Egzamin z Algebry, 3 II 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 Wyznaczyć moduł i argument główny liczby zespolonej z = w2 , jeżeli |z| = 2
3Ä„
w = 1 - i . Arg z =
2
RozwiÄ…zanie:
z = (1 - i)2 = 1 - 2i - 1 = -2i
|z| = | - 2i| = 2|i| = 2
0 -2
cos Õ = = 0 , sin Õ = = -1 =Ò! Õ = -Ä„ + 2kÄ„ , k " Z
2 2 2
3Ä„
Arg z "< 0, 2Ä„) =Ò! Arg z =
2
2 Dla jakiej wartości parametru p " R układ równań p = 3

Å„Å‚
ôÅ‚ x +y +z = 5
òÅ‚
x -y +2z = 4
ôÅ‚
ół
2x +pz = 5
ma dokładnie jedno rozwiązanie?
RozwiÄ…zanie:
Układ ma jedno rozwiązanie, gdy |A| = 0 .



1 1 1


|A| = 1 -1 2 = -p + 4 + 2 - p = -2p + 6


2 0 p
|A| = 0 =Ò! -2p + 6 = =Ò! p = 3
x - 1 y + 5 z + 1
3 Dla jakiej wartości parametru p prosta l : = = jest 4
1 2 p
równoległa do płaszczyzny Ą : 2x + y - z + 1 = 0 ?
RozwiÄ…zanie:
- - - -

l || Ä„ Ð!Ò! v Ä„" n Ð!Ò! v · n = 0
- -

v = [1, 2, p] , n = [2, 1, -1]
- -

v · n = 2 + 2 - p = 4 - p = 0 Ð!Ò! p = 4
(x - 4)2 (y - 1)2
4 Wyznaczyć współrzędne ognisk elipsy: + = 1 . F1(4, 5)
9 25
F2(4, -3)
RozwiÄ…zanie:
S(4, 1) środek elipsy
" "
a = = 3 , b = 25 = 5 , b > a półosie
"9
f = b2 - a2 = 4 odległość ognisk od środka elipsy
F (4 , 1 Ä… f) ogniska elipsy
5 Napisać równanie sfery o środku w punkcie S(2, 3, 4) stycznej do osi Ox . (x - 2)2 + (y -
3)2 +(z -4)2 =
RozwiÄ…zanie:
25
Promień sfery jest równy odległości punktu S od osi Ox
"
R = 32 + 42 = 5
(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2 = 25 równanie sfery
1
2. Wyznaczyć pierwiastki równania (z2 + 4z + 13)(z3 + 8) = 0 , z " C .
RozwiÄ…zanie:
z2 + 4z + 13 = 0 lub z3 + 8 = 0
Rozwiązujemy rónanie:
z2 + 4z + 13 = 0
" = 16 - 52 = -36
"
" = Ä…6i
-4 - 6i
z1 = = -2 - 3i
2
-4 + 6i
z2 = = -2 + 3i
2
Rozwiązujemy rónanie:
z3 + 8 = 0
z3 = -8
"
3
z -8
-8 = 8(cos Ą + i sin Ą) postać trygonometryczna

"
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
3
zk = 8 cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
"

"
Ä„ Ä„ 1 3
z0 = 2 cos + i sin = 2 + i = 1 + i 3
3 3 2 2

3Ä„ 3Ä„
z1 = 2 cos + i sin = 2 cos Ä„ + i sin Ä„ = -2
3 3
"

"
5Ä„ 5Ä„ Ä„ Ä„ 1 3
z2 = 2 cos + i sin = 2 cos - i sin = 2 - i = 1 - i 3
3 3 3 3 2 2
Odpowiedz
:
Pierwiastki równania:
" "
z1 = -2 - 3i , z2 = -2 + 3i , z3 = -2 , z4 = 1 + i 3 , z5 = 1 - i 3
2
3. Rozwiązać równanie:


x 3 1 1 x 1


1 4 1 = 2 3 -2


3 7 x 3 5 -1
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy:


x 3 1


1 4 1 = 4x2 + 9 + 7 - (12 + 7x + 3x) = 4x2 - 10x + 4


3 7 x


1 x 1


2 3 -2 = -3 - 6x + 10 - (9 - 10 - 2x) = -4x + 8


3 5 -1
Rozwiązujemy równanie:
4x2 - 10x + 4 = -4x + 8
4x2 - 6x - 4 = 0
2x2 - 3x - 2 = 0
"
" = 9 + 16 = 25 =Ò! " = 5
3 - 5 1
x1 = = -
4 2
3 + 5
x2 = = 2
4
Odpowiedz

1
x1 = - , x2 = 2
2
3
4. Znalez
ć odległość między prostymi l1 i l2 :
Å„Å‚

ôÅ‚ x = t
òÅ‚
x - y + z + 1 = 0
l1 : ; l2 : y = t , t " R
ôÅ‚
2x + y + 1 = 0
ół
z = 2t
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równaie prostej l1 do postaci parametrycznej
x = t
2t + y + 1 = 0 =Ò! y = -2t - 1
t + 2t + 1 + z + 1 = 0 =Ò! z = -3t - 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t
òÅ‚
l1 : y = -2t - 1 , t " R
ôÅ‚
ół
z = -3t - 2
-

v = [1 , -2 , -3] wektor kierunkowy prostej l1
1
-

v = [1 , 1 , 2] wektor kierunkowy prostej l2
2
- -

widać, że wektory v i v nie są równoległe.
1 2
Odległość między prostymi jest równa:
-
-
-
-
|( × v ) · P1P2|
v
1 2
d =
-
-
| × v |
v
1 2
P1 = (0 , -1 , -2) dowolny punkt prostej l1 np. dla t = 0
P2 = (0 , 0 , 0) dowolny punkt prostej l2 np. dla t = 0
-
-
P1P2 = [0 , 1 , 2]


i j k

- -

v × v = 1 -2 -3 = [-1, -5, 3]
1 2


1 1 2
|0 - 5 + 6| 1
"
d = =
(-1)2 + (-5)2 + 32 35
Odpowiedz
:
1
"
Odległość między prostymi jest równa: d = .
35
4
5. Dla jakiego m " R przekątne czworoboku ABCD są do siebie prostopadłe?
A(0, 1, 1) , B(1, 1, -1) , C(1, 0, -2) , D(0, m, m)
RozwiÄ…zanie:
Przekątne czworoboku (odcinki AC i BD ) są do siebi prostopadłe, gdy
- - - -
- -
AC Ä„" BD Ð!Ò! AC · BD = 0
-

AC = [1 , -1 , -3]
-
-
BD = [-1 , m - 1 , m + 1]
- -
-
AC · BD = -1 - m + 1 - 3m - 3 = -4m - 3
3
-4m - 3 = 0 Ð!Ò! m = -
4
Ponadto punkty ABCD muszą leżeć w jednej płaszczyz
nie. Warunek ten zachodzi,
gdy:
- - -
-
(AB × AC) · AD = 0
-

AB = [1 , 0 , -2]
-
-
AD = [0 , m - 1 , m - 1] = [0 , -7 , -7]
4 4


1 0 -2

- - - 7 14 21
-

(AB × AC) · AD = 1 -1 -3 = + - = 0


0 -7 -7 4 4 4
4 4
wniosek: punkty A ,B , C, D leżą w jednej płaszczyz
nie.
Ponadto żadne 3 kolejne punkty nie mogą być współliniowe:
- -

ABC nie są wpółliniowe, bo AB = [1 , 0 , -2] AC = [1 , -1 , -3]
- -
- -
1
BCD nie są wpółliniowe, bo BC = [0 , -1 , -1] BD = [-1 , -7 , ]
4 4
- -
-
CDA nie są wpółliniowe, bo AC = [1 , -1 , -3] AD = [0 , -7 , -7]
4 4
- -
-
DAB nie są wpółliniowe, bo AB = [1 , 0 , -2] AD = [0 , -7 , -7]
4 4
Odpowiedz
:
3
Przekątne są do siebie prostopadłe dla m = - .
4
5
6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej sfery S : (x - 1)2 + y2 + z2 = 1 prostopadłej
do prostej
Å„Å‚
ôÅ‚ - 1
x = t
òÅ‚
l : y = t + 3 , t " R
ôÅ‚
ół
z = 2t + 4
Odpowiedz
:
-

Wektor kierunkowy prostej l : v = [1.1.2]
-

Szukana płaszczyzna Ą jest prostopadła do prostej, więc jej wektor normalny n =
-

v = [1.1.2]
StÄ…d:
Ä„ : x + y + 2z + D = 0
Płaszczyzna ta jest styczna do sfery, gdy odległość środka sfery od płaszczyzny jest
równa promieniowi sfery.
Środke sfery: O(1, 0, 0, ) , jej promień R = 1
|1 + D| |1 + D|
" "
d = =
12 + 12 + 22 6
"
|1 + D|
"
d = R =Ò! = 1 =Ò! |D + 1| = 6
6
stÄ…d:
"
D + 1 = Ä… 6
"
D1 = -1 - 6
"
D2 = -1 + 6
Odpowiedz
:
Istnieją dwie płaszczyzny spełniające zadane warunki:
" "
Ä„1 : x + y + 2z - 1 - 6 = 0 oraz Ä„2 : x + y + 2z - 1 + 6 = 0
6