Wskazówki i szkice rozwiązań do zadania 11 (oczywiście nie są to jedyne możliwe sposoby rozwiązania tych zadań).
a) Pokażemy, że szereg jest zbieżny. Gdy n 4 to n2 - Ąn > 0 i mamy
"
n + 1 2
|an| = = " .
n2 - Ä„n n(n - Ä„)
n
Sprawdzamy, dla jakich n zachodzi n-Ą (chcemy całość oszacować z góry, a więc mianownik będziemy szacować
2
z dołu). Przekształcając równoważnie otrzymujemy, że będzie tak dla n 2Ą, więc dla n 7 (7 > 2Ą) mamy dalej
2 1
"
|an| " = .
n
n · n n
2
"
"1
Szereg jest zbieżny, więc z kryterium porównawczego szereg z zadania też jest zbieżny.
n=7
nn
b) Było na zajęciach.
c) Kryterium Cauchy ego
d) Kryterium Leibniza
e) Kryterium Cauchy ego.
ln x
x
 zbadać limx" f(x), gdzie f(x) = (ln x)
" zapisać f(x) jako eln f(x)
" skorzystać z własności logarytmu
" zbadać granicę dla wykładnika (np. korzystając z reguły de l Hospitala)
x
exp(x)
 uwaga: zamiast funkcji f(x) podanej wyżej, można badać g(x) = x (schemat podobny, ale rachunki się
uproszczÄ…)
f) Kryterium Cauchy ego. Rozpatrzeć przypadki: |a > 1|, |a| < 1 (w tych dwóch przypadkach kryterium Cauchy ego
rozstrzyga o zbieżności naszego szeregu), |a| = 1 (ten trzeci przypadek rozpatrujemy osobno - dla a = 1 i a = -1
nie będzie spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu).
ln n ln n 1
g) Ponieważ 0, to istnieje n0 " N takie, że dla n n0 mamy < 1/2, tzn. ln n < n2. Stąd dla n n0
n2 n2 2
1 1 1
< = 2 · .
n2 - ln n - n2 n2
n2 1
2
" 2
Szereg jest zbieżny, więc szereg z zadania też (kryterium porównawcze).
n=n0 n0
h)  Pomnożyć i podzielić
i) Kryt. d Alemberta.
j) Kryt. Cauchy ego.
k) Kryterium o zagęszczaniu + wiedza o szeregu geometrycznym.
l) j.w.
m*) wskazówka: 3d
1
n) Skorzystać z tożsamości cos 2x = 1 - 2 sin2 dla x = . Następnie skorzystać z nierówności | sin x| |x| i kryterium
2n
porównawczego.
o) warunek konieczny zbieżności szeregu
p) | sin x| |x| i kryterium porównawcze
r) patrz 11i)
t) skorzystać z 8c) i kryterium Dirichleta
u) Kryterium d Alemberta
w*) Niech f(x) = 5x. Zauważmy że
f (0) = (ln 55x)|x=0 = ln 5.
Z drugiej strony
f(x) - f(0) 5x - 1
f (0) = lim = lim .
x0 x0
x x
W szczególności
1
n
5 - 1
lim = ln 5.
1
n"
n
Zatem istnieje n0 " N takie, że dla n n0 zachodzi nierówność
1
n
5 - 1 1
ln 5,
1
2
n
skÄ…d
1 1 1
n
5 - 1 · ln 5 · .
2 n
" 1 1
Szereg · ln 5 · jest rozbieżny, wiÄ™c z kryterium porównawczego szereg z zadania też jest rozbieżny.
n=1 2 n
1
y) Kryterium o zagęszczaniu. Mamy
-1
n
a2 = (ln 2n)ln(ln 2n) = (ln 2)- ln 2-ln ln 2 · n- ln 2-ln ln 2.
StÄ…d
2n
n
2na2 = (ln 2)- ln 2-ln ln 2 · .
n- ln 2-ln ln 2
" 2n
Dla szeregu zastosować teraz kryterium Cauchy ego.
n=1
n- ln 2-ln ln 2
z*) Bez wskazówki, ale można rozwiązać na konsultacjach za dodatkowy punkt.
2