plik

��14 Przybli|enie semiklasyczne W tym rozdziale rozwa|ymy rachunek przybli|ony, kt�ry opiera si na rozwiniciu funkcji falowej w szereg potg staBej Plancka. ZakBada si przy tym jawnie , |e h jest maBym � parametrem (co to znaczy maBy parametr wymaga oczywi[cie u[ci[lenia). Gdyby h � byBo r�wne zeru, odtworzyliby[my mechanik klasyczn. Ograniczenie si do kilku pier- wszych potg h jest std nazywane przebli|eniem semiklasycznym. W literaturze znane � jest ono tak|e po nazw przybli|enia WKB od nazwisk jego tw�rc�w: Wentzla, Kramersa i Brillouina. Warto te| pamita, |e uzyskane t metod wyra|enia na kwantyzacj energii, byBy znane wcze[niej jako warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda. Warunki te we wczesnym okresie rozwoju mechaniki kwantowej usiBowano zgadn na podstawie pewnych zaBo|eD; tu wyprowadzimy je [ci[le. 14.1 Og�lna posta funkcji falowej Punktem wyj[ciowym jest zale|ne od czasu r�wnanie Schr�dingera "� h2 2 � i� = - " � + V (r)�. (14.1) h "t 2m Poniewa| interesuje nas stan zwizany o zadanej energii E funkcj � zapiszemy w postaci: h �(r, t) = A e-i(Et-S(r))/�. (14.2) R�wnanie (14.1) mo|na przepisa jako r�wnanie na faz S: 2 1 h 2 � "S(r) - (E - V (r)) - i " S(r) = 0. (14.3) 2m 2m W przypadku jednowymiarowym, do kt�rego si teraz ograniczymy, r�wnanie (14.3) przyj- muje posta: S 2 - 2m (E - V ) - i� = 0, (14.4) hS gdzie prim oznacza r�|niczkowanie po x. Przybli|enie, kt�re teraz zrobimy, polega na rozwiniciu fazy S w potgi h. Warto w � tym miejscu zauwa|y, |e rozwinicie to ma nieco inny charakter ni| rozwinicie omawiane w rozdziale (??), ze wzgldu na to, |e h jest parametrem wymiarowym. W praktyce � ograniczymy si do pierwszej potgi h: � S = S0 + h S1 + . . . , (14.5) � co daje 2 S0 + 2� S0S1 + . . . - 2m (E - V ) - i� + . . . = 0. (14.6) h hS0 Pr�wnujc wsp�Bczynniki przy kolejnych potgach h otrzymujemy dwa r�wnania: � S0 = � 2m (E - V ), S0 = -2i S0S1. (14.7) 64 Jak wida S0 ma sens klasycznego pdu czstki poruszajcej si w potencjale V (x). Pier- wsze z r�wnaD (14.7) daje si Batwo scaBkowa: x S0(x) = � dx 2m (E - V (x )) + const., (14.8) gdzie staBa const. zwizana z doln granic caBkowania, redefiniuje i tak na razie dowoln staB A z r�wania (14.2) i dlatego mo|e zosta pominita. Drugie z r�wnaD (14.7) daje si te| prosto scaBkowa S0 d = ln S0 = -2i S1 (14.9) S0 dx i dalej i i S1(x) = ln S0(x) = ln p(x). (14.10) 2 2 Warto zauwa|y, |e r�wnanie na S1 nie zale|y od znaku S0 (znak ten upraszcza si w (14.9)), a ewentualna staBa addytywna znowu mo|e zosta wcignita do A. Podsumowujc, og�lna posta funkcji falowej � dana jest jako x " " i 4 h � �(x) = A� e� dx 2m(E-V (x )) e- ln 2m(E-V (x)) x " A� i h � = e� dx 2m(E-V (x )). (14.11) 4 2m (E - V (x)) Poniewa| wielko[ E-V (x) mo|e przyjmowa warto[ci ujemne i dodatnie, warto wprowadzi oznaczenia 1 k(x) = 2m (E - V (x)) dla x1 < x < x2 h � 1 �(x) = 2m (V (x) - E) dla x < x1 lub x2 < x, (14.12) h � gdzie x1,2 s klasycznymi punktami zwrotu. 14.2 Posta funkcji falowej Zapiszmy funkcj (14.11) w obszarach I ) i II ): x1 - dx �(x ) A x �I(x) = e , 2 h�(x) � x x C1 i dx k(x ) C2 -i dx k(x ) x1 x1 �(1)(x) = e + e , (14.13) II hk(x) hk(x) � � gdzie dla funkcji �I wybrali[my znak "- w eksponencie, aby znikaBa dla x �! -", a czynnik 2 w normalizacji zostaB dodany dla p�zniejszej wygody. Index (1) przy funkcji 65 �II oznacza, |e w caBce po dx za doln granic wybrali[my x1. Zauwa|my, |e funkcj falow w obszarze II) mo|emy zapisa inaczej x2 x2 D1 i dx k(x ) D2 -i dx k(x ) x x �(2)(x) = e + e . (14.14) II hk(x) hk(x) � � I wreszcie w obszarze III) x - dx �(x ) B x2 �III(x) = e . (14.15) 2 h�(x) � 14.3 Warunki zszycia Wyprowadzon w poprzednim paragrafie posta funkcji falowej u|yjemy do opisu czstki w trzech obszarach I ) na lewo od punktu zwrotu x1, II ) midzy punktami zwrotu x1 < x < x2 i III ) na prawo od punktu x2. Zauwa|my, |e przybli|enie (14.11) nie stosuje si w punktach zwrotu i w pewnych otoczeniach wok�B punkt�w zwrotu. Poniewa|, aby uzyska funkcj falow dla wszystkich x-�w, musimy dokona zszycia fragment�w funkcji falowej zadanych w poszczeg�lnych obszarach, zachodzi potrzeba zastosowania jakiego[ innego przybli|enia, sBusznego w punktach zwrotu i w najbli|szym ich otoczeniu. Najprostszym rozwizaniem jest przybli|enie potencjaBu przez lini prost V (x) = E - F1(x - x1) + . . . dla x <" x1, V (x) = E + F2(x - x2) + . . . dla x <" x2, (14.16) gdzie F1,2 > 0. W tym przybli|eniu r�wnanie Schr�dingera redukuje si do r�wnania Bessela i mo|na go dokBadnie rozwiza. Otrzymane w ten spos�b rozwizanie mo|na nastpnie zszy z funkcj falow (14.11) po lewej i po prawej stronie punkt�w zwrotu. Metoda ta opisana jest w podrczniku Schiffa. My postpimy jednak inaczej: obejdziemy osobliwo[ funkcji (14.11) po maBym okrgu w pBaszczyznie zespolonego x. Jest to metoda opisana w podrczniku Landaua i Lifszica. Dla x bliskich x1 zachodzi 1 k(x) = 2mF1 (x - x1)1/2 , h � 1 �(x) = 2mF1 (x1 - x)1/2 . (14.17) h � W konsekwencji x 2 dx k(x ) = 2mF1 (x - x1)3/2 , 3� h x1 x1 2 dx �(x ) = 2mF1 (x1 - x)3/2 (14.18) 3� h x 66 I II III � =0 -� +� � =0 x1 +� -� x2 Przechodzc od obszaru I do II napotykamy na osobliwo[ zwizan z zerem �(x). Aby j omin przyjmiemy x1 - x = �ei�, (14.19) przy czym � = 0 dla x < x1 i zmienia si od 0 do -�, je|eli poruszamy si od I do II po maBym okrgu o promieniu � zgodnie z ruchem wskaz�wek zegara a| do x > x1, lub od 0 do �, je|eli poruszamy si po dolnym p�Bokrgu w stron przeciwn ni| wskaz�wki zegara. Przechodzc po g�rnym p�Bokrgu mamy zatem x1 " " 2 2mF1 2 2mF1 3� 2 dx �(x ) = �3/2 �! �3/2e-i 3� 3� h h x x " 2 2mF1 = (x - x1)3/2i = i dx k(x ) (14.20) 3� h x1 Podobnie czynnik � 4 4 4 h�(x) = 2mF1 (x1 - x)1/4 -�! 2mF1 (x - x1)1/4 e-i � � 4 = hk(x) e-i . (14.21) � W sumie otrzymujemy, |e: x x1 � - dx �(x ) 4 A A ei -i dx k(x ) x1 x �I(x) = e -�! e . (14.22) 2 h�(x) 2 hk(x) � � Widzimy, |e dokonujc obej[cia osobliwo[ci po g�rnym p�Bokrgu odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji falowej w obszarze II, przy czym zachodzi 1 � 4 C2 = A ei . (14.23) 2 67 Obchodzc osobliwo[ po dolnym p�Bokrgu otrzymujemy x1 " " 2 2mF1 2 2mF1 3� 2 dx �(x ) = �3/2 -�! �3/2ei 3� 3� h h x x " 2 2mF1 = (x - x1)3/2(-i) = -i dx k(x ) (14.24) 3� h x1 oraz � 4 4 4 h�(x) = 2mF1 (x1 - x)1/4 -�! 2mF1 (x - x1)1/4 e+i � � 4 hk(x) e+i . (14.25) � Z r�wnaD (14.24,14.25) wynika, |e x x1 � - dx �(x ) 4 A A e-i i dx k(x ) x1 x �I(x) = e -�! e . (14.26) 2 h�(x) 2 hk(x) � � Zatem obchodzc osobliwo[ po dolnym p�Bokrgu odtworzyli[my drugi skBadnik funkcji falowej w obszarze II, przy czym 1 � 4 C1 = A e-i . (14.27) 2 Zanim podstawimy warto[ci C1 i C2 do r�wnania (14.13) spr�bujmy zastanowi si, dlaczego obchodzc osobliwo[ g�r lub doBem odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji falowej w obszarze II. W tym celu warto prze[ledzi zmian peBnej funkcji falowej (14.13) przy przej[ciu w stron przeciwn, to jest z obszaru II do obszaru I. W obszarze II w pobli|u x = x1 x 3� 3� �i dx k(x ) �3/2 �i cos " sin , (14.28) 2 2 x1 przy czym � zmienia si od 0 do � dla przej[cia g�r lub 0 do -� dla przej[cia doBem. Rozwa|my przej[cie g�r. Decydujcy jest tu czynnik: 3� sin , (14.29) 2 kt�ry na pocztku maleje dla cz[ci proporcjonalnej do C1(znak + w eksponencie), nato- miast ro[nie dla cz[ci proporcjonalnej do C2 (znak - w eksponencie). Std przy obej[ciu g�r czBon proporcjonalny do C1 gubi si na tle rosncego czBonu proporcjonalnego do C2. Przybli|enie semiklasyczne nie pozwala na utrzymanie wrazu eksponencjalnie maBego na tle czBonu wiodcego. Dla przej[cia doBem sytuacja si odwraca i gubi si czBon proporcjonalny do C2. 68 1 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 1 2 3 -0.25 -0.5 -0.75 -1 Podstawiajc (14.23) i (14.27) do r�wnania (14.13) otrzymujemy �� x x � � i dx k(x )-i -i dx k(x )+i A 1 4 4 x1 x1 ��e �� (1)(x) = + e II 2 hk(x) � �� x A � �� = cos dx k(x ) - (14.30) 4 hk(x) � x1 Spr�bujmy teraz powt�rzy to samo rozumowanie dla obszaru wok punktu x2. Przyjmi- jmy funkcje falowe w postaci: x - dx �(x ) B x2 �III(x) = e , 2 h�(x) � x2 x2 D1 i dx k(x ) D2 -i dx k(x ) x x �(2)(x) = e + e . (14.31) II hk(x) hk(x) � � W tym obszarze 1 k(x) = 2mF2 (x2 - x)1/2 , h � 1 �(x) = 2mF2 (x - x2)1/2 . (14.32) h � Sparametryzujmy x - x2 = � ei�, (14.33) przy czym � zmienia si od 0 do � lub -�, je[li poruszamy si po g�rnym wzgldnie dolnym p�Bokrgu przechodzc z obszaru III -�! II. Poniewa| 3� 2 (x - x2)3/2 = �3/2 -�! �3/2e�i = "i(x2 - x)3/2, � � 4 4 (x2 - x)1/4 = �1/4 -�! �1/4e�i = e�i (x2 - x)1/4, (14.34) 69 gdzie g�rny (dolny) znak odpowiada przej[ciu po g�rnym (dolnym) p�Bokrgu. Zatem dla przej[cia g�r mamy x x2 � - dx �(x ) 4 B B e-i i dx k(x ) x2 x �III(x) = e -�! e , (14.35) 2 h�(x) 2 h�(x) � � natomiast dla przej[cia doBem x x2 � - dx �(x ) 4 B B ei -i dx k(x ) x2 x �III(x) = e -�! e , (14.36) 2 h�(x) 2 h�(x) � � co implikuje 1 � 1 � 4 4 D1 = B e-i , D2 = B ei . (14.37) 2 2 Podobnie jak w przypadku (14.30) otrzymujemy x2 x2 � � i dx k(x )-i -i dx k(x )+i B 1 4 4 x x �(2)(x) = e + e II 2 hk(x) � �� x2 B � �� = cos dx k(x ) - . (14.38) 4 hk(x) � x Na koniec warto jeszcze wspomnie o warunkach zszycia dla potencjaB�w typu nieskoDc- zonej studni. Dla takich potencjaB�w przybli|enie semiklasyczne w obszarze II stosuje si a| do samego punktu zwrotu, za[ na zewntrz funkcja falowa jest po prostu r�wna to|samo[ciowo zeru. 14.4 Warunki kwantowania Bohra-Sommerfelda Funkcje �(1) i �(2) musz by sobie r�wne. Przepiszmy �(1) w nieco innej formie II II II �� x A � �� (1)(x) = cos dx k(x ) - II 4 hk(x) � 1 ��x �� x2 x2 A ��- dx k(x ) + � + dx k(x ) - � �� = cos 4 2 hk(x) � x x1 �� x2 x2 A � � �� = cos dx k(x ) - - dx k(x ) + . (14.39) 4 2 hk(x) � x x1 Por�wnujc (14.39) z (14.38) otrzymujemy x2 � dx k(x ) - = n� i B = (-)nA. (14.40) 2 x1 70 Pierwsze z r�wnaD (14.40) stanowi tre[ reguBy kwantyzacji Bohra-Sommerfelda, kt�r zwyczajowo zapisuje si w postaci caBki okr|nej po okresie ruchu z wyra|enia na pd klasyczny: 1 dx p(x ) = 2�� + n (14.41) h 2 14.4.1 Oscylator harmoniczny Warto w charakterze przykBadu rozpatrze oscylator harmoniczny, dla kt�rego 1/2 1/2 " " 1 �2m p(x) = 2m E - �2m x2 = 2mE 1 - x2 , (14.42) 2 2E za[ punkty zwrotu 2E x1,2 = � . (14.43) m�2 Wprowadzajc now zmienn �2m 2E � = x, -1 < � < 1, dx = d� (14.44) 2E m�2 wyliczmy caBk x2 1 E E dx p(x ) = 2 dx p(x ) = 4 d� 1 - �2 = 2� , (14.45) � � x1 -1 gdzie skorzystali[my z warto[ci caBki 1 � d� 1 - �2 = . (14.46) 2 -1 Warunek Bohra-Sommerfelda (14.41) daje zatem dla oscylatora harmonicznego E 1 = h + n , (14.47) � � 2 co jest identyczne z dokBadnym wynikiem. 14.4.2 NieskoDczona studnia potencjaBu Dla nieskoDczonej studni potencjaBu 0 dla -a < x < a V (x) = (14.48) " dla x < -a, a < x 71 zachodzi " 1 k(x) = 2mE, (14.49) h � a funkcja falowa ma posta x x C1 i dx k(x ) C2 -i dx k(x ) -a -a �II(x) = " e + " e . (14.50) 4 4 2mE 2mE Poniewa| �II(-a) = 0, std C C1 = -C2 a" . (14.51) 2i A zatem �� x C �� II(x) = " sin dx k(x )�� . (14.52) 4 2mE -a Z kolei warunek �II(a) = 0 implikuje warunek kwantowania a dx k(x ) = n�. (14.53) -a Podstawiajc za k(x ) wyra|enie (14.49) otrzymujemy 2a" 2mE = n�, (14.54) h � co daje skwantowan energi h2�2 � En = n2, (14.55) 8a2m co pokrywa si z wynikiem dokBadnym. Warto zauwa|y, |e n = 0 nie jest dozwolone, gdy| mieliby[my wtedy do czynienia z funkcj to|samo[ciowo r�wn zeru. 14.5 Warunki stosowalno[ci przybli|enia semiklasycznego Warunkiem stosowalno[ci rozwinicia (14.5) jest aby hS1 S0. (14.56) � Jednak, zar�wno S0 jak i S1 s funkcjami x, przy czym S0 jest funkcj monotoniczn. Zamiast bada r�wnanie (14.56) przyjBo si bada stosunek pochodnych. hS1 k � = 1. (14.57) S0 2k2 Ostatni wz�r bierze si std, |e dS1 i� d i� p i� k h h h h = ln p(x) = = � dx 2 dx 2 p 2 k 72 i S0 = p = hk. � Warto wz�r (14.57) przepisa w nieco innej formie, zauwa|ajc, |e dBugo[ fali de Broglie a � = 2�/k: � dk k, (14.58) 4� dx co oznacza, |e zmiana k na odcinku �/4� jest maBa w por�wnaniu z k. Innymi sBowy wzgldna zmiana k na odlegBo[ci rzdu �/4� jest mniejsza (silnie) od 1. Poniewa| za zmian k z x odpowiedzialny jest potencjaB V (x), to warunek (14.58) oznacza w praktyce, |e potencjaB jest na tyle wolno zmienny, |e pd czstki jest prawie staBy, przy zmianie x o kilka dBugo[ci fali de Broglie a. Wida std, |e przybli|enie WKB zaBamuje si w pobli|u punkt�w zwrotu gdzie k �! 0 a � �! ". 73

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PRZYBLIZANIE SI DO NIEGO
Psalm 73 w 28 DOBRZE JEST MI DO BOGA SĘ PRZYBLIŻAĆ
PRZYBLIENIE SI DO NIEGO
PRZYBLIZONE WYZNACZANIE MASOWEGO MOMENTU?ZWLADNOSCI v2011
zad1 przyblizone cw wyjscie
MES1 Wykład 2 PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA POISSONA
Oznaczanie powierzchni właściwej i przybliżonego składu mineralnego metodą sorpcji pary wodnej
Dodatek A Obliczenia przybliżone
Współczynnik do wyznaczanie wysokości sprzężonych metodą przybliżoną
Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych
Techniki algorytmiczne przybliżone i dokładne
Opór właściwy skrawania przybliżone wartości
01 Wykonywanie obliczeĹ„ na liczbach przybliĹĽonych, przeliczanie kÄ…tĂłw(1)

więcej podobnych podstron