dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Teoria Markowitza
Optymalizacja portfela na bazie analizy wartości oczekiwanej i wariancji
1 Definicja problemu portfela
N
Danych jest N akcji: n =1, & , o następujących charakterystykach
~
Rn
" akcja n ma stopę zwrotu daną zmienną losową z wartością oczekiwaną
~
îÅ‚ Å‚Å‚
E R = R
n n
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
" I wariancjÄ…
~
îÅ‚R Å‚Å‚
2
= Ã > 0
n n
Var
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
m
n
" Kowariancja stop zwrotu pomiędzy akcjami oraz :
~ ~
îÅ‚Rn, Rm Å‚Å‚
= Ã
nm
Cov
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2
à = Ã
" Przy czym .
nn n
Powyższe charakterystyki można zapisać w notacji wektorowej:
" Wektor oczekiwanych stop zwrotu z N akcji
R1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚ śł
R =
ïÅ‚ śł
N
ðÅ‚R ûÅ‚
2
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
" Macierz wariancji-kowariancji
Ã11 L Ã1N
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
M M
ïÅ‚ śł
V =
ïÅ‚
N1 NN
ðÅ‚Ã L à śł
ûÅ‚
" Założenia dotyczące macierzy wariancji-kowariancji:
o V jest macierzą dodatnio określoną tj. w Vw > 0 dla każdego w" RN, w`" 0
o to implikuje jej odwracalność oraz to, iż
o żaden z wierszy (kolumn) nie da się przedstawić jako kombinacji liniowej
innych wierszy (kolumn) tj. żadna z akcji nie jest redundantna.
3
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Portfel inwestora:
îÅ‚w1
Å‚Å‚
ïÅ‚
śł
M
ïÅ‚
śł
w =
ïÅ‚wN ûÅ‚
śł
ðÅ‚
wn - waga akcji n w portfelu.
Zakładamy, iż cały majątek inwestora jest zainwestowany tj:
N
"w = 1.
n
n=1
4
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
W notacji wektorowej warunek ograniczajÄ…cy (brzegowy) na wagi portfela jest
następujący:
1 w = 1
gdzie 1 jest wektorem  jedynek .
Nie zakładamy innych warunków brzegowych i ograniczeń na portfel tj:
" akcje sÄ… doskonale podzielne
" dozwolona jest  krótka sprzedaż bez ograniczeń
5
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Stopa zwrotu z portfela w jest następująca
N
~ ~
~
R =
w n
"w R =
n
R
w
n=1
Stąd wartość oczekiwana stopy zwrotu z portfela w wynosi:
Rw =
w R.
Wariancja portfela w:
2
à =
w Vw.
w
6
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Analiza portfela opierająca się na oczekiwanych wartościach jego stopy zwrotu i
wariancji zakłada iż:
" inwestor alokuje portfel opierając się jedynie na tych dwóch charakterystykach
" inwestor jest nienasycony oraz posiada awersjÄ™ do ryzyka
" w szczególności inwestor szuka portfeli o maksymalizujących oczekiwaną stopę
zwrotu dla danego poziomu wariancji lub minimalizujÄ…cych wariancjÄ™ dla
określonej wartości oczekiwanej stopy zwrotu
=> sÄ… to tzw. portfele efektywne (mean-variance efficient)
=> zbiór portfeli efektywnych to granica efektywna (efficient frontier).
7
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
2 RozwiÄ…zanie problemu portfela
Rozwiązanie problemu portfela polega na minimalizacji następującego wyrażenia:
1
min
2
w Vw
w"RN
Przy warunkach brzegowych:
1 w = 1
R
R w =
8
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Rozwiązanie metodą mnożników Lagrange a.
===================
Dana jest funkcja
z = f x, y
( )
Chcemy znalez
ć jej ekstremum przy warunkach brzgowych:
M = g x, y
( )
Gdzie M jest stałą.
Krok 1
Definiujemy funkcjÄ™ Lagrange a:
L = f x, y +  M - g x, y
( ) ( )
[ ]
Gdzie  zwany jest mnożnikiem Lagrange a.
9
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Krok 2
Obliczamy ekstremum funkcji Lagrange a tj. Różniczkujemy ją kolejno po
zmiennych x, y oraz  otrzymując układ równań:
"L
= f - gx = 0
x
"x
"L
= f - gy = 0
y
"y
"L
= M - g x, y = 0
( )
"
Krok 3
Rozwiązujemy układ równań.
=========================
10
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Definiowana jest funkcja Lagrange a:
1
T T
L = w Vw + (1 - 1T w) + Å‚(R - R w)
2
Należy znalez
ć jej minimum w zależności od składu portfela w. Obliczana jest
pochodna funkcji Lagrange a po w i przyrównywana do 0:
0 = Vw - 1 - Å‚R.
Po przekształceniu rozwiązanie jest następujące
w* = V-11 + Å‚V-1R.
11
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Å‚

Aby powyższe równanie rozwiązać ze względu na parametry oraz , należy
wykorzystać dwa równania wynikające z warunków brzegowych:
1 = 1T w* = 1T V-11 + Å‚1T V-1R
oraz
-1 -1
R = RTw* = RTV 1 + Å‚RTV R.
Wprowadzamy stałe:
A = 1T V-11,
B = 1T V-1R,
C = RTV-1R,
12
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Po ich wprowadzeniu otrzymujemy następujący układ 2 równań liniowych z 2
niewiadomymi:
A + BÅ‚ = 1,
B + CÅ‚ = R.
Rozwiązanie jest następujące:
C - BR
 = ,
"
AR - B
Å‚ =
"
gdzie
" = AC - B2 ,
13
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
" `" 0
Przy założeniu iż . Założenie powyższe jest spełnione jeśli tylko stopy zwrotu z
poszczególnych aktywów są różne (co jest w praktyce spełnione).
wT
Mnożąc pochodną funkcji Lagrange a przez otrzymujemy równanie na minimalną
2
Ã
R
wariancję przy zadanej wartości stopy zwrotu z portfela :
2
0 = wTVw - wT1 - Å‚wTR = Ã -  - Å‚R

Po przekształceniu i podstawieniu wartości oraz:
AR2 - 2BR + C
2
à =
"
14
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Jest to równanie:
,
" paraboli w przestrzeni (Ã 2 R)
(Ã , R)
" hiperboli w przestrzeni
AR2 - 2BR + C AR2 - 2BR + C A 2B C
2
à = = = R2 - R +
" AC - B2 AC - B2 AC - B2 AC - B2
15
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Parametry globalnego portfela minimalnego ryzyka (portfela g)
będącego wierzchołkiem paraboli otrzymamy przyrównując mnożnik Langrange a
Å‚
do zera otrzymujÄ…c:
1
2
B
´ =
R =
 = 1/ A
, ,
A
A
Wstawiając powyższe wartości do równania wyrażającego skład optymalnego
portfela
1 V-11
g = V-11 =
A 1T V-11
16
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
R
g
Rg
Ã
Ã
g
17
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Twierdzenie o rozdzieleniu zbioru miminalnego ryzyka
(two-fund separation theorem)
Skład portfela o minimalnej wariancji dla zadanej wartości oczekiwanej R wyraża się
wzorem:
w(R) = (R)V-11 + Å‚(R)V-1R
(R) Å‚(R)
Przy czym funkcje oraz są liniowymi funkcjami wartości oczekiwanej
portfela, R.
C - BR C
AR - B A B
(R) = = - BR = a1 + Rb1 Å‚(R) = = R - = a2 + Rb2
;
" " " " "
18
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
N
R
Portfele o minimalnej wariancji tworzą linię prostą w przestrzeni , którą definiuje
R
wektor wartości oczekiwanych :
w(R) = v1 + Rv2
N
v1
v2
R
Gdzie i są dwoma określonymi wektorami w .
R1 `" R2 . Dla każdego R możemy znalez
ć taką liczbę rzeczywistą ą
Niech dla
której:
R = Ä…R1 + (1 - Ä…)R2 .
zatem
w(R1) = v1 + R1v2 , w(R2 ) = v1 + R2v2 ,
19
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
stÄ…d
= v1 + Rv2
w(R) = Ä…w(R1)+ (1 - Ä…)w(R2 )
Oznacza to, iż wszystkie portfele minimalnej wariancji mogą zostać otrzymane
(obliczone) na bazie dwóch dowolnych (różnych) portfeli z tego zbioru.
R - R2
Ä… =
R1 - R2
20
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Kowariancje a wartości oczekiwane
Globalny portfel minimalnego ryzyka, g, posiada następującą własność:
" jego kowariancja z jakimkolwiek innym portfelem w (lub pojedynczym
walorem) jest zawsze równa 1/A:
T
~ ~ (V-11) Vw 1T V-1Vw 1
2
Ãgw = Cov[Rg , Rw]= gÅ„Vw = = = = Ãg
A A A
bo:
21
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Dla dowolnego portfela minimalnego ryzyka, w, zachodzi warunek wynikajÄ…cy z
funkcji Lagrange a
0 = Vw - (Rw )1 - Å‚(Rw )R
w `" g
Załóżmy, że .
Niech p będzie innym portfelem ze zbioru minimalnego ryzyka.
pT
wT
Mnożąc obustronnie powyższe równanie przez oraz otrzymujemy:
Ã2 = (R )+ Å‚(R )R
w w w w
i
Ãpw = (R )+ Å‚(R )Rp
w w
22
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
OdejmujÄ…c stronami
2
à = à + ł (Rw )(Rw - Rp)
w pw
Kowariancja portfeli w oraz p będzie równa 0 wtedy I tylko wtedy gdy oczekiwana
Rp
stopa zwrotu portfela p, , spełni warunek:
2
à = ł (R )( - R )
R
w w w p
23
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
z(w), taki, który posiada zerową kowariancję z
Istnieje portfel minimalnego ryzyka,
w z(w) wynosi:
portfelem . Stopa zwrotu z portfela
(Rw ) BRw - C
Rz(w) = - = .
Å‚ (Rw ) ARw - B
Sposób wyznaczenia położenia portfela z(w):
" wyznaczyć linię styczną do hiperboli minimalnego ryzyka w punkcie w
" punkt przecięcia wyznaczonej prostej z osią rzędnych określa wartość
Rz(w)
oczekiwanej stopy zwrotu z portfela o zerowej kowariancji z portfelem w,
Rz(w) ; punkt przecięcia tej linii z hiperbolą
" wyznaczyć linię poziomą z punktu
minimalnego ryzyka definiuje odchylenie standardowe portfela z, Ã
z(w)
24
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
25
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Jeżeli portfel w jest portfelem efektywnym to portfel z(w) nie jest portfelem
efektywnym i odwrotnie.
Własność powyższą można zilustrować następująco:
w `" g p
Niech należą do zbioru minimalnego ryzyka i niech będzie pewnym
portfelem
wtedy
2
à = à + ł (Rw )( - Rp
Rw )
w pw
i
2
à = ł (Rw)(Rw - Rz(w)).
w
26
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Å‚(Rw )
Eliminując otrzymujemy wyrażenie określające wartość oczekiwanej stopy
p
zwrotu z portfela :
Ã
pw
Rp = Rz(w) + (Rw - Rz(w)).
2
Ã
w
p
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela jest liniowÄ… funkcjÄ… jego kowariancji z danym
w
portfelem minimalnego ryzyka .
Rp = R + ² (Rw - R )
z(w) pw z(w)
gdzie
Ã
pw
² =
pw
2
p
w
- współczynnik beta portfela względem portfela .
Ã
w
27
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
²pw jest Å›redniÄ… ważonÄ… współczynników beta walorów wchodzÄ…cych w skÅ‚ad
²nw :
portfela
N
²pw = pn²nw.
"
n=1
w
²nw n
mierzy wpływ waloru na łączne ryzyko portfela :
1 "Ã " logÃ
w w
²nw = =
à "wn "wn
w
28
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
²pw = 0
Ponieważ Ã = 0 wtedy i tylko wtedy gdy to portfel o zerowej kowariancji
pw
z(w)
nazywany jest portfelem o zerowym współczynniku beta powiązanym z
w
portfelem .
29
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Wyznaczanie granicy efektywnej w sytuacji gdy istnieje walor wolny od ryzyka
Maksymalizowana jest funkcja
Rp - RF
¸ =
´
P
Gdzie:
Rp  stopa zwrotu z portfela P będącego punktem styczności granicy efektywnej bez
waloru wolnego od ryzyka z punktem RF,
RF  stopa zwrotu z waloru wolnego od ryzyka
´
- odchylenie standardowe portfela P
P
N
X = 1
" i
Przy warunku brzegowym:
i=1
30
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Ponieważ
N
RF = 1Å" RF = X RF
" i
i=1
To funkcja celu przybiera postać
N
X (Ri - RF )
" i
i=1
¸ =
N N N
2
( X ´i2 + X X ´ij )1/ 2
" i "" i j
i=1 i=1 j=1
j`"i
RozwiÄ…zanie polega na policzeniu pochodnych czÄ…stkowych funkcji celu po
zmiennych Xi i przyrównaniu ich do zera  powstaje N równań liniowych:
d¸
= -(X1´1i + X ´ + ... + X1´i2 + ... + X ´ )+ Ri - RF = 0
2 2i N Ni
dX
i
31
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
RP - RF
 =
2
jest stałą
´P
Zk = X
Niech
k
1. Układ równań przybiera postać:
Å„Å‚ - RF = Z1´12 + Z2´12 + ... + ZN´1N
R1
ôÅ‚
2
R2 - RF = Z2´12 + Z2´2 + ... + Z ´2N
ôÅ‚
N
òÅ‚
ôÅ‚M
2
ôÅ‚R - RF = Z1´1N + Z2´1N + ... + Z ´
ół N N N
Zk
X =
k
Gdzie N
"Zi
i=1
32
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
2. Układ równań można także rozwiązać traktując RF jako parametr układu
Otrzymuje siÄ™ wtedy
Zk = C0k + C1k RF
3. Załóżmy, że obliczymy wartości Zk dla dwóch dowolnych wartości RF
Zk (R1F ) = C0k + C1kR1F
Zk (R2F ) = C0k + C1kR2F
Zk (R1F )R2F - Zk (R2F )R1F Zk (R2F ) - Zk (R1F )
0k 1k
Zatem C = , C =
R2F - R1F R2F - R1F
Zmieniając zatem wartość parametru RF otrzymujemy kolejne portfele efektywne.
33