Geometria Różniczkowa I
wykład ósmy
Orientacja przestrzeni wektorowej. Mówimy, że dwie bazy e i f w skończenie-wymiarowej
przestrzeni wektorowej V mają jednakową orientację jeśli macierz przejścia [id]f ma dodatni
e
wyznacznik. Relacja jednakowej orientacji jest, jak łatwo sprawdzić, relacją równoważności w
zbiorze baz. Dzieli ona zbiór baz na dwie klasy równoważności, które nazywamy orientacjami.
Mówimy, że przestrzeń wektorowa jest zorientowana jeśli ma wyróżnioną orientację. Ze względu
na własności wyznacznika orientacja bazy e zmienia się na przeciwną jeśli zmienimy znak przy
jednym z wektorów bazowych lub zamienimy miejscami dwa wektory bazowe. Niektóre prze-
strzenie wektorowe mają kanoniczną orientację. W przestrzeni Rn kanoniczna jest orientacja,
której reprezentantem jest kanoniczna baza.
Orientacja rozmaitości. Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie jest skończenie-wymiarową
przestrzenią wektorową, więc ma dwie możliwe orientacje. Będziemy mówili, że rozmaitość M
jest zorientowana, jeśli przestrzenie styczne we wszytskich punktach mają wybrane orientacje
w sposób uzgodniony. Oznacza to, że w dziedzinie każdej mapy (O, �) orientacje we wszyst-
kich punktach są zgodne lub we wszystkich punktach przeciwne niż orientacja zadana przez
"
bazę ("" , . . . , ). Zauważmy, że jeśli rozmaitość jest zorientowana to można na niej wybrać
x1 "xn
atlas zgodny z orientacją. Istotnie, niech (Oi, Ći)i"I będzie dowolnym atlasem na M. Konstru-
ujemy nowy atlas (Ui, �i)i"I w następujący sposób: Jeśli mapa (Oi, Ći) jest zgodna z orien-
tacją pozostawiamy ją bez zmian kładąc Ui = Oi, �i = Ći. Jeśli baza pochodząca od mapy
(Oi, Ći) ma orientację przeciwną kładziemy Ui = Oi oraz jeśli Ći = (x1, x2, . . . , xn) kładziemy
�i = (-x1, x2, . . . , xn). Orientację na rozmaitości można też zadać wskazując atlas, w którym
wyznaczniki wszystkich macierzy przejścia między pochodzącymi od współrzędnych bazami
przestrzeni stycznych są dodatnie.
Okazuje się, że nie na wszystkich rozmaitościach da się wybrać orientację. Takie, na których
się nie da nazywają się nieorientowalne. Najbardziej znanym przykładem rozmaitości nieoriento-
walnej jest wstęga Moebiusa. Sięgnijmy do drugiego wykładu w trakcie którego zdefiniowaliśmy
wstęgę Moebiusa jako zbiór klas równoważności i wprowadziliśmy na niej struturę rozmaitości
różniczkowej wskazując atlas:
Przykład 1. W R�] - 1, 1[ definiujemy relację równoważności
(x, y) <" (x , y ) �!�! x - x = k " Z, y = (-1)ky.
Obserwujemy, że każda klasa równoważności ma reprezentanta w pasku [0, 1[�] - 1, 1[ oraz że
odcinki x = 0 i x = 1 utożsamiamy zmieniając jednak ich orientację.
1
2
Do opisania wstęgi Moebiusa potrzebne są dwie mapy: z dziedziną U = {[(x, y)] : x " Z}
/
1 1
oraz O = {[(x, y)] : x "]k - , k + [}:
2 2
U O O
Dla każdej klasy leżącej w U istnieje reprezentant (ą, y) taki, że ą "]0, 1[. Definiujemy od-
wzorowanie
� : U R2, �([ą, y]) = (ą, y).
2
Dla każdej klasy leżącej w O istnieje reprezentant (�, y) taki, że � "]1, [. Definiujemy odwzo-
2 3
rowanie
� : O R2, �([�, y]) = (�, y).
Przyjrzyjmy się jeszcze zamianie współrzędnych. Zbiór O )" U składa się z dwóch składowych
spójnych A i B
A B
W obszarze A zamiana zmiennych ma postać � ć% �-1(ą, y) - (1 + ą, -y), zaś w obszarze
B zamiana ta jest identycznością. Bazy zadawane przez mapy (O, �) i (U, �) są takie same w
obszarze B ale inne w obszarze A. W obszarze A zamiana zmiennych prowadzi do macierzy
przejścia

1 0
0 -1
z wyznacznikiem -1. Nie da się uzgodnić orientacji drugiej mapy z orientacją pierwszej. Jeśli
rozmaitość jest orientowalna, każdy atlas można zastąpić atlasem zgodnym z orientacją, mają-
cym te same dziedziny map. Okazuje się więc, że istotnie wstęga Moebiusa nie jest orientowalna.
c&
Rozmaitości orientowalne to np. sfera, walec, torus, rzeczywiste przestrzenie projektywne wy-
miaru parzystego. Orientowalne są także wszystkie rozmaitości zanurzone, które są poziomicami
odwzorowania spełniającego warunki jak w twierdzeniu o definiowaniu powierzchni zanurzonej.
Przyjrzyjmy się bliżej sytuacji, gdy powierzchnia S jest poziomicą funkcji
F : Rn R.

Jej przestrzeń styczna w punkcie jest jądrem pochodnej F i jest podprzestrzenią w Rn. Ze
względu na istnienie kanonicznego iloczynu skalarnego można napisać
Rn = TxS �" gradF (x) .
3
Ze względu na założenia gradF jest nieznikającym polem wektorowym w punktach S o warto-
ściach w Rn. Orientację powierzchni S można wybrać np. w taki sposób aby w każdym punkcie
baza (gradF, f), gdzie f jest bazą TxS była zgodna z kanoniczną orientacją Rn. A
atwo spraw-
dzić, że taki sposób wyboru orientacji jest zgodny. Nieorientowalne są wstęga Moebiusa, butelka
Kleina, rzeczywiste przestrzenie projektywne wymiaru nieparzystego.
Gładki rozkład jedności: Rozmaitości na których pracujemy to rozmaitości parazwarte.
Oznacza to, że dla każdego pokrycia otwartego istnieje drobniejsze od niego pokrycie, które
jest lokalnie skończone. Warunek lokalnej skończoności oznacza, że każdy punkt rozmaitości
ma otoczenie, którego przecięcia z elementami pokrycia są niepuste jedynie dla skończonej
liczby elementów pokrycia. Składowa spójna rozmaitości parazwartej ma też własność, która
nazywa się przeliczalnością w nieskończoności. Oznacza to, że istnieje wstępujący ciąg zbiorów

zwartych (Ki)i"N taki, że Kj �" Int(Kj+1) oraz Ki = M.
i"N
Definicja 1. Gładkim rozkładem jedności na M związanym z atlasem (Oi, �i)i"I nazywamy
układ gładkich funkcji ąi o następujących własnościach: (1) supp ąi �" Oi, (2) każdy punkt
p " M ma otoczenie W takie, że W )" supp ąi = " jedynie dla skończonej liczby funkcji ąi, (3)


0 ą1 1, "p " M ąi(p) = 1.
i"I
Twierdzenie 1. Na rozmaitości parazwartej istnieje gładki rozkład jedności.
Dowód: Rozkład jedności konstruujemy dla każdej składowej spójnej oddzielnie, dlatego za-
łożymy teraz, że M jest spójna. W dalszym ciągu Br oznaczać będzie otwartą kulę w Rn o
promieniu r. Używać będziemy B1 i B3. Potrzebna będzie też funkcja

1
h : R R, h(t) = exp dla t "]1, 2[, h(t) = 0 w przeciwnym razie.
(t - 2)(t - 1)
Definiujemy teraz funkcję f : [0, "[ R wzorem

2
h(t)dt
f(x) = x .
2
h(t)dt
1
4
Funkcja ta jest gładka, ma wartość 1 dla x " [0, 1] oraz 0 dla x " [2, "[.
Jako rozmaitość parazwarta M jest przeliczalna w nieskończoności, to znaczy można ją wy-
czerpać zbiorami zwartymi (Ki)i"N o tej własności, że Ki �" IntKi+1. Rozpoczynamy od da-
nego pokrycia otwartego {Oi}i"I. Ustalmy na chwilę punkt q " M. Istnieje p " N takie, że
q " Kp+1 \ Kp, istnieje także i " I takie, że q " Oi. Bierzemy teraz układ współrzędnych
(Vq, �q) w otoczeniu q taki, żeby �q(q) = 0 �-1(B3) �" Oi, �-1(B3) �" Kp+2 \ Kp-1.
q q
Rozważając odpowiednie układy współrzędnych dla wszystkich q " M otrzymujemy atlas
(Vq, �q)q"M. W szczególności zbiory {�-1(B1)}q1
M stanowią pokrycie otwarte V rozmaitości
q
M. Wybierzemy teraz z niego pokrycie przeliczalne, lokalnie skończone: V jest także pokryciem
K1, można więc z niego wybrać pokrycie skończone. Mamy więc (q1, . . . , qj ) punktów takich, że
1
{�-1 (B1)} stanowią pokrycie K1. Zbiór K2\ IntK1 też jest zwarty, więc ma pokrycie skończone
qjk
wybrane z V. To daje nam kolejne {qj +1, . . . , qj } punkty, takie, że {�-1(B1)}k j jest pokry-
1 2 qk 2
ciem K2. Indukcyjnie otrzymujemy (qj +1, . . . , qj ) punktów definiujących pokrycie Kp+1 \ Kp
p p+1
i takie, że {�-1(B1)}k j stanowią pokrycie Kp+1. Postępując w ten sposób otrzymujemy
qk p+1
przeliczalne pokrycie M zbiorami �-1(B1). Oczywiście także układ zbiorów Uk = �-1(B3) jest
qk qk
pokryciem M. Wraz z odwzorowaniami �q układ ten tworzy atlas drobniejszy niż wyjściowe
k
pokrycie (Oi). A
atwo też przekonać się, że atlas ten jest lokalnie skończony. Używając zdefinio-
wanej wcześniej funkcji f definiujemy rodzinę funkcji dk wzorem
dk(q) = f(|�q (q)|), jeśli �q (q) istnieje, w przeciwnym przypadku dk(q) = 0.
k k
Ostatecznie
dk(q)
ąk(q) =
di(q)
i
jest szukanym rozkładem jedności. Nośnik każdej z funkcji ąj jest zawarty w którymś ze zbiorów
wyjściowego pokrycia (Oi)
Rozkładu jedności można użyć np. do pokazania następującego przydatnego twierdzenia
Twierdzenie 2. Na rozmaitości orientowalnej wymiaru n istnieje gładka nieznikająca n-forma
i odwrotnie, jeśli taka forma istnieje, to rozmaitość jest orientowalna.
5
Dowód: Wez
my lokalnie skończony atlas na M taki, że wszystkie zamiany zmiennych mają
dodatni jacobian. Niech (ąi)i"I będzie rozkładem jedności związanym z tym atlasem. W każdej
dziedzinie mapy Oi definiujemy formę �i posługując się współrzędnymi (x1, . . . xn):
i i
�i = ąidx1 '" dx2 '" � � � '" dxn.
i i i
Forma

� = ąidx1 '" dx2 '" � � � '" dxn
i i i
i"I
ma żądaną własność, tzn jest nieznikająca w każdym punkcie. Istotnie, niech p " M będzie
dowolne, niech także {i1, i2, . . . im} będzie zbiorem indeksów odpowiadających tym elementom
atlasu, które przecinają się z otoczeniem W punktu p. W punkcie p formę � można więc zapisać
jako
m

�(p) = ąi (p)dx1 '" dx2 '" � � � '" dxn
k ik ik ik
k=1
Punkt p wraz z pewnym otoczeniem leży w dziedzinie każdej z map z indeksami ze zbioru
{i1, i2, . . . im}, możemy więc wszystkie składniki powyższej sumy zapisać w jednym układzie
współrzędnych, na przykład w (x1 , . . . xn ):
i1 i1

m


�(p) = ąi (p) + ąi (p) det [�i ć% �-1] dx1 '" dx2 '" � � � '" dxn .
1 k k i1 i1 i1 i1
k=2
Wszystkie składniki powyższej sumy są dodatnie, zatem cała suma też jest dodatnia, w szcze-
gólności nie jest równa zero.
Wykażemy teraz, że jeśli istnieje nieznikająca n-forma to rozmaitość jest orientowalna. Niech �
będzie taką formą. Wez
my także atlas składający się z map o spójnych dziedzinach. W każdej
z map forma � może być zapisana we współrzędnych jako
f(x)dx1 '" dx2 '" � � � '" dxn.
Ponieważ dziedzina mapy jest spójna funkcja f, jako niezerowa, ma ustalony znak. Jeśli jest to
znak dodatni mapę tę pozostawiamy bez zmian, jeśli zaś ujemny mapę zmieniamy na przykład
zamieniając pierwszą współrzędną na przeciwną. W ten sposób tworzymy nowy atlas w któ-
rym współczynniki funkcyjne przy współrzędnościowych n-formach dla formy � są dodatnie.
Skądinąd wiadomo, że na przecięciu dwóch map współczynniki te różnią się o jacobian zamiany
zmiennych. Oznacza to, że wszystkie te jacobiany są dodatnie. Poprawiony przez nas atlas jest
zgodny, tzn w szczególności może zadawać orientację na M.
Orientację na rozmaitości możemy więc zadać wskazując w zgodny sposób orientację każdej
z przestrzeni stycznych, wskazując zgodny atlas lub wskazując niezerową formę. Orientacja
zadawana przez formę, to ta orientacja przy której współczynniki funkcyjne w zapisie formy we
współrzędnych są dodatnie. Formy tego rodzaju nazywa się często formami objętości.
Całkowanie form różniczkowych. Na analizie zdefiniowano całkę Riemanna po nadającym
się do całkowania obszarze D w Rn. Nadający się do całkowania oznaczał mierzalny w sensie
Jordana. Całkę Riemanna definiuje się korzystając z umiejętności liczenia objętości małych
kostek w Rn, wykorzystując zatem strukturę metryczną. Na rozmaitości nie mamy tej struktury,
6
a próba skorzystania ze współrzędnych prowadzi do niepowodzenia. Nie możemy zdefiniować
całki z funkcji f na rozmaitości D jako całki z f ć% �-1 po obszarze �(D), nawet zakładając, że
mieści się on w dziedzinie jednej mapy, ponieważ wynik całowania zależał będzie od wybranych
współrzędnych. Całka w mapie (O, �) to

f ć% �-1,
�(D)
zaś całka w mapie (U, �) to

f ć% �-1.
�(D)
Całki te nie są równe, gdyż (zgodnie z twierdzeniem o zamianie zmiennych)


f ć% �-1 = f ć% �-1 ć% �-1] .
det[�
�(D) �(D)
Do całkowania po obszarze na rozmaitości potrzebujemy więc obiektu, który transformuje się  z
jacobianem zamiany zmiennych , czyli n-formy. Przyjrzyjmy się najpierw uproszczonej sytuacji,
gdy obszar D mieści się w dziedzinie jednej (a nawet dwóch) map. Niech także � będzie n-formą
na M. Jej wyrażenia we współrzędnych w obu mapach (O, � = (x1, . . . , xn)) to
� = a(x)dx1 '" � � � '" dxn, � = b(y)dy1 '" � � � '" dyn.
Funkcje a i b związane są równością
a(x) = b(� ć% �-1(x)) det[� ć% �-1]
zatem całki mogą różnić się co najwyżej o znak.


b = b ć% � ć% �-1 ć% �-1] = ą a.
det[�
�(D) �(D) �(D)
Kłopot ze znakiem bierze się z faktu, że wyznacznik jacobianu może być zarówno dodatni jak
i ujemny. Wyjściem z tej sytuacji jest zdefiniowanie całki po obszarze zorientowanym. Wybór
konkretnej orientacji pozwala używać jedynie współrzędnych zgodnych z orientacją. Możemy
już zdefiniować całkę po obszarze D z orientacją 1
w uproszczonej sytuacji, gdy cały obszar
mieści się w dziedzinie jednej mapy:

� = a ć% �-1, � = a dx1 '" � � � '" dxn
(D,1
) �(D)
gdzie (O, �) jest mapą zgodną z orientacją. Gdy obszar D nie mieści się w dziedzinie jednej
mapy potrzebujemy rozkładu jedności. Wez
my lokalnie skończony atlas (Oi, �i)i"I zgodny z
orientacją 1
i rozkład jedności (ąi)i"I związany z tym atlasem. W sposób trywialny prawdą jest,
że

�(p) = ąi�(p)
i"I
Całkę z formy � po obszarze D z orientacją 1
możemy teraz zdefiniować wzorem


= (ąi ć% �-1)(�i ć% �-1)
(D,1
) �i(D)"Oi)
i"I
Dla zwartego obszaru D jedynie skończona liczba składników jest niezerowa.
7
Przykład 2. Obliczyć całkę z formy � = dy '" dz po fragmencie sfery S2 dla którego x 0
" "
i z 0 z orientacją zadaną przez bazę wektory ("�, ) pochodzące od sferycznego układu
"�
współrzędnych.
Forma � zdefiniowana jest na R3. Żeby ją scałkować po S2 trzeba ją najpierw obciąć do S2. W
tym celu zapisujemy włożenie � : S2 R3 we współrzędnych:
�(�, �) = (cos � sin �, sin � sin �, cos �).
Obcięcie formy do sfery realizuje się jako pull-back za pomocą włożenia:
�"� = d(sin � sin �) '" d(cos �) = (cos � sin �d� + sin � cos �d�) '" (- sin �d�) =
(cos � sin �d) '" (- sin �d�) = - cos � sin2 � d� '" d�
Kolejność współrzędnych zgodna z orientacją jest (�, �), więc formę zapisać należy jako
� = - cos � sin2 � d� '" d� = cos � sin2 � d� '" d�
Ą Ą
Obszar całkowania we współrzędnych (�, �) to [0, ] � [-Ą , ]. Ostatecznie
2 2 2
Ą Ą
2 2 Ą Ą
� = cos � sin2 � = sin2 �d� cos �d� = � 2 =
Ą Ą Ą Ą
(D,1
) [0, ]�[- , ] 0 - 4 2
2 2 2 2