Kolokwium II z Metod Numerycznych r. ak. 2005/2006
x
1. Dana jest funkcja f śą x źą=e -3x2 , określona na przedziale (-1,0).
f śą x źą=0
(a) Wykazać, że pierwiastek równania
na ww. przedziale można wyznaczyć metodą
 reguła falsi . Posługując się tą metodą, wyznaczyć drugie przybliżenie tego pierwiastka.
Oszacować maksymalny błąd drugiego przybliżenia. (4 punkty)
f śą x źą=0
(b) Wyznaczyć drugie przybliżenie pierwiastka równania na przedziale (-1,0),
korzystajÄ…c z metody Newtona. (2 punkty)
2. Wykazać, że metoda różnicowa (k=2), dana wzorem
yn+1= ynƒÄ…0.5 h śą3 y 'n- y 'n-1źą
jest absolutnie stabilna dla h 0. Czy metoda ta jest zbieżna?
Uwaga: h jest krokiem całkowania,  jest wartością własną równania liniowego dy/dx=y.
(3 punkty)
3. Czy metoda różnicowa (k=2), dana wzorem
yn+1=-4 ynƒÄ…5 yn-1ƒÄ…hśą 4 y 'n-2 y' źą
n-1
jest zbieżna? (2 punkty)
4. Skonstruować jednoparametrową rodzinę metod Rungego  Kutty trzeciego rzędu w następu-
jÄ…cych przypadkach:
(a) Ä…2
= 0
(b) Ä…3
= 0,
w obu przypadkach przyjmujÄ…c w jako parametr swobodny. (4 punkty)
3
Uwaga: Przy ocenie będzie brany wynik liczbowy, nie tylko poprawność użytego wzoru.