5 listopada 2009
Zaczynamy od przerobienia zaległych zadań z poprzednich serii: 6.7,
7.6, 8.2, 8.4.
9.1 Udowodnij, że następujące podzbiory płaszczyzny euklidesowej są
homeomorficzne:
a) A1 = {(x, y): |x|, |y| < 1}, A2 = {(x, y): x2 + y2 < 1}, A3 = R2.
b) B1 = {(x, y): x2 + y2 d" 1 i x < 1},
B2 = {(x, y): |x|, |y| < 1 i (x, y) = (1, 0)},
B3 = {(x, y): |x|, |y| < 1 i x < 1},
B4 = {(x, y): x e" 0}.
9.2 a) Udowodnij, że iloczyn topologiczny okręgu i prostej jest home-
omorficzny z płaszczyzną bez punktu.
b) Udowodnij, że iloczyn topologiczny dwóch okręgów jest homeomor-
ficzny z torusem, tzn. powierzchnią w R3 otrzymaną przez obrót wokół
osi z okręgu w płaszczyznie xy nie przecinającego tej osi.
9.3 W kwadracie leksykograficznym (I2, T (<)) znalezć domknięcie i
wnętrze każdego z następujących zbiorów:
a) A = {(x, 0): x " Q )" (0, 1)},
b) B = {(x, 1): x " Q )" (0, 1)},
2
c) C = {(x, y): x " Q )" (0, 1), y " (1, )}.
2 3
9.4 Udowodnij, że topologia strzałki nie ma przeliczalnej bazy. Wy-
wnioskuj, że topologia strzałki nie jest metryzowalna.
9.5 Niech T (de) będzie topologią prostej euklidesowej (R, de) i niech
T = {U \ A: U " T (de), A - przeliczalny}.
a) Pokazać, że T jest topologią w R i przestrzeń (R, T ) jest Hausdorffa.
b) Pokazać, że jedynymi ciągami zbieżnymi w (R, T ) są ciągi prawie
stałe, ale żaden punkt w tej przestrzeni nie jest izolowany.
Zadania do przygotowania w domu.
9.6 Niech A0, A1, . . . będzie ciągiem podzbiorów przestrzeni topologicz-
nej (X, T ). Określamy
lim sup An = {x " X : "U‚"X,x"U"T "Ne"0"ne"0 An )" U = "}.
n"
2
Zbiór lim sup An nazywamy granicą górną ciągu A0, A1, . . .. Zawiera
on punkty, których wszystkie otoczenia przecinają nieskończenie wiele
elementów An. Niech A ‚" X×[0, 1] bÄ™dzie zbiorem okreÅ›lonym formuÅ‚Ä…
1
A = Ai × { }.
i
ie"0
Udowodnij, że
1
A = ( An × { }) *" ((lim sup An) × {0})
i
n"
ie"0
w topologii produktowej X i odcinka euklidesowego [0, 1].
9.7 a) Niech T będzie topologią strzałki na R. Udowodnij, że dla
każdego nieprzeliczalnego A ‚" R, A )" Ad = " (czyli A traktowany jako
podprzestrzeń strzałki nie jest podprzestrzenią dyskretną).
Wskazówka. Założyć przeciwnie, że A jest sumą zbiorów An = {a "
1
A: (a- , a))"A = "}, wybrać nieprzeliczalny An i rozpatrzyć a, b " An,
n
1
dla których 0 < |a - b| < .
n
b) Czy prosta R z topologiÄ… euklidesowÄ… zawiera nieprzeliczalny pod-
zbiór A taki, że A )" Ad = "? Czy taki podzbiór można znalezć w R2 z
topologiÄ… generowanÄ… przez metrykÄ™ kolejowÄ…? metrykÄ™ rzeka?
9.8 a) Udowodnij, że w przestrzeni (R2, dk) zbiór K jest zwarty wtedy
i tylko wtedy, gdy jest domknięty i leży w sumie przeliczalnie wielu
odcinków wychodzących z 0, których długości dążą do zera.
b) Wykazać, że w przestrzeni (R2, dr) zbiór K jest zwarty wtedy i
tylko wtedy, gdy jest domkniÄ™ty i leży w pewnym zbiorze [a, b] × {0} *"
"
{sn} × [-tn, tn], gdzie sn " [a, b] i tn 0.
n=1
9.9 Niech C będzie zbiorem niemalejących funkcji ciągłych [0, 1]
[0, 1]. Dla f, g " C przyjmujemy
´(f, g) = inf({t " [0, 1]: f(t) = g(t)} *" {1}).
a) Udowodnij, że funkcja d(f, g) = 1 - ´(f, g) jest metrykÄ… na C.
b) Znajdz wnętrze i domknięcie zbioru
1
A = {f " C : f(1) e" }
2
w przestrzeni (C, d).
c) Znajdz wnętrze i domknięcie zbioru
B = {f " C : f(1) = 1}
w przestrzeni (C, d).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zestawy cwiczen przygotowane na podstawie programu Mistrz Klawia 6zadanie domowe zestaw[Audi A4 8E ] Zestaw naprawczy do luzujacej sie rolety w Avancie B6 i B72014 grudziadz zestaw 1MiBM Zestaw IIzestawy domowe ćwiczeń korekcjazestaw gotowanie czynnosciZestawy rozruchoweZestaw3 InzBZestaw 2Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie linioweLORIEN SODEXHO VOLVO ZESTAWIENIE URZADZEN 2008 01 29więcej podobnych podstron