WYKA
AD Nr 21
CAA
KI KRZYWOLINIOWE
A) POJ
CIA WST
PNE
Def.1.1. (łuk regularny (gładki) na płaszczyz
nie)
A
ukiem regularnym (gładkim) na płaszczyz
nie nazywamy krzywą o równaniach:
x = x(t), y = y(t) t " Ä…,²
spełniającą następujące warunki:
1. funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne w przedziale Ä…,² ;
2. różnym wartoÅ›ciom parametru t z przedziaÅ‚u Ä…,² odpowiadajÄ… różne punkty krzywej;
2 2 2 2
3. pierwsze pochodne x (t), y (t) nie znikajÄ… jednoczeÅ›nie w Ä…,² tzn. [x (t)]2 + [y (t)]2 > 0 , gdzie
t " Ä…,²
Def.1.2. (łuk regularny (gładki) w przestrzeni)
A
ukiem regularnym (gładkim) w przestrzeni nazywamy krzywą o równaniach:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) t " Ä…,²
spełniającą następujące warunki:
1. funkcje x(t), y(t), z(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne w przedziale Ä…,² ;
2. różnym wartoÅ›ciom parametru t z przedziaÅ‚u Ä…,² odpowiadajÄ… różne punkty krzywej;
2 2 2
3. pierwsze pochodne x (t), y (t), z (t) nie znikajÄ… jednoczeÅ›nie w Ä…,² tzn.
2 2 2
[x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 > 0 , t " Ä…,²
Geometrycznie rzecz biorąc, łuk regularny (gładki) nie przecina się sam z sobą i ma w każdym punkcie
styczną zmieniającą się w sposób ciągły wraz ze zmianą punktu na krzywej.
Uwaga: Mówiąc obrazowo, łuk gładki (regularny) to taka krzywa, którą można wykreślić bez odrywania
ręki od kartki oraz bez wracania do wcześniej już wykreślonych punktów (patrz Rys.1.) Krzywe b), c) są
łukami gładkimi, natomiast pozostałe nimi nie są.
a) b) c) d) e)
Rys.1
264
Def.1.3. (krzywa regularna)
Krzywą, która daje się podzielić na skończoną ilość łuków regularnych nazywamy krzywą regularną.
Def.1.4. (Å‚uk skierowany)
A
uk L, w którym wyróżniono początek i koniec nazywamy łukiem skierowanym.
JeÅ›li punkt pÅ‚aszczyzny A(x(Ä…), y(Ä…)) jest poczÄ…tkiem Å‚uku, natomiast punkt B(x(²), y(²)) jest koÅ„cem
Å‚uku L, to ten Å‚uk oznaczamy przez AB . W przeciwnym przypadku tj., gdy B(x(²), y(²)) jest
początkiem, a A(x(ą), y(ą)) końcem  przez BA .
Mówimy, że łuki AB i BA są przeciwnie skierowane.
Analogicznie definiujemy łuk skierowany w przestrzeni. Wówczas punkty A i B mają następujące
współrzÄ™dne: A(x(Ä…), y(Ä…), z(Ä…)), B(x(²), y(²), z(²)).
Def.1.5. (krzywa zamknięta)
Krzywą L nazywamy krzywą zamkniętą, jeśli jej początek pokrywa się z końcem.
Przykłady:
a) Krzywa o równaniach x = r cos t, y = r sin t, t " 0, 2Ą jest krzywą regularną zamkniętą na
płaszczyz
nie. Jest to równanie okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu r.
b) Linia śrubowa o równaniach: x = r cos t, y = r sin t, z = ct, t " 0, 2Ą jest łukiem gładkim w
przestrzeni.
B) CAA
KI KRZYWOLINIOWE NIESKIEROWANE NA PA
ASZCZYy
NIE I W PRZESTRZENI
Niech K będzie krzywą regularną na płaszczyz
nie OXY, f (x, y) będzie funkcją określoną oraz
ograniczoną wzdłuż punktów tej krzywej.
Krzywą K dzielimy punktami: A = A0 , A1,..., An = B na n dowolnych łuków l1, l2 ,..., ln . Długości tych
łuków częściowych oznaczamy odpowiednio: "l1, "l2 ,..., "ln , przy czym
tk
2 2
2 2
"lk = [x (t)] + [y (t)] dt tk -1, tk
+"
tk -1
Na każdym łuku częściowym lk (k = 1, 2,..., n) obieramy dowolny punkt Pk (xk , yk ) (Rys.2).
y
B = An
Ak
Pk (xk , yk )
Ak -1
A2
A1
A = A0
x
Rys.2
265
n
Tworzymy nastÄ™pujÄ…cÄ… sumÄ™: Sn = f (Pk )Å" "lk
"
k=1
Niech ´n = max "lk . CiÄ…g podziałów, przy którym Å›rednica ´n 0 , gdy n " , nazywamy ciÄ…giem
1d"kd"n
normalnym podziałów.
Def.1.6. (całka krzywoliniowa na płaszczyz
nie)
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów krzywej K odpowiadający ciąg sum Sn jest zbieżny do tej
samej granicy niezależnie od wyboru punktów Pk (xk , yk ) na łukach częściowych lk , to tę granicę
nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f (x, y) wzdłuż krzywej K i oznaczamy
f (x, y) dl
+"
K
n
W zapisie symbolicznym: f (x, y) dl = lim f (Pk )Å" "lk
"
+"
´n 0
k=1
K
Uwaga: Nazwa  całka nieskierowana pochodzi stąd, że całka ta nie zmienia znaku przy zmianie
kierunku krzywej K = AB tzn.
f (x, y) dl = f (x, y) dl
+" +"
AB BA
Zatem krzywej K nie nadajemy żadnego kierunku.
Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową w przestrzeni, przy czym krzywa K jest krzywą regularną
w przestrzeni, funkcja f (x, y, z) jest określona i ograniczona wzdłuż tej krzywej. Krzywą K dzielimy
punktami: A = A0 , A1,..., An = B na n dowolnych łuków l1, l2 ,..., ln o długościach odpowiednio:
"l1, "l2 ,..., "ln , przy czym
tk
2 2 2
"lk = [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt tk-1, tk
+"
tk -1
Na każdym łuku częściowym lk (k = 1, 2,..., n) obieramy dowolny punkt Pk (xk , yk , zk ). Stąd całka
krzywoliniowa nieskierowana w przestrzeni
n
f (x, y, z) dl = lim f (Pk ) Å" "lk .
"
+"
´n 0
k=1
K
WA
ASNOÅšCI CAA
KI KRZYWOLINIOWEJ NIESKIEROWANEJ
1. A Å" f (x, y) dl = A f (x, y) dl , gdzie A jest dowolnÄ… staÅ‚Ä…;
+" +"
K K
2. (x, y) Ä… g(x, y)]dl = f (x, y) dl Ä… g(x, y) dl
+"[f +" +"
K K K
3. f (x, y)dl = f (x, y) dl + f (x, y) dl , gdzie K = K1 *" K2 , K1 )" K2 ={P}, przy czym P jest
+" +" +"
K K1 K2
punktem, który dzieli krzywą K na krzywe K1, K2
266
Uwaga: Analogiczne własności posiada całka krzywoliniowa w przestrzeni.
Całkę krzywoliniową nieskierowaną obliczamy zamieniając ją na całkę oznaczoną posługując się
poniższymi twierdzeniami.
Tw.1.1. (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)
Jeżeli funkcja f (x, y) jest ciągła wzdłuż krzywej regularnej K danej parametrycznie:
x = x(t), y = y(t) t " Ä…,²
to
²
2 2
f (x, y) dl = f [x(t), y(t)] [x (t)]2 + [y (t)]2 dt
+" +"
K Ä…
Przykład:
2
2
Obliczyć (x2 + y ) dl , gdzie K jest okręgiem o równaniach: x = a cos t, y = a sin t , 0 d" t d" 2Ą , a > 0 .
+"
K
2 2
Zatem x(t) = a cos t, y(t) = a sin t . StÄ…d x (t) = -a sin t, y (t) = a cos t .
KorzystajÄ…c z Tw.1.1 mamy:
2Ä„ 2Ä„
2Ä„
2 2
2 2 2 2 2 5
(x2 + y ) dl = (a2 cos2 t + a sin t) a sin t + a2 cos2 t dt = dt = a5t = 2Ä„a5
+" +" +"a
0
K 0 0
W szczególności, gdy krzywa K nie jest dana w postaci parametrycznej korzystamy z następujących
twierdzeń:
Tw.1.2.
Jeżeli krzywa K dana jest w postaci jawnej: y = y(x) x " a,b
to
b
2
f (x, y) dl = f [x, y(x)] 1 + [y (x)]2 dx
+" +"
K a
Przykład:
2
Obliczyć całkę y dl , gdzie K  łuk paraboli y = 2 px odciętym przez parabolę x2 = 2 py , (p > 0)
+"
K
(Rys.3).
y
x2 = 2 py 2
y = 2 px
A(2 p,2 p)
2
0 A (2 p,0) x
Rys.3
267
2
Rozwiązując układ równań y = 2 px i x2 = 2 py otrzymujemy współrzędne punktów przecięcia
parabol: O(0,0) i A(2 p,2 p) .
2
Stąd x " 0,2 p . Z równania y = 2 px ( y > 0 ) wyznaczamy y, czyli y(x) = 2 px .
2 p p2 p
2
Zatem y (x) = = = .
2 px 2x
2 2 px
KorzystajÄ…c z Tw.1.2 mamy:
2
2 p 2 p 2 p 2 p
ëÅ‚ öÅ‚
p p 2x + p
ìÅ‚ ÷Å‚
y dl = 2 px Å" 1+ dx = 2 px Å" 1+ dx = 2 px Å" dx = p Å" 2x + p dx =
+" +" +" +" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
2x 2x 2x
íÅ‚ Å‚Å‚
K 0 0 0 0
2 p
3 3
2 p
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 3
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= p 2x + p dx = p Å" (2x + p) = p Å" (5 p) - p = p p (5 5 - 1)śł = p2(5 5 - 1)
2 2
ïÅ‚3 śł
+"
3 ïÅ‚ śł 3 ïÅ‚ 3
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Tw.1.3.
Jeżeli krzywa K dana jest w postaci biegunowej: r = r(Õ) Õ" Õ1, Õ2
to
Õ2
2
2
f (x, y) dl = f (r cos t, r sin t) r + [r (Õ)]2 dÕ
+" +"
K Õ1
Przykład:
2
Obliczyć (x2 + y2)dl , gdzie K jest okręgiem o równaniu x2 + y = ax .
+"
K
KorzystajÄ…c ze współrzÄ™dnych biegunowych: x = r cos Õ, y = r sin Õ otrzymujemy równanie okrÄ™gu
Ä„ Ä„
2
r = ar cos Õ , gdzie Õ" - , (Rys.4)
2 2
y
r
a a
x
2
Rys.4
Po podzieleniu przez r mamy równanie okrÄ™gu w postaci biegunowej: r = a cos Õ .
2
StÄ…d r(Õ) = a cos Õ , r (Õ) = -a sin Õ .
268
Zatem na podstawie Tw.1.3. mamy:
Ä„ Ä„ Ä„
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
(x2 + y2)dl = (r cos2 Õ + r sin Õ) a cos2 Õ + a2 sin Õ dÕ = a dÕ = a cos2 Õ dÕ =
+" +" +"r +"a
Ä„ Ä„ Ä„
K
- - -
2 2 2
Ä„
Ä„
2
1+ cos 2Õ 1 1 2 1
= a3 dÕ = a3 îÅ‚ Õ + sin 2ÕÅ‚Å‚ = Ä„a3
+" ïÅ‚2 4 śł
Ä„
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„ -
-
2
2
Tw.1.4.
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła wzdłuż krzywej regularnej K o równaniach:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) t " Ä…,²
to
²
2 2 2
f (x, y, z) dl = f [x(t), y(t), z(t)] [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt
+" +"
K Ä…
Przykład:
2 2
Obliczyć całkę krzywoliniową (x2 + y + z )dl , gdzie K jest linią śrubową o równaniu
+"
K
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t " 0, 2Ä„ .
2 2 2
Zatem x (t) = -a sin t, y (t) = a cos t, z (t) = b .
KorzystajÄ…c z Tw.1.4 otrzymujemy:
2Ä„
2 2 2 2 2 2 2
(x2 + y2 + z )dl = (a cos2 t + a2 sin t + b2t ) a sin t + a cos2 t + b2 dt =
+" +"
K 0
2Ä„
2Ä„ 2Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
b2
2 2 2 3
= (a2 + b2t ) a2 + b2 dt = a2 + b2 (a2 + b2t )dt = a + b2 2t + t =
ïÅ‚a śł
+" +"
3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0
0
ëÅ‚ öÅ‚
2
2
ìÅ‚a2 b2
= a2 + b2 Å" 2Ä„ + 8Ä„3 ÷Å‚ = Ä„ a2 + b2 (3a + 4Ä„2b2)
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAA
KI KRZYWOLINIOWEJ NIESKIEROWANEJ NA
PA
ASZCZYy
NIE
1. Jeżeli f (x, y) a" 1 dla (x, y)" K to dl = L , gdzie L oznacza długość łuku.
+"
K
2. Jeżeli funkcja f (x, y) jest ciągła na krzywej K i f (x, y) > 0 to f (x, y) dl oznacza pole części
+"
K
powierzchni walcowej (Rys.5).
269
 z
f (x, y)
f (x, y) dl
+"
K
y
K
x
Rys.5
Przykład:
2
Znalez
ć pole powierzchni bocznej walca x2 + y = 4 ograniczonej płaszczyzną OXY oraz powierzchnią
2
y
z = 2 + .
2
Jeżeli K jest łukiem na płaszczyz
nie OXY to pole powierzchni bocznej walca:
S = {(x, y, z) : (x, y)" K, z " R }
wyciętej z dołu przez powierzchnię z = g(x, y) , a z góry przez powierzchnię z = h(x, y) wyraża się
wzorem:
S =
+"[h(x, y) - g(x, y)]dl
K
2
A
uk K jest okręgiem o równaniu x2 + y = 4 zatem jego postać parametryczna jest następująca:
K : x = 2 cos t, y = 2sin t, t " 0, 2Ä„
2 2
StÄ…d: x (t) = -2 sin t, y (t) = 2 cos t .
Z dołu powierzchnia boczna naszego walca jest ograniczona przez płaszczyznę OXY, czyli powierzchnię
2
y
o równaniu z = 0 , z góry zaś przez powierzchnię z = 2 + .
2
Zatem
2Ä„
îÅ‚
y2 Å‚Å‚ 1 1
öÅ‚ öÅ‚
2 2
S = + - 0śł dl = + y dl = + Å" 4 sin t (- 2 sin t)2 + (2 cos t)2 dt =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚2
+" +"ëÅ‚2 +"ëÅ‚2
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
K K 0
2Ä„ 2Ä„
1
2 2 2 2
= (2 + 2 sin t) 4(sin t + cos2 t)dt = 4 (1 + sin t)dt = {korzystamy ze wzoru sin t = (1 - cos 2t)}=
+" +"
2
0 0
2Ä„
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
1 1 3 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
= 4 + + cos 2t dt = 4 + cos 2t dt = 2 + cos 2t)dt = 2ëÅ‚3t + sin 2t = 2 Å" 3 Å" 2Ä„ = 12Ä„
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"ìÅ‚1 +"ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚ +"(3
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0
0 0 0
270
C) CAA
KI KRZYWOLINIOWE SKIEROWANE NA PA
ASZCZYy
NIE I W PRZESTRZENI
Rozważmy łuk regularny określony równaniami parametrycznymi:
x = x(t), y = y(t) t " Ä…,²
położony na płaszczyz
nie OXY.
WartoÅ›ci Ä… parametru t odpowiada punkt A(x(Ä…), y(Ä…)), natomiast wartoÅ›ci ² punkt B(x(²), y(²)). Jak
wiadomo, łukowi temu można nadać kierunek, przyjmując A(x(ą), y(ą)) za początek łuku, natomiast
B(x(²), y(²)) za koniec (oznaczamy ten Å‚uk przez AB) lub na odwrót (oznaczamy BA).
Def.1.7. (przedstawienie parametryczne zgodne z kierunkiem Å‚uku)
Mówimy, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są zgodne, jeśli kierunek łuku
jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t (tj. punkt odpowiadający mniejszej wartości parametru t
poprzedza punkt odpowiadający większej wartości).
W przypadku, gdy kierunek Å‚uku jest niezgodny z kierunkiem wzrostu parametru t (tj. punkt
odpowiadający większej wartości parametru t poprzedza punkt odpowiadający mniejszej wartości)
mówimy, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są niezgodne.
Uwaga: A
uk AB ma przedstawienie parametryczne zgodne z kierunkiem Å‚uku, natomiast Å‚uk BA ma
przedstawienie parametryczne niezgodne z kierunkiem.
Przykład: Niech x = t , y = t , t " 0, 2 .
Jest to przedstawienie parametryczne odcinka Å‚Ä…czÄ…cego punkty: A(0, 0) i B(2, 2) .
Jest to przedstawienie zgodne z kierunkiem odcinka AB (Rys.6a), natomiast niezgodne z kierunkiem
odcinka BA (Rys.6b).
y
y
2 B 2 B
A A
x
x
2
2
Rys.6a. Rys.6b.
Uwaga: JeÅ›li przedstawienie parametryczne Å‚uku x = x(t), y = y(t) , t " Ä…,² jest niezgodne z nadanym
mu kierunkiem to przedstawienie x = x(-t), y = y(-t) , t " -²,-Ä… bÄ™dzie już zgodne.
Przykład:
Przedstawienie x = -t , y = -t , t " - 2, 0 będzie zgodne z kierunkiem odcinka BA.
271
Niech bÄ™dzie dany Å‚uk skierowany AB o przedstawieniu parametrycznym: x = x(t), y = y(t) , t " Ä…,²

zgodnym z kierunkiem tego łuku oraz wektor W = [P(x, y),Q(x, y)] zaczepiony w każdym punkcie tego
łuku, gdzie P(x, y),Q(x, y) są funkcjami określonymi w każdym punkcie łuku AB.
PrzedziaÅ‚ Ä…,² dzielimy na n podprzedziałów za pomocÄ… punktów: t1, t2 , t3,...,tn-1 tzn.
Ä… = t0 < t1 < t2 < t3 <...< tn-1 < tn = ²
Podziałowi temu odpowiada podział łuku AB na n części punktami: A1, A2 , A3 ,..., An-1, przy czym punkt
Ak ma współrzędne xk = x(tk ), y = y(tk ), k = 1, 2,..., n - 1.
k
W każdym podprzedziale tk -1,tk k = 1, 2,..., n wybieramy dowolnie punkt Äk , któremu na Å‚uku
odpowiada punkt Ck (x(Äk ), y(Äk ) ).

Następnie określamy wektory: W = [P(Ck ),Q(Ck )], "lk = ["xk , "yk ],
gdzie "xk = xk - xk -1, "yk = yk - yk -1, k = 1, 2,..., n .
Tworzymy sumę iloczynów skalarnych tych wektorów:
n

Sn = Å" "lk
"Wk
k =1
czyli
n
Sn = )Å" "xk + Q(Ck )Å" "yk ]
"[P(Ck
k =1
Rozważmy normalny ciÄ…g podziałów przedziaÅ‚u Ä…,² .
Def.1.8. (całka krzywoliniowa skierowana)
Jeżeli dla każdego normalnego ciÄ…gu podziałów przedziaÅ‚u Ä…,² ciÄ…g sum (Sn ) jest zbieżny do granicy
wÅ‚aÅ›ciwej, niezależnej od wyboru punktów Äk , to tÄ™ granicÄ™ nazywamy caÅ‚kÄ… krzywoliniowÄ… skierowanÄ…
pary funkcji [P(x, y),Q(x, y)] po Å‚uku AB i oznaczamy:
P(x, y)dx + Q(x, y)dy
+"
AB

Uwaga: CaÅ‚kÄ™ krzywoliniowÄ… skierowanÄ… zapisujemy również nastÄ™pujÄ…co: Å" dl
+"W
AB
Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną trójki funkcji [P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)]
po Å‚uku AB o równaniach parametrycznych: x = x(t), y = y(t), z = z(t); t " Ä…,² skierowanym od
punktu A(x(Ä…), y(Ä…), z(Ä…)) do punktu B(x(²), y(²), z(²)).
A oznaczamy ją następująco:
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
+"
AB
272
WA
ASNOÅšCI CAA
KI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ
1) Jeśli łuki AB i BA są przeciwnie skierowane to
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = - P(x, y)dx + Q(x, y)dy
+" +"
AB BA
n
2) Jeśli krzywa AB jest sumą otwartych gładkich łuków skierowanych: AB = Ak -1Ak , przy czym
"
k =1
przyjmujemy, że: A = A0 , B = An to
n
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
"
+" +"
k =1
AB Ak -1Ak
Uwaga: Analogiczne własności posiada całka krzywoliniowa skierowana w przestrzeni.
Tw.1.5. (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)
1) W przypadku całki krzywoliniowej skierowanej na płaszczyz
nie:
Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są ciągłe na otwartym łuku regularnym AB o przedstawieniu
parametrycznym x = x(t), y = y(t) , t " Ä…,² zgodnym z kierunkiem tego Å‚uku, to caÅ‚ka krzywoliniowa
skierowana na płaszczyz
nie istnieje, przy czym
²
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
+" +"[P(x(t), y(t))Å" x2 (t) + Q(x(t), y(t))Å" y2 (t)]dt
AB Ä…
2) W przypadku całki krzywoliniowej skierowanej w przestrzeni:
Jeżeli funkcje P(x, y, z) , Q(x, y, z) i R(x, y, z) są ciągłe na otwartym łuku regularnym AB o
przedstawieniu parametrycznym x = x(t), y = y(t) , z = z(t) t " Ä…,² zgodnym z kierunkiem tego Å‚uku,
to całka krzywoliniowa skierowana w przestrzeni istnieje, przy czym
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dy =
+"
AB
²
=
+"[P(x(t), y(t), z(t))Å" x2 (t) + Q(x(t), y(t), z(t))Å" y2 (t) + R(x(t), y(t), z(t))Å" z2 (t)]dt
Ä…
Wniosek: Dotyczy Tw.1.5. 1) tj. zamiany całki krzywoliniowej skierowanej na płaszczyz
nie na całkę
oznaczonÄ….
Gdy krzywa dana jest równaniem y = f (x), a d" x d" b {początkiem krzywej jest punkt A(a, f (a)) ,
a końcem punkt B(b, f (b)) } to całka krzywoliniowa skierowana na płaszczyz
nie przyjmuje postać:
b
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
+" +"[P(x, f (x))+ Q(x, f (x))Å" f 2 (x)]dx
AB a
273
Przykłady:
2
a) Obliczyć (x2 - 2xy)dx +(y - 2xy)dy , gdzie K = AB jest łukiem paraboli y = x2 od punktu A(-1,1)
+"
K
do punktu B(1,1)
SPOSÓB I {parametryzacja krzywej}
Parametryzujemy parabolę tak, aby parametryzacja ta była zgodna z kierunkiem krzywej.
2
Zatem x = t, y = t , t " - 1,1 (patrz Rys.7).
2 2
StÄ…d x (t) =1, y (t) = 2t .
y
y = x2
A(-1,1) B(1,1)
x
-1 0 1
Rys.7
Zatem na podstawie Tw.1.5. podpunkt 1) mamy:
1 1
2 2 2 4 2 2 3 5 4
(x2 - 2xy)dx +(y - 2xy)dy = [(t - 2t Å"t )Å"1+(t - 2t Å"t )Å" 2t]dt = [t - 2t + 2t - 4t ]dt =
+" +" +"
K -1 -1
1
3 4 6 5
ëÅ‚ öÅ‚
t t t 4t 1 1 1 4 1 1 1 4 14
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= - + - = - + - ÷Å‚ - ìÅ‚- - + + = -
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2 3 5 3 2 3 5 3 2 3 5 15
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
-1
SPOSÓB II {wykorzystanie wniosku z twierdzenia}
Krzywa jest dana w postaci jawnej: K : y = x2 , - 1 d" x d" 1 .
2
Zatem f (x) = 2x .
1 1
2 4
(x2 - 2xy)dx +(y - 2xy)dy = [(x2 - 2x Å" x2)+(x4 - 2x Å" x2)Å" 2x]dx = [x2 - 2x3 + 2x5 - 4x ]dx =
+" +" +"
K -1 -1
1
ëÅ‚
x3 x4 x6 4x5 öÅ‚ 1 1 1 4 1 1 1 4 14
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= - + - = - + - ÷Å‚ - ìÅ‚- - + + = -
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2 3 5 3 2 3 5 3 2 3 5 15
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
-1
b) Obliczyć ydx - 2zdy + 3xdz , gdzie K jest łamaną o początku O(0, 0, 0) , końcu C(1,1,1) oraz
+"
K
wierzchołkach A(1, 0, 0) i B(1,1, 0) .
Krzywa K jest krzywą regularną składającą się z trzech łuków regularnych: K1 = OA , K2 = AB oraz
K3 = BC . (patrz Rys.8)
274
 z
C(1,1,1)
K1
A(1,0,0)
O
x
K
3
K2
B(1,1,0)
y
Rys.8
Wyznaczymy równania parametryczne kolejnych łuków:
1) K1 jest odcinkiem o początku O(0, 0, 0) i końcu A(1, 0, 0) . Stąd
K1 :{x = t, y = 0, z = 0 t " 0,1 }
2) K2 jest odcinkiem o początku A(1,0, 0) i końcu B(1,1, 0) . Stąd
K2 :{x =1, y = t, z = 0 t " 0,1 }
3) K3 jest odcinkiem o początku B(1,1, 0) i końcu C(1,1,1) . Stąd
K3 :{x =1, y =1, z = t t " 0,1 }
Ponieważ K = K1 *" K2 *" K3 zatem na podstawie własności 2) otrzymujemy:
ydx - 2zdy + 3xdz = ydx - 2zdy + 3xdz + ydx - 2zdy + 3xdz + ydx - 2zdy + 3xdz
+" +" +" +"
K K1 K2 K3
Obliczamy kolejne całki stosując twierdzenie o zamianie całki skierowanej w przestrzeni na całkę
oznaczonÄ….
1
ydx - 2zdy + 3xdz = Å"1 - 2 Å" 0 Å" 0 + 3 Å" t Å" 0)dt = 0
+" +"(0
K1 0
1
ydx - 2zdy + 3xdz = Å" 0 - 2 Å" 0 Å"1 + 3 Å"1Å" 0)dt = 0
+" +"(t
K2 0
1 1
ydx - 2zdy + 3xdz = 0 - 2 Å" t Å" 0 + 3 Å"1Å"1)dt = = 3
+" +"(1Å" +"3dt
K3 0 0
Ostatecznie:
ydx - 2zdy + 3xdz = 0 + 0 + 3 = 3
+"
K
275
D) CAA
KA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA PO A
UKU ZAMKNI
TYM
Def.1.9. (krzywa zamknięta skierowana dodatnio (ujemnie) względem swego wnętrza)
Niech K będzie regularną krzywą zamkniętą w przestrzeni R2 . Wektor s jest wektorem stycznym do
krzywej K w punkcie P0 skierowanym zgodnie z kierunkiem tej krzywej, natomiast wektor n jest
Ä„
wektorem normalnym powstałym z obrotu wektora s w płaszczyz
nie OXY wokół punktu P0 o kąt + .
2
Mówimy, że krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D, jeśli wektor normalny n jest
skierowany do wnętrza D krzywej K (Rys.9.a).
Jeśli wektor normalny n jest skierowany na zewnątrz obszaru D, to mówimy, że krzywa jest skierowana
ujemnie względem swego wnętrza (Rys.9.b).
y y
s
P0
D
D
n s
P0
K K
n
0 0
x x
Rys.9.a Rys.9.b
Uwaga: Całki krzywoliniowe skierowane P(x, y)dx + Q(x, y)dy po krzywej K zamkniętej oznaczamy
+"
K
następująco: P(x, y)dx + Q(x, y)dy .
+"
K
Tw.1.6. (twierdzenie GREENA)
Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są klasy C1 (tzn. są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi I  go
rzędu) wewnątrz i na brzegu K obszaru D normalnego względem obu osi współrzędnych oraz brzeg K jest
skierowany dodatnio względem swego wnętrza to
ëÅ‚ "Q "P öÅ‚
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"+"ìÅ‚ "x - ÷Å‚ dxdy
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
K D
Uwaga: Twierdzenie Greena dotyczy całki krzywoliniowej skierowanej na płaszczyz
nie.
Twierdzenie to pozostaje prawdziwe również dla obszarów, które można podzielić na skończoną ilość
obszarów normalnych względem obu osi współrzędnych.
276
Przykład:
Stosując twierdzenie Greena obliczyć + x + y)dx + (xy + x - y)dy , gdzie K jest elipsą o równaniu
+"(xy
K
2
x2 y
+ =1 skierowaną dodatnio względem swego wnętrza (tj. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
a2 b2
(Rys.10).
W naszym przypadku P(x, y)= xy + x + y, Q(x, y)= xy + x - y .
"P "Q
StÄ…d = x + 1, = y + 1 .
"y "x
Obszar D jest obszarem normalnym względem obu osi układu współrzędnych, którego brzeg K jest
skierowany dodatnio względem swego wnętrza.
y
b
K
D
-a a
x
-b
Rys.10
Zatem
+"(xy + x + y)dx + (xy + x - y)dy = +"+"(y +1- x -1)dxdy = +"+"(y - x)dxdy =
K D D
x = ar cos Õ
y = br sin Õ
{wprowadzamy uogólnione współrzędne biegunowe} = =
J = abr
0 d" r d" 1, 0 d" Õ d" 2Ä„
1 1
îÅ‚2Ä„ Å‚Å‚ îÅ‚2Ä„ Å‚Å‚
2
=
ïÅ‚
+" +"(br sin Õ - ar cos Õ)Å" abr dÕśł dr = ab+"r ïÅ‚+"(b sin Õ - a cos Õ)dÕśł dr =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 ðÅ‚ 0 ûÅ‚ 0 ðÅ‚ 0 ûÅ‚
1
1 2Ä„
ëÅ‚ 3 öÅ‚
r ab
2Ä„
2 ìÅ‚ ÷Å‚
= ab dr sin Õ - a cos Õ)dÕ = ab (- (-
+"r +"(b 0
ìÅ‚ ÷Å‚Å" b cos Õ - a sin Õ) = b - 0 + b + 0) = 0
3 3
0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
NIEZALEŻNOŚĆ CAA
KI KRZYWOLINIOWEJ OD KSZTAA
TU DROGI CAA
KOWANIA
Def.1.10. (obszar jednospójny i wielospójny)
Obszar płaski D nazywamy obszarem jednospójnym, jeśli należy do niego wnętrze każdej regularnej
krzywej zamkniętej.
Obszar, który nie jest jednospójny nazywamy obszarem wielospójnym.
277
Przykład: Patrz Rys.11
a) Obszarami jednospójnymi są m.in. koło bez brzegu, kwadrat bez brzegu, cała płaszczyzna.
(Rys.11a, b)
b) Obszarem wielospójnym jest pierścień kołowy bez brzegów. Jest to obszar dwuspójny, gdyż jego
brzeg składa się z dwóch rozłącznych okręgów. (Rys.11c)
c) Ogólnie: obszarem n  spójnym nazywamy obszar, którego brzeg składa się z n rozłącznych
regularnych krzywych zamkniętych.(Rys.11d)
a) b) c) d)
Rys.11
Tw.1.7. (o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania)
"P "Q
Jeśli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są klasy C1 (tzn. są ciągłe wraz z pochodnymi , ) w obszarze
"y "x
jednospójnym D, to spełnienie równości:
"Q "P
=
"x "y
w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, żeby całka
P(x, y)dx + Q(x, y)dy
+"
AB
na otwartej krzywej K = AB regularnej (łączącej punkty A i B ) oraz leżącej całkowicie w obszarze D nie
zależała od kształtu tej krzywej, a tylko od punktów A i B.
"Q "P
Wniosek: Jeśli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są klasy C1 i spełniają warunek = w obszarze
"x "y
jednospójnym D, to P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 .
+"
K
Def.1.11. (różniczka zupełna funkcji F(x, y) )
Wyrażenie P(x, y)dx + Q(x, y)dy jest różniczką zupełną pewnej funkcji F(x, y) w obszarze D, jeśli w
"F "F
każdym punkcie tego obszaru spełnione są warunki: (*) = P(x, y), = Q(x, y) .
"x "y
Def.1.12. (funkcja pierwotna układu dwóch funkcji, całkowanie różniczki zupełnej)
Funkcję F(x, y) spełniającą warunki (*) w obszarze D nazywamy funkcją pierwotną układu dwóch
funkcji P(x, y) i Q(x, y) w obszarze D.
Wyznaczenie funkcji pierwotnej F(x, y) nazywamy całkowaniem różniczki zupełnej.
278
Tw.1.8.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie P(x, y)dx + Q(x, y)dy było różniczką
"Q "P
zupełną pewnej funkcji F(x, y) w obszarze D jest, aby w obszarze D zachodziła równość: = .
"x "y
Wniosek: Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w obszarze jednospójnym D całka
krzywoliniowa P(x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależała od drogi całkowania, jest, aby wyrażenie
+"
AB
P(x, y)dx + Q(x, y)dy było różniczką zupełną.
Tw.1.9.
Jeśli wyrażenie P(x, y)dx + Q(x, y)dy jest różniczką zupełną pewnej funkcji F(x, y) to
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = F(B) - F(A)
+"
AB
gdzie F(x, y) dowolna funkcja pierwotna.
Uwaga: Zapisujemy również
B
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,
+" +"
AB A
co oznacza całkę krzywoliniową skierowaną od punktu A do punktu B niezależną od drogi całkowania.
(6,8)
xdx + ydy
Przykład: Obliczyć wzdłuż drogi przebiegającej w półpłaszczyz
nie y > 0 .
+"
2
x2 + y
(-3,4)
x y
W zadaniu P(x, y) = , Q(x, y) = .
2 2
x2 + y x2 + y
x y
Sprawdzamy, czy wyrażenie dx + dy jest różniczką zupełną?
2 2
x2 + y x2 + y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
'
1 3
îÅ‚
- Å‚Å‚ ëÅ‚
- öÅ‚
"P - xy
2 2
2 ìÅ‚- 1 2 ÷Å‚
= x Å" (x2 + y ) = x Å" (x2 + y ) Å" 2y =
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
3
"y 2
2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
y
(x2 + y )
'
1 3
îÅ‚
- Å‚Å‚ ëÅ‚
- öÅ‚
"Q - xy
2
2 ìÅ‚- 1 2 ÷Å‚
= y Å" (x2 + y ) = y Å" (x2 + y2) Å" 2x =
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
3
"x 2
2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
x
(x2 + y )
"Q "P
2
Stąd " x2 + y > 0 spełniony jest warunek = , zatem powyższe wyrażenie jest różniczką
"x "y
2
zupeÅ‚nÄ… pewnej funkcji pierwotnej F(x, y) okreÅ›lonej na zewnÄ…trz okrÄ™gu x2 + y = Á2 , gdzie Á > 0
jest dowolną stałą.
"F "F
Wyznaczając funkcję pierwotną F(x, y) korzystamy z warunków: = P(x, y), = Q(x, y) .
"x "y
279
Wówczas mamy
"F x "F y
(1) = (2) =
2 2
"x "y
x2 + y x2 + y
Następnie całkujemy równanie (1) względem zmiennej x i otrzymujemy:
"F x
dx = dx
+" +"
2
"x
x2 + y
1 2x 1
2
StÄ…d F(x, y) = dx czyli F(x, y) = Å" 2 x2 + y + Õ( y)
+"
2
2 2
x2 + y
Zatem
2
(3) F(x, y) = x2 + y + Õ( y)
gdzie Õ(y) jest dowolnÄ… funkcjÄ… różniczkowalnÄ… speÅ‚niajÄ…cÄ… rolÄ™ dowolnej staÅ‚ej.
"F 1
2
Równanie (3) różniczkujemy po zmiennej y, wiÄ™c = Å" 2y + Õ (y)
"y
2 x2 + y2
"F y "F y
2
Czyli = + Õ (y) , ale z równania (2) =
2 2
"y "y
x2 + y x2 + y
2
PrzyrównujÄ…c powyższe równania mamy: Õ ( y) = 0 czyli Õ( y) = C
Ostatecznie funkcja pierwotna ma postać:
F(x, y) = x2 + y2 + C
Korzystając z Tw.1.9. obliczamy całkę krzywoliniową:
(6,8)
xdx + ydy
= F(6,8)- F(- 3, 4) = 36 + 64 - 9 +16 = 10 - 5 = 5
+"
2
x2 + y
(-3,4)
Zatem nasza całka nie zależy od drogi całkowania, a jedynie od punktów A(- 3,4), B(6,8) oraz
(6,8)
xdx + ydy
= 5
+"
2
x2 + y
(-3,4)
Uwaga: Wyznaczając funkcję pierwotną F(x, y) możemy również całkować równanie (2) względem
"F y
zmiennej y i wówczas: dy = dy .
+" +"
2
"y
x2 + y
Postępując jak w poprzednim przypadku otrzymamy równanie (3 ) w postaci:
2
F(x, y) = x2 + y + Õ(x) , gdzie Õ(x) jest dowolnÄ… funkcjÄ… różniczkowalnÄ… speÅ‚niajÄ…cÄ… rolÄ™ dowolnej
stałej. Następnie po zróżniczkowaniu (3 ) po zmiennej x i przyrównaniu otrzymanej równości do
równania (1) wyznaczymy następujący wzór funkcji pierwotnej F(x, y) = x2 + y2 + C .
280