecki Wykład XVI 18 Przekrój czynny Różniczkowy przekrój czynny Gdy chcemy dokładniej opisać rozpraszanie cząstek często posługu- jemy się różniczkowym przekrojem czynnym. Opisuje on prawdopodobieństwo rozproszenia (albo innej reakcji) przy określonej wartości parametru (lub Ś Ś0 parametrów) opisujących ten proces. Prawdopodobieństwo rozproszenia pod kątem : dx d d Ś p( 0 < <0 + d) = n dx d d A.F.Żarnecki Wykład XVI 19