Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
7. Funkcje dwóch zmiennych
1. Zbadać, jakie krzywe są warstwicami funkcji:
(a) z = x + y,
(b) z = x2 + y2 + 2x - 4y,
(c) z = ln(x2 + y),
gdy z przyjmuje wartości: -2, -1, 0, 1, 2.
2. Naszkicować dziedzinę funkcji:
1
(a) z = - ln(xy),
x-2
(b) z = (x2 + y2 - 4)(9 - x2 - y2),
x
(c) z = arccos + arccos(1 - y).
y2
3. Naszkicować wykres funkcji:
(a) z = (x2 - y2 - 1),
(b) z = - (4 - x2 - y2),
(c) z = 2x - y + 3,
(d) z = 1 - 3 - x2 - y2 + 2y.
4. Znalez
ć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla funkcji:
(a) z(x, y) = (3x)xy,
(b) z(x, y) = x sin3(x2 + 2y),
x
(c) z(x, y) = xy + (w punkcie (x, y) = (2, 1)).
y
5. Sprawdzić, czy funkcja określona wzorem z(x, y) = x sin(xe-y) spełnia rów-
"z "z
nanie x"x + = z.
"y
6. Obliczyć pierwszą różniczkę funkcji:
(a) f(x, y) = x2y3,
(b) f(x, y) = yxy.
7. Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane rzędu 2 funkcji f(x, y) = cos(xy2) -
x
"
.
y
Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
8. Napisać równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (1, 0, z0) do wykresu funkcji
2
z(x, y) = xe4xy-y .
9. Korzystając z różniczki odpowiednich funkcji obliczyć przybliżoną wartość
wyrażenia:
3
(a) (2.97)2 - (0.94)3,
(1.01)3-(2.98)2
(b) ,
(1.01)3+(2.98)2
(c) (0.97)8.02,
(d) ln(1.03) sin 358ć%,
1.98
(e) arctg - 1 .
1.03
"f xy
10. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arcsin w punkcie
"u x+y
1 1
"
(x0, y0) = (0, 1) w kierunku u = , -"2 .
2