Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
2
Niech X1, K , X będzie próbką prostą z rozkładu normalnego N(ź, � ), zaś:
n
n
1 2
2
S = - X ) ,
"(Xi
n
i=1
n
1
gdzie: X = X .
" i
n
i=1
Interesuje nas względny błąd estymacji:
2 2
S - �
R = .
2
�
Przy n = 10 wartość oczekiwana E(R2) jest równa
(A) 0.18
(B) 0.19
(C) 0.01
(D) 0.20
(E) 0.21
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X1, X2,K, Xn,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.
1
ś#
Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym bin-�#2,
ś# ź#
e
�# #
n
n +1
�# ś#�# 2 -1
1 e
P(Xi = n)= ś# ź#ś# ś# �# ś# dla n = 0,1,2,K,
ś# ź#�# e ź# ś# e ź#
n
# �# #
�# #
niezależną od zmiennych X1, X2,K, Xn,K.
Niech
min{X1, X2,K, X } gdy N > 0
ż#
N
M =
�#
N
0 gdy N = 0
�#
Wyznacz EM .
N
(A) e-1
e - 2
(B)
e2
e -1
(C)
e2
(D) e
(E) 2(e -1)
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
W urnie znajduje się 40 kul, z których 25 jest białych i 15 czarnych. Losujemy bez
zwracania najpierw 13 kul, a następnie z pozostałych kul w urnie losujemy bez
zwracania 8 kul. Niech S1 oznacza liczbę kul białych w pierwszym losowaniu, a S2
liczbę kul białych w drugim losowaniu. Oblicz Cov(S1, S2) .
(A) 0
5
(B)
8
5
(C) -
8
65
(D) -
72
65
(E)
72
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Losujemy ze zwracaniem po jednej karcie do gry z talii 52 kart tak długo aż
wylosujemy pika. Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie wyciągniętych kart,
a X zmienną losową równą liczbie kart, w których uzyskaliśmy karo. Oblicz
E(Y | X = 4) .
(A) 10
(B) 9
(C) 12
(D) 6
(E) 7
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Załóżmy, że X1,K, Xn,K są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
n
1
rozkładzie wykładniczym i EXi = . Niech T0 = 0 i Tn = Xi dla n = 1,2,K.
"

i=1
Niech Y będzie zmienną losową niezależną od zmiennych X1,K, Xn,K, o
rozkładzie gamma o gęstości
2
ż#
� xexp(- �x) gdy x > 0
p(x) = ,
�#
0 gdy x d" 0
�#
gdzie � > 0 jest ustaloną liczbą.
Niech
N = max{n e" 0 :Tn d" Y}.
Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej N.
2 n
(A) P(N = n) = (n +1)�# � ś# �#  ś# dla n = 0,1,2,K
ś# ź# ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
� +  � + 
�# # �# #
2 n
(B) P(N = n) = (n +1)�#  ś# �# � ś# dla n = 0,1,2,K
ś# ź# ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
� +  � + 
�# # �# #
2 2 n-1
�# � ś# �#  + 2� ś#�#  ś# �# � ś#
(C) P(N = 0) = ś# ź# , P(N = n) = ś# ź#ś# ź# ś# ź# dla n = 1,2,K
ś# ź# ś# ź#ś# ź# ś# ź#
� +   + �  + � � + 
�# # �# #�# # �# #
n
�#  ś#�#  ś# 1
(D) P(N = n) = expś#- ź#ś# ź# dla n = 0,1,2,K
ś# ź#ś# ź#
� � n!
�# #�# #
n
� � 1
ś#�# ś#
(E) P(N = n) = exp�#- ź#ś# ź#
dla n = 0,1,2,K
ś#
  n!
�# #�# #
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X1, X2,K, Xn , gdzie n > 1, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie o gęstości
4
ż#
�#4c5 gdy x > c
pc(x) =
�#
x
�#
0 gdy x d" c,
�#
gdzie c > 0 jest nieznanym parametrem. Rozważamy dwa estymatory parametru c
n
1
postaci T1 = a min{X1, X2,K, Xn} i T2 = bX , gdzie X = Xi oraz a, b są dobrane
"
n
i =1
tak, aby estymatory były nieobciążone. Wyznacz różnicę ryzyk estymatorów czyli
2 2
R = E(T2 - c) - E(T1 - c) .
(n -1)2c2
(A)
2n(2n -1)
9(n -1)2c2
(B)
4n(2n -1)
(n -1)c2
(C)
4n(2n -1)
(n -1)c2
(D)
2n(2n -1)
(n2 -1)c2
(E)
2n(2n -1)
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu o gęstości
1
ż#
�# - | x |) gdy x "[-� ,�]
(�
2
p� (x) =
�#
�
�#
0 gdy x "[-�,�],
�#
gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę H0 : � = �0 przy
alternatywie H1 : � `" �0 za pomocą testu opartego na ilorazie wiarogodności na
poziomie istotności 0.2. Moc tego testu przy alternatywie � = 4�0 jest równa
(A) 0.80
(B) 0.74
(C) 0.65
(D) 0.40
(E) 0.37
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X2,K, Xn , gdzie n > 1, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie Weibulla o gęstości
2
ż#2�xe-�x gdy x > 0
�#
f� (x) =
�#
�#
0 gdy x d" 0,
�#
gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr � ma rozkład
a priori o gęstości
ą
ż#
�
ą -1
�# � exp(- �� ) gdy � > 0
p(� ) = .
�#
�(ą)
�#
0 gdy � d" 0
�#
Wyznacz estymator bayesowski �Ć parametru � przy funkcji straty Esschera równej
2
L(�,�Ć)= ec�(� -�Ć) , gdzie c `" 0 jest ustaloną liczbą.
n
� + Xi2
"
i=1
(A)
ą + n
ą + n
(B)
n
� + Xi2 - c
"
i=1
ą + n
(C)
n
� + Xi2
"
i=1
ą + n
(D)
n
� + Xi2 + c
"
i=1
n
� + Xi2 - c
"
i=1
(E)
ą + n
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienne losowe U i V są niezależne i mają rozkłady jednostajne na przedziale (0,2).
Niech X = max{U ,V} i Y = min{U ,V}. Wtedy prawdziwe jest następujące
stwierdzenie
(A) Cov(X ,Y ) = 0
2 2
(B) P(X + Y < 4)= 0.5
(C) P(X + Y d" 2)= 0.75
(D) P(X - Y e" 1) = 0.5
1
(E) Cov(X ,Y ) =
9
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Obserwujemy niezależne zmienne losowe X1, X2, X3, X4,Y1,Y2,Y3,Y4,Y5 . Zmienne
losowe X1, X2, X3, X4 mają ten sam rozkład o dystrybuancie Fź , a zmienne losowe
1
Y1,Y2,Y3,Y4,Y5 mają ten sam rozkład o dystrybuancie Fź . Dystrybuanta Fź spełnia
2
warunek
Fź (x) = F(x - ź)
dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę H0 : ź1 = ź2 przy alternatywie H1 : ź1 `" ź2 stosując test
o obszarze krytycznym
K = {S : S d" 13 (" S e" 27},
gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych X1, X2, X3, X4 w próbce złożonej ze
wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznacz rozmiar testu.
8
(A)
63
7
(B)
63
6
(C)
63
5
(D)
63
4
(E)
63
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ........................K L U C Z O D P O W I E D Z I..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 B
2 A
3 C
4 A
5 A
6 C
7 C
8 B
9 E
10 B
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11