CPS  Filtry Cyfrowe
filtry IIR - Wykład
Filtry o Nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI
(IIR)
Filtr IIR jest jednym z rodzajów filtrów cyfrowych, który
w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem
rekursywnym.
Skrót IIR (ang. Infinite Impulse Response) oznacza
nieskończoną odpowiedz
impulsowÄ… (w polskiej
literaturze NOI).
Znaczy to tyle, że reakcja na pobudzenie o skończonym
czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa.
Jest to efektem występowania pętli sprzężenia
zwrotnego widocznej na schemacie blokowym
Filtr NOI (IIR)
Przykład struktury typowego filtru NOI
Na schemacie moduły z- 1 oznaczają opóz
nienie sygnału o
jedną próbkę, natomiast a oraz bi są współczynnikami filtra.
i
Filtr NOI (IIR)
Przetwarzanie przez Filtr NOI (IIR)
Przetwarzanie przez Filtr NOI (IIR)
Przetwarzanie przez Filtr NOI (IIR)
Filtry NOI (IIR)
Filtry cyfrowe NOI jest opisany równaniem rekursywnym
Q
P
y[n] = bk x[n - k]- ak y[n - k]
" "
k =0 k =1
y[n] = b0x[n] + b1x[n -1]+ b2x[n - 2]+ ...- a1y[n -1]- a2 y[n - 2]-...
Transmitancja Filtru NOI
P
bk z-k
"
Y (z) b0 + b1z-1 + b2z-2 +....
k =0
H (z) = = =
M
X (z)
1+ a1z-1 + a2z-2 + ...
1+ ak z-k
"
k =1
Filtry NOI (IIR)  charakterystyki częstotliwościowe
Filtry NOI (IIR)  charakterystyki częstotliwościowe
Filtry NOI (IIR) - Zalety i wady
Ze względu na dużą elastyczność w kształtowaniu przebiegu funkcji za
pomocą ilorazu wielomianów, znacznie łatwiej uzyskać pożądaną
charakterystykę używając filtru IIR niskiego rzędu niż filtru FIR.
Wynikają z tego dwie podstawowe zalety filtrów IIR w porównaniu do FIR:
Niska złożoność obliczeniowa
Niewielkie zapotrzebowanie na pamięć operacyjną.
Te zalety spowodowały duże zainteresowanie filtrami IIR i burzliwy rozwój
teorii ich projektowania w latach 70. XXw, które przypadają na początki
rozwoju technik CPS, gdy nie były dostępne procesory o odpowiedniej mocy.
Filtry NOI
Do wad filtrów IIR należy zaliczyć:
Rekursywność filtru wprowadza potencjalne zagrożenie utraty
stabilności (odpowiedz
filtru w sposób niekontrolowany narasta do
nieskończoności); niestabilność może mieć miejsce wtedy, gdy
bieguny transmitancji (miejsca zerowe wielomianu w mianowniku)
znajdą się poza okręgiem jednostkowym
Projektowanie filtrów IIR jest znacznie trudniejsze niż w przypadku
filtrów FIR (nie tylko ze względu na dodatkowy warunek zapewnienia
stabilności)
Filtry IIR są znacznie bardziej wrażliwe na błędy zaokrągleń:
zaokrąglenia wartości współczynników mogą znacząco zmienić
charakterystykę, zaokrąglenia wartości sygnału i wyników pośrednich
wprowadzają szum, który może się akumulować
Nie da się ich zaimplementować jako filtrów o liniowej fazie, czyli
takich, które wprowadzają takie samo opóz
nienie dla wszystkich
składowych częstotliwościowych przepuszczanego sygnału.
Filtry NOI
Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
wszystkie zera wielomianu charakterystycznego
leżą wewnątrz koła jednostkowego, tzn.
P P
M (z) = zP + ak zP-k = 1+ ak z-k
" "
k =1 k =1
leżą wewnątrz koła jednostkowego, tzn.
zk <1
dla k =1,2,..., P
Filtry NOI (IIR)
Dzięki mniejszej liczbie operacji filtry NOI mogą być znacznie
szybsze.
Ale ponieważ wprowadzenie sprzężenia zwrotnego może
skutkować utratą stabilności przy projektowaniu filtrów NOI musi
towarzyszyć szczegółowa analiza stabilności układu.
Mając daną funkcje transmitancji H(z) trzeba określić położenie
wszystkich biegunów.
Generalnie analiza filtrów typu NOI jest znacznie bardziej
złożona niż w przypadku filtrów SOI.
Podobnie jak to ma miejsce w przypadku filtrów SOI także konstrukcja
filtrów NOI może być upraszczana przy uwzględnianiu liniowości i
symetrii przetwarzania.
Filtry NOI (IIR)
Na rysunku przedstawiono typową strukturę filtru NOI 3-rzędu oraz
taki sam filtr przy zmniejszeniu liczby członów opóz
niajÄ…cych o
połowę.
Projektowanie Filtru NOI (IIR)
Rozpatrzmy przykład projektu filtru przy wykorzystaniu programu
Matlab.
Przyjmijmy, że mamy sygnał użyteczny o amplitudzie 50mV i
częstotliwości 10Hz zakłócony przez sygnał o częstotliwości sieciowej
50Hz i amplitudzie 15mV oraz szum o amplitudzie 10mV.
Próbkowanie wykonano z częstotliwością 1kHz, liczba próbek 400.
Zadanie jest następujące  zaprojektować filtr NOI tak, aby:
" Zniekształcenia sygnału użytecznego w paśmie przepustowym były
mniejsze niż 0.1 dB Vpp (odpowiedni dobór współczynnika rp w
skrypcie Matlaba)
" Tłumienie w paśmie zaporowym wynosiło co najmniej 40dB (dobór
współczynnika rs )
Projektowanie Filtru NOI (IIR)
Do tego celu zastosowano filtr eliptyczny.
Do wyznaczenia wektorów A i B współczynników filtru użyto polecenia
[B,A] = ellip(nf,rp,rs,fzn,'low').
Parametrami funkcji sÄ…:
-rzÄ…d filtru nf,
-poziom zafalowań w paśmie przepustowym rp,
-tłumienie w paśmie zaporowym rs,
-częstotliwość odcięcia fzn
-oznaczenie typu filtru.
Z przeprowadzonych badań wynika, że optymalny rząd filtru to 5.
Równanie filtru można zapisać następująco:
y[n] = b0x[n] + b1x[n -1]+ b2x[n - 2]+ b3x[n - 3]+ b4x[n - 4]+ b5x[n - 5]
- a1y[n -1]- a2 y[n - 2]- a3y[n - 3] - a4 y[n - 4] - a5y[n - 5]
Projektowanie Filtru NOI (IIR)
Otrzymane współczynniki filtru wynoszą:
A = [1,0000 -4,7646 9,1057 -8,7239 4,1898 -0,8069]
B = [0,0035 -0,0100 0,0066 0,0066 -0,0100 0,0035]
Bieguny filtru:
S = [-1,0000 0,9633 + 0,2684i 0,9633  0,2684i
0,9831 + 0,1833i 0,9831  0,1833i]
znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego. Filtr jest stabilny.
Zera filtru są następujące:
Z = [ 0,9779 + 0,1315i 0,9779  0,1315i 0,9449 + 0,0946i
0,9449  0,0946i 0,9190].
Symulacje
pracy filtru
oraz jego
charakteryst
yki
Projektowanie filtrów cyfrowych IIR
" Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej
- pierwszy sposób, określany jako Metoda 1 wymaga wyznaczenia
zarówno odwrotnego przekształcenia Laplace'a, jak i przekształcenie Z.
- drugi sposób, określany jako Metoda 2 wykorzystuje bezpośrednie
podstawienie, aby uniknąć konieczności stosowania odwrotnego
przekształcenia Laplace'a i przekształcenia Z za cenę konieczności
dokonania rozkładu na ułamki proste wielomianów
" Metoda transformacji biliniowej
- polega na aproksymacji analogowego prototypu filtru opisanego ciągłą
transformatÄ… Laplace ' a H (s) za pomocÄ… filtru dyskretne g majÄ…cego
c
funkcjÄ™ transmitancji H (z)
Przykłady-realizacja filtrów cyfrowych
Znając otrzymane współczynniki filtru, zgodnie z równaniem:
y[n] = b0x[n]+b1x[n -1]+b2x[n - 2]+b3x[n -3]+b4x[n - 4]+b5x[n -5]
-a1y[n -1]- a2y[n - 2]- a3y[n -3]- a4y[n - 4]- a5y[n -5]
należy napisać w Asemblerze lub innym języku programowania
mikroprocesora dwie pętle
-jedną do mnożenia sygnału wejściowego przez wektor
współczynników B,
-drugą do mnożenia poprzednich próbek sygnału wyjściowego przez
wektor współczynników A.
Filtr NOI
Wyniki tych mnożeń należy zsumować i zapisać jako bieżącą próbkę sygnału
wyjściowego  algorytm postępowania ilustruje rysunek:
Filtr można też tworzyć sprzętowo wykorzystując typowy procesor
sygnałowy.
Wiele procesorów sygnałowych jest ma jednostkę arytmetyczno-
logicznÄ… MAC (multiplier/accumulator) optymalizowana pod kÄ…tem
realizacji filtrów.
Producenci procesorów sygnałowych oferują gotowe algorytmy do
projektowania filtrów.
Można tworzyć filtr cyfrowy wykorzystując gotowe układy
monolityczne.
Przykładem może być filtr cyfrowy typ GC2011A firmy Texas
Instruments.
Filtry specjalne
Filtry cyfrowe mogą spełniać złożone funkcje przetwarzania sygnałów
nie ograniczone tylko do pasmowego blokowania lub przepuszczania
sygnałów o określonej częstotliwości.
Przykładem może być filtr grzebieniowy dość powszechnie ostatnio
wykorzystywany w telewizji cyfrowej.
Linie spektralne typowego sygnału telewizyjnego
Filtry specjalne
Sposób realizacji takiego filtru przedstawiono na poniższym rysunek.
-M
Filtr grzebieniowy składa się z elementu opóz
niajÄ…cego z
(albo szeregu elementów z-1).
Tego typu filtr jest na przykład realizowany przez firmę Sony w postaci
gotowego podzespołu CXD2073s.
Porównanie filtrów 5-rzedu typu SOI i NOI
Na rysunku przedstawiono porównanie charakterystyk filtrów typu SOI i
NOI. Filtry SOI charakteryzują się prostotą i bardzo dobrą liniowością fazy.
Stosuje się je więc przede wszystkim tam, gdzie zależy nam na nie
wnoszeniu zniekształceń fazowych.
Filtry typu NOI pozwalają osiągać znacznie lepsze parametry (lub te same
parametry przy znacznie mniejszej liczbie mnożeń, a więc mniejszym
obciążeniu pamięci procesora). Dzieje się to kosztem wprowadzania
błędów fazowych, a także zagrożeniem utraty stabilności (tego zagrożenia
nie mają filtry SOI, brak sprzężenia zwrotnego)
Filtry cyfrowe a filtry analogowe
Porównanie filtrów analogowych i cyfrowych.
W tym celu posłużmy się analizą porównawczą:
dwa filtry dolnoprzepustowe 1 kHz o zbliżonym poziomie skomplikowania.
Jako filtru analogowego użyto filtru Czebyszewa szóstego rzędu.
Filtr taki składa się z trzech wzmacniaczy operacyjnych, dwunastu
rezystorów i sześciu kondensatorów.
Jako filtru cyfrowego użyto filtru z częstotliwością próbkowania 10 kHz z
oknem o 128 próbkach.
Wyniki porównania przedstawia rysunek poniżej.
Porównanie filtru analogowego i cyfrowego:
charakterystyka częstotliwościowa i odpowiedz
na skok jednostkowy
Porównanie podstawowych charakterystyk obu filtrów w sposób nie
budzący wątpliwości wskazuje na przewagę filtrów cyfrowych.
W paśmie przenoszenia mają one płaska charakterystykę
(analogowe z zafalowaniami),
spadek o 100 dB jest między 1kHz a 2 KHz,
podczas gdy filtr analogowy taki spadek ma dopiero dla 5 kHz.
Odpowiedz
na skok jednostkowy wskazuje na bardzo dobre właściwości
dynamiczne i minimalne zniekształcenia fazowe w porównaniu z filtrami
analogowymi.
Czy wobec tego filtry analogowe mają jakieś przewagi w porównaniu z
cyfrowymi?
Skomplikowanie układu i cena są parametrami względnymi, ponieważ cena
mikroprocesora może być mniejsza niż kilku wzmacniaczy operacyjnych.
Filtry analogowe według analizy przedstawionej w pracy mają jednak kilka
istotnych zalet.
Pierwsza z nich to szybkość  zwykły wzmacniacz operacyjny bez
problemu będzie pracował przy częstotliwościach do 1 MHz podczas gdy
próbkowanie powyżej 100 kHz wymaga specjalnego sprzętu.
Także dynamika filtru analogowego jest bez porównania lepsza.
Biorąc pod uwagę dynamikę amplitudową, przeciętny wzmacniacz
operacyjny bez problemu pracuje w zakresie 2µV ÷ 20 V tj. z dynamikÄ…
107 dB.
BiorÄ…c pod uwagÄ™ szumy filtr z przetwornikiem 12-bitowym zapewnia
dynamikÄ™ tylko 14 000.
Także dynamika częstotliwościowa filtru analogowego jest znacznie lepsza
 bez problemu może pracować w paÅ›mie 0,01 Hz ÷ 100 kHz , a wiÄ™c
siedem dekad.
Tymczasem filtr cyfrowy wymagałby przy częstotliwości próbkowania 200
kHz operowania na 20 milionach próbek żeby mieć rozdzielczość 0,01 Hz.
Tak więc, oba rodzaje filtrów mają swoje miejsce w technice w zależności
od zastosowania.
Zadanie 1 NOI
Dla filtry NOI wyznacz sumę pierwszych 4 próbek ciągu wyjściowego
x[n] = [ 3, 0, 1] Parametry filtru b=[1, 2 , 1] a=[1,  3, 4]
Równanie
y[n] = b0x[n]+b1x[n-1]+b2x[n-2]-a1y[n-1]-a2y[n-2]
filtru
y[n]
x[n]
b0
Parametry filtru
b =3
0
-1
-1
z
z
b =0
1
b =2
2
b1
-a1
a =1
0
a =-3
-1
-1 1
z
z
a =4
2
b2
-a2
Zadanie 1 NOI
Rozwiązanie zgodnie z równaniem rekurencyjnym filtru]
x[n]=[ 3, 0, 1] oznacza x[0]=3, x[1]=0, x[2]=2
Parametry filtru b =3, b =0, b =2, a =1, a =-3, a =4
0 1 2 0 1 2
y[0]=b ·x[0]+ b ·x[-1]+ b x[-2] - a ·y[-1]  a ·y[-2]
0 1 2 1 2
= 3·3 + 0·0 + 2·0 + 3·0 - 4·0 = 9
y[1]=b ·x[1]+ b ·x[0]+ b x[-1] - a ·y[0]  a ·y[-1]
0 1 2 1 2
= 3·0 + 0·3 + 2·0 + 3·9 - 4·0 = 27
y[2]=b ·x[2]+ b ·x[1]+ b x[0] - a ·y[1]  a ·y[0]
0 1 2 1 2
= 3·1 + 0·0 + 2·3 + 3·27 - 4·9 = 90  36 = 54
y[3]=b ·x[3]+ b ·x[2]+ b x[1] - a ·y[2]  a ·y[1]
0 1 2 1 2
= 3·0 + 0·1 + 2·0 + 3·54 - 4·27 = 162  108 =54
SUMA PRÓBEK odpowiedzi y[n]=9+27+54+54 = 144
Zadanie 1 NOI
Transmitancja filtru dla b =3, b =0, b =2, a =1, a =-3, a =4
0 1 2 0 1 2
P
bk z-k
"
b0 + b1z-1 + b2z-2 3 + 2z-2
k =0
H (z) = = =
M
1+ a1z-1 + a2z-2 1- 3z-1 + 4z-2
1+ ak z-k
"
k =1
Zadanie 3 NOI
Dany jest filtr IIR y[n]=x[n]+x[n-1]+0.5y[n-1]
a) narysuj schemat filtru
b) podaj transmitancjÄ™ tego filtru
c) Podaj odpowiedz
impulsowÄ…
d) Podaj odpowiedz
y[3] na wymuszenie x[n]=[2 1]
e) Podaj odpowiedz
y[3] na wymuszenie x[n]=[1 0  2 ]
f) wyznacz charakterystykÄ™ widmowÄ… H, amplitudowÄ… A, fazowÄ… F
Transmitancja filtru dla b =1, b =1, b =0, a =1, a =-0.5, a =0
0 1 2 0 1 2
Zadanie 3 NOI
Dany jest filtr  tylko IIR y[n]=x[n]+0.5y[n-1]-0.5y[n-2]
a) narysuj schemat filtru
b) podaj transmitancjÄ™ tego filtru
c) Podaj odpowiedz
impulsowÄ…
e) Podaj odpowiedz
y[3] na wymuszenie x[n]=[4 2 1 ]
f) wyznacz charakterystykÄ™ widmowÄ… H, amplitudowÄ… A, fazowÄ… F
Transmitancja filtru dla b =1, b =0, b =0, a =1, a =-0.5, a =0.5
0 1 2 0 1 2
Zadanie 2 NOI
Dany jest filtr IIR y[n]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]+0.5y[n-1]+y[n-2]
a) narysuj schemat filtru
b) podaj transmitancjÄ™ tego filtru
c) Podaj odpowiedz
impulsowÄ…
e) Podaj odpowiedz
na wymuszenie x[n]=[2 0 1 ]
f) wyznacz charakterystykÄ™ widmowÄ… H, amplitudowÄ… A, fazowÄ… F
Transmitancja filtru dla b =1, b =2, b =1, a =1, a =-0.5, a =-1
0 1 2 0 1 2