Inżynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian 1
Przykłady
1. Korzystając z metody residuów wyznacz oryginały funkcji
(a)
4s2 + 25s + 30
F (s) =
(s + 1)(s + 2)(s + 4)
Funkcja posiada pojedyncze bieguny rzeczywiste, więc możemy przedstawić ją w postaci
A B C
F (s) = + +
s + 1 s + 2 s + 4
gdzie poszczególne współczynniki liczymy w sposób następujący
A = [(s + 1)F (s)]|s=-1 = 3
B = [(s + 2)F (s)]|s=-2 = 2
C = [(s + 4)F (s)]|s=-4 = -1
W rezultacie otrzymujemy
3 2 1
F (s) = + -
s + 1 s + 2 s + 4
Korzystając z tablic transformat wyznaczamy transformatę odwrotną powyższego wyra-
żenia

f(t) = 3e-t + 2e-2t - e4t 1(t)
Wartości residuów możemy też wyznaczyć korzystając z Matlaba
N=[42530] %wspolczynnikiwielomianulicznika
D=poly([-1-2-4])%wyznaczeniewspolczynnikowwielomianumianownika
[R,P]=residue(N,D)%wektorRzawierawartosciwspolczynnikowodpowiadajacych
%miejscomzerowymP
(b)
s2 + 2s + 3
F (s) =
(s + 2)3
Funkcja posiada potrójny biegun dla s = -2 więc możemy ją przedstawić w postaci
A1 A2 A3
F (s) = + +
s + 2 (s + 2)2 (s + 2)3
1
Wartości współczynników wyznaczymny na podstawie odpowiednich wzorów



1 d2
A1 = s2 + 2s + 3 = 1

2! ds2
s=-2



1 d
A2 = s2 + 2s + 3 = -2

1! ds
s=-2


1

A3 = s2 + 2s + 3 = 3

0!
s=-2
skąd możemy zapisać rozważaną funkcję w postaci
1 2 3
F (s) = - +
s + 2 (s + 2)2 (s + 2)3
co po skorzystaniu ze wzoru

1 tne-at
= L
(s + a)n+1 n!
w dziedzinie czasu daje

te-2t t2e-2t
f(t) = e-2t - 2 + 3 1(t)
1! 2!

3t2
f(t) = 1 - 2t + e-2t1(t)
2
(c)
s + 4
F (s) =
s2 + 4s + 5
Mianownik powyższej funkcji posiada pierwiastki zespolone sprzężone (s1 = -2 + j, s2 =
-2 - j), więc F (s) należy przedstawić w postaci
A B
F (s) = +
s + 2 - j s + 2 + j
Odpowiednie współczynniki wyznaczymy w identyczny sposób, jak w przypadku pojedyn-
czych pierwiastków rzeczywistych


s + 4 1

A = [(s + 2 - j)F (s)]|s=-2+j = = - j

s + 2 + j 2
s=-2+j

s + 4 1

B = [(s + 2 + j)F (s)]|s=-2-j = = + j

s + 2 - j 2
s=-2-j
Stąd rozważaną funkcję możemy przedstawić w postaci
0,5 - j 0,5 + j
F (s) = +
s + 2 - j s + 2 + j
KorzystajÄ…c z tablic transformat otrzymujemy

1 1
f(t) = - j e(-2+j)t + + j e(-2-j)t 1(t) =
2 2

1
= e-2t (ejt + e-jt) - j(ejt - e-jt) 1(t)
2
2
co po przekształceniach daje poszukiwaną funkcję
f(t) = e-2t [cos t + 2 sin t] 1(t)
Otrzymany wynik możemy sprawdzić korzystając z Matlaba
symss
F=(s+4)/(s^2+4*s+5)
ilaplace(F)
2. Dany jest układ dynamiczny opisany równaniem
y (t) + 4y (t) + 13y(t) = u(t)
(a) Wyznacz odpowiedz
ukÅ‚adu na pobudzenie u(t) = -4´(t) przy zaÅ‚ożeniu warunków poczÄ…t-
kowych: y(0+) = 1 i y (0+) = 0.
Przedstawiamy równanie w dziedzinie transformaty pamiętając o uwzględnieniu warunków
poczÄ…tkowych
s2Y (s) - sy(0+) - y (0+) + 4sY (s) - 4y(0+) + 13Y (s) = -4,
a następnie dokonujemy prostych przekształceń wyznaczając Y (s)
s2Y (s) - s + 4sY (s) - 4 + 13Y (s) = -4
Y (s)(s2 + 4s + 13) = s
s
Y (s) =
s2 + 4s + 13
Wyróżnik mianownika jest mniejszy od zera (" = -36) więc mianownik przedstawimy w
postaci kanonicznej a(s - p)2 + q gdzie p = -b/(2a) oraz q = -"/(4a)
s s + 2 2
Y (s) = = -
(s + 2)2 + 9 (s + 2)2 + 9 (s + 2)2 + 9
skąd, korzystając z tabel znajdujemy odwrotne transformaty obu składników otrzymując
przebieg odpowiedzi obiektu na pobudzenie u(t)
2
y(t) = (cos 3t - sin 3t)e-2t1(t)
3
(b) Określ transmitancję układu
Równanie opisujące obiekt przedstawiamy w dziedzinie transformaty s2Y (s) + 4sY (s) +
13Y (s) = U(s) a następnie wyznaczamy Y (s) i dzielimy przez U(s) otrzymując transmi-
tancjÄ™
Y (s) 1
G(s) = =
U(s) s2 + 4s + 13
(c) Opisz działanie układu za pomocą równań stanu
Przepisujemy równanie w postaci
y (t) = u(t) - 4y (t) - 13y(t)
3
Rysunek 1: Schemat będący rozwiązaniem zadania 2d
Następnie dokonujemy podstawień x1(t) = y(t), x2(t) = y (t), co pozwala nam na zapisanie
układu równań
x (t) = x2(t)
1
x (t) = -13x1(t) - 4x2(t) + u(t)
2
który możemy zapisać w postaci
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) (1)
gdzie

0 1 0
A = , B = , C = [ 1 0 ]
-13 -4 1
(d) Narysuj schemat blokowy układu za pomocą integratorów, sumatorów i bloków mnożących
Schemat blokowy powstaje bezpośrednio z modelu stanowego. Jako zmienne stanu przyj-
mujemy wyjścia integratorów. Gotowy schemat przedstawiono na rys. 1.
3. Dana jest transmitancja układu
3s - 4
G(s) =
s3 + 3s2 + 4s + 12
(a) Określ odpowiedz
impulsową układu
Odpowiedz
układu będzie odwrotną transformatą iloczynu transmitancji i transformaty
pobudzenia. Transformata Laplace a impulsu jednostkowego wynosi L{´(t)} = 1 wiÄ™c
odpowiedz
impulsowa jest odwrotnÄ… transformatÄ… transmitancji
y(t) = L-1 {G(s)L{´(t)}} = L-1{G(s)} = g(t)
Aby otrzymać odpowiedz
impulsową, transmitancję rozkładamy na ułamki proste
3s - 4 3s - 4
G(s) = =
s3 + 3s2 + 4s + 12 (s2 + 4)(s + 3)
A Bs + C
= + (2)
s + 3 s2 + 4
As2 + 4A + Bs2 + 3Bs + Cs + 3C = 3s - 4
Å„Å‚
ôÅ‚ A + B = 0
òÅ‚
3B + C = 3
ôÅ‚
ół
4A + 3C = -4
4
skąd wyznaczamy A = -1, B = 1 oraz C = 0. Transmitancja po rozłożeniu na ułamki
proste wygląda następująco
s 1
G(s) = -
s2 + 4 s + 3
skÄ…d przy pomocy tablic wyznaczamy odpowiedz
na impuls jednostkowy

y(t) = g(t) = L-1{G(s)} = cos 2t - e-3t 1(t)
Taki sam wynik osiągniemy wykonując ciąg poleceń Matlaba
symss
F=(3*s-4)/(s^3+3*s^2+4*s+12)
ilaplace(F)
(b) Przedstaw równanie różniczkowe opisujące działanie układu
Zapiszmy transmitancjÄ™ w postaci
Y (s) 3s - 4
G(s) = =
U(s) s3 + 3s2 + 4s + 12
co daje
s3Y (s) + 3s2Y (s) + 4sY (s) + 12Y (s) = -4U(s) + 3sU(s).
Dokonując odwrotnej transformaty Laplace a powyższego równania otrzymamy rozwiąza-
nie zadania
y (t) + 3y (t) + 4y (t) + 12y(t) = -4u(t) + 3u (t)
4. Dany jest system opisany równaniami stanu
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 0 1 , B = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-12 -19 -8 1
C = [ 39 26 5 ]
(a) Wyznacz transmitancjÄ™ tego systemu
Aby wyznaczyć transmitancję systemu skorzystamy ze wzoru
G(s) = C[sI - A]-1B
îÅ‚ Å‚Å‚-1
s -1 0
ïÅ‚ śł
[sI - A]-1 = 0 s -1 ûÅ‚
ðÅ‚
12 19 s + 8
îÅ‚ Å‚Å‚T
s2 + 8s + 19 12 12s
1
ïÅ‚ śł
= ðÅ‚ s + 8 s2 + 8s -19s - 12 ûÅ‚
det(sI - A)
1 s s2
îÅ‚ Å‚Å‚
s2 + 8s + 19 s + 8 1
1
ïÅ‚ śł
= ðÅ‚ 12 s2 + 8s s ûÅ‚
s3 + 8s2 + 19s + 12
12s -19s - 12 s2
5
Rysunek 2: Schemat układu do zadania 5a
îÅ‚ Å‚Å‚
1
1
ïÅ‚ śł
s
[sI - A]-1B = ðÅ‚ ûÅ‚
s3 + 8s2 + 19s + 12
s2
îÅ‚ Å‚Å‚
1
1
ïÅ‚ śł
C[sI - A]-1B = [ 39 26 5 ] s
ðÅ‚ ûÅ‚
s3 + 8s2 + 19s + 12
s2
skąd możemy wyznaczyć transmitancję
5s2 + 26s + 39
G(s) =
s3 + 8s2 + 19s + 12
Uwaga: Możemy zauważyć, że macierze opisujące działanie układu są w postaci kanonicz-
nej, więc transmitancję można również wyznaczyć podstawiając odpowiednie elementy
macierzy do wzoru.
Transmitancję systemu na podstawie modelu stanowego można również wyznaczyć korzy-
stajÄ…c z Matlaba
A=[010;001;-12-19-8]
B=[0;0;1]
C=[39265]
D=[0]
tf(ss(A,B,C,D))
5. Dany jest układ RC jak na rys. 2
U2(s)
(a) Wyznacz transmitancję G(s) = tego układu
U1(s)
Możemy określić bilans napięć w układzie
duc(t)
u1(t) = uc(t) + Ric(t) = uc(t) + RC
dt
Korzystając z zależności uc(t) = u1(t) - u2(t) otrzymamy
du1(t) du2(t)
u1(t) = u1(t) - u2(t) + RC - RC
dt dt
co po przekształceniach prowadzi do
du1(t) du2(t)
RC = +RC + u2(t)
dt dt
6
Dokonując przekształcenia Laplace a powyższego równania i dzieląc jego obie strony przez
U1(s) otrzymamy szukanÄ… transmitancjÄ™
sRC
G(s) =
1 + sRC
(b) Znajdz
odpowiedz
tego układu na sygnał u1(t) = (sin 2t)1(t) przy założeniu zerowych wa-
runków poczÄ…tkowych oraz R = 2M&! i C = 0,5µF
2
Dla warunków określonych w zadaniu RC = 1 oraz U1(s) = . Jako, że warunki
s2+4
poczÄ…tkowe sÄ… zerowe odpowiedz
układu możemy wyznaczyć z zależności
u2(t) = L-1{G(s)U1(s)}

2s
= L-1
(s + 1)(s2 + 4)

0,4 0,4s + 1,6
= L-1 - +
s + 1 s2 + 4

= 0,4 -e-t + cos 2t + 2 sin 2t 1(t)
Zadania do samodzielnego wykonania
1. Znajdz
oryginały transformat
1
(a) Y (s) =
s(s+2)(s+3)
10
(b) Y (s) =
(s+1)2(s+3)
s
(c) Y (s) =
(s+3)3
s+4
(d) Y (s) =
(s+1)3
s+3
(e) Y (s) =
(s+1)(s2+4s+7)
s+3
(f) Y (s) =
s(s2+4)
2. Posługując się metodą transfomacji Laplace a znajdz
rozwiązanie następujących równań róż-
niczkowych
(a) y (t) + 3y(t) = u(t)
u(t) = 5e2t
y(0+) = 4
(b) y (t) + 2y(t) = u(t)
u(t) = 3e-t
y(0+) = 1
(c) y (t) + 2y (t) + y(t) = u(t)
u(t) = 3´(t)
y(0+) = -3, y (0+) = 6
(d) y (t) + y(t) = u(t)
u(t) = sin t
y(0+) = 1
(e) y (t) - y(t) = u(t)
u(t) = te2t
y(0+) = 0
7
(f) y (t) + 4y(t) = u(t)
u(t) = cos t
y(0+) = 2
(g) y (t) + 4y (t) + 4y(t) = u(t)
u(t) = 81(t)
y (0+) = -12, y(0+) = 3
(h) y (t) + 2y (t) + 5y (t) = u(t)
u(t) = 3´(t)
y (0+) = -6, y (0+) = 1, y(0+) = 4
(i) y (t) + y (t) + 9y(t) = u(t)
u(t) = 3´(t)
y (0+) = 2, y (0+) = -1, y(0+) = 3
(j) y (t) + 7y (t) + 17y (t) + 15y(t) = u(t)
u(t) = 0
y (t) = -1, y (t) = -1, y(0+) = -19
3. Wyznacz transmitancje układów opisanych równaniami różniczkowymi oraz znajdz
ich odpo-
wiedz
impulsowÄ…
(a) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 7u(t) + 5u (t)
(b) y (t) + 5y (t) + 6y(t) = 4u(t) + u (t)
(c) y (t) + 3y (t) + 7y (t) + 5y (t) = 5u(t) + 3u (t) + u (t)
(d) y (t) + 5y (t) + 9y (t) + 5y(t) = 8u(t) + 8u (t) + 2u (t)
4. Znajdz
reprezentację w przestrzeni stanów układów opisanych transmitancjami
1
(a) G(s) =
s3+2s2+3s+1
4
(b) G(s) =
s3+3s2+2s+2
s2+2s+1
(c) G(s) =
s3+4s2+3s+2
s2+s+4
(d) G(s) =
s3+2s2+s+3
5. Znajdz
transmitancje układów opisanych równaniami stanu

1 1 0
(a) A = , B = , C = [ 1 2 ]
0 2 1

-1 0 1
(b) A = , B = , C = [ 0 1 ]
1 -3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(c) A = 0 1 2 , B = 0 , C = [ 1 0 -1 ]
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 1 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(d) A = 0 -4 0 , B = 0 , C = [ 1 0 1 ]
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-8 -4 -6 1
U2(s)
6. Wyznacz transmitancję G(s) = układu, którego schemat znajduje się na rys. 3
U1(s)
8
Rysunek 3: Schemat układu do zadania 6
Rysunek 4: Schemat układu do zadania 7
Rysunek 5: Rysunek do zadania 8
Rysunek 6: Schemat do zadania 9
9
U2(s)
7. Wyznacz transmitancję G(s) = układu, którego schemat znajduje się na rys. 4. Określ
U1(s)
odpowiedz
tego układu na skok jednostkowy napięcia wejściowego, przy założeniu R = 100k&!,
C = 10µF oraz uc(0+) = 0,2V .
X(s)
8. Wyznacz transmitancję G(s) = układu przedstawionego na rysunku 5 oraz określ jego
F (s)
model w przestrzeni stanów. Na rysunku x(t) oznacza odchylenie od stanu równowagi natomiast
f(t) siłę działającą na ciało o masie m.
X2(s)
9. Wyznacz transmitancję G(s) = układu przedstawionego na rysunku 6 oraz określ jego
X1(s)
model w przestrzeni stanów. Na rysunku x1(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie
m1 natomiast x2(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie m2. W przyjętym modelu
pominąć tarcie.
10. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe
układów
1
(a) G(s) =
s4+3s3+2s2+1
1
(b) G(s) =
s4+7s2+3s+4
(c) y (t) + 2y (t) + 3y(t) = u(t)
(d) y (t) + 8y (t) + 7y (t) + 4y(t) = u(t)
11. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe
układów generujących przebiegi funkcji oraz określ wartości sygnałów na wyjściach integtatorów
dla t = 0
(a) y(t) = e-3t1(t)
(b) y(t) = cos 2t1(t)
(c) y(t) = 2 sin 3t1(t)
(d) y(t) = 2e4t1(t)
10
bn-1sn-1 + . . . + b0
G(s) =
sn + an-1sn-1 + . . . + a0
Model stanowy dla n=3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 0 1 , B = 0 , C = b0 b1 b2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-a0 -a1 -a2 1
Odpowiedzi

1 1 1
1a. y(t) = + e-3t - e-t 1(t)
3 6 2
5
1b. y(t) = (e-3t + (2t - 1)e-t) 1(t)
2

3
1c. y(t) = te-3t 1 - t 1(t)
2

1d. y(t) = te-t 3t + 1 1(t)
2

" " "
1 1 1
1e. y(t) = e-t + e2 t 3 sin( 3t) - e2 t cos( 3t) 1(t)
6 2 6

3 3 1
1f. y(t) = - cos(2 t) + sin(2 t) 1(t)
4 4 2
1 3
2a. Y (s) = + , y(t) = e2t + 3e-3t, t 0
s-2 s+3
3 2
2b. Y (s) = - , y(t) = 3e-t - 2e-2t, t 0
s+1 s+2
-3 6
2c. Y (s) = + , y(t) = -3e-t + 6te-t, t 0
s+1 (s+1)2
1,5 0,5s 0,5
2d. Y (s) = - + , y(t) = 1,5e-t - 0,5 cos t + 0,5 sin t, t 0
s+1 s2+1 s2+1
1 1 1
2e. Y (s) = - + , y(t) = et + (t - 1)e2t, t 0
s-1 s-2 (s-2)2
5 1
s s
5 1
3 3
2f. Y (s) = + , y(t) = cos 2t + cos t, t 0
s2+4 s2+1 3 3
5s+7
3a. G(s) = , y(t) = 2e-t + 3e-2t, t 0
s2+3s+2
s+4
3b. G(s) = , y(t) = 2e-2t - e-3t, t 0
s2+5s+6
s2+3s+5 1
4c. G(s) = , y(t) = (cos 2t + sin 2t)e-t + 3e-t, t 0
s3+3s2+7s+5 2
2s2+8s+8
4d. G(s) = , y(t) = (cos t + sin t)e-2t + e-t, t 0
s3+5s2+9s+5
2s-1
5a. G(s) =
s2-3s+2
2s+3
5b. G(s) =
s2+3s+2
2
5c. G(s) =
s2-1
2s
5d. G(s) =
s2+8s+12
U2(s)
1
6. G(s) = =
U1(s) R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1
1
7 G(s) = , u2(t) = (1 - 0,8e-t) 1(t)
RCs+1


0 1 0
1
8 G(s) = , A = , B = , C = 1 0
k b 1
ms2+bs+k
- -
m m m
11
Rysunek 7: RozwiÄ…zania do zad. 11
Przydatne wzory
ejÉ - e-jÉ
sin É =
2j
ejÉ + e-jÉ
cos É =
2
j2 = -1
1
= -j
j
12
Tabela 1: Tablica transformat
Oryginał, t 0 Transformata
´(t) 1
1
1(t)
s
1
t
s2
tn 1
n! sn+1
1
e-at
s+a
1
te-at
(s+a)2
tne-at 1
n! (s+a)n+1
É
sin(Ét)
s2+É2
s
cos(Ét)
s2+É2
É
e-at sin(Ét)
(s+a)2+É2
s+a
e-at cos(Ét)
(s+a)2+É2
f(t - Ä)1(t - Ä) F (s)e-Äs
e-atf(t) F (s + a)
13