Wykład z Mechaniki płynów
Parcie hydrostatyczne na
ściany
dr hab. in\
. Krzysztof W. Ksią\
yński
IIiGW PK: Kraków 2014
Normalny rozkład ciśnienia
" Zało\
enia:
 przestrzenny rozkład ciśnienia hydrostatycznego
w jednorodnym polu grawitacyjnym,
 stałe natę\
enie pola grawitacyjnego  przyspieszenie
ziemskie g,
 stałe ciśnienie zewnętrzne  ciśnienie atmosferyczne pa
" Wyprowadzenie na podstawie cię\
aru słupa cieczy:
F1
 element cieczy w postaci rurki
Ao
o skończonej długości
p1
i nieskończenie małym przekroju
ł
wypełnionej cieczą o cię\
arze wł. ł
 parcia boczne się znoszą
h
Gt
Gl
Ao
F2 = F1 + Gl p2 Ao = p1 Ao + ł l Ao cos ą
ą
l
p2 = p1 + ł l cos ą p2 = p1 + ł h
G
p2
 formuła: p = po + ł h p = pa + ł h
F2
Normalny rozkład ciśnienia
" Wyprowadzenie na podstawie równania Eulera:
 równanie Eulera:
dp = � (ax dx + ay dy + az dz)
 przyspieszenie ziemskie: ax = 0, ay = 0, az = g
 gęstość �
 równanie ró\
niczkowe:
dp = � g dz +"dp = � g +"dz p = ł z + C
 warunek graniczny (brzegowy): p(z=0) = po = pa
 głębokość h: poni\
ej punktu o znanym ciśnieniu
pod powierzchnią zwierciadła
" Formuła: ciśnienie atmosferyczne ciśnienie hydrostatyczne
p = po + ł h p = pa + ł h
Naczynia połączone
Wylewając wodę z czajnika wykorzystujemy zasadę,
\
e ciśnienie w punktach le\
ących
na jednym poziomie jest jednakowe.
Obliczanie naczyń połączonych
" Zało\
enia:
 rozkład ciśnienia w ka\
dej cieczy jest hydrostatyczny:
p = po + łi hi ,
 w danej cieczy na tej samej wysokości panuje takie samo ciśnienie
co pozwala określić ciśnienie w ró\
nych punktach naczynia, jeśli są one poło\
one w
jednospójnym obszarze wypełnionym tą samą cieczą;
 na granicy rozdziału ciśnienie w ka\
dej cieczy jest jednakowe
" Rozwiązanie zadania:
 obliczenie ciśnienia przy dnie naczynia:
na podstawie poło\
enia zwierciadła
pB = po + ł2 (h2 + "h),
ł1
 obliczenie ciśnienia przy dnie naczynia:
h1
na podstawie poło\
enia powierzchni rozdziału (A A) cieczy
h2
pB = pA + ł2 "h,
ł2
A
A
 obliczenie ciśnienia w lewym ramieniu naczynia:
"h
B
na podstawie poło\
enia zwierciadła
pA = po + ł1 h1
 równanie:
z porównania wartości
ł1
pB = po + ł1 h1 + ł2 "h = po + ł2 (h2 + "h) ł2 h2 = ł1 h1
h2 = h1
ł
2
Przyrządy do pomiaru ciśnienia
pa pa
" Piezometr słu\
y do pomiaru niewielkich
nadciśnień i podciśnień.
Jest pojedynczą, otwartą rurką wypełnioną
h
cieczą, której ciśnienie mierzymy.
Na zwierciadło cieczy w piezometrze działa
A 1-1
ciśnienie atmosferyczne pa. Wysokość h
słupa cieczy w rurce jest zatem wysokością
nadciśnienia, czyli wysokością ciśnienia
piezometrycznego na powierzchni
jednakowych ciśnień 1-1.
C
" Manometr cieczowy otwarty wykonany
p
jest z rurki szklanej, wygiętej w kształcie
litery U, której jeden koniec jest otwarty.
h
z
Rurka ta wypełniona jest cieczą
manometryczną (z reguły jest nią rtęć)
łw B
A
o gęstości większej ni\
gęstość badanej
cieczy. łHg
Prasa hydrauliczna
" Zało\
enie
F2
 jednakowy poziom obu tłoków prasy:
F1
ciśnienie na ich dolnych powierzchniach jest
jednakowe
d2
p = F1 / A1 , p = F2 / A2
 powierzchnia cylindrycznych tłoków:
d1
A = Ą d2/4
ł
" Równanie równowagi sił:
2 2 2
Ą d F1 Ą d d
2 2
F2 = p = = F1 2
4
Ą d12 4 d12
F2
F1 F
b
a
4
d2
d1
" Przeło\
enie prasy:
h
2
D A
�ł �ł
F2 d
F2 A2
2
C G
�ł �ł
= =
E
B
F1 A1
F1 �ł d1 �ł
�ł łł
ł
Rozkład ciśnień na ścianę płaską
pa
rozkład ciśnienia
na pionową ścianę
powstały pod wpływem
H
Ciśnienie w punkcie A:
sił powierzchniowych
- parcia atmosfery
pA = pa + ł �" H
A
pa
rozkład ciśnienia
na pionową ścianę
powstały pod wpływem
siły cią\
enia
pa
rozkład ciśnienia
rozkład ciśnienia
na pionową ścianę
H
na pionową ścianę
powstały pod wpływem
powstały pod wpływem
sił powierzchniowych
siły cią\
enia
- parcia atmosfery
A
p
a
Rozkład nadciśnień p  pa
rozkład nadciśnień
pa
H
B A
B
h
na podstawie
prawa Eulera
Z prawa Eulera wynika, \
e:
w punkcie A ciśnienie ma wartość ł�H niezale\
nie czy punkt A przypisany
będzie do ściany pionowej czy poziomej.
Analogicznie mo\
na zastosować prawo Eulera przy rysowaniu rozkładu
ciśnień w punkcie B.
ł
h
p
a
p
a
?
h
Rozkład ciśnienia wywieranego przez dwie
ró\
ne, niemieszające się ze sobą ciecze
rozkład nadciśnień
h1
h2
ł1 h1 ł2 h2
Wykres
normalnego rozkładu ciśnienia
pa pa
p
p
p
Mz
Fp
Fp
ciśnienie
ciśnienie
zewnętrzne
ciśnienie
bezwzględne
Fr
względne
q
pa
ł h ł h
h
Mr
h
rozkład ciśnień na obu powierzchniach ściany rozkład obcią\
eń ściany
" Obcią\
enie ściany cieczą:
 jest wypadkową
obcią\
enia bezwzględnym ciśnieniem cieczy od wewnątrz naczynia i
obcią\
enia ciśnieniem atmosferycznym od zewnątrz
 ma znaczenie w mechanice budowli
wytwarza siły (Fp) i momenty zginające (Mz) działające na ścianę
wytwarza siły (Fr) i momenty reakcji (Mr)
Parcie na ściany płaskie
p
0
ł h
�
dF
h
dA
H z
Fp y
ł H
"
" x
dA
ś
ł
A
ś
y
" Wyprowadzenie wzoru:
sumowanie elementarnych sił parcia po powierzchni ściany
2
dF a" F = p dA a" ł z dA a" ł y sin� dA a" ł sin� M
p p x
+" +" +" +"
A A A A
siła parcia = moment statyczny powierzchni ściany względem linii wodnej � ł
Bryła parcia
" Geometryczna interpretacja
całki z poprzedniego slajdu:
H
z dA = dV
ł
Fp = ł z dA = ł
+" +"dV = ł Vp = Gp
A A
" Bryła parcia:
bryła parcia jest to taka bryła geometryczna, B
która po wypełnieniu cieczą wywołuje swoim
H
cię\
arem takie obcią\
enie ściany jak parcie
tej cieczy
" Konstrukcja bryły parcia:
w ka\
dym punkcie ściany (dA) wystawia się prostopadle do ściany głębokość
cieczy w tym punkcie (z)
w praktyce wystarczy wystawić głębokości na naro\
nikach ściany
" Znaczenie bryły parcia:
cię\
ar bryły parcia określa zarówno siłę parcia, linię jej działania jak i rozkład
obcią\
enia; linia działania parcia odpowiada linii działania cię\
aru gdyby
wektor cię\
kości działał prostopadle do ściany
Przykłady
p/ł
brył parcia
�
ł
H
�! niezatopiona ściana pionowa
h
H
z �
zatopiona
p/ł
h
ściana ukośna H
p/ł
ł
ł
�
y
H
H
z
H
�! niezatopiona ściana ukośna
z
Bryła parcia dla powierzchni
nie prostokątnej
hs " Forma
h
geometryczna
Sp h
bryły parcia:
Prostopadłościan ścięty
H
Fp
H
którego podstawą jest
"
"
ś
powierzchnia ściany
ł
SA
A " Uproszczony wzór
ś
na parcie cieczy:
y
Fp = ł Vp = ł A hs
h
wzór na objętość
prostopadłościanu ściętego
SG
objętość = pole podstawy
Gp
A
� wysokość w środku
H
ś cię\
kości podstawy
Bryła parcia (aksonometria)
"
Konstrukcja bryły parcia dla
powierzchni trójkątnej
" Powierzchnia
ściany A
z zaznaczonym
środkiem
geometrycznym SA
i środkiem parcia ś
SA
A
ś
Konstrukcja bryły parcia dla
powierzchni trójkątnej
" Wystawienie
głębokości na
naro\
nikach
prostopadle do
h2
powierzchni ściany
h1
A
H
Bryła parcia (aksonometria)
"
Konstrukcja bryły parcia dla
powierzchni trójkątnej
" Domknięcie bryły
połączenie końców
wystawionych
głębokości
h2
h1
A
H
Bryła parcia (aksonometria)
"
Konstrukcja bryły parcia dla
powierzchni trójkątnej
" Wyznaczenie siły
parcia
wypełnienie bryły cieczą
o cię\
arze wł. ł
h2
znalezienie środka
cię\
kości bryły SG
ł
wystawienie siły cię\
kości
Gp prostopadle do ściany
hs
h1 obliczenie siły parcia
Fp = Gp = ł Vp = ł A hs
SA
SG
Gp
A
H
Bryła parcia (aksonometria)
"
Konstrukcja bryły parcia dla
powierzchni trójkątnej
" Wyznaczenie
środka parcia ś
punkt przebicia
powierzchni ściany
przez siłę parcia Fp
h2
ł
h1
SG
Fp
A
H
ś
Bryła parcia (aksonometria)
"
Konstrukcja bryły parcia dla
powierzchni trójkątnej
" Porównanie
z płaskim
wykresem parcia
jest przekrojem przez
bryłę parcia nie
h2
oddającym wszystkich
ł
jej cech
(tylko dla ściany
h1
prostokątnej jest
SG
wystarczający)
Fp
A
H
ś
Bryła parcia (aksonometria)
"
Środek parcia
p/ł
sumowanie
elementarnych
h 0
momentów
�
�
dF
parcia po
Sp h
powierzchni
H z
Fp
ściany
H
xs
"
" x
ś dA
" Siła parcia:
ł
S
ys
Fp = ł z dA =
�
ś
+"
A
y
= ł sin� y dA =
+"
�s A
= ł sin� Mx
" Współrzędna pionowa �:
2
Mx(Fp)a" � Fp = dMx(dFp)a" y p dA a" ł sin� y2 dA a" ł sin� Jx
+" +" +"
A A A
zatem:
2
Jx Jx JS + A ys JS
� = a" a" a" + ys a" �S + ys
Mx A ys A ys A ys
Współrzędna pozioma �
" Dla ściany niesymetrycznej:
2
My (Fp)a" � Fp = dMy (dFp) a" x p dA a" ł xz dA a" ł sin� Dxy
+" +" +"
A A A
czyli:
� Fp = � ł sin� Mx = ł sin� Dxy
A
zatem:
moment dewiacji
ś
Dxy Dxy
(odśrodkowy)
� = a"
śP
Dxy = xy dA śL
Mx A ys
+"
A
" Dla ściany symetrycznej:
o osi symetrii przebiegającej po największym spadku ściany
 na obie symetryczne części działają takie same siły parcia
 ich środki parcia le\
ą w tej samej odległości od osi symetrii
zatem:
 wypadkowy środek parcia le\
y na osi symetrii
Stateczność budowli
obcią\
onej parciem wody
" Warunki równowagi:
" Rodzaje obcią\
eń:
 równowaga sił
 parcie wody,
 cię\
ar własny,
F = Ff + G a" f (P1 - P2) + G
 tarcie statyczne o podło\
e,
 równowaga momentów
Mp = MO(P) a" P � < Mu = MO(G) a" G �
F
ł
łb
+
H
�
G
P
Ff
ł
�
O
H
Ff
P1
P2
h
b
l
 stateczność na obrót
b
i na przesunięcie
 stateczność na przesunięcie
Rozkład siły parcia
na składowe ortogonalne
" Przy sumowaniu sił lub momentów
Fz
konieczne jest wyznaczenie
F
składowych ortogonalnych:
 Fx, Fy, Fz (zgodnych się z osiami
Fy
�1
układu współrzędnych kartezjańskich
�2
Fx
o pionowej osi z)
Fh
" Trzem składowym parcia
odpowiadają trzy bryły parcia:
z
Vx, Vy, Vz
Fz
" Dla ścian płaskich układ dobiera się
F
by uzyskać tylko dwie składowe:
 poziomą Fh = Fx
Fy
 pionową Fv = Fz
ś
Fx
 odpowiednio dwie bryły parcia Vh, Vv
x y
Interpretacja geometryczna
" Interpretacja geometryczna parcia poziomego:
 Fh = +"A dFh = +"Av p dAv = ł +"Av z dAv = ł Vh = Gh
 Interpretacja geometryczna parcia pionowego:
 Fv = +"A dFv = +"Ah p dAh = ł +"Ah z dAh = ł Vv = Gv
dFv
dF
" Konstrukcja brył parcia:
dAh
�
�
 bryła parcia poziomego:
dFh
na tych samych zasadach co bryłę parcia dA
na ścianę pionową, stanowiącą rzut danej
dAh
ściany na dowolną płaszczyznę pionową
 bryła parcia pionowego:
zawarta pomiędzy powierzchnią ściany, płaszczyzną
zwierciadła i pionowymi tworzącymi wystawionymi na
krawędziach ściany
 z
Definicja brył parcia
" Bryła parcia poziomego:
 wykres (trójwymiarowy)
rozkładu wysokości
Av
h
ciśnienia działającego na
rzut danej powierzchni na
płaszczyznę pionową
y
x
" Bryła parcia pionowego:
Ah
 wykres (trójwymiarowy)
rozkładu wysokości
y
ciśnienia działającego na
rzut danej powierzchni na
płaszczyznę poziomą
h
Parcie na ściany zło\
one
" Ściana elementarna:
linia pionowa lub pozioma
przecina powierzchnię tylko
w jednym punkcie
" Ściana zło\
ona:
linia pionowa lub pozioma
przecina powierzchnię w wielu
punktach
=
+
przy wyznaczaniu brył parcia
nale\
y dokonać podziału na
powierzchnie elementarne
w pionie lub/i w poziomie,
a wyznaczone bryły
+
=
zsumować
Parcie na zło\
one ściany
walcowe
" Elementarne bryły parcia:
 parcie lewostronne od góry:  parcie lewostronne od dołu:  parcie prawostronne:
" Sumowanie brył parcia:
Fv
Fh
ś
Parcie na zło\
one ściany
przestrzenne
A
B
trójwymiarowe
B - B
A - A
B A
" Elementarne bryły parcia:
" Sumowanie brył parcia:
Wypadkowe parcie na ścianę
zakrzywioną
Fp
Fv
O
Bryła parcia
pionowego
Bryła parcia
Sv
poziomego
,
�
Fh
Sh
,
ś
 z twierdzenia Pitagorasa:
Fv
tg � =
Fp = Fh2 + Fv2
Fh , �  kąt względem poziomu
 dla trzech brył parcia:
Fz
Fx
tg �1 =
tg �2 =
Fp = Fx2+ Fy2+ Fz2
Fx2+ Fy2
Fy
Wyznaczanie środka parcia
ściany zakrzywionej
" Geometryczne wyznaczanie środków składowych
parcia:
 środek parcia poziomego: środek bryły parcia poziomego
 środek parcia pionowego: środek bryły parcia pionowego
 obliczenie środka bryły zło\
onej:
wyznaczenie środka w przecięciu linii działania składowych
" Składanie parcia
w wypadkową:
 Linia działania
Fp
Fv O
wypadkowej parcia:
Fh
tg� = Fv / Fh
ś
Wyznaczanie środka parcia
ściany o stałej krzywiz
nie
" Ściany walcowe
o poziomej osi walca
lub
" Ściany kuliste o jednym
środku krzywizny
dF
" Wypadkowa przechodzi
przez oś lub środek
O
krzywizny:
MO(dF) = 0
Fp
ś
ŁMO(dF) = 0
MO(Fp) = Fp rp = 0
dF
Fp `" 0 rp = 0