WYKA
AD Nr 20
CAA
KA POTRÓJNA
A) CAA
KA POTRÓJNA W PROSTOPADA
OÅšCIANIE
Niech będzie dany prostopadłościan P, określony w przestrzeni układu OXYZ następująco:
P : a d" x d" b , c d" y d" d , e d" z d" f
oraz funkcja trzech zmiennych f (x, y, z) określona i ograniczona w prostopadłościanie P.
Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów częściowych Pk o objętościach "Vk , gdzie
k =1, 2, ... , n . Podział ten oznaczamy "n .
Przez dk oznaczamy długość przekątnej prostopadłościanu Pk .
Liczba ´n = max dk (najdÅ‚uższa z przekÄ…tnych prostopadÅ‚oÅ›cianów częściowych) jest Å›rednicÄ… podziaÅ‚u
1d"k d"n
"n .
W każdym prostopadłościanie Pk wybieramy dowolny punkt Ak (xk , yk , zk ) oraz obliczamy wartość
funkcji w tym punkcie, tzn. f (xk , yk , zk ).
Tworzymy sumę zwaną sumą całkową funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P.
n
Sn = f (xk , yk , zk )Å""Vk .
"
k =1
NastÄ™pnie rozważamy ciÄ…g normalny podziałów ("n ), tzn. ´n 0 gdy n " .
Def.2.1 (całka potrójna w prostopadłościanie)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P, ciąg sum całkowych (Sn ) jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Ak , to tę granicę nazywamy
całką potrójną funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem:
f (x, y, z) dxdydz
+"+"+"
P
Symbolicznie:
n
f (x, y, z) dxdydz = lim f (xk , yk , zk )Å""Vk
"
+"+"+"
´n 0
k =1
P
Funkcję f (x, y, z) nazywamy całkowalną w prostopadłościanie P, jeśli istnieje całka tej funkcji w tym
prostopadłościanie.
Tw.2.1 (o całkowalności funkcji ciągłej)
Funkcja f (x, y, z) ciągła na prostopadłościanie P jest na nim całkowalna.
253
WA
ASNOÅšCI CAA
KI POTRÓJNEJ
A) Liniowość:
Jeżeli funkcje f (x, y, z) i g(x, y, z) są całkowalne w prostopadłościanie P, a " R to:
1) Å" f (x, y, z) dxdydz = a f (x, y, z) dxdydz
+"+"+"a +"+"+"
P P
2) (x, y, z) Ä… g(x, y, z)]dxdydz = f (x, y, z) dxdydz Ä…
+"+"+"[f +"+"+" +"+"+"g(x, y, z) dxdydz
P P P
B) Addytywność względem obszaru całkowania:
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest całkowalna w prostopadłościanie P = P1 *" P2 , przy czym prostopadłościany
P1, P2 mają rozłączne wnętrza to:
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz
+"+"+" +"+"+" +"+"+"
P P1 P2
Tw.2.2 (o zamianie całki potrójnej na całki iterowane)
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciÄ…gÅ‚a w prostopadÅ‚oÅ›cianie P : a,b × c, d × e, f to:
b
Å„Å‚d f üÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
f (x, y, z) dxdydz = ïÅ‚ f (x, y, z) dz dyżł dx
śł
+"+"+" +"òÅ‚+" +"
ïÅ‚e śł
ôÅ‚c ðÅ‚ ôÅ‚
P a
ûÅ‚
ół þÅ‚
Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe w przypadku zmiany kolejności całkowania w całkach
iterowanych. W przypadku całki potrójnej mamy sześć rodzajów całek iterowanych.
Przykład: Obliczyć całkę potrójną
+"+"+"(2x - y + 3z)dxdydz , gdzie P obszar ograniczony płaszczyznami:
P
x = -1, x = 1, y = 0, y = 1, z = 2, z = 4
RozwiÄ…zanie:
W naszym przypadku f (x, y, z) = 2x - y + 3z , a obszar całkowania to prostopadłościan
P : -1,1 × 0,1 × 2, 4 . Zatem korzystajÄ…c z Tw.2.2 mamy:
z=4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 ëÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
2
Å„Å‚1 üÅ‚
îÅ‚4 Å‚Å‚
öÅ‚
z
ôÅ‚ ôÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚
dyśł dx =
ïÅ‚
+"+"+"(2x - y + 3z)dxdydz = +"òÅ‚+" +"(2x - y + 3z) dzśł dyżł dx = +" +"ìÅ‚ìÅ‚2xz - yz + 3 ÷Å‚ ÷Å‚
÷Å‚
ïÅ‚ śł
2
÷Å‚
ôÅ‚0 ïÅ‚2 śł ôÅ‚
Å‚Å‚
P -1 ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚ -1
z=2
ïÅ‚0 ìÅ‚ìÅ‚ śł
íÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1
îÅ‚1 ëÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚1 Å‚Å‚
y=1
16 4
öÅ‚
îÅ‚ 2 Å‚Å‚
= (4xy - y +18y) dx =
ïÅ‚ ïÅ‚
+" +"ìÅ‚8x - 4y + 3 - 4x + 2y - 3 ÷Å‚ dyśł dx = +" +"(4x - 2y +18)dyśł dx = +"
ïÅ‚ śł
y=0
2 2 ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-1ðÅ‚0 ûÅ‚ -1ðÅ‚0 ûÅ‚ -1
1
x=1
2
= -1+18]dx = (2x +17x) = 2 +17 - 2 +17 = 34
+"[4x
x=-1
-1
254
B) CAA
KA POTRÓJNA PO OBSZARZE NORMALNYM
Def.2.2 (obszar normalny względem płaszczyzny OXY)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
Õ(x, y) d" z d" È(x, y) , (x, y)" D ,
gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie OXY, a funkcje Õ(x, y), È(x, y) sÄ… w nim ciÄ…gÅ‚e,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY. (Rys.1)
z
z = È(x, y)
V
z = Õ(x, y)
0
y
D
x
Rys.1. Obszar normalny względem płaszczyzny OXY
Def.2.3 (obszar normalny względem płaszczyzny OXZ)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
Ä…(x, z) d" y d" ²(x, z) , (x, z)" D1,
gdzie D1 jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie OXZ, a funkcje Ä…(x, z),²(x, z) sÄ… w nim ciÄ…gÅ‚e,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXZ.
Def.2.4 (obszar normalny względem płaszczyzny OYZ)
Obszar domknięty V, określony nierównościami:
Å‚(y, z) d" x d" ´( y, z) , (y, z)" D2 ,
gdzie D2 jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie OYZ, a funkcje Å‚(y, z), ´(y, z) sÄ… w nim ciÄ…gÅ‚e,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXZ.
255
Def.2.5 (całka potrójna po obszarze normalnym)
Niech bÄ™dzie dana funkcja f (x, y, z) okreÅ›lona i ograniczona na obszarze V ‚" R3 ,który zawiera siÄ™ w
pewnym prostopadłościanie P.
Funkcja
f (x, y, z) (x, y, z)"V
Å„Å‚
f * (x, y, z) =
òÅ‚
0 (x, y, z) " P \ V
ół
jest rozszerzeniem funkcji f (x, y, z) na prostopadłościan P.
Całkę potrójną funkcji f (x, y, z) po obszarze V definiujemy następująco:
f (x, y, z) dxdydz = f * (x, y, z) dxdydz
+"+"+" +"+"+"
V P
o ile f * (x, y, z) dxdydz istnieje.
+"+"+"
P
Wówczas mówimy, że funkcja f (x, y, z) jest całkowalna na obszarze V.
Tw.2.3 ( o zamianie całki potrójnej po obszarze normalnym na całki iterowane)
1) Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OXY
V = {(x, y, z): Õ(x, y) d" z d" È(x, y) , (x, y)" D }
to
îÅ‚È(x, y) Å‚Å‚
śł
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dz dxdy
+"+"+" +"+"ïÅ‚ +"
ïÅ‚Õ(x, śł
V D y)
ðÅ‚ ûÅ‚
2) Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OXZ
V = {(x, y, z): Ä…(x, z) d" y d" ²(x, z) , (x, z)" D1 }
to
îÅ‚²( x,z) Å‚Å‚
śł
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dy dxdz
+"+"+" +"+"ïÅ‚ +"
ïÅ‚Ä…( śł
V D1 x,z)
ðÅ‚ ûÅ‚
3) Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na obszarze normalnym względem płaszczyzny OYZ
V = {(x, y, z): Å‚( y, z) d" x d" ´(y, z) , (y, z)" D2 }
to
îÅ‚´( y,z) Å‚Å‚
śł
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dx dydz
+"+"+" +"+"ïÅ‚ +"
ïÅ‚Å‚( śł
V D2 y,z)
ðÅ‚ ûÅ‚
2
z
Przykład: Obliczyć
+"+"+"(1 - x - y) dxdydz , gdzie V obszar leżący w pierwszym oktancie układu
2
V
współrzędnych (tzn. x e" 0, y e" 0, z e" 0 ) i ograniczony płaszczyzną: x + y + z = 1. (Rys.2)
256
RozwiÄ…zanie:
z
1 z =1 - x - y
V
1
y
1
D
x
Rys.2
Obszar V jest obszarem normalnym względem każdej z płaszczyzn układu współrzędnych. Tutaj
potraktujemy go jako normalny względem płaszczyzny OXY.
Zatem
V = {(x, y, z): 0 d" z d"1 - x - y , (x, y)" D }
Obszar D jest rzutem V na płaszczyznę OXY. Obszar płaski D jest obszarem normalnym zarówno
względem osi OX, jak i osi OY. Potraktujemy go jako normalny względem osi OX (Rys.3)
y
1 y = 1 - x
x
0 1
Rys.3
Wówczas
D = {(x, y) : 0 d" x d"1, 0 d" y d"1 - x }
KorzystajÄ…c z Tw.3.3 ( podpunkt 1) ) mamy:
z=1-x- y
2 îÅ‚ 3 Å‚Å‚
îÅ‚1-x- y 2 Å‚Å‚
z z 1 z
ïÅ‚ śł
dz dxdy = dxdy =
śł
+"+"+"(1- x - y) dxdydz = +"+"ïÅ‚ +" +"+"
2 2 2
ïÅ‚ 3 śł
ïÅ‚ (1- x - y) śł (1- x - y)
V D 0 D z=0
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1
3
îÅ‚1-x Å‚Å‚
1 (1 - x - y) 1 1
= dxdy = - x - y)dxdy =
ïÅ‚
+"+" +"+"(1 +" +"(1 - x - y) dyśł dx =
2
3 3 3
(1 - x - y)
ïÅ‚ śł
D D 0 ðÅ‚ 0 ûÅ‚
y=1-x
îÅ‚ëÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
2
öÅ‚
1 y 1 1 1 1 1
îÅ‚1 îÅ‚
ïÅ‚ìÅ‚ śł
÷Å‚
= y - xy - dx = - x - x(1 - x)- (1 - x)2 Å‚Å‚ dx = (1 - x)2 Å‚Å‚ dx = - x)2 dx =
+" +" ïÅ‚ śł +" ïÅ‚2 śł +"(1
÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ śł
3 2 3 2 3 6
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Å‚Å‚
0 0 0 0
ïÅ‚íÅ‚ y=0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
0 1 ëÅ‚ öÅ‚
3
1 - x = t
x 0 1 1 1 1 t 1
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
= = - dt = dt = =
+"t +"t ìÅ‚ ÷Å‚
- dx = dt t 1 0 6 6 6 3 18
ìÅ‚ ÷Å‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
257
C) CAA
KA POTRÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Def.2.6 (obszar regularny w przestrzeni R3 )
Obszarem regularnym w przestrzeni nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych
względem płaszczyzny układu (OXY, OXZ lub OYZ) o parami rozłącznych wnętrzach.
CAA
KA POTRÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Niech V będzie obszarem regularnym, V = V1 *" V2 *" ... *" Vn , gdzie V1, V2 , ... , Vn obszary normalne
(względem płaszczyzny OXY, OXZ lub OYZ) o parami rozłącznych wnętrzach, funkcja f (x, y, z) jest
całkowalna na V.
Wówczas
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz + ... + f (x, y, z) dxdydz
+"+"+" +"+"+" +"+"+" +"+"+"
V V1 V2 Vn
Uwaga: Własności całek potrójnych po obszarach regularnych są takie same jak całek po
prostopadłościanach i obszarach normalnych (tj. liniowość i addytywność względem obszaru
całkowania).
Def.2.7 (wartość średnia funkcji f (x, y, z) na obszarze)
LiczbÄ™
1
µ = f (x, y, z) dxdydz ,
+"+"+"
V
V
gdzie V oznacza objętość obszaru przestrzennego V, nazywamy wartością średnią funkcji f (x, y, z)
na obszarze V.
D) ZAMIANA ZMIENNYCH W CAA
CE POTRÓJNEJ
Tw.2.4 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej)
Jeżeli
x = x(u, v, w)
Å„Å‚
ôÅ‚
1. odwzorowanie (*) y = y(u, v, w) przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru
òÅ‚
ôÅ‚
z = z(u, v, w)
ół
regularnego " na wnętrze obszaru regularnego V,
2. funkcje (*) sÄ… klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym "1 zawierajÄ…cym obszar " (" ‚" "1),
3. funkcja f (x, y, z) jest ciągła w obszarze V,
"x "x "x
"u "v "w
"y "y "y
4. jakobian przekształcenia: J (u, v, w) = jest różny od zera wewnątrz obszaru "
"u "v "w
"z "z "z
"u "v "w
to
f (x, y, z) dxdydz = f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]Å" J (u, v, w) dudvdw
+"+"+" +"+"+"
V "
258
WSPÓA
RZ
DNE WALCOWE (CYLINDRYCZNE)
Def.2.8 (współrzędne walcowe)
WspółrzÄ™dnymi walcowymi punktu przestrzeni P nazywamy trójkÄ™ liczb (r, Õ, h), gdzie r oznacza
długość rzutu promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, ( 0 d" r < " ),
Õ oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy rzutem promienia wodzÄ…cego punktu P na pÅ‚aszczyznÄ™ OXY, a dodatniÄ…
półosiÄ… osi OX, ( 0 d" Õ < 2Ä„ albo - Ä„ < Õ d" Ä„ ), h  to odlegÅ‚ość punktu P od pÅ‚aszczyzny OXY,
(- " < h < " ). (Rys.4)
z
h
P(x, y, z)
r
y
Õ
2
P (x, y, 0)
x
Rys.4 Współrzędne walcowe
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY WSPÓA
RZ
DNYMI KARTEZJAC
SKIMI I WSPÓA
RZ
DNYMI
WALCOWYMI
WspółrzÄ™dne kartezjaÅ„skie (x, y, z) punktu przestrzeni P danego we współrzÄ™dnych walcowych (r, Õ, h)
wyrażają się następująco:
x = r cos Õ, y = r sin Õ, z = h
JAKOBIAN
"x "x "x
"r "Õ "h
cos Õ - r sin Õ 0
cos Õ - r sin Õ
"y "y "y
J (r, Õ, h) = = sin Õ r cos Õ 0 =1Å" (-1)6 Å" = r
"r "Õ "h sin Õ r cos Õ
0 0 1
"z "z "z
"r "Õ "h
f (x, y, z) dxdydz = f (r cosÕ , r sin Õ , h) r drdÕ dh
+"+"+" +"+"+"
V "
259
2
Przykład: Obliczyć
+"+"+"z x2 + y dxdydz , gdzie V obszar przestrzenny ograniczony powierzchniami:
V
2
z = 0, z = 3, x2 + y2 = 1, x2 + y = 16 . (Rys.5)
RozwiÄ…zanie:
z
z = 3
2
x2 + y = 16
3
x2 + y2 = 1
1
4 y
4
z = 0
x
Rys 5 Obszar przestrzenny V
Obszar przestrzenny V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
V = {(x, y, z): 0 d" z d" 3, (x, y) " D },
gdzie D jest rzutem obszaru V na płaszczyznę OXY, zatem jest to pierścień o środku w punkcie (0,0) i
promieniach: 1 i 4. StÄ…d
2
D ={(x, y): 1 d" x2 + y d" 16 }
y
D
x
1 4
Rys.6 Rzut obszaru przestrzennego V na płaszczyznę OXY
260
WprowadzajÄ…c współrzÄ™dne walcowe x = r cos Õ, y = r sin Õ, z = h mamy:
" = {(r, Õ, h): 0 d" h d" 3, 1d" r d" 4, 0 d" Õ d" 2Ä„ }, J (r, Õ, h) = r
Wówczas na podstawie Tw.2.4 otrzymujemy:
2 2
2 2 2
+"+"+"z x2 + y dxdydz = +"+"+"h (r cos Õ) + (r sin Õ) Å"rdrdÕdh = +"+"+"h r rdrdÕdh = +"+"+"hr drdÕdh =
V " " "
r=4
3 4 3 2Ä„ Å‚Å‚ 3
îÅ‚
ëÅ‚ 3 öÅ‚
îÅ‚2Ä„ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ îÅ‚2Ä„ëÅ‚ 64 1 öÅ‚dÕÅ‚Å‚ 63 3 ëÅ‚2Ä„ öÅ‚
r
2
ïÅ‚
= ïÅ‚
ïÅ‚
+" +"ìÅ‚+"hr dr ÷Å‚dÕśł dh = +" +"ìÅ‚h ÷Å‚dÕśł dh = +" +"ìÅ‚h - h ÷Å‚ śł dh = +"hìÅ‚ +"dÕ÷Å‚ dh =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ 3 śł 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 íÅ‚ 1 Å‚Å‚ 0 0 r=1 0 ðÅ‚ 0 ûÅ‚ 0 íÅ‚ 0 Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
h=3
3 3
ëÅ‚
63 63 63 h2 öÅ‚ 63 9
Õ=2Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
= (Õ )dh = Å" 2Ä„ dh = Å" 2Ä„ Å" = Å" 2Ä„ Å" = 189Ä„
+"h Õ=0 +"h
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3 2 3 2
0 0 h=0
íÅ‚ Å‚Å‚
WSPÓA
RZ
DNE SFERYCZNE
Def.2.9 (współrzędne sferyczne)
WspółrzÄ™dnymi sferycznymi punktu przestrzeni P nazywamy trójkÄ™ liczb (r, Õ, ¸), gdzie r oznacza
odlegÅ‚ość punktu P od poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, ( 0 d" r < " ), Õ oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy
rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią osi OX,
( 0 d" Õ < 2Ä„ albo - Ä„ < Õ d" Ä„ ), ¸  to miara kÄ…ta miÄ™dzy promieniem wodzÄ…cym punktu P, a
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
pÅ‚aszczyznÄ… OXY, d" ¸ d" . (Rys.7)
ìÅ‚-
÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY WSPÓA
RZ
DNYMI KARTEZJAC
SKIMI I WSPÓA
RZ
DNYMI
SFERYCZNYMI
WspółrzÄ™dne kartezjaÅ„skie (x, y, z) punktu przestrzeni P danego we współrzÄ™dnych sferycznych (r, Õ, ¸)
wyrażajÄ… siÄ™ nastÄ™pujÄ…co: x = r cos Õ cos ¸, y = r sin Õ cos ¸, z = r sin ¸
z
P(x, y, z)
r
z
¸
0
y
x
d1
Õ
A
2
P (x, y)
y
x
Rys.7 Współrzędne sferyczne
261
2 2
Wyjaśnienie: Trójkąty "OP P , "OAP są trójkątami prostokątnymi. Zatem
d1
2
z "OP P = cos ¸ d1 = r cos ¸ (1)
r
z
2
z "OP P = sin ¸ z = r sin ¸ (2)
r
x
2
z "OAP = cos Õ x = d1 cos Õ (3)
d1
y
= sin Õ y = d1 sin Õ (4)
d1
Wstawiając (1) do (3) i (4) oraz biorąc pod uwagę (2) otrzymujemy współrzędne sferyczne:
x = r cosÕ cos¸ y = r sinÕ cos¸ z = r sin¸
JAKOBIAN
"x "x "x
"r "Õ "¸
cos Õ cos ¸ - r sin Õ cos ¸ - r cos Õsin ¸
"y "y "y
J (r, Õ, ¸) = = sin Õ cos ¸ r cos Õ cos ¸ - r sin Õsin ¸ =
"r "Õ "¸
sin ¸ 0 r cos ¸
"z "z "z
"r "Õ "¸
- r sin Õ cos ¸ - r cos Õsin ¸ cos Õ cos ¸ - r sin Õ cos ¸
3+1 3+3
= sin ¸ Å" (- 1) Å" + r cos ¸ Å" (- 1) Å" =
r cos Õ cos ¸ - r sin Õsin ¸ sin Õ cos ¸ r cos Õ cos ¸
2 2 2 2
= sin ¸ Å"(r sin Õsin ¸ cos ¸ + r cos2 Õsin ¸ cos ¸)+ r cos ¸ Å"(r cos2 Õcos2 ¸ + r sin Õcos2 ¸)=
2 2 2 2
= sin ¸Å" r sin ¸ cos ¸ + r cos ¸Å" r cos2 ¸ = r cos ¸Å"(sin ¸ + cos2 ¸)= r cos ¸
2
f (x, y, z) dxdydz = f (r cosÕ cos¸ , r sin Õ cos¸ , r sin¸ ) r cos¸ dr dÕ d¸
+"+"+" +"+"+"
V "
2 2
Przykład: Obliczyć całkę x2 + y + z dxdydz , gdzie V jest ósmą częścią kuli określoną
+"+"+"
V
2
warunkami: x2 + y2 + z d"1, x e" 0, y e" 0, z e" 0 . (Rys.8).
262
RozwiÄ…zanie:
z
V
y
1
x
Rys.8
WprowadzajÄ…c współrzÄ™dne sferyczne x = r cos Õ cos ¸, y = r sin Õcos ¸, z = r sin ¸ zamieniamy obszar
przestrzenny V na prostopadłościan " , przy czym:
Ä„ Ä„
Å„Å‚ üÅ‚
" = (r, Õ, ¸): 0 d" r d" 1, 0 d" Õ d" , 0 d" ¸ d"
òÅ‚ żł
2 2
ół þÅ‚
2
Jakobian tego przeksztaÅ‚cenia wynosi: J (r, Õ, ¸) = r cos ¸
Stosując twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej mamy:
2 2 2 2 2 2 2 2
x2 + y + z dxdydz = r cos2 Õ cos2 ¸ + r sin Õ cos2 ¸ + r sin ¸ Å" r cos ¸ drdÕd¸ =
+"+"+" +"+"+"
V "
2 2 2 2 2 2 2 2 2
r cos2 ¸ (cos2 Õ + sin Õ) + r sin ¸ r cos ¸ drdÕd¸ = r cos2 ¸ + r sin ¸ r cos ¸ drdÕd¸ =
+"+"+" +"+"+"
" "
2 2 2 2 2
= r (cos2 ¸ + sin ¸) r cos ¸ drdÕd¸ = r r cos ¸ drdÕd¸ = r3 cos ¸ drdÕd¸ =
+"+"+" +"+"+" +"+"+"
" " "
{zamieniamy całkę potrójną na całkę iterowaną}
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
îÅ‚Ä„ Å‚Å‚ îÅ‚Ä„ Å‚Å‚ îÅ‚Ä„ Å‚Å‚
Ä„
2 2 2 2 îÅ‚1 Å‚Å‚
ïÅ‚2 îÅ‚1 Å‚Å‚ śł ïÅ‚2 îÅ‚ ëÅ‚ 4 1 öÅ‚Å‚Å‚ śł ïÅ‚2 1 śł
3
ïÅ‚cos r 2
ïÅ‚ śł
= ïÅ‚ cos ¸ drśł dÕśł d¸ = ïÅ‚ ¸ìÅ‚ ÷łśł dÕśł d¸ = ïÅ‚ cos ¸ dÕśł d¸ = cos ¸Å" Õ d¸ =
+" +"ïÅ‚+"r +" +" +" +" +" 0
ïÅ‚4 śł
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚0 ïÅ‚0 śł śł ïÅ‚0 ïÅ‚ ìÅ‚ 4 ÷łśł śł ïÅ‚0 4 śł
0 ðÅ‚ ûÅ‚ 0 0 0 0
ïÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„ Ä„
Ä„
2 2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
2
= cos ¸ d¸ =
+" +"cos ¸ d¸ = Å" sin ¸ =
0
8 8 8 8
0 0
263