Spis treści
II. FUNKCJE I ICH WAASNOÅšCI.....................................................................2
1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej...........................................................2
Podawanie przykładów funkcji...................................................................2
Określanie funkcji wzorem, tabelką, wykresem, grafem, opisem słownym.
.....................................................................................................................5
Wyznaczanie wartości funkcji dla danego argumentu..............................10
Szkicowanie wykresu funkcji określonej: grafem, tabelką, wzorem,
słownie.......................................................................................................21
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.
Wymaganie: podawanie przykładów funkcji.
Zacznijmy od definicji funkcji:
# Definicja #
Funkcja jest to przyporzÄ…dkowanie elementom jednego zbioru
elementów drugiego zbioru.
Jest to najprostsza definicja funkcji. Należy zauważyć, że jednemu
elementowi ze zbioru pierwszego jest przyporządkowany dokładnie jeden
element ze zbioru drugiego.
# Definicja #
Funkcja jest to przyporządkowanie/odwzorowanie zbioru X w zbiór
Y, w którym jednemu elementowi ze zbioru X odpowiada dokładnie
jeden element ze zbioru Y.
f : X Śą Y
Oznaczamy: .
# Definicja #
Dziedziną lub zbiorem argumentów funkcji jest zbiór, z którego
elementy są przyporządkowane/odwzorowane w drugi zbiór.
D
W naszym przypadku jest to zbiór X. Dziedzinę często oznaczamy literą .
# Definicja #
Przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór, w
który elementy są przyporządkowane/odwzorowane.
W naszym przypadku jest to zbiór Y. Często dziedzinę oznaczamy
następująco: .
D-1
# Definicja #
Argumentami funkcji sÄ… wszystkie elementy jej dziedziny.
# Definicja #
Wartościami funkcji są wszystkie elementy jej przeciwdziedziny.
Przykłady funkcji:
odwzorowanie zbioru uczniów w zbiór krzeseł w sali lekcyjnej
Spełnione są warunki: jest zbiór elementów zwanymi argumentami, tj.
uczniów ze zbioru klasy, które przyporządkujemy elementom ze zbioru
wartości, tj. krzeseł. Co więcej, jednemu uczniowi odpowiada dokładnie
jedno krzesło.
cena płacona za prąd w danym okresie
Ponownie mamy zbiór ilości zużywanego prądu. Każdej z nich
przyporządkowana jest cena płacona za dany okres. Im więcej prądu
zużyjemy, tym więcej płacimy. Ponadto, jednej ilości prądu odpowiada
dokładnie jedna kwota.
masa wody zależna od jej objętości
Każdej objętości wody odpowiada dokładnie jedna masa. Dziedziną jest
tu zbiór objętości, przeciwdziedziną zbiór mas.
pole kwadratu w zależności od długości boku
Dziedzina zbiór długości boku. Przeciwdziedzina zbiór pól
kwadratu. Jednej długości boku odpowiada dokładnie jedno pole.
odwzorowanie ilości sprzedanych biletów do kina w zbiór zarobków
jego właściciela
Dziedzina ilość sprzedanych biletów. Przeciwdziedzina zarobki
właściciela. Każda ilość biletów odpowiada dokładnie jednemu
przychodowi z tego tytułu.
ilość mąki jaką można kupić za daną kwotę u jednego sprzedawcy
Każdej kwocie należącej do dziedziny tej funkcji odpowiada jedna ilość
kilogramów mąki, którą za nią się dostanie. Warto zauważyć, że
dziedziną nie musi być cały zbiór przedstawiony za pomocą naszej
waluty. Sprzedawca może dystrybuować mąkę tylko w opakowaniach po
1 kg. Dla przykładu 1 kg kosztuje 2 zł. Nie kupimy nic za 1 zł. Musimy
więc rozważyć, czy kwota 1 zł należy do dziedziny. Podobnie jest z
argumentami: 1,50 zł, 1,49 zł, 1,78 zł itp. Albo ustalimy, że dostaniemy
za te kwoty 1 kg mąki, albo określimy dziedzinę następująco:
{0 zł , 2 zł , 4 zł ,6 zł , ...}
.
w fizyce: funkcja pracy na stałym odcinku w zależności od siły:
W śą F źą=FÅ"S
Przyjmując długość odcinka za stałą, każdej sile odpowiada dokładnie
jedna wartość pracy.
sin śą xźą
funkcja trygonometryczna
Każdemu argumentowi x należącemu do dziedziny przyporządkowana
D
jest dokładnie jedna wartość. Dziedziną jest zbiór liczb
R <-1 ;1 >
rzeczywistych, czyli .Przeciwdziedziną jest zbiór .
D-1
D=R
Zapisujemy więc: , D-1=<-1 ;1 > .
f śą xźą=aÅ"x
funkcja liniowa
Każdemu argumentowi x należącemu do dziedziny przyporządkowana
D
jest dokładnie jedna wartość. Dziedziną jest zbiór liczb
R
rzeczywistych, czyli .Przeciwdziedziną jest także zbiór liczb
D-1
R D=R
rzeczywistych . Zapisujemy więc: , D-1=R .
tg śą x źą
funkcja trygonometryczna
Każdemu argumentowi x należącemu do dziedziny przyporządkowana
jest dokładnie jedna wartość.
2
funkcja kwadratowa f śą x źą=aÅ"x ƒÄ…bÅ"xƒÄ…c
Każdemu argumentowi x należącemu do dziedziny przyporządkowana
D
jest dokładnie jedna wartość. Dziedziną jest zbiór liczb
R
rzeczywistych, czyli .Przeciwdziedzina jest zależna od parametrów a,
b, c.
f śąxźą=a
funkcja stała
W tym przypadku każdemu argumentowi x należącemu do dziedziny
przyporządkowana jest dokładnie jedna i ta sama wartość, tj. a.
D R
Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli .Przeciwdziedziną
jest tylko jedna wartość: a.
aÅ"xƒÄ…b
f śą x źą=
funkcja homograficzna
cÅ"xƒÄ…d
Każdemu argumentowi x należącemu do dziedziny przyporządkowana
D
jest dokładnie jedna wartość. Dziedziną jest zbiór liczb
d
-d R "{- }
rzeczywistych bez liczby , czyli . PrzeciwdziedzinÄ… D-1
c c
a a d
R "{ } D=R"{- }
R
jest zbiór bez liczby , czyli . Zapisujemy: ,
c c c
a
D-1=R "{ }
.
c
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.
Wymaganie: określanie funkcji wzorem, tabelką, wykresem,
grafem, opisem słownym.
Sposoby określania funkcji:
wzór
tabelka
wykres
graf
opis słowny
Wzór funkcji jest formalnym zapisem matematycznym, który jednoznacznie
określa przyporządkowanie wartości argumentom.
Ma on następującą postać:
f śą xźą=...
W miejscu kropek znajduje się zależność charakterystyczna dla danej funkcji,
przyporządkowująca konkretną wartość każdemu argumentowi x, który jest
także zwany zmienną. Za ten argument można podstawiać każdy element z
dziedziny, w wyniku czego otrzymamy element ze zbioru wartości.
Oznaczmy dziedzinę wielką literą X, co zapisujemy w następujący sposób:
D=X
Niech ponadto zbiorem wartości będzie zbiór Y. Zapisujemy:
D-1=Y
W konkretnych przypadkach zbiorem X mogą być na przykład liczby
rzeczywiste, naturalne, całkowite lub też ich podzbiory. Tak samo jest z
przeciwdziedzinÄ….
Przykłady wzorów funkcji:
f śą x źą=2 x
1
f śą xźą= x
2
f śą x źą=3 xƒÄ…4
f śą x źą=sin śą xźą
f śą xźą=2 x2ƒÄ…3 xƒÄ…7
1
f śą xźą=
x
xƒÄ…1
f śąxźą=
9 x-5
f śąxźą=2, dla xd"3
0, dla xÄ…3
Tabelka jest innym sposobem zapisu funkcji. Jak sama nazwa wskazuje,
przyporządkowanie jest określone za pomocą tabeli.
Można przyjąć dwa sposoby zapisu tabeli:
I. W pierwszym wierszu wypisujemy argumenty, natomiast w drugim
wartości im przyporządkowane, np.:
x 1 2 3 4
f(x) 2 4 6 8
II. W pierwszej kolumnie wypisujemy argumenty, natomiast w drugiej
wartości im przyporządkowane, np.:
x f(x)
1 2
2 4
3 6
4 8
Przykłady funkcji określonych za pomocą tabeli:
f śą xźą=x
x x
f(x) x
f śą xźą=0, dla xd"0
1, dla xÄ…0
(-" ; 0 > ( 0 ;ƒÄ…" )
x
f(x) 0 1
x , dla x"(-" ;-2>
f śą xźą=2x , dla x"(-2 ;6 >
x2, dla x"( 6;ƒÄ…" )
(-" ;-2 > (-2 ;6 > (6 ;ƒÄ…" )
x
x 2 x
f(x)
x2
Wykres funkcji jest to jej graficzne przedstawienie, najczęściej na płaszczyznie
w układzie współrzędnych.
Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe. Wygląda on
następująco:
Każdemu punktowi przyporządkowane są dwie wartości po jednej z każdej
osi.
Poziomą oś nazywamy osią x, osią OX albo osią odciętych. Przedstawia ona
zbiór argumentów.
Pionową oś nazywamy osią y, osią OY albo osią rzędnych. Przedstawia ona
zbiór wartości.
Aby odczytać argument i wartość danego punktu, czyli jego współrzędną x
oraz współrzędną y, należy poprowadzić prostą (lub odcinek) prostopadłą do
danej osi i odczytać liczbę w miejscu przecięcia
Wygląda to następująco:
Aby zapisać współrzędne danego punktu stosujemy następującą notację:
śąx ;y źą
śą5 ;3źą
W naszym przypadku jest to punkt o współrzędnych .
Wykresem funkcji jest zbiór wszystkich par argumentów x oraz wartości
funkcji y należących do danej funkcji. Jest to więc zbiór punktów w układzie
współrzędnych. Najczęściej funkcję opisywaną za pomocą wykresu zapisuje
się następująco:
y=...
zamiast:
f śą xźą=...
y= f śą xźą
Jest to oczywiście równoważny zapis, ponieważ .
Przykład wykresu funkcji:
Funkcja określona za pomocą grafu jest przedstawieniem dwóch zbiorów w
formie figur geometrycznych najczęściej elips, elementów do nich
należących w formie punktów, oraz odwzorowania w formie strzałek.
Przykładowy graf wygląda następująco:
Zbiór przedstawiony po lewej stronie rysunku jest dziedziną, natomiast
przedstawiony po prawej stronie jest przeciwdziedzinÄ….
Opis słowny jest to określenie funkcji przy pomocy języka naturalnego, a więc
takiego, z jakiego korzystamy codziennie. Nie jest on formalny, dlatego
czasami może to utrudniać właściwą interpretację zdefiniowanej funkcji.
Najczęściej jednak, przy prostych strukturach i opisie, można bez problemu
przekształcić tę formę określania funkcji w bardziej formalną i matematyczną.
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.
Wymaganie: wyznaczanie wartości funkcji dla danego argumentu.
W zadaniach dotyczących tej umiejętności podana funkcja może być
określona na wszystkie z powyższych sposobów, tzn.: wzorem, tabelką,
opisem słownym, grafem oraz wykresem.
W przypadku wzoru funkcji wystarczy podstawić do niego dany argument.
f śą x źą=... y=...
Funkcja jest wtedy przedstawiona w postaci lub analogicznej .
f śą x źą=...
Zapis oznacza, że jest to funkcja zmiennej x. W innych przypadkach
nie musi to być zapisane, ale zazwyczaj jest przyjmowane jako domyślne.
Jeśli funkcja jest przedstawiona przy pomocy tabeli, to musimy znalezć
odpowiadającą argumentowi kolumnę (lub rząd) i znalezć w niej wartość jaką
przyjmuje.
W przypadku opisu słownego można postąpić dwojako: albo przekształcić go
na zapis formalny (np. na wzór) i wtedy wyznaczyć wartość, albo wprost z
opisu wywnioskować jaką zależność spełnia funkcja.
W grafie odnalezienie wartości odpowiadającej danemu argumentowi polega
na znalezieniu końca strzałki prowadzącej od tego argumentu do
odpowiedniej wartości.
Jeśli natomiast funkcja jest zobrazowana przy pomocy wykresu, to należy
przeprowadzić prostą prostopadłą do osi OX, tym samym równoległą do osi
OY, która przecina oś odciętych w punkcie odpowiadającym argumentowi. W
miejscu przecięcia tej prostej z wykresem należy przeprowadzić prostą
prostopadłą do osi OY. Miejsce, w którym ta prosta przecina oś rzędnych
wyznacza wartość funkcji dla naszego argumentu.
Wszystkie przypadki zostaną dokładnie omówione w przykładach.
Przykład I
PRZYKAAD
Wyznacz wartość funkcji f(x) dla danego argumentu x, jeśli:
f śą x źą=x x=2
f śą x źą=xƒÄ…5 x=6
f śą x źą=x-12,5 x=1,25
x=3
f śąxźą=x2
x=6
f śą xźą=x2-6
x=8
f śą xźą=3x2-2x
x=-2
f śą xźą=x2ƒÄ…4xƒÄ…2
f śąxźą=xÅ"śą x-2źąƒÄ…3 x=3
x=-2
f śą xźą=2x3ƒÄ…23x2
x=4
f śąxźą=x4-xƒÄ…56
2x2ƒÄ…3xƒÄ…3
f śą xźą= x=-3
5x2- xƒÄ…4
f śą x źą=x x=2
Przypadek, gdy oraz .
f śą xźą=x x=2
Podstawiamy do wzoru funkcji wartość i otrzymujemy:
f śą2źą=2 f śą xźą x=2
- wartość funkcji dla argumentu wynosi 2.
f śą x źą=xƒÄ…5 x=6
Przypadek, gdy oraz .
f śą xźą=xƒÄ…5 x=6
Podstawiamy do wzoru funkcji wartość i otrzymujemy:
f śą6źą=6ƒÄ…5=11 f śą xźą x=6
- wartość funkcji dla argumentu wynosi 11.
f śą x źą=x-12,5 x=1,25
Przypadek, gdy oraz .
f śą xźą=x-12,5 x=1,25
Podstawiamy do wzoru funkcji wartość i otrzymujemy:
f śą1,15źą=1,25-12,5=-11,25 f śą x źą x=1,25
- wartość funkcji dla argumentu
wynosi -11,25.
x=3
Przypadek, gdy f śą x źą=x2 oraz .
x=3
Podstawiamy do wzoru funkcji f śą xźą=x2 wartość i otrzymujemy:
f śą x źą x=3
f śą3źą=32=9 - wartość funkcji dla argumentu wynosi 9.
x=6
Przypadek, gdy f śą x źą=x2-6 oraz .
x=6
Podstawiamy do wzoru funkcji f śą xźą=x2-6 wartość i otrzymujemy:
f śą x źą x=6
f śą6źą=62-6=36-6=30 - wartość funkcji dla argumentu wynosi 30.
x=8
Przypadek, gdy f śą xźą=3x2-2x oraz .
x=8
Podstawiamy do wzoru funkcji f śą xźą=3x2-2x wartość i otrzymujemy:
f śą x źą
f śą8źą=3Å"82-2Å"8=3Å"64-16=192-16=176 - wartość funkcji dla argumentu
x=8
wynosi 176.
x=-2
Przypadek, gdy f śą x źą=x2ƒÄ…4xƒÄ…2 oraz .
x=-2
Podstawiamy do wzoru funkcji f śą xźą=x2ƒÄ…4xƒÄ…2 wartość i
otrzymujemy:
f śą xźą
f śą-2źą=śą-2źą2ƒÄ…4Å"śą-2źąƒÄ…2=4-8ƒÄ…2=-2 - wartość funkcji dla argumentu
x=-2
wynosi -2.
f śą x źą=xÅ"śą x-2źąƒÄ…3 x=3
Przypadek, gdy oraz .
f śą xźą=xÅ"śą x-2źąƒÄ…3 x=3
Podstawiamy do wzoru funkcji wartość i otrzymujemy:
f śą3źą=3Å"śą3-2źąƒÄ…3=3Å"1ƒÄ…3=6 f śą x źą x=3
- wartość funkcji dla argumentu
wynosi 6.
x=-2
Przypadek, gdy f śą x źą=2x3ƒÄ…23x2 oraz .
x=-2
Podstawiamy do wzoru funkcji f śąxźą=2x3ƒÄ…23x2 wartość i otrzymujemy:
f śą x źą
f śą-2źą=2Å"śą-2źą3ƒÄ…23Å"śą-2źą2=2Å"śą-8źąƒÄ…23Å"4=-16ƒÄ…92=76 - wartość funkcji dla
x=-2
argumentu wynosi 76.
x=4
Przypadek, gdy f śą xźą=x4-xƒÄ…56 oraz .
x=4
Podstawiamy do wzoru funkcji f śąxźą=x4-xƒÄ…56 wartość i otrzymujemy:
f śą xźą x=4
f śą4źą=44-4ƒÄ…56=256-4ƒÄ…56=308 - wartość funkcji dla argumentu
wynosi 308.
2x2ƒÄ…3xƒÄ…3
f śą x źą= x=-3
Przypadek, gdy oraz .
5x2- xƒÄ…4
2x2ƒÄ…3xƒÄ…3
f śą xźą= x=-3
Podstawiamy do wzoru funkcji wartość i
5x2- xƒÄ…4
otrzymujemy:
2Å"śą-3źą2ƒÄ…3Å"śą-3źąƒÄ…3= 2Å"9ƒÄ…-9ƒÄ…3 18-6 3
f śą-3źą= = =12= f śą x źą
- wartość funkcji
5Å"9ƒÄ…3ƒÄ…4 45ƒÄ…7 52 13
5Å"śą-3źą2-śą-3źąƒÄ…4
3
x=-3
dla argumentu wynosi .
13
Przykład II
PRZYKAAD
Wyznacz wartość funkcji f(x) dla danego argumentu x, jeśli:
x=4
oraz
(-" ; 0 ) {0 } ( 0 ;ƒÄ…" )
x
f(x) -1 0 1
x=6
oraz
(-8 ;-2 ) <-2 ;4 ) ( 4 ;ƒÄ…" )
x
-x x
f(x) 0
x=-7
oraz
(-" ;-7 ) <-7 ;7 > ( 7;ƒÄ…" )
x
f(x) 6 12 -8
x=0
oraz
(-" ;-2 ) <-2 ;8 > (8 ;ƒÄ…" )
x
1 1 1
f(x)
x-1 xƒÄ…3 xƒÄ…1
x=-7
oraz
(-" ;-7 )*"(-7 ;-4 ) (-4 ;7 ) {-7,7 }
x
f(x) 0 2 -2
x=9
oraz
{1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7,8 } R "{ 1,2,3 ,4 ,5 ,6,7 ,8 ,9,10 } {10 }
x
x 10- x 11
f(x)
W każdym przypadku będziemy zaznaczali kolumnę, która odpowiada
podanemu argumentowi. Oczywiście na maturze nie trzeba tego robić. Ma to
zwiększyć przejrzystość i czytelność rozwiązań.
Przypadek pierwszy:
x=4 należy do następującej kolumny:
(-" ; 0 ) 0 ( 0 ;ƒÄ…" )
x
f(x) -1 0 1
Dla przedziału, do którego należy nasz argument, funkcja przyjmuje stałą
wartość równą 1. Zapisujemy więc:
f śą4 źą=1
.
Przypadek drugi:
x=6 należy do następującej kolumny:
(-8 ;-2 ) <-2 ;4 ) ( 4 ;ƒÄ…" )
x
-x x
f(x) 0
Dla przedziału, do którego należy nasz argument, funkcja przyjmuje wartość
równą x. Zapisujemy więc:
f śą6źą=6
.
(-" ;-8 >*"{ 4 }
Warto zauważyć, że liczby należące do przedziału nie zostały
zdefiniowane w tabeli. Nie należą więc do dziedziny funkcji.
Przypadek trzeci:
x=-7 należy do następującej kolumny:
(-" ;-7 ) <-7 ;7 > ( 7;ƒÄ…" )
x
f(x) 6 12 -8
Dla przedziału, do którego należy nasz argument, funkcja przyjmuje stałą
wartość równą 12. Zapisujemy więc:
f śą-7źą=12
.
Przypadek czwarty:
x=0 należy do następującej kolumny:
(-" ;-2 ) <-2 ;8 > (8 ;ƒÄ…" )
x
1 1 1
f(x)
x-1 xƒÄ…3 xƒÄ…1
Dla przedziału, do którego należy nasz argument, funkcja przyjmuje wartość
1
równą . Zapisujemy więc:
xƒÄ…3
1
f śą0źą= =1
.
0ƒÄ…3 3
Przypadek piÄ…ty:
x=-7 należy do następującej kolumny:
(-" ;-7 )*"(-7 ;-4 ) (-4 ;7 ) {-7,7 }
x
f(x) 0 2 -2
Dla przedziału, do którego należy nasz argument, funkcja przyjmuje stałą
wartość równą -2. Zapisujemy więc:
f śą-7źą=-2
.
( 7 ;ƒÄ…" )
Tutaj z kolei warto zauważyć, że liczby należące do przedziału nie
należą do dziedziny funkcji, ponieważ nie są zdefiniowane w tabeli.
Przypadek szósty:
x=9 argument ten nie należy do żadnej kolumny, więc nie należy także do
dziedziny funkcji. Nie można mu przypisać żadnej wartości.
Przykład III
PRZYKAAD
Wyznacz wartość funkcji f(x) dla danego argumentu x, jeśli dany jest opis
słowny:
Funkcja każdemu argumentowi należącemu do liczb rzeczywistych
przyporządkowuje liczbę 4 razy większą.
x=3,5
Funkcja każdemu argumentowi należącemu do liczb rzeczywistych bez
zera przyporzÄ…dkowuje liczbÄ™ do niej odwrotnÄ….
x=10
Funkcja każdemu argumentowi należącemu do liczb rzeczywistych
przyporzÄ…dkowuje liczbÄ™ do niej przeciwnÄ….
x=5
Funkcja każdemu argumentowi należącemu do liczb rzeczywistych
przyporządkowuje liczbę będącą argumentem podniesionym do trzeciej
potęgi.
x=4
Pierwszy przypadek.
Z opisu wnioskujemy, że dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste.
I sposób
Funkcja przyporządkowuje argumentowi liczbę cztery razy większą, więc
liczbie 3,5 odpowiada wartość 14.
f śą3,5źą=14
Zapisujemy: .
II sposób
Znajdujemy wzór funkcji. Z tego, że funkcja przyporządkowuje argumentowi
f śą xźą=4x
liczbę cztery razy większą, wnioskujemy, że .
f śą3,5źą=4Å"3,5=14 f śą3,5źą=14
Podstawiamy: , czyli .
Drugi przypadek.
Z opisu wnioskujemy, że dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste bez zera. Jest
tak, ponieważ nie istnieje odwrotność zera.
I sposób
Funkcja przyporządkowuje argumentowi liczbę do niej odwrotną, więc liczbie
1
10 odpowiada wartość .
10
1
f śą10źą=
Zapisujemy: .
10
II sposób
Znajdujemy wzór funkcji. Z tego, że funkcja przyporządkowuje argumentowi
1
f śą xźą=
liczbę do niej odwrotną, wnioskujemy, że .
x
1
f śą10źą=
Podstawiamy: .
10
Trzeci przypadek.
Z opisu wnioskujemy, że dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste.
I sposób
Funkcja przyporządkowuje argumentowi liczbę do niej przeciwną, więc liczbie
5 odpowiada wartość -5.
f śą5źą=-5
Zapisujemy: .
II sposób
Znajdujemy wzór funkcji. Z tego, że funkcja przyporządkowuje argumentowi
f śą x źą=-x
liczbę do niej przeciwną, wnioskujemy, że .
f śą5źą=-5
Podstawiamy: .
Czwarty przypadek.
Z opisu wnioskujemy, że dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste.
I sposób
Funkcja przyporządkowuje argumentowi liczbę będącą argumentem
podniesionym do trzeciej potęgi , więc liczbie 4 odpowiada wartość -64.
f śą4 źą=64
Zapisujemy: .
II sposób
Znajdujemy wzór funkcji. Z tego, że funkcja przyporządkowuje argumentowi
liczbę będącą argumentem podniesionym do trzeciej potęgi, wnioskujemy, że
f śąxźą=x3 .
f śą4 źą=64
Podstawiamy: f śą4 źą=43=64 , czyli .
Przykład IV
PRZYKAAD
Wyznacz wartość funkcji f(x) dla danego argumentu x, jeśli dany jest graf oraz
argument:
x=4
oraz
x=0
oraz
f śą4źą=5
W pierwszym przypadku , co zaznaczyliśmy na grafie:
f śą0źą=0
W drugim przypadku , co także zaznaczyliśmy na grafie:
PRZYKAAD
Przykład V
Wyznacz wartość funkcji f(x) dla danego argumentu x, jeśli dany jest wykres
oraz argument:
x=3
x=2
f śą3źą=3
W pierwszym przypadku , co zaznaczamy na wykresie:
f śą2źą=4
W drugim przypadku , co także zaznaczamy na wykresie:
Dział: II. FUNKCJE I ICH WAASNOŚCI
Poddział: 1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.
Wymaganie: szkicowanie wykresu funkcji określonej: grafem,
tabelką, wzorem, słownie.
Typy wykresów funkcji można podzielić na 2 kategorie:
te, które są liniami prostymi (przynajmniej fragmentami)
te, które nie są liniami prostymi
f śą x źą=aÅ"xƒÄ…b
Do pierwszej grupy należą funkcje postaci: oraz funkcje
f śąxźą=aÅ"xƒÄ…b ,dla x"A
(przynajmniej fragmentami) stałe, np.: .
c ,dla x"B
n
Do drugiej grupy należą w szczególnoÅ›ci funkcje typu: f śą x źą=aÅ"x ƒÄ…bÅ"xn-1ƒÄ…...
2
ne"2'"n"N
dla , np.: f śą xźą=aÅ"x ƒÄ…bÅ"xƒÄ…c .
Aby naszkicować naszą funkcję należy zaznaczyć na osi dostateczną ilość
punktów, a następnie połączyć je pamiętając o powyższej uwadze dotyczącej
nieliniowości.
Zaznaczenie punktów przebiega w następujący sposób:
wybieramy kilka argumentów
wyznaczamy wartości funkcji odpowiadające danym argumentom
zaznaczamy powstałe punkty na osi
Przykład
PRZYKAAD
Naszkicuj wykres funkcji jeśli:
f śą xźą=4x
f śą xźą=xƒÄ…2
f śąxźą=x2
Dana jest jej tabelka:
(-";-1 > < 1 ;ƒÄ…" )
x
f(x) -1 1
Dany jest jej opis słowny:
Funkcja każdemu argumentowi należącemu do liczb rzeczywistych
przyporządkowuje jego moduł.
n"R
Dany jest jej graf, przy czym
f śą xźą=4x f śą0źą=0
Pierwszy przypadek: . Charakterystyczne punkty: ,
f śą1źą=4
f śą x źą=xƒÄ…2 f śą0źą=2 f śą-2źą=0
Drugi przypadek: . Charakterystyczne punkty ,
f śą0źą=0 f śą1źą=1
Trzeci przypadek: f śą xźą=x2 . Charakterystyczne punkty: , ,
f śą2źą=4 f śą3źą=9 f śą-1źą=-1 f śą-2źą=-4 f śą-3źą=-9
, , , ,
Czwarty przypadek: (tabelka).
f śą0źą=0 f śą1źą=1
Piąty przypadek: (opis słowny). Charakterystyczne punkty: ,
f śą2źą=2 f śą3źą=3 f śą-1źą=1 f śą-2źą=2 f śą-3źą=3
, , , , ,
Szósty przypadek: (graf). Oznaczenie zmiennej literą n może sugerować, że
dziedziną są liczby naturalne. W tym przypadku zostało jednak jasno
n"R
zapisane, że .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
www livemocha com angielski lekcja audiojezyk ukrainski lekcja 03Lekcja sortowanielekcja12Kris Jamsa Wygraj Z C lekcja32lekcja1 (2)Lekcja7ćw oswajające z piłką lekcja dla dzieciLogo na lekcjach matematyki w szkole podstawowejC LEKCJA18lekcjaC LEKCJA23Kris Jamsa Wygraj Z C lekcja 5Lekcja algorytmy w geometriiLEKCJA 1 Uwierz w siebie, możesz wszystko!Lekcja 7 Trening pamieci to nie wszystko Zadbaj o swoja koncentracjelekcja6więcej podobnych podstron