D. Kosiorowski w ykład 3 2006
Wybrane wiadomości z rachunku
prawdopodobieństwa
T eoria pra w dopodobieństw a zajm uje się zdarzeniam i
poja w iającym i się przy w ykonyw aniu dośw iadczeń
loso w ych, czyli takich, których w yniku nie da się z góry
prze w idzieć, a jednocześnie dających się po w tarzać w
tych sam ych w arunkach. P rzykładam i takich
dośw iadczeń m ogą być gry hazardo w e bądz tzw .
zjawiska masowe.
przykłady doświadczeń losowych :
a) jednokrotny rzut kością do gry
b) dzienny utarg baru szybkiej obsługi
c) podróż autobusem M P K w godzinach szczytu
Z biór za w ierający w szystkie m ożliw e w yniki
dośw iadczenia nazyw am y zbiorem zdarzeń
elementarnych i zazw yczaj oznaczam y literą .
Z biór jest listą za w ierającą wszystkie m ożliw e w yniki
dośw iadczenia. W ykluczają się one w zajem nie, zaś w
każdym dośw iadczeniu realizuje się dokładnie jeden
wynik, czyli zdarzenie elementarne.
1 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
Eksperymentatora (obserwatora) zwykle nie interesuje
konkretny w yn ik, lecz to, czy należy on do pe w nego
w yróżnionego przez niego podzbioru zdarzeń
elementarnych . Zdarzeniami są takie w łaśnie
podzbiory. K ażde zdarzenie identyfikujem y z
podzbiorem tych zdarzeń, które m u sprzyjają. Gdy
w ynikiem dośw iadczenia jest i
, to m ó w im y, że
zaszło (zrealizow ało się) zdarzenie .
Matematyczn y model doświadczenia lo sowego
K onstruujac m odel dośw iadczenia naturalnym jest, że
doposzczając zajście zdarzeń i dopuszczamy ich
łączne zajście bądz zajście któregokolw iek z nich ( w
przykładzie z utargiem baru: A utarg jest w iększy od
1000zł, B utarg jest m niejszy od 5000zł czyli A i B
oznacza utarg z przedziału (1000zł, 5000zł), A lub B
oznacza?). C hcem y także, aby m odel za w ierał
zdarzenie, że zrealizo w ał się jakikolw iek w ynik.
C zęścią m odelu dośw iadczenia jest rodzina w szystkich
interesujących nas zdarzeń, którą oznaczym y .
2 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
R ozsądnie jest żądać aby rodzina spełniała
warunki:
(S1): ;
(S2): Jeśli , to ;
(S 3):Jeśli , dla , to .
R odzinę zdarzeń spełniającą warunki (S1-S3)
nazyw a się ciałem (podzbioró w zbioru ).
W szkolnym rachunku praw dopodobieństw a zam iast
w arunku S 3 w ystarczy żądać aby dla do w olnych
zdarzeń A i B ich sum a była zdarzeniem przestrzenie
zdarzeń elem entarnych sa skończone.
P rzykład: R zucam y raz m onetą. , za
zdarzenie u w ażam y każdy podzbiór , jest
rodziną w szystkich podzbioró w , czyli
.
3 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
Ważny przykład: W przypadku gdy , na ogół
żądam y aby zbiory postaci , były
zdarzeniami. Jako bierzemy najm niejszą rodzinę
zbioró w spełniającą (S 1 S 3), zaw ierającą przedziały
. O kazuje się, że w szystkie przedziały są
zdarzeniam i, ponadto zdarzeniam i są w szystkie zbiory
po w stałe w w yniki przeliczalnych dzialań (sum ,
iloczynó w , dopełnień) na przedziałach. T akie ciało
nazywamy ciałem zbioró w borelo w skich, jego
elementy nazywamy zbiorami borelowskimi.
P rawdopodobieństwo
T w órcy form alnej definicji praw dopodobieństw a posta w ili
sobie za cel aby pra w dopodobieństw o odznaczało się
w łasnościam i intuicyjnego pojęcia częstości (np.
częstość czterolistnych koniczyn w populacji koniczyn,
w adliw ych płyt C D -R w wyprodukowanej partii płyt).
4 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
Definicja: P raw dopodobieństw e m nazyw am y
do w olną funkcję o w artościach rzeczyw istych,
określoną na ciele zdarzeń , spełniającą
warunki:
(A1) , dla każdego
(A2)
(A 3) Jeśli , , oraz dla
to
P odsum o w ując m atem atyczny m odel dosw iadczenia
loso w ego to trójka , gdzie jest
pra w dopodobieństw em określonym na na ciele
zdarzeń podzbioru zdarzeń elem entarnych . T ę
trójkę nazywamy przestrzenią probabilistyczną .
5 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
Definicja: P ra w dopodobieństw em w arunko w ym
zajścia zdarzenia pod w arunkiem zajścia zdarzenia ,
gdzie , nazyw a m y liczbę
Uwaga:
Z ajście zdarzenia B zw iększa szansę zajścia zdarze nia
A wtedy i tylko wtedy, gdy zajście zdarzenia A
zwiększa szansę zajścia zdarzenia B
Definicja: Rozbiciem przestrzeni nazyw am y rodzinę
zdarzeń , które param i w ykluczają się, ich sum a
zaś jest ró w na .
Twierdzenie: (w zór na pra w dopodobieństw o
całko w ite) Jeżeli jest rozbiciem na
zdarzenia o dodatnim praw dopodobieństw ie, to dla
dowolnego zdarzenia
H H H H
1 2 3 4
A
D o w ód: (proszę uzupełnić)
6 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
Twierdzenie: (w zór B ayesa) Jeżeli
jest rozbiciem na zdarzenia o dodatnim
pra w dopodobieństw ie oraz , to dla dowolnego
mamy
H H H H H
1 2 4 5
H A
3
D o w ód: (proszę uzupełnić)
Zdarzenia często nazyw a się hipotezam i, w statystyce
pra w dop odobień stw a hipote z nazywamy
pra w dop odobień stw am i a priori (przed doswiadczeniem),
nazyw am y p ra w d opodobieństw am i a posteriori (po
dośw iadczeniu).
7 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
P rzykład: W iem y, że 95% ubiegających się o kredyt spłaca przyznany
kredyt, pozostałe 5% nie spłaca kredytu. B ankow a kontrola w niosków
kredytow ych przyznaje kredyt ubiegajacem u się, który spłaca kredyt z
praw dopodobieństw em 0.98, oraz przyznaje kredyt osobie, która n ie
spłaca kredytu z praw dopodobieństw em 0.05. O bliczyć
praw dopodobieństw o tego, że klient, którem u przyznano kredyt go
spłaci.
H1 potencjalny klient spłaca przyznany kredyt
H2 potencjalny klient nie spłaca przyznanego kredytu
A spłata przyznanego kredytu
P(H1)=0.95
P(H2)=0.05
P(A|H1)=0.98
P(A|H2)=0.05
P(A)=P(A|H1)P(H1) + P(A|H2)P(H2) = 0.98*0.95+0.05*0.05=0.9335
8 | s t r o n a
D. Kosiorowski w ykład 3 2006
P rzykład: P ew na choroba w ystępuje u 0.1% ogółu ludności.
Przygotowano test do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97%
chorych i 1% zdrow ych. O bliczyć praw dopodobieństw o tego, że losow o
w ybrana osoba jest chora, jeśli test tej osoby dał w ynik pozytyw ny.
H1 w ystępow anie choroby
H2 niew ystępow anie choroby
P(H1) = 0.001
P(H2) = 0.99
P(+|H1) = 0.97
P(+|H2) = 0.01
9 | s t r o n a
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyk ad 02Mat Bud wykwyk(Ia) wstęp PBiIDStan cywilny, wyk struktura ludnosci wg 5 strsi ownie wyk?Socjologia klasyczna WYK? 7 i 8HG wyk 9IAQ wyk 5Wyk ad IV Minimalizacja funkcji logicznychSystemy motywowania pracowników wyk 1Wyk ad 12 wrpWyk Podstawowe wiadomoĹ›ci z teorii bĹ‚Ä™dĂłwRACHUNKOWOSC BUDZETOWA art[1] wyk dziennewięcej podobnych podstron