Ciągłość funkcji
5 listopada 2013
Ciągłość funkcji
ciągłość - zaufanie
1
Dlaczego zbliżając się do łuku drogi nie hamujemy
wiedząc, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym
kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej  ciągnie się
droga .
2
Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie
mamy pewności czy dalej będzie na czym stanąć.
Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporządkowuje
wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy  nagłych
zmian wartości funkcji, w drugim takie mogą być.
Ciągłość funkcji
ciągłość - zaufanie
1
Dlaczego zbliżając się do łuku drogi nie hamujemy
wiedząc, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym
kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej  ciągnie się
droga .
2
Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie
mamy pewności czy dalej będzie na czym stanąć.
Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporządkowuje
wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy  nagłych
zmian wartości funkcji, w drugim takie mogą być.
Ciągłość funkcji
ciągłość - zaufanie
1
Dlaczego zbliżając się do łuku drogi nie hamujemy
wiedząc, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym
kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej  ciągnie się
droga .
2
Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie
mamy pewności czy dalej będzie na czym stanąć.
Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporządkowuje
wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy  nagłych
zmian wartości funkcji, w drugim takie mogą być.
Ciągłość funkcji
ciągłość - zaufanie
1
Dlaczego zbliżając się do łuku drogi nie hamujemy
wiedząc, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym
kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej  ciągnie się
droga .
2
Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie
mamy pewności czy dalej będzie na czym stanąć.
Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporządkowuje
wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy  nagłych
zmian wartości funkcji, w drugim takie mogą być.
Ciągłość funkcji
ciągłość - zaufanie
1
Dlaczego zbliżając się do łuku drogi nie hamujemy
wiedząc, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym
kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej  ciągnie się
droga .
2
Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie
mamy pewności czy dalej będzie na czym stanąć.
Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporządkowuje
wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy  nagłych
zmian wartości funkcji, w drugim takie mogą być.
Ciągłość funkcji
Definicja ciągłości w punkcie.
Definicja
Funkcję f : D x - f (x) " R nazywamy ciągłą w punkcie
x0 " D jeżeli
" >0"´>0 : "x"D|x - x0| < ´ Ò! |f (x) - f (x0)| < .
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości.
Niech dziedziną funkcji będzie droga po której poruszamy się
samochodem, a wartością wysokość powierzchni drogi.
Funkcja ciągła to taka która nie ma  nagłych zmian wartości.
Jak interpretować nagłą zmianę wartości.
Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm
(krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako  nagłej.
Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest
akceptowalny.
Czym zatem jest i ´?
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości.
Niech dziedziną funkcji będzie droga po której poruszamy się
samochodem, a wartością wysokość powierzchni drogi.
Funkcja ciągła to taka która nie ma  nagłych zmian wartości.
Jak interpretować nagłą zmianę wartości.
Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm
(krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako  nagłej.
Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest
akceptowalny.
Czym zatem jest i ´?
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości.
Niech dziedziną funkcji będzie droga po której poruszamy się
samochodem, a wartością wysokość powierzchni drogi.
Funkcja ciągła to taka która nie ma  nagłych zmian wartości.
Jak interpretować nagłą zmianę wartości.
Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm
(krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako  nagłej.
Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest
akceptowalny.
Czym zatem jest i ´?
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości.
Niech dziedziną funkcji będzie droga po której poruszamy się
samochodem, a wartością wysokość powierzchni drogi.
Funkcja ciągła to taka która nie ma  nagłych zmian wartości.
Jak interpretować nagłą zmianę wartości.
Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm
(krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako  nagłej.
Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest
akceptowalny.
Czym zatem jest i ´?
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości.
Niech dziedziną funkcji będzie droga po której poruszamy się
samochodem, a wartością wysokość powierzchni drogi.
Funkcja ciągła to taka która nie ma  nagłych zmian wartości.
Jak interpretować nagłą zmianę wartości.
Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm
(krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako  nagłej.
Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest
akceptowalny.
Czym zatem jest i ´?
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości.
Niech dziedziną funkcji będzie droga po której poruszamy się
samochodem, a wartością wysokość powierzchni drogi.
Funkcja ciągła to taka która nie ma  nagłych zmian wartości.
Jak interpretować nagłą zmianę wartości.
Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm
(krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako  nagłej.
Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest
akceptowalny.
Czym zatem jest i ´?
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości - cd.
Przyjmijmy = 15cm.
1
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na krawężnik podczas
parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy
2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości
bÄ™dzie mniejszy niż 13cm. Tym samym ´ = 2.
2
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na próg spowalniający
(zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że
po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu,
przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym
´ = 20cm.
3
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na
autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości
około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.Tym
samym ´ = 1m. a prawdopodobnie może być wiÄ™ksza.
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości - cd.
Przyjmijmy = 15cm.
1
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na krawężnik podczas
parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy
2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości
bÄ™dzie mniejszy niż 13cm. Tym samym ´ = 2.
2
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na próg spowalniający
(zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że
po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu,
przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym
´ = 20cm.
3
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na
autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości
około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.Tym
samym ´ = 1m. a prawdopodobnie może być wiÄ™ksza.
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości - cd.
Przyjmijmy = 15cm.
1
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na krawężnik podczas
parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy
2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości
bÄ™dzie mniejszy niż 13cm. Tym samym ´ = 2.
2
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na próg spowalniający
(zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że
po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu,
przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym
´ = 20cm.
3
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na
autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości
około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.Tym
samym ´ = 1m. a prawdopodobnie może być wiÄ™ksza.
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości - cd.
Przyjmijmy = 15cm.
1
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na krawężnik podczas
parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy
2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości
bÄ™dzie mniejszy niż 13cm. Tym samym ´ = 2.
2
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na próg spowalniający
(zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że
po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu,
przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym
´ = 20cm.
3
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na
autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości
około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.Tym
samym ´ = 1m. a prawdopodobnie może być wiÄ™ksza.
Ciągłość funkcji
Interpretacja pojęcia ciągłości - cd.
Przyjmijmy = 15cm.
1
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na krawężnik podczas
parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy
2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości
bÄ™dzie mniejszy niż 13cm. Tym samym ´ = 2.
2
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze
odpowiadający najeżdżaniu na próg spowalniający
(zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że
po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu,
przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym
´ = 20cm.
3
Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na
autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości
około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.Tym
samym ´ = 1m. a prawdopodobnie może być wiÄ™ksza.
Ciągłość funkcji
Definicja ciągłości funkcji.
Zwróćmy uwagÄ™, że w każdym punkcie można byÅ‚o dobrać ´ do
ustalonego . Jeżeli zmniejszymy , potrafimy stosownie
zmniejszyć ´.
Definicja
Funkcję nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
dziedziny.
Czy ta funkcja może być nieciągła? Tak, np. przy idealnie
pionowym krawężniku.
1
Czy ciągła jest funkcja f : R \ {0} x - " R \ {0}.
x
Ciągłość funkcji
Definicja ciągłości funkcji.
Zwróćmy uwagÄ™, że w każdym punkcie można byÅ‚o dobrać ´ do
ustalonego . Jeżeli zmniejszymy , potrafimy stosownie
zmniejszyć ´.
Definicja
Funkcję nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
dziedziny.
Czy ta funkcja może być nieciągła? Tak, np. przy idealnie
pionowym krawężniku.
1
Czy ciągła jest funkcja f : R \ {0} x - " R \ {0}.
x
Ciągłość funkcji
Definicja ciągłości funkcji.
Zwróćmy uwagÄ™, że w każdym punkcie można byÅ‚o dobrać ´ do
ustalonego . Jeżeli zmniejszymy , potrafimy stosownie
zmniejszyć ´.
Definicja
Funkcję nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
dziedziny.
Czy ta funkcja może być nieciągła? Tak, np. przy idealnie
pionowym krawężniku.
1
Czy ciągła jest funkcja f : R \ {0} x - " R \ {0}.
x
Ciągłość funkcji
Definicja ciągłości funkcji.
Zwróćmy uwagÄ™, że w każdym punkcie można byÅ‚o dobrać ´ do
ustalonego . Jeżeli zmniejszymy , potrafimy stosownie
zmniejszyć ´.
Definicja
Funkcję nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
dziedziny.
Czy ta funkcja może być nieciągła? Tak, np. przy idealnie
pionowym krawężniku.
1
Czy ciągła jest funkcja f : R \ {0} x - " R \ {0}.
x
Ciągłość funkcji
Definicja ciągłości funkcji.
Zwróćmy uwagÄ™, że w każdym punkcie można byÅ‚o dobrać ´ do
ustalonego . Jeżeli zmniejszymy , potrafimy stosownie
zmniejszyć ´.
Definicja
Funkcję nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
dziedziny.
Czy ta funkcja może być nieciągła? Tak, np. przy idealnie
pionowym krawężniku.
1
Czy ciągła jest funkcja f : R \ {0} x - " R \ {0}.
x
Ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji w/g Heinego
Twierdzenie
Funkcja f : D x - f (x) " R jest ciągła w punkcie x0 " D
jeżeli
"(xn)" ‚"D lim xn = x0 Ò! lim f (xn) = f (x0).
n=k
n" n"
Tej definicji używamy raczej do wykazania, że funkcja nie jest
ciągła.
Ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji w/g Heinego
Twierdzenie
Funkcja f : D x - f (x) " R jest ciągła w punkcie x0 " D
jeżeli
"(xn)" ‚"D lim xn = x0 Ò! lim f (xn) = f (x0).
n=k
n" n"
Tej definicji używamy raczej do wykazania, że funkcja nie jest
ciągła.
Ciągłość funkcji
o zachowaniu ciągłości funkcji ze względu na działania
Twierdzenie
Niech f , g : D x - f (x) " R będą funkcjami ciągłymi w
pewnym punkcie x0 " D oraz  " R. Wówczas funkcje
f + g,
f - g,
fg,
f
są ciągłe w punkcie x0.
Ponadto jeżeli g(x0) = 0 to funkcja

f
g
jest prawidłowo określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i jest
w tym punkcie ciągła.
Ciągłość funkcji
Ciągłość złożenia funkcji i funkcji odwrotnej
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" D - G ‚" R, g : G - R. Jeżeli funkcja f jest
ciągła w pewnym punkcie x0 " D oraz funkcja g jest ciągła w
y0 = f (x0) " G to funkcja f ć% g jest ciągła w x0.
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" a, b - c, d ‚" R bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i
wzajemnie jednoznaczną. Wówczas funkcja do niej odwrotna
jest również ciągła.
Uwaga
Twierdzenie nie zachodzi jeżeli przedział nie jest domknięty.
Ciągłość funkcji
Ciągłość złożenia funkcji i funkcji odwrotnej
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" D - G ‚" R, g : G - R. Jeżeli funkcja f jest
ciągła w pewnym punkcie x0 " D oraz funkcja g jest ciągła w
y0 = f (x0) " G to funkcja f ć% g jest ciągła w x0.
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" a, b - c, d ‚" R bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i
wzajemnie jednoznaczną. Wówczas funkcja do niej odwrotna
jest również ciągła.
Uwaga
Twierdzenie nie zachodzi jeżeli przedział nie jest domknięty.
Ciągłość funkcji
Ciągłość złożenia funkcji i funkcji odwrotnej
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" D - G ‚" R, g : G - R. Jeżeli funkcja f jest
ciągła w pewnym punkcie x0 " D oraz funkcja g jest ciągła w
y0 = f (x0) " G to funkcja f ć% g jest ciągła w x0.
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" a, b - c, d ‚" R bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i
wzajemnie jednoznaczną. Wówczas funkcja do niej odwrotna
jest również ciągła.
Uwaga
Twierdzenie nie zachodzi jeżeli przedział nie jest domknięty.
Ciągłość funkcji
Przykład
Przykład
Niech
ctgx, dla x " -Ä„ , 0 ;
2
f (x) =
1
, dla x > 0,
x
wówczas
arcctgx, dla x " (-", 0 ;
-1
f (x) =
1
, dla x > 0.
x
-1
Funkcja f jest ciągła, ale f nie jest ciągła w x = 0.
Ciągłość funkcji
Przykład
Przykład
Niech
ctgx, dla x " -Ä„ , 0 ;
2
f (x) =
1
, dla x > 0,
x
wówczas
arcctgx, dla x " (-", 0 ;
-1
f (x) =
1
, dla x > 0.
x
-1
Funkcja f jest ciągła, ale f nie jest ciągła w x = 0.
Ciągłość funkcji
Własność Darboux
Twierdzenie
Niech będzie dana ciągła funkcja
f : R ƒ" a, b - R
taka, że
f (a) < 0 < f (b).
Istnieje wówczas przynajmniej jeden punkt c " a, b taki, że
f (x) = 0.
Własność powyższą można wzmocnić, stwierdzając, że dla
każdej wartości C " f (a), f (b) istnieje przynajmniej jeden
argument c " a, b ją osiągający tzn. taki, że f (c) = C.
Ciągłość funkcji
Własność Darboux
Twierdzenie
Niech będzie dana ciągła funkcja
f : R ƒ" a, b - R
taka, że
f (a) < 0 < f (b).
Istnieje wówczas przynajmniej jeden punkt c " a, b taki, że
f (x) = 0.
Własność powyższą można wzmocnić, stwierdzając, że dla
każdej wartości C " f (a), f (b) istnieje przynajmniej jeden
argument c " a, b ją osiągający tzn. taki, że f (c) = C.
Ciągłość funkcji
Weierstrassa o osiąganiu kresów
Twierdzenie
Niech będzie dana ciągła funkcja
f : R ƒ" a, b - R.
Istnieją wówczas c, d " a, b takie, że dla dowolnego
x " a, b zachodzą nierówności f (c) d" f (x) d" f (d).
Twierdzenie to mówi, że dla każdej funkcji ciągłej określonej na
przedziale domkniętym istnieją argumenty w których funkcja
taka osiąga wartość maksymalną i minimalną.
Ciągłość funkcji
Weierstrassa o osiąganiu kresów
Twierdzenie
Niech będzie dana ciągła funkcja
f : R ƒ" a, b - R.
Istnieją wówczas c, d " a, b takie, że dla dowolnego
x " a, b zachodzą nierówności f (c) d" f (x) d" f (d).
Twierdzenie to mówi, że dla każdej funkcji ciągłej określonej na
przedziale domkniętym istnieją argumenty w których funkcja
taka osiąga wartość maksymalną i minimalną.
Ciągłość funkcji
Punkty skupienia
Definicja
Niech D ‚" R bÄ™dzie dowolnym zbiorem. Punkt x0 " R
nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli
"´>0"x"D\{x0} : |x - x0| < 0.
Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy D . Zbiór i zbiór
jego punktów skupienia mogą być różne, tzn. nie można
postawić inkluzji w żadną ze stron.
Ciągłość funkcji
Punkty skupienia
Definicja
Niech D ‚" R bÄ™dzie dowolnym zbiorem. Punkt x0 " R
nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli
"´>0"x"D\{x0} : |x - x0| < 0.
Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy D . Zbiór i zbiór
jego punktów skupienia mogą być różne, tzn. nie można
postawić inkluzji w żadną ze stron.
Ciągłość funkcji
Granica funkcji
Definicja
Niech D x - f (x) " R, x0 " D . GranicÄ… funkcji f w
punkcie x0 nazywamy liczbę g " R taką, że
" >0"´>0 : "x"D|x - x0| < ´ Ò! |f (x) - g| < .
Ciągłość funkcji
definicja granicy funkcji w/g Heinego
Twierdzenie
Funkcja f : D x - f (x) " R posiada granicÄ™ g w punkcie
x0 " D wtedy, i tylko wtedy gdy
"(xn)" ‚"D : lim xn = x0 Ò! lim f (xn) = g.
n=k
n" n"
Twierdzenie
Granica funkcji jest jedyna.
Ciągłość funkcji
definicja granicy funkcji w/g Heinego
Twierdzenie
Funkcja f : D x - f (x) " R posiada granicÄ™ g w punkcie
x0 " D wtedy, i tylko wtedy gdy
"(xn)" ‚"D : lim xn = x0 Ò! lim f (xn) = g.
n=k
n" n"
Twierdzenie
Granica funkcji jest jedyna.
Ciągłość funkcji
ciągłość funkcji a istnienie granicy
Twierdzenie
Niech f : R ƒ" D x - f (x) " R, x0 " D )" D . Funkcja f jest
ciągła w punkcie x0 wtedy, i tylko wtedy gdy istnieje granica
funkcji w tym punkcie i jest równa jej wartości tzn.
lim f (x) = f (x0).
xx0
Ciągłość funkcji
granica funkcji a działania
Twierdzenie
Niech f , g : R ƒ" D - R, x0 " D . Jeżeli funkcje f i g posiadajÄ…
w punkcie x0 granice - lim f (x) = a, lim g(x) = b to:
xx0 xx0
1
lim (f + g)(x) = a + b,
xx0
2
lim (f - g)(x) = a - b,
xx0
3
lim fg(x) = ab,
xx0
4
dla każdej liczby  " R zachodzi lim f (x) = a,
xx0
f a f
5
jeżeli b = 0 to lim (x) = , przy czym funkcja jest

g
xx0 g b
określona w pewnym otoczeniu punktu x0.
Ciągłość funkcji
twierdzenie o trzech funkcjach
Twierdzenie
Niech f , g, h : R ƒ" D - R bÄ™dÄ… funkcjami takimi, że
lim f (x) = lim g(x),
xx0 xx0
gdzie x0 " D . Jeżeli istnieje otoczenie punktu x0 w którym
zachodzi zwiÄ…zek
f d" g d" h
czyli istnieje taki, że dla każdego x " (x0 - , x0 + ) )" D
zachodzą nierówności
f (x) d" g(x) d" h(x)
to istnieje granica funkcji g w punkcie x0 i jest równa granicy
funkcji f i h w tym punkcie.
Ciągłość funkcji
twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy
Twierdzenie
Niech bÄ™dzie dana funkcja f : R ƒ" D - R która posiada
granicÄ™ w punkcie x0 " D .
1
Jeżeli dla pewnego a " R istnieje otoczenie punktu x0 w
którym zachodzi nierówność f e" a (tzn. istnieje > 0 taki,
że dla każdego x " (x0 - , x0 + ) zachodzi nierówność
f (x) e" a) to lim f (x) e" a.
xx0
2
Jeżeli lim f (x) > 0 to istnieje otoczenie x0 w którym f > 0.
xx0
Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego
otoczenia x0 otrzymamy nierówność silną f > a to dla granicy
dalej mamy tylko nierówność słabą lim f (x) e" a.
xx0
Ciągłość funkcji
twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy
Twierdzenie
Niech bÄ™dzie dana funkcja f : R ƒ" D - R która posiada
granicÄ™ w punkcie x0 " D .
1
Jeżeli dla pewnego a " R istnieje otoczenie punktu x0 w
którym zachodzi nierówność f e" a (tzn. istnieje > 0 taki,
że dla każdego x " (x0 - , x0 + ) zachodzi nierówność
f (x) e" a) to lim f (x) e" a.
xx0
2
Jeżeli lim f (x) > 0 to istnieje otoczenie x0 w którym f > 0.
xx0
Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego
otoczenia x0 otrzymamy nierówność silną f > a to dla granicy
dalej mamy tylko nierówność słabą lim f (x) e" a.
xx0
Ciągłość funkcji
WYBRANE GRANICE FUNKCJI
1
lim ax = 1, dla a > 0,
x0
sin x
2
lim = 1,
x
x0
x
1
3
lim 1 + = e,
x
x"
x
1
4
lim 1 + = e,
x
x-"
ax -1
5
lim = ln a, dla a > 0.
x
x0
Ciągłość funkcji
Granice jednostronne
Definicja
Niech f : R ƒ" D - R oraz x0 " D :
1
jeżeli dla każdej liczby ´ > 0 zbiór (x0 - ´, x0) )" D = ", tzn.

zbiór skupia się po lewej stronie punktu x0, oraz
" >0"´>0 : "x"D(0 < x0 - x < ´) Ò! |f (x) - g| < ,
to liczbÄ™ g nazywamy granicÄ… lewostronnÄ… funkcji f w
punkcie x0 co oznaczamy lim f (x).
-
xx0
2
jeżeli dla każdej liczby ´ > 0 zbiór (x0, x0 + ´) )" D = ", tzn.

zbiór skupia się po prawej stronie punktu x0, oraz
" >0"´>0 : "x"D(0 < x - x0 < ´) Ò! |f (x) - g| < ,
to liczbÄ™ g nazywamy granicÄ… prawostronnÄ… funkcji f w
punkcie x0 co oznaczamy lim f (x).
+
xx0
Ciągłość funkcji
Granice jednostronne a granica funkcji
Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z
przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x0 " D ma
sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony.
Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę
funkcji rozumiemy odpowiednią granicę jednostronną. Jeżeli
ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to
zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Niech bÄ™dzie dana funkcja f : R ƒ" D - R oraz punkt x0 " D
taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej
strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x0 granicę równą
g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice
prawostronnÄ… i lewostronnÄ… i granice te wynoszÄ… g.
Ciągłość funkcji
Granice jednostronne a granica funkcji
Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z
przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x0 " D ma
sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony.
Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę
funkcji rozumiemy odpowiednią granicę jednostronną. Jeżeli
ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to
zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Niech bÄ™dzie dana funkcja f : R ƒ" D - R oraz punkt x0 " D
taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej
strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x0 granicę równą
g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice
prawostronnÄ… i lewostronnÄ… i granice te wynoszÄ… g.
Ciągłość funkcji
Granice jednostronne a granica funkcji
Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z
przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x0 " D ma
sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony.
Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę
funkcji rozumiemy odpowiednią granicę jednostronną. Jeżeli
ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to
zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Niech bÄ™dzie dana funkcja f : R ƒ" D - R oraz punkt x0 " D
taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej
strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x0 granicę równą
g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice
prawostronnÄ… i lewostronnÄ… i granice te wynoszÄ… g.
Ciągłość funkcji
Granice w Ä…"
Definicja
Niech f : R ƒ" D - R :
1
jeżeli dla każdej liczby M > 0 zbiór (M, ") )" D jest
niepusty, oraz
" >0"M>0 : "x"D)"(M,")|f (x) - g| < ,
to liczbÄ™ g nazywamy granicÄ… funkcji f w ".
2
jeżeli dla każdej liczby M < 0 zbiór (-", M) )" D jest
niepusty, oraz
" >0"M<0 : "x"D)"(-",M)|f (x) - g| < ,
to liczbÄ™ g nazywamy granicÄ… funkcji f w -".
Ciągłość funkcji
Rozbieżność funkcji
Definicja
Niech D x - f (x) " R, x0 " D . Jeżeli
"K "R"´>0 : "x"D|x - x0| < ´ Ò! f (x) > K
to mówimy, że funkcja f jest w x0 rozbieżna do ". Jeżeli
"K "R"´>0 : "x"D|x - x0| < ´ Ò! f (x) < K
to mówimy, że funkcja f jest w x0 rozbieżna do -".
Ciągłość funkcji
Rozbieżność w nieskończoności
Definicja
Niech f : R ƒ" D R. Załóżmy, że dla dowolnego M zachodzi
(M, +") )" D = ". Wtedy:

1
lim f (x) = +", jeśli
x+"
"K "R "M"R "x"D x > M =Ò! f (x) > K ,
2
lim f (x) = -", jeśli
x+"
"K "R "M"R "x"D x > M =Ò! f (x) < K . Załóżmy że dla
dowolnego M zachodzi (-", M) )" D = ", wtedy

3
lim f (x) = +", jeśli
x-"
"K "R "M"R "x"D x < M =Ò! f (x) > K ,
4
lim f (x) = -", jeśli
x-"
"K "R "M"R "x"D x < M =Ò! f (x) < K .
Ciągłość funkcji
Symbole nieoznaczone
Dla szacowania granic funkcji zarówno jednostronnych jak i
dwustronnych można stosować tabele znane z twierdzenia o
ciÄ…gach.
Ciągłość funkcji
Asymptoty poziome
Definicja
Niech f : R ƒ" D R. Przyjmijmy, że sÄ… speÅ‚nione zaÅ‚ożenia
dotyczące dziedziny przy których poniższe granice mają sens.
1
Jeśli lim f (x) = b " R, to mówimy, że funkcja f ma w
x+"
+" asymptotę poziomą o równaniu y = b.
2
Jeśli lim f (x) = b " R, to mówimy, że funkcja f ma w
x-"
-" asymptotę poziomą o równaniu y = b.
3
Jeśli lim f (x) = b = lim f (x), to mówimy, że funkcja f
x+" x-"
ma asymptotę poziomą (obustronną) o równaniu y = b.
Ciągłość funkcji
Asymptoty pionowe
Definicja
Niech f : R ƒ" D R. Przyjmijmy, że sÄ… speÅ‚nione zaÅ‚ożenia
dotyczące dziedziny przy których poniższe granice mają sens.
1
Jeśli lim f (x) = ą", to mówimy, że funkcja f ma
+
xx0
asymptotę pionową prawostronną o równaniu x = x0.
2
Jeśli lim f (x) = ą", to mówimy, że funkcja f ma
-
xx0
asymptotę pionową lewostronną o równaniu x = x0.
3
Jeśli lim f (x) = ą" i lim f (x) = ą", to mówimy, że
+ -
xx0 xx0
funkcja f ma asymptotę pionową (obustronną) o równaniu
x = x0.
Ciągłość funkcji
Asymptoty ukośne
Definicja
Niech f : R ƒ" D R. Funkcja liniowa y = ax + b jest
asymptotą ukośną w "(-"), jeśli:
lim (f (x) - (ax + b)) = 0, lim (f (x) - (ax + b)) = 0.
x" x-"
Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną(obustronną),
jeśli są spełnione oba warunki.
WZÓR
f (x)
a = lim , b = lim (f (x) - ax) .
x+" x+"
x
Ciągłość funkcji