Egzamin z Algebry Abstrakcyjnej
(do wykładu Prof. dr hab. Adama Pawła Wojdy)
termin 1
23 czerwca 2006r.
Zadanie 1 Ala i Bob zakodowali na własne potrzeby wybrane litery alfabetu
A L O E P I E S B K
0 1 3 8 5 2 7 2 4 9
Bob wybiera liczby pierwsze p = 11, q = 19 i przesyła Alicji ich iloczyn (209). Alicja koduje
informację metodą Rabina, otrzymuje liczbę 163(mod209) i przesyła ją Bobowi. Co jest celem
następnej wyprawy Alicji i Boba? (Oczywiście trzeba rozkodować przekaz Alicji, a nie zgadnąć
korzystając z faktu, że przy tak ograniczonym alfabecie możliwości jest niewiele).
Jakie słowa da się przy ograniczeniach przyjętych przez Boba i Alicję zakodować?
"
3
Zadanie 2 Znajdz
dzomknięcie normalne K rozszerzenia Q( 2) : Q.
"
3
Wskaż grupy Galois rozszerzeń Q( 2) : Q oraz K : Q.
Zadanie 3 Znalez
ć, z dokładnością do izomorfizmu, wszystkie podgrupy grupy D4 (grupy izome-
trii własnych kwadratu). Czy grupa D4 jest przemienna? Odpowiedz
uzasadnij.
Zadanie 4 Wykaż, że dla pierścienia P i jego podpierścienia D, 1D i 1P (jeśli istnieją) są równe
jeżeli P jest pierścieniem bez dzielników zera (1D i 1P oznaczają odpowiednio jedynki pierścieni
D i P ). Na przykładzie pokaż, że założenie o dzielnikach zera jest istotne.
Zadanie 5 Wykaż, że
(a) jeśli w pierścieniu całkowitym Ia )" Ib jest ideałem głównym, to istnieje NW W (a, b) oraz
Ia )" Ib = INW W (a,b),
(b) jeśli suma dwóch ideałów głównych Ia + Ib jest ideałem głównym, to istnieje NW D(a, b)
oraz Ia + Ib = INW D(a,b).
A
Skład komputerowy w systemie LTEX
Mateusz Zakrzewski