(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJÄ„CEGO
MMA-R1A1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ARKUSZ II
POZIOM ROZSZERZONY
MAJ
Arkusz II
ROK 2002
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraxnie przekreSlić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
Za rozwiÄ…zanie
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
wszystkich zadań
z kalkulatora graficznego.
można otrzymać
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
łącznie 60 punktów
którą wypełnia egzaminator.
Życzymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJÄ„CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 11. (4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartoSci parametru m, dla których równanie
2
mx - 3(m + 1)x + m = 0
nie ma rozwiÄ…zania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz II
Zadanie 12. (4 pkt)
A i B sÄ… zdarzeniami losowymi i P(B) > 0 .
1- P(A').
Wykaż, że P(A/ B)d"
P(B)
4 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 13. (5 pkt)
Sprawdx, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x, y))= (x +1, - y) jest
izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x2 + y2 - 2x = 0
w przekształceniu P.
Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz II
Zadanie 14. (6 pkt)
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚
Zaznacz na pÅ‚aszczyxnie zbiór F = (x, y): x " R '" y " R '" log (x -1)e" -2 '" y > 0ôÅ‚ .
òÅ‚ żł
1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół 2 þÅ‚
Napisz równania osi symetrii figury F.
6 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 15. (6 pkt)
ObjętoSć walca jest równa 250Ą cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako
funkcję długoSci promienia jego podstawy i okreSl dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długoSć
promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
Egzamin maturalny z matematyki 7
Arkusz II
Zadanie 16. (7 pkt)
x +1
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f (x)= 2x+1 oraz g(x)= .
x
Na podstawie wykonanego rysunku okreSl liczbę ujemnych rozwiązań równania f (x)= g(x).
8 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 17. (8 pkt)
Rozwiąż równanie: 2sin 2x + ctgx = 4cos x dla x " 0, 2Ą . Ze zbioru rozwiązań tego
równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
Ä„
że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnoScią liczby .
2
Egzamin maturalny z matematyki 9
Arkusz II
Zadanie 18. (10 pkt)
1 1 1
Rozwiąż nierównoSć + + + ... > 2x - 0,(9), gdzie lewa strona tej nierównoSci jest
2x 4x 8x
sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
10 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 19. (10 pkt)
W trójkÄ…cie jeden z kÄ…tów ma miarÄ™ 120° . DÅ‚ugoSci boków tego trójkÄ…ta sÄ… kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długoSci
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długoSci promienia okręgu wpisanego w ten
trójkąt.
Egzamin maturalny z matematyki maj 2002 1
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II - POZIOM ROZSZERZONY
Numer Liczba
Opis wykonywanej czynnoSci Modelowy wynik etapu (czynnoSci)
czynnoSci
punktów
Sprawdzenie, że dla m = 0 dane równanie
11.1 1 p
ma rozwiÄ…zanie
m `" 0
Å„Å‚
Podanie układu warunków (1) na to, by
(1)
11.2 1 p
òÅ‚" < 0
równanie kwadratowe nie miało rozwiązania
ół
öÅ‚
Wyznaczenie wartoSci speÅ‚niajÄ…cych ëÅ‚- 3
m " 3,- ÷Å‚
11.3 1 p ìÅ‚
" < 0
warunek
5
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚- 3
öÅ‚
m " 3,- ÷Å‚
Podanie odpowiedzi.
11.4 1 p ìÅ‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykorzystanie zależnoSci (A )" B) ‚" A P(A )" B) d" P(A)
12.1 1 p
Zastosowanie definicji prawdopodobieństwa
P(A )" B)d" 1- P(A')
12.2 1 p
zdarzenia przeciwnego
Wykorzystanie definicji prawdopodobieństwa
P(A/ B) Å" P(B) d" 1- P(A')
12.3 1 p
warunkowego
P(B) > 0
Wykorzystanie zależnoSci do
12.4 1 p
wykazania tezy
Powołanie się na definicję izometrii
13.1 1 p
Wybór dwóch różnych punktów A i B i
wyznaczenie współrzędnych ich obrazów A i
13.2 1 p
B
AB A' B'
Sprawdzenie, że odległoSci i są
13.3 1 p
równe
Wyznaczenie równania obrazu danego okręgu
13.4 2 p
np. x2 + y2 - 4x + 3 = 0
w przekształceniu P
Wyznaczenie dziedziny nierównoSci
logarytmicznej log (x -1)e" -2 x "(- ",-1)*" (1,+ ")
14.1 1 p
1
2
Wykorzystanie monotonicznoSci funkcji
x -1d" 4
14.2 1 p
logarytmicznej do rozwiązania nierównoSci
x
Rozwiązanie nierównoSci -1 d" 4
x " - 5,-1) *" (1,5
14.3 1 p
z uwzględnieniem jej dziedziny
y > 0 y " R \ {0}
Rozwiązanie nierównoSci
14.4 1 p
14.5 Naszkicowanie figury F 1 p
x = 0, y = 0
14.6 Napisanie równań osi symetrii figury F 1 p
h
Wyznaczenie długoSci wysokoSci walca
250
r
h =
15.1 w zależnoSci od długoSci promienia 1 p
2
r
podstawy
Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej 2Ąr3 + 500Ą
15.2 1 p
P(r)=
r
walca jako funkcji zmiennej
r
P(r) r "(0,+ ")
OkreSlenie dziedziny funkcji
15.3 1 p
4Ä„r3 - 500Ä„
P'(r)
Wyznaczenie
15.4 1 p P'(r)=
2
r
2 Egzamin maturalny z matematyki maj 2002
Rozwiązanie równania P'(r)= 0
15.5 1 p r = 5
Uzasadnienie, że dla r = 5 funkcja
15.6 1 p
przyjmuje wartoSć najmniejszą
16.1 1 p
Naszkicowanie wykresu funkcji y = 2x
Naszkicowanie wykresu funkcji
16.2 1 p
y = 2x+1
x +1
Przekształcenie wyrażenia do
x
16.3 1 p
1
postaci 1+
x
1
y =
Naszkicowanie wykresu funkcji
16.4 1 p
x
Naszkicowanie wykresu funkcji
1
16.5 1 p
y = +1
x
Naszkicowanie wykresu funkcji
1
16.6 1 p
y = +1
x
Podanie liczby ujemnych rozwiązań
16.7 1 p 2 rozwiÄ…zania
f (x)= g(x)
równania
x "(0, 2Ä„ )\ {Ä„}
Wyznaczenie dziedziny danego równania
17.1 1 p
cos x
Przekształcenie danego równania
(1) 4sin x cos x + = 4cos x
17.2 1p
do postaci (1)
sin x
Przekształcenie równania z postaci (1)
17.3 1 p
(2) cos x(4sin2 x +1- 4sin x)= 0
do postaci (2)
Ä„ 3
cos x = 0
Rozwiązanie równania
x = (" x = Ä„
17.4 1 p
w wyznaczonej dziedzinie
2 2
Rozwiązanie równania
Ä„ 5
x = (" x = Ä„
4sin2 x - 4sin x +1 = 0
17.5 1 p
6 6
w wyznaczonej dziedzinie
Obliczenie mocy zbioru zdarzeń
17.6 1p
&! = 6
elementarnych
A
Obliczenie mocy zdarzenia
polegającego na tym, że co najmniej
jedno z wylosowanych rozwiązań jest
17.7 1 p
A = 5
Ä„
wielokrotnoSciÄ… liczby
2
5
Obliczenie prawdopodobieństwa
P(A)=
17.8 1 p
A
zdarzenia
6
Zauważenie, że w ciągu, który jest lewą
1
18.1 1 p
stroną danej nierównoSci a1 = q =
2x
Podanie warunku zbieżnoSci i
x
wyznaczenie tych wartoSci , dla
x > 0
18.2 1 p
których ciąg, który jest lewą stroną danej
nierównoSci jest zbieżny
Egzamin maturalny z matematyki maj 2002 3
x
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczenie sumy S ciągu, który jest
S =
18.3 1 p
x
lewą stroną danej nierównoSci
1
ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Zamiana ułamka okresowego 0,(9) na
0,(9)= 1
18.4 1 p
zwykły
Wykonanie podstawienia pomocniczej
x
1 t 1
ëÅ‚ öÅ‚
niewiadomej t = i zapisanie danej (1) > -1
18.5 ìÅ‚ ÷Å‚ 1 p
2 1- t t
íÅ‚ Å‚Å‚
nierównoSci za pomocą zmiennej (1)
t
1
öÅ‚
Przekształcenie nierównoSci (1) do
(2) - 2tëÅ‚t - ÷Å‚ -1)> 0
(t
18.6 1 p ìÅ‚
postaci (2)
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚
t "(- ",0)*" ,1öÅ‚
18.7 RozwiÄ…zanie nierównoSci (2) 1 p ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
x
ëÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚x 1 ëÅ‚ 1 öÅ‚x öÅ‚
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ > '" ìÅ‚ ÷Å‚ < 1÷Å‚
(3) < 0 ("
18.8 Zapisanie warunku (3) 1 p ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚íÅ‚ 2 Å‚Å‚ 2 íÅ‚ 2 Å‚Å‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x x "(0,1)
18.9 Wyznaczenie z warunku (3) 1 p
x
Sprawdzenie czy otrzymane wartoSci
18.10 należą do dziedziny nierównoSci 1 p
i odpowiedx.
Wyrażenie długoSci boków b, c trójkąta
b = a + r, c = a + 2r
a r a
19.1 za pomocą i , gdzie to długoSć 1 p
najkrótszego boku i r > 0
Wykorzystanie informacji, że suma
długoSci boków trójkąta wynosi 30 do
a + r = 10
19.2 1 p
a r
wyznaczenia związku pomiędzy i
Zastosowanie twierdzenia cosinusów do ëÅ‚- 1
öÅ‚
(a + 2r)2 = a2 + (a + r)2 - 2a(a + r)Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
wyznaczenia drugiego zwiÄ…zku
19.3 1 p
2
íÅ‚ Å‚Å‚
a r
pomiędzy i
a + r = 10
Å„Å‚
Zapisanie układu równań (1) z
(1)
19.4 1 p òÅ‚
2
a r
niewiadomymi i
ół2a - ar - 3r2 = 0
r = 4, a = 6
19.5 Rozwiązanie układu równań(1) 1 p
a = 6, b = 10, c = 14
Podanie długoSci boków trójkąta
19.6 1 p
P" = 15 3
Obliczenie pola trójkąta
19.7 1 p
14
R
Obliczenie długoSci promienia okręgu
19.8 1 p R = 3
opisanego na trójkącie
3
s
Obliczenie długoSci promienia okręgu
19.9 1 p
s = 3
wpisanego w trójkąt
R R 14
Wyznaczenie stosunku
19.10 1 p =
s s 3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 1Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 2Matematyka Matura Maj 2002 poziom podstawowyChemia Matura Maj 2002 Arkusz 1Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1Matematyka Matura Maj 2005 Arkusz 1Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2Chemia Matura Maj 2002 Arkusz 2Matematyka Matura Styczeń 2003 Arkusz 2Chemia Matura Maj 2005 Arkusz 1Matematyka Matura Styczeń 2003 Arkusz 1więcej podobnych podstron