Mechanika płynów
Równania podstawowe cd.
Dr Tomasz Wajman
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

E-mail: [e-mail]
1
Równania zachowania
Zachowania masy - równanie ciągłości
Zachowania pędu - drugie prawo Newtona
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania Energii - pierwsza zasada
termodynamiki
Równanie zachowania energii
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d v2 d v2
ïÅ‚
v
+"+"+"ÁìÅ‚c T + ÷Å‚ śł a" +"+"+"dt ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚dV ìÅ‚cvT + ÷Å‚
÷Å‚Á dV
dt 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
V V
ðÅ‚ ûÅ‚
Forma całkowa
r r r r
r r r r
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
d v2 r r
d v2 r r
&
( ) ( )
+"+"+"ïÅ‚Á dt ìÅ‚
ìÅ‚cvT + ÷Å‚ - " Å"( v)- ÁFm Å"v - " Å"( "T)- qm ÁśłdV = 0
÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
V
ðÅ‚ ûÅ‚
Forma różniczkowa
r r r r
ëÅ‚ öÅ‚
d v2 r r
ìÅ‚ &
Á
ìÅ‚cvT + ÷Å‚ = " Å"( v)+ ÁFm Å"v + " Å"( "T)+ qm Á
÷Å‚
dt 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego otrzymujemy jako bilans prac sił
występujących w równaniu Eulera, które dotyczy zasady
zachowania pędu dla elementu dV płynu nielepkiego.
r
r
r r
r r
dv 1
dv 1
= - "p + Fm
dt Á
r r
ds = v dt
" ruch płynu jest ustalony
r r
Fm = "U
" pole sił masowych jest polem potencjalnym
Równanie Bernoulliego
r
r
r r r
dv 1
Å" ds = - grad p Å" ds + Fm Å" ds
dt Á
r
r r
r r r ëÅ‚ öÅ‚
dv v2
ìÅ‚ ÷Å‚ ds = v dt
Å" v dt = dv Å" v = d
ìÅ‚ ÷Å‚
dt 2
íÅ‚ Å‚Å‚
r ëÅ‚ öÅ‚
r ëÅ‚ öÅ‚
1 1 "p "p "p dp
1 1 "p "p "p dp
- grad p Å" d s = - ìÅ‚ ÷Å‚
dx + dy + dz÷Å‚ = -
ìÅ‚
Á Á "x " y "z Á
íÅ‚ Å‚Å‚
r
r
"U "U "U
gradU Å" ds = dx + dy + dz = dU
Fm = grad U
"x " y "z
ëÅ‚ öÅ‚
v2 dp
dp
lub ìÅ‚ ÷Å‚
d + - dU = 0
v dv + - dU = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Á 2 Á
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie Bernoulliego
ëÅ‚ öÅ‚
v2 dp
ìÅ‚ ÷Å‚
d + - dU = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2 Á
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla gazów Á `" const.
Dla cieczy Á = const.
Przemiana adiabatyczna
Przemiana adiabatyczna
v2 p
+ -U = const.
dp
h = cpT
dh =
2 Á
Á
v2
U = -g z
+ h + g z = const.
2
v2 p v2
+ + g z = const. + h = const.
2 Á 2
Mechanika płynów
Równanie Naviera-Stokesa
Równanie Naviera-Stokesa
NaprÄ™\
enia powierzchniowe
r
r r
dv
Á = " Å"  + Á Fm
Zasada zachowania pędu
dt
r r
Wektor naprężeń
Wektor naprężeń
p = n 
pn = n 
powierzchniowych
îÅ‚ Å‚Å‚
pxx Ä Äzx
yx
df
ïÅ‚
Tensor naprężeń
= Äxy pyy Äzy śł
ïÅ‚ śł
powierzchniowych
ïÅ‚
Äxz Ä pzz śł
yz
ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor prędkości względnej
"vx "vx "vx
z
v
P
vPx =vx + " x + " y + " z
v
WP
"x "y "z
P
v
"vy "vy "vy
"r
B
vPy = vy + " x + " y + " z
v
"x "y "z
0
"vz "vz "vz
y
vPz =vz + " x + " y + " z
x
x
"x "y "z
"x "y "z
Prędkość względną punktu P
"vx "vx "vx
îÅ‚ Å‚Å‚
względem bieguna B
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ïÅ‚ śł
r r
ïÅ‚"vy "vy "vy śł
vWP = T Å" " r
T =
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ïÅ‚"v
"vz "vz śł
z
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor prędkości względnej
Tensor prędkości deformacji  symetryczny
T = S + &!
îÅ‚ "vy "vx 1 ëÅ‚ "vx "vz öÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx
1
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x 2 "x "y 2 "z "x
íÅ‚ łłśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ïÅ‚1 ëÅ‚
"vy "vx "vy "vy "vz
öÅ‚ ëÅ‚ öłśł
1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷łśł
S = + +
ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"y 2 "z "y
íÅ‚ śł
ïÅ‚2 "x "y Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 ëÅ‚ "vx "vz öÅ‚ 1 ëÅ‚ śł
"vy "vz
öÅ‚
"vz
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "z "x 2 "z "y "z
2 "z "x 2 "z "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor prędkości obrotu  antysymetryczny
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vy ÷Å‚ "vx "vz
1 1
ëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚
ìÅ‚
0 -
ìÅ‚ - ÷łśł
ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "x 2 "z "x
íÅ‚ łłśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ïÅ‚
"vy "vz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öłśł
"vx "vy
1 1
ìÅ‚ - ÷łśł
&! = 0
ïÅ‚- ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "x 2 "z "y
ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
śł
ïÅ‚ śł
"vy "vz
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vz
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚- ìÅ‚ - ÷Å‚ - - 0
śł
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "z "x 2 "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Hipoteza Newtona
 płyny Newtonowskie
Płyny rzeczywiste wykazują zdolność generowania naprężeń stycznych,
przy czym powstają one między sąsiednimi warstwami płynu
poruszającymi się z różnymi prędkościami.
Hipoteza Newtona  naprężenia styczne występują między sąsiednimi
warstwami płynu i są proporcjonalne do przyrostu prędkości w kierunku
normalnym do kierunku
Ä
Ä
2c
y
2b
"v
dy
v +
"y
1
dy
v(y)
v
2a
Ä…
µ = tgÄ…
v
"v "y
"v
1  płyn newtonowski, 2  płyn nienewtonowski:
Ä = µ
2a  płyn pseudoplastyczny, 2b  płyn dilatancyjny,
"y
2c  płyn lepko-plastyczny (Binghama)
Uogólniona hipoteza Newtona
Założenia:
Tensor naprężeń  jest liniowo proporcjonalny do tensora prędkości



deformacji S.
Naprężenia normalne muszą wyrażać ciśnienie statyczne w przypadku, gdy
prędkość płynu jest zerem w całym rozpatrywanym obszarze.
prędkość płynu jest zerem w całym rozpatrywanym obszarze.
PÅ‚yn jest izotropowy, zgodnie z tym wszystkie kierunki sÄ…
równouprawnione.
Związki między  i S są niezależne od układu współrzędnych.



"vy
Ä = Äzy = µ
 = a S + b I
yz
" z
Równanie Naviera-Stokesa
 = a S + b I a = 2µ b = - p
r
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"vx 2 r "vx "vy "vz "vx
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
µìÅ‚ + µìÅ‚ +
ïÅ‚- p + 2µ - µ " Å"v śł
÷Å‚ ÷Å‚
"x 3 " y "x "x "z
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ "vy 2 r r "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vy
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
 = µìÅ‚ + - p + 2µ - µ " Å"v µìÅ‚ +
ïÅ‚ śł
÷Å‚ ÷Å‚
" y "x " y 3 "z " y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
r
r
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"vz "vx "vz "vy "vz 2 r
"vz "vx "vz "vy "vz 2 r
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
µ + µ + - p + 2µ - µ " Å"v
µìÅ‚ + µìÅ‚ + - p + 2µ - µ " Å"v
ïÅ‚ śł
÷Å‚ ÷Å‚
"x "z " y "z "z 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
r
s r
dv
Forma różniczkowa
Á = " Å"  + Á Fm
równania pędu
dt
r
r r r
dv îÅ‚ 2 r Å‚Å‚
öÅ‚
Á = Á Fm + " Å"ïÅ‚ëÅ‚- p - µ" Å"v I + 2µSśł
ìÅ‚ ÷Å‚
dt 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Równanie Naviera-Stokesa
Płyn ściśliwy
r
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
dvx "p " îÅ‚ "vx 2 r Å‚Å‚ " "vx "vy Å‚Å‚ " îÅ‚ "vz "vx Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Á = ÁX - +
ïÅ‚µìÅ‚2 - " Å"v ÷łśł + ïÅ‚µìÅ‚ "y + ÷łśł + ïÅ‚µìÅ‚ "x + ÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚
dt "x "x "x 3 "y "x "z "z
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
r
dvy îÅ‚ îÅ‚ "vy 2 r Å‚Å‚ îÅ‚ "vy "vz Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"p " "vx "vy Å‚Å‚ " "
÷łśł ÷łśł
Á = ÁY - + + - " Å"v +
ïÅ‚µìÅ‚ "y + ïÅ‚µìÅ‚2 ïÅ‚µìÅ‚ "z + ÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
dt "y "x "x "y "y 3 "z "y
dt "y "x "y "x "y "y 3 "z "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
r
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
dvz "p " îÅ‚ "vz "vx Å‚Å‚ " "vz "vy ÷łśł " îÅ‚ "vz 2 r Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Á = ÁZ - + +
ïÅ‚µìÅ‚ "x + ÷łśł + ïÅ‚µìÅ‚ "y + ïÅ‚µìÅ‚2 - " Å"v ÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚
dt "z "x "z "y "z "z "z 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Płyn nieściśliwy
r
r
r
" Å"v = 0 r r
d v 1 r
= Fm - "p +Å"2v
µ = const. = ÅÁ
dt Á