Zadanie 11.1. W zaznaczonych punktach przekroju utwierdzenia obliczyć wartości naprężeń,
wyznaczyć kierunki główne i naprężenia główne. Wektory naprężeń zaznaczyć na
elementarnych wycinkach materiału pręta, narysować odpowiednie koło Mohra.
Dane: P = 20 kN, a = 0,5 m.
Ã
Ã
Ã
Ã
Ä… - Ä…
P
Ãg Ä [MPa]
x1
8 cm
Ä…
A B
58,6
a
Ä…
a/2 a/2
20 kN 29,3
b 0,9
x2
x3 x1
C
1,2
P
5 kNm
29,3
d
0,9
e
58,6
Pa
x2
Zwroty osi koła Mohra odpowiadają dodatnim zwrotom wektorów naprężeń na dodatniej
ściance przekroju poprzecznego.
=
a
jest naprężeniem głównym
Ã
" = 0° , " + 90° = 90°
Ä
Ã
Ã
b
Ä…o
Ã
Ã
13° Ã Ã
Ä
" = 13° ,
Ã
Ã
" + 90° = 103°
=
Ä12=Ämax
=
Ã
C
Ä…o
Ã
45°
Ä12=Ämax
Ã" = 45° ,
Ã
Ä
" + 90° = 135°
Ã
à -13°
Ä…o
Ã
d Ã
Ã
Ã
" = -13° ,
Ã
Ã
Ä
" + 90° = 77°
Ã
=
Ã
e jest naprężeniem
głównym
" = 0° , " + 90° = 90°
Ä
16 cm
SiÅ‚y przekrojowe w Ä…-Ä… : P = 20 kN, MA = -20 kN·0,25m = 5 kNm.
Charakterystyki przekroju: A = 126 cm2, Jx3 = 2731 cm4, W3 = 341 cm3
Obliczenia składowych ogólnych naprężenia.
( )
W każdym punkcie przekroju: ( ) = oraz Ã22 = 0, ponieważ teoria zginania
zakłada brak oddziaływań poprzecznych pomiędzy włóknami.
Punkt a : = = 1,47 = 14,7 , = 0 .
Punkt b : = 4 = 0,73 = 7,3 ,
" " "
= = 0,18 = 1,8 .
"
" " "
Punkt C : = 0 , = = 0,23 = 2,3 .
Ze względu na symetrię przekroju:
= -7,3 , = 1,8 , = -14,7 , = 0.
Obliczenia składowych głównych naprężenia i kierunków głównych.
Kąt nachylenia kierunków głównych: 2 " = .
Wartości naprężeń głównych: =
Ä… 0,5 ( - ) + 4 .
,
Punkt a : = 14,7 , = 0 , = 0 .
,
Punkt b : = Ä… 0,5 7,3 + 4 " 1,8 = 3,65 Ä… 4,07 ,
,
= 7,72 , = -0,42 .
" ,
2 " = = 0.49315 = 13,13° , + = 103,13° .
,
Punkt C : = 0 Ä… 0,5 0 + 4 " 2,3 = Ä…4,6 ,
,
= 4,6 , = -4,6 .
" ,
2 " = = " = 45° , + = 135° .
,
Punkt d : = Ä… 0,5 7,3 + 4 " 1,8 = -3,65 Ä… 4,07 ,
,
= 0,42 , = -7,72 .
" ,
2 " = = -0.49315 = -13,13° , + = -03,13° .
,
Punkt e : = -14,7 , = 0 , = 0 .
Naprężenia normalne i styczne do przekroju stanowią składowe ogólne stanu naprężenia.
Uwaga: Obliczone naprężenia główne nie przekraczają ekstremalnych wartości składowych
ogólnych naprężeń występujących w skrajnych włóknach belki. Taka sytuacja występuje
przeważnie w belkach o przekroju prostokątnym. W przypadku, kiedy obliczone naprężenia
główne są wyraz
nie większe od maksymalnych naprężeń normalnych przy projektowaniu
trzeba uwzględnić wartości naprężeń głównych a nie składowe ogólne naprężenia.
Na rysunku przedstawiono stan naprężenia w otoczeniu punktów oznaczonych na przekroju
oraz na odpowiednio zorientowanych elementach kierunki i zwroty naprężeń głównych. Stan
naprężenia kolejnych punktów zilustrowano również na kole Mohra.