Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
Wykłady 4.c.d. Funkcje charakterystyczne wielowymiarowych zm. los.,
c�2
średnia i wariancja z próby losowej w modelu normalnym, rozkłady c.d.,
rozkłady t-Studenta, rozkłady F-Snedecora.
Funkcje charakterystyczne wielowymiarowych zmiennych losowych
W poprzednim wykładzie mówiliśmy jedynie o funkcjach
charakterystycznych jednowymiarowych zmiennych losowych. Obecnie
podamy definicję i podstawowe własności funkcji charakterystycznych w
przypadku wektorów losowych.
Definicja . Funkcją charakterystyczną wektora losowego X : W� �� Rn
j�X : Rn �� C
nazywamy przekształcenie , dane wzorem
j�X(t) =� Eei t,X , t �� Rn
,
gdzie X=(X1, X2, & , Xn) oraz t=(t1, t2, & , tn), a symbol <�,�> oznacza euklidesowy
iloczyn skalarny.
Własności funkcji charakterystycznej wektora losowego X=(X1, X2, & , Xn)
Niech X=(X1, X2, & , Xn) będzie wektorem losowym, t=(t1, t2, & , tn)
j�X(�t1,t2,...,tn )�
�� Rn . Wówczas funkcja charakterystyczna ma
następujące własności:
j�X(�0,0,...,0)�=�1
i) ;
j�X(�t1,t2,...,tn )�Ł�1 "�(�t1,t2,...,tn )���Rn
ii) ;
j�-�X(�t1, t2,...,tn)�=� j�X(�t1, t2,...,tn)�
iii) ;
j�X(�t1,0,...,0)�=� j�X1 (�t1)� j�X1 (�t1)�
iv) , gdzie , to funkcja
charakterystyczna zmiennej losowej X1 .
Dowody w przypadkach i)- iii) są podobne do jednowymiarowych.
Własnośd iv) jest konsekwencją definicji. Mamy bowiem
j�X(�t1,0,...,0)� =� Eei t,X =� Eeit1X1 =� j�X1 (�t1)�
1
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
Przytoczymy teraz twierdzenie, które wskazuje na związek niezależności
zmiennych losowych z iloczynem funkcji charakterystycznej.
Twierdzenie4.1 (O związku F.Ch. z niezależnością zmiennych)
Zmienne losowe X1, X2, & , Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
j� (�t1, t2,...,tn )� =� j�X1 (�t1)��� j�X2 (�t2)���...�� j�Xn (�tn )�
. (*)
(�X1,X2 ,...,Xn )�
Dowód. Z niezależności zmiennych wynika już równośd (*). Wystarczy
skorzystad z faktu, że wartośd oczekiwana iloczynu zm. los.
eitiXi ,i =�1,2,L�,n
jest iloczynem wartości oczekiwanych tych zmiennych.
Mamy więc
j�(X1,L�,Xn ) (t1,L�,tn ) =� Eei(t1X1+�L�tnXn ) =� E(eit1X1 �� eit 2X2 L�eit nXn )
=� Eeit1X1 �� Eeit 2X2 L�Eeit nXn ) =� j�X1(t1)L�j�Xn (tn )
Dowód wynikania w przeciwną stronę pomijamy.
Twierdzenie jest ważne, ponieważ daje jeszcze jedną charakteryzację
niezależności zmiennych.
Próba losowa c.d.
�� Niech X1,X2,L�,Xn będzie próbą losową prostą pochodzącą z
pewnego rozkładu (czasami nazywanego rozkładem
teoretycznym). W wykładzie występują tylko próby losowe
proste. Zatem przymiotnik prosta bardzo często pomijamy.
�� Przypominamy: Określenie próba losowa prosta oznacza, iż
tworzące ją zm. los. są niezależne i mają takie same rozkłady
jak ten rozkład , z którego pochodzi próba. Można założyd (i taki
założenie wprowadziliśmy), że zmienne tworzące próbę
określone są na tej samej przestrzeni probabilistycznej.
2
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
Modele normalne
Definicja. Mówimy, że model statystyczny jest normalny jeśli
wiadomo, że próba losowa pochodzi z rozkładu normalnego.
Najważniejsze Statystyki w modelu normalnym
Założenie. Niech X1,X2,L�,Xn będzie próbą prostą pochodzącą z
rozkładu N(m�,s�).
1
a) Rozkład średniej: X =� (X1 +� X2 +�L�+� Xn )
n
Wiemy, z poprzednich rozważao, że przy założeniach normalności
średnia arytmetyczna
n
1 s�
X =� Xi ma rozkład normalny N(m�, )
��
n
n
i=�1
Standaryzacja prowadzi więc do zmiennej
X -� m�
U =� n , która ma rozkład N(0,1).
s�
Wykorzystaliśmy fakt, znany z rachunku prawdopodobieostwa, że
suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma
rozkład normalny. Parametry rozkładu łatwo wyliczyd wykorzystując
własności wartości oczekiwanej i wariancji.
Rys.(Por.J.Podgórski . Statystyka
dla studiów licencjackich.
PWE.2001str.170 ). Na rysunku
m = E(X)
3
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
b) Rozkład Chi-kwadrat z - stopniami swobody: c�2 ( ).
Przypominamy definicję i podstawowe własności
k
2
Definicja. c�2 ( ) jest to rozkład zmiennej losowej Y =� Xi , gdzie
��
i=�1
Xi i =�1,2,L�,k są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
N(0,1).
Stwierdzenia 4.1. Rozkład c�2 (k ) jest rozkładem Gamma(a,p) dla
a =�1/ 2, p =� k / 2.
Dowód był podany na poprzednim wykładzie.
�� Przypominamy: gęstość prawdopodobieństwa dla rozkładu
Gamma (a,p) ma postać
ap
f(y)= yp-�1e-�ay, y >� 0; a >� 0, p >� 0.
G�(p)
Ą�
G�(p) =� xp-�1e-�x, p >� 0.
��
0
Wartośd oczekiwana i wariancja są wyrażone przez parametry w
następująco: E(Y) =p / a , Var (Y)=p / a2 .
Zatem mamy następujący wniosek wynikający z własności
rozkładu Gamma.
Wniosek 4.1. Wartość oczekiwana i wariancja zm. los. Y o rozkładzie
c�2 ( ) przyjmują następujące wartości: E(Y)= , Var (Y)=2 .
4
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
Przykłady gęstości rozkładów chi-kwadrat z stopniami swobody
Rozkłady asymetryczne.
Kształt gęstości zależy od
liczby stopni swobody.
Przy dużej liczbie stopni
swobody, rozkłady zbliżają się
do rozkładu normalnego.
Rys. Gęstości rozkładów c�2(k).
Niech X1,X2,& Xn będzie próbą losową z N(
Ważnymi statystykami w modelu normalnym są wariancje z próby.
Zajmiemy się rozkładami wariancji i ich relacjami ze średnią z próby.
n n
1 1
(Przypominamy: S2 =� (Xi -� X)2, \
2 =� (Xi -� X)2 ).
�� ��
n -�1i=�1 n
i=�1
Twierdzenie. 4.2 W modelu normalnym X i S2 są niezależnymi
zmiennymi losowymi z następującymi rozkładami
s�
X ~ N(m�, )
n
n -�1
S2 ~ c�2 (n-1)
s�2
Dowód pomijamy.
5
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
Uwaga. Zauważmy, że zarówno X jak i S2są wyznaczone przez tę
samą próbę losową. Fakt niezależności statystyk, nie jest
oczywisty. Istotne jest tu założenie, iż próba pochodzi z rozkładu
normalnego.
Parametry statystyki S2
2s�4
Stwierdzenie 4.2: E(S2) =� s�2 , Var (S2)= .
n -�1
n -�1
Dowód. Na mocy Twierdzenia 4.2, S2 ~ c�2 (n-1). Z kolei z
s�2
n -�1 n -�1
Wniosku 4.1 wynika, że E( S2 )= E(S2) =� n -�1 . Z ostatniej
s�2 s�2
równości mamy więc: E(S2) =� s�2 .
Rozumując podobnie otrzymujemy:
n -�1 (n -�1)2 2s�4
Var ( S2 ) = Var (S2) =� 2(n -�1)) zatem Var (S2)= .
n -�1
s�2 s�4
Wniosek 4.2. Ze związku
n -�1
\
2 =� S2
n
otrzymujemy natychmiast
n -�1 n -�1
a) E(\
2) =� E(S2) =� s�2 oraz
n n
(n -�1)2 (n -�1)2 2s�4 2s�4(n -�1)
b) Var(\
2) =� Var(S2) =� =� ,
n2 n2 n -�1 n2
c) X \
2 są niezależnymi zm. los.
i
6
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
c) Rozkład t-Studenta z -stopniami swobody, t( )
Definicja. Rozkład t-Studenta z stopniami swobody jest to rozkład
zmiennej losowej
Z
T = ,
Y /
gdzie Z i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi , Z o rozkładzie
N(0,1), Y o rozkładzie Chi-kwadrat z -stopniami swobody.
(Zapis T~t( )) .
Rozkłady t-Studenta są
indeksowane liczbą stopni
swobody .
Są symetryczne względem
prostej t = 0.
Zwyczajowo wartości
oznacza się literą  t .
Każdy rozkład ma gestośd
podobną do krzywej
Gaussa ze średnią zero. Przy dużych
Rys. Szkice gęstości rozkładów t-Studenta
gęstości zbliżają się do gęstości N(0,1).
Var(T) = /( -� 2).
Stwierdzenie 4.3. Statystyka n(X -� m�) /S ma rozkład t-Studenta z
(n-1) stopniami swobody.
7
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
Dowód jest wnioskiem z Twierdzenia 4.2 i definicji statystyki
t-Studenta.
(X -� m�) n n -�1
Niech Z = i niech Y= S2 . Mamy więc
s�
s�2
(X -� m�) n n -�1
T = : S2 =� n(X -� m�) /S.
s�
s�2(n -�1)
Zatem statystyka n(X -� m�) /S ma rozkład t-Studenta z (n-1)
stopniami swobody.
d) Rozkład F Snedecora z k i m stopniami swobody
Y / k
Jest to rozkład zm. los. R =� , gdzie Y i U są niezależne
U / m
Y ~ c�2 (k) i U ~ c�2 (m)
Zapis R ~ F(k,m). E(R) nie istnieje dla m , natomiast dla m>2
E(R)= m/(m-2). Rozkład jest stablicowany.
e) Model dwu próbek
Załóżmy, że mamy dwie niezależne próby losowe X1,X2,L�,Xn
i Y1,Y2,L�,Ym gdzie Xi ~ N(m�X,s�X) Yi ~ N(m�Y,s�Y)
Niech statystyki X, i S2 będą określone dla próby X1,X2,L�,Xn,
X
natomiast statystyki Y, i S2 dla próby Y1,Y2,L�,Ym .
Y
8
Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne
(n -�1)S2
X
(�n -�1)�s�2 S2 s�2
X X Y
Zatem =� ~F(n-1,m-1) .
(m -�1)S2 S2 s�2
Y Y X
(m -�1)s�2
Y
Jeśli założymy, że s�2 =� s�2 , to S2 /S2 ~F(n-1,m-1), co jest
X Y X Y
pomocne przy testach weryfikujących równośd wariancji w
rozkładach normalnych.
Jeśli założymy, że s�2 =� s�2 to S2 /S2 ~F(n-1,m-1) co jest pomocne
X Y X Y
przy testach weryfikujących równośd wariancji w rozkładach, z
których pochodzą próby. Zauważmy, że przy założeniu s�2 =� s�2
X Y
iloraz S2 /S2 ~F(m-1,n-1)
y x
Ogólnie
Y / k
Jeżeli R =� , gdzie Y i U są niezależne, Y ~ c�2 (k), U ~ c�2 (m),
U / m
U / m
~ F(m, k).
to na mocy definicji R ~ F(k,m). Zatem 1/R=
Y / k
Niech F( będzie kwantylem rzędu z rozkładu F(k,m).
Oznacza to, że
P(R , a więc P(1/
=
co znaczy, że
P(1/R 1/ 1-
Tak więc 1/ jest kwantylemrzędu 1- z rozkładu F(m,k).
Mamy ostatecznie następujący związek
1/ .
9