EGZAMIN - PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zad 1
Obliczyć granice ciągów:
2n 2n
2 + 4 + 6 + · · · + 2n 1 + 2 + 3 + · · · + n n + 2 n + 2
a) an = b) an = c) an = d) an =
5n2 + 3 2n2 + n n + 4 n + 4
n+1
n
32n+1+5 -6n 4 · 23n + 6n - 7n 2n + 8
e) an = f) an = g) an =
4n+2 - 5n + 9n 5n - 2 · 8n 3n + 4

"
3 n n n

8n3 + 2n + n 1 2 3
n
h) an = n( 4n2 + 5-2n) i) an = j) an = 6 · + 2 · +
5n + 1 2 3 4
" "

"
9n2 + 1 - 4n2 + 2
n
k) an = 9n2 + 4n- 9n2 - 2n l) an = m) an = 6 · 2n + 2 · 3n + 4n
2n + 4
Zad 2
Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji

1 2x - 1 1
a) y = +2xarctg x b) y = -2arctg x c) f(x) = x2 + 4-2x d) y = +arcctg x
x + 1 x + 1 x

1 4x + 1
e) y = -2xarctg x f) f(x) = +arcctg x g) f(x) = 4x2 + 4+x
x - 1 x - 1
Zad 3
Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji:
1
a) y = 2x-ln(3x+1) b) y = x-arctg x c) f(x) = x+5arctg x d) y = (x2-6x+9)ex
2
Zad 4
Wyznaczyć punkty przegięcia i przedziały wypukłości wykresu funkcji:
a) y = - ln(x2+6x+10) b) f(x) = (x2+1)ex c) f(x) = xe-x
Zad 5
Znalez
ć całkę nieoznaczoną:

7x2 + 14x + 13 6x2 + 5x + 9 4x2 - x + 7
a) dx b) dx c) dx
x3 + 5x2 + 9x + 5 x3 + 3x2 + x - 5 x3 - x2 - x - 15

3x2 + 3x + 7 4x2 + 10x + 14 x2 - 5x - 11
d) dx e) dx f) dx
x3 + x + 10 x3 + 3x2 + 7x + 5 x3 + 2x2 - 3x - 10
Zad 6
Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
"
"
a) y = 2 x oraz y = x b) y = 6 x - 1 oraz y = 6(x-1)2
c) y = 0 oraz y = e-x(x2+2x) d) y = ln x, y = 1 oraz x = e2 e) y = ln x oraz y = ln2 x
Zad 7
Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu dookoła osi OX krzywej:
"
a) y = xex dla x " 0, 2 b) y = ln x dla x " 1, e
Zad 8
a) Podać definicję minimum lokalnego funkcji w punkcie. Uzasadnić na podstawie definicji, że funkcja f : R R dana
wzorem f(x) = |x + 1| - 1 ma w punkcie x = -1 minimum lokalne.
b) Podać warunek konieczny i wystarczjący istnienia pochodnej funkcji w punkcie x0. Uzasadnić, że nie istnieje
pochodna funkcji f : R R danej wzorem f(x) = |x| w punkcie x0 = 0.
c) Podać warunek konieczny i wystarczjący istnienia granicyj funkcji w punkcie x0. Uzasadnić, że nie istnieje granica
|x|
funkcji f : R R danej wzorem f(x) = w punkcie x0 = 0.
x
d) Podać definicję pochodnej lewostronnej funkcji f w punkcie. Obliczyć pochodną lewostronną funkcji f : R R
danej wzorem f(x) = |x| - x w punkcie x0 = 0.