y = f ( x) b = = = P1 = f ( x ) dx = = = +" +" +" +" a P1 b c a a P2 c c P2 = - f ( x ) dx = - = - = - f ( x) dx = P1 - P2 = - = - = - +" +" +" +" +" +" +" +" b a y = f ( x) = = = P1 b c a P2 y = g(x) = = = b c P1 = [ f (x)- g(x)]dx P2 = [g(x)- f (x)]dx = - = - = - = - = - = - +" +" +" +" +" +" +" +" a b y = f (x) = = = b a b 2 2 2 2 l = 1 + f (x)]2 dx = +[ = + = + +" +" +" +" a b V = Ä„ f (x)]2 dx = Ä„ = Ä„ = Ä„ +"[ +" +" +" a b 2 2 2 2 Pb = 2Ä„ f (x) 1 + f (x)]2 dx = Ä„ +[ = Ä„ + = Ä„ + +" +" +" +" a P(t) - praca wykonana do momentu t P(t + h) - P(t) + - + - + - - ilość wykonanej pracy h na jednostkÄ™ czasu w okresie od t do t+h (przyrost pracy na jednostkÄ™ czasu) - wydajność 2 2 2 2 P (t) = w(t) - prÄ™dkość przyrostu pracy = = = w chwili t; wydajność w chwili t P(t) = w(t) dt = = = +" +" +" +" b w(t) dt = P(b) - P(a) - praca wykonana = - = - = - +" +" +" +" a w okresie od a do b w(t) w a b t P(b) - P(a) - - - w = - przeciÄ™tna wydajność od a do b = = = b - a - - - z(t) - zapas w magazynie w chwili t z(t + h) - z(t) + - + - + - - dostawa na jednostkÄ™ czasu h w okresie od t do t+h (przyrost zapasu na jednostkÄ™ czasu) - natężenie dostaw 2 2 2 2 z (t) = D(t) - prÄ™dkość przyrostu zapasu = = = w chwili t; natężenie dostaw w chwili t z(t) = D(t) dt = = = +" +" +" +" b D(t) dt = z(b) - z(a) = - = - = - +" +" +" +" a D(t) P1 b P2 a c t a P1 = D(t) dt = z(a) - z(0) = = - = = - = = - +" +" +" +" 0 b D(t) dt = z(b) - z(0) = P1 - P2 = - = - = - = - = - = - +" +" +" +" 0 b 2 f (x) = F (x) f (x) dx = F(b) - F(a) +" prÄ™dkość wzrostu a F(x) F(x) x przyrost wartoÅ›ci F(x) - może (w przeliczeniu być < 0 (graficznie na jednostkÄ™ x) zinterpretowany jako pole) koszt kraÅ„cowy przyrost (spadek) kosztów, jeÅ›li 2 K (x); produkcja wzroÅ›nie z poziomu a wielkość koszt produkcji wzrost (spadek) do poziomu b; K(x) b produkcji kosztów, jeÅ›li 2 K (x) dx = K(b) - K(a) +" produkcja wzroÅ›nie o a jednostkÄ™ utarg ilość U (x) = xp(x), sprzedanych towarów gdzie p(x) - (podaż-popyt) cena jednostk. zysk j.w. Z(x) = U (x) - K(x) b 2 f (t) = F (t) f (t) dt = F(b) - F(a) +" prÄ™dkość wzrostu a F(t) F(t) t przyrost wartoÅ›ci F(t) - może (w przeliczeniu być < 0 (graficznie na jednostkÄ™ t) zinterpretowany jako pole) 2 w(t) = P (t); b wielkość produkcji; prÄ™dkość wzrostu w(t) dt = P(b) - P(a) +" praca (ilość iloÅ›ci wykonanej czas a wykonanej pracy) pracy (w przeliczeniu przyrost iloÅ›ci wykonanej pracy P(t) na jednostkÄ™ czasu) od momentu a do momentu b wydajność 2 D(t) = z (t); b prÄ™dkość wzrostu D(t) dt = z(b) - z(a) +" wielkość zapasów (spadku) zapasów a czas z(t) (w przeliczeniu na przyrost (ubytek) zapasów jednostkÄ™ czasu) od momentu a do momentu b natężenie dostaw Zapas z ton pewnego towaru w magazynie zmienia siÄ™ w ciÄ…gu miesiÄ…ca (30 dni) i po upÅ‚ywie t dni (liczÄ…c od poczÄ…tku miesiÄ…ca) wyraża siÄ™ wzorem z(t) = 0,01t3 + 0,15t2 - 18t + 300 = + - + = + - + = + - + a) W którym momencie zapas ten jest najmniejszy? b) Jakie jest Å›rednie natężenie dostaw w ciÄ…gu miesiÄ…ca? c) Jaki jest Å›redni zapas w ciÄ…gu miesiÄ…ca? d) Ile towaru przybyÅ‚o (ewentualnie ubyÅ‚o) w ciÄ…gu pierwszych 20 dni? e) Ile towaru przybyÅ‚o (ewentualnie ubyÅ‚o) w ciÄ…gu ostatnich 10 dni? t dx 1 Pt = = 1 - = = - = = - = = - +" +" +" +" t x2 1 1 y = = = = " " " " dx x2 P = = lim Pt = 1 = = = = = = = = = +" +" +" +" " " " x2 t" 1 Pt 1 t t - - - - - - Pt = = - = = - = = - = +"e- x dx = 1 - e-t +" +" +" 0 - - - y = e- x = = = " " " " - - - P = = lim = = = = = = = = +" +"e- x dx = t" Pt = 1 +" +" " " " 0 Pt 0 t x Åšredni czas bezawaryjnej pracy pewnego urzÄ…dzenia wynosi 18 miesiÄ™cy. a) Jaka jest szansa, że kupione przez nas urzÄ…dzenie przepracuje bez awarii dÅ‚użej niż 18 miesiÄ™cy? (ZakÅ‚adamy, że czas bezawaryjnej pracy ma rozkÅ‚ad wykÅ‚adniczy). b)PoÅ‚owa urzÄ…dzeÅ„ psuje siÄ™ przed upÅ‚ywem pewnego okresu. Ile wynosi ten okres? c) Jaki procent urzÄ…dzeÅ„ zepsuje siÄ™ przed upÅ‚ywem rocznego okresu gwarancyjnego? d)Jaki powinien być Å›redni czas bezawaryjnej pracy, aby przed upÅ‚ywem rocznego okresu gwarancyjnego zepsuÅ‚o siÄ™ najwyżej 25% urzÄ…dzeÅ„? (1 + 0,8) + + + S1 = Å" 0,25 = 0,225 = Å" = = Å" = = Å" = 1,6 2 1,4 S2 = 0,1833 S3 = 0,1548 S4 = 0,1339 = = = = = = = = = 1,2 2 dx 1 ln 2 = H" S1 + S2 + S3 + S4 = 0,6970 = H" + + + = = H" + + + = = H" + + + = +" +" +" +" x 1 0,8 0,6 S1 1 y = = = = 0,4 S2 x S3 S4 0,2 0 1 1,25 1,5 1,75 2 Zbiornik zawiera 500 litrów 10-procentowego wodnego roztworu soli. Do zbiornika wlewa siÄ™ 20-procentowy wodny roztwór soli z prÄ™dkoÅ›ciÄ… 25 l/min. Z takÄ… samÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… powstaÅ‚a mieszanina jest wylewana ze zbior- nika. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależnoÅ›ci od czasu. Po jakim czasie otrzymamy w zbiorniku roztwór 15-procentowy? Kawa w filiżance po trzech minutach od momentu zalania wrzÄ…tkiem ma temperaturÄ™ 90ºC. Po jakim czasie kawa osiÄ…gnie temperaturÄ™ 37,6ºC, jeżeli tempe- ratura otoczenia wynosi 22ºC?