20 Równanie Schrodingeraid 21441

Fale materii i równanie
Schrodingera
FALE MATERII
Hipoteza de Broglie (1924, Nagroda Nobla w 1929)
W 1924 r. de Broglie zapostulował, \e skoro światło ma
dwoistą, falowo-cząstkową, naturę, to tak\e materia mo\e
mieć taką naturę.
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu światło o energii E ma pęd p = E/c
E hv hc h
p = = = =
f
c c c
Hipoteza długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który
stosuje się do światła
h
=
p
Wyra\enie to wią\e pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii
Przykład: Jaka długość fal materii odpowiada masywnym obiektom np. piłce, o masie
1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaka lekkim elektronom przyspieszonych
napięciem 100 V?
h 6.6 �"10-34 Js
= = = 6.6 �"10-35 m
Dla piłki p = mv = 1 kg�10 m/s = 10 kg m/s
p 10 kgm/s
E" 0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu) doświadczenia prowadzone na takim obiekcie
nie pozwalają na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe.
Elektrony przyspieszone napięciem
2Ek 2�"1.6�"10-17J
100 V uzyskują energię kinetyczną v = = = 5.9�"106m s
m 9.1�"10-31kg
Ek = eU = 100 eV = 1.6�10-17 J
h h 6.6�"10-34Js
= = = =1.2�"10-10m = 0.12 nm
p mv 9.1�"10-31 �"5.9�"106kgm s
Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
Jak zbadać falową naturę materii? Mo\e zbadać obraz po przejściu przez szczeliny ?
obraz dla cząstek
obraz dla fal
Dyfrakcja promieniowania X (fale elektromagnetyczne)
Kryształ naturalna siatka dyfrakcyjna
X ~ 0.1- 0.2 nm
Dyfrakcja Lauego
2d sin� = m, m = 1, 2, 3,.....(maksima)
prawo Bragga
Dyfrakcja promieni X jest doświadczalną metodą badania rozmieszczenia atomów w
kryształach.
e = 0.12 nm
Elektrony przyspieszone napięciem 100 V
Czy mo\na więc zbadać falową naturę materii próbując uzyskać obraz dyfrakcyjny dla wiązki
elektronów padających na kryształ analogicznie jak dla promieni Roentgena?
Doświadczenie Davissona i Germera (1927)
Elektrony przyspieszane są napięciem U
Wiązka pada na kryształ niklu, a detektor
jest ustawiony pod zmiennym kątem �
Rejestrowane jest natę\enie wiązki
ugiętej na krysztale dla ró\nego U.
Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla � = 50�przy U = 54 V.
� = 90� - � /2 2d sin� =
dla niklu (d = 0.091 nm) = 0.165 nm
długość fali de Broglie a
2Ek 2eU
h h
v = =
= = = 0.165 nm
m m
p mv
Dyfrakcja cząstek (np.
elektronów lub neutronów)
2d sin� =
3500
3500
3000
promieniowanie X 3000 neutrony
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
40 50 60 70 80 90 100 110 120 0
40 50 60 70 80 90 100 110 120
2theta
2theta
Zarówno cząstki naładowane jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal.
Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną u\ywaną do
badania struktury ciał stałych.
Zarówno dla materii, jak i dla światła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich
charakteru.
Struktura atomu i fale materii
Ruch fal jest ograniczony przez nało\enie warunków
fizycznych,
analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej na obu
końcach.
Mamy wtedy do czynienia z falę stojącą (a nie bie\ącą)
w strunie mogą występować tylko pewne długości fal.
Mamy do czynienia z kwantyzacją długości fal wynikającą z
ograniczeń nało\onych na falę.
Orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a
h
2Ą r = n =
p
h
h
2Ą r = n L = pr = n n = 1, 2,.....
p
2Ą
Warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu jest konsekwencją przyjęcia zało\enia,
\e elektron jest reprezentowany przez falę materii.
Postulat de Broglie'a wią\e elektron ze stojąca falą materii.
intensity
intensity
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Postulat de Broglie'a wią\e elektron ze stojąca falą materii ale....
" nie daje informacji o sposobie rozchodzenia się fal materii,
" nie odpowiadał na pytanie jaką postać mo\e mieć funkcja opisująca fale materii, jak ją
wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.
E. Schr�dinger (Nagroda Nobla 1933)
W 1926 roku E. Schr�dinger sformułował mechanikę falową
(jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem
falowych własności materii uogólnienie postulatu de
Broglie'a.
" Elektron w stanie stacjonarnym w atomie mo\e być opisany za pomocą stojących fal
materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a p = h/ wią\ący własności
cząsteczkowe z falowymi.
" Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym.
" Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale
materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a
zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki.
Funkcja falowa
Fale opisujemy za pomocą funkcji przedstawiających wybraną wielkość fizyczną, która zmienia
się w taki falowy sposób np.:
" fala mechaniczna w strunie funkcja opisująca poprzeczne wychylenie struny,
" fala EM funkcja opisująca wektor natę\enia pola elektrycznego E (lub B),
" do opisu własności falowych cząstek będziemy posługiwać się funkcją reprezentującą falę de
Broglie'a, tak zwaną funkcją falową � (zale\ną od czasu i współrzędnych przestrzennych):
� (x, y, z,t) =� (x, y, z) �"e-i� t =� (x, y, z)(cos�t - i sin�t)
Interpretacja M. Borna: wielkość I� I2 w dowolnym punkcie przedstawia
miarę prawdopodobieństwa (na jednostkę objętości), \e cząstka
znajdzie się w pobli\u tego punktu to znaczy w jakimś obszarze wokół
tego punktu np. w przedziale x, x+dx.
Nagroda Nobla 1954
I� I2 jest więc gęstością prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo, \e znajdziemy cząstkę w
przedziale [x, x+dx] wynosi I�(x)I2dx.
Ta interpretacja funkcji � daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią
cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.
Poniewa\ funkcja falowa mo\e przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat
modułu funkcji falowej. I� I2 jest zawsze dodatnia i rzeczywista. Znaczenie fizyczne ma więc
I� I2 , a nie �
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schr�dingera (1926)
2 2
" y 1 " y
" Fale mechaniczne np. w strunie są opisywane przez równania =
" x2 v2 " t2
mechaniki Newtona (równanie falowe d'Alamberta):
2 2 2 2
" E 1 " E
" B 1 " B
" Fale EM są opisywane przez równania Maxwella (równanie
=
= i
falowe d'Alamberta): " x2 c2 " t2 " x2 c2 " t2
" Fale materii są opisywane przez równanie Schr�dingera:
2
h2 " � (x , t) "� ( x , t)
h
- + U (x )� (x , t) = ih h=
2
2m " x " t 2Ą
rozwiązanie - fala materii:
szukamy rozwiązanie typu:
� (x,t) =� (x)�"e-i�t
� (x,t) =� (x)�"u(t)
modulacja
zmienność
przestrzenna
w czasie
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schr�dingera (1926)
rozwiązanie:
h2 "2�(x, t) "�(x, t)
h
- + U(x)�(x, t) =h h=
i
2m "x2 "t 2Ą
� (x,t) =� (x)�"u(t)
"u (t)
h2 "2�(x)
ih = E u (t )
- + U(x)�(x) = E�(x)
oraz
"t
2m "x2
� (x) = ? E
-i�t
u (t ) = e gdzie : � =
h
E jest energią całkowitą cząstki, U (x) jej energią potencjalną zale\ną od jej poło\enia
Rozwiązanie równania Schr�dingera polega na znalezieniu funkcji falowej �(x) i wartości
energii cząstki E przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną
U (x) .
ostateczne rozwiązanie:
� (x,t) =� (x)�"e-i� t
Przykład 1: Cząstka w stałym potencjale U=const. (dla U = 0 to cząstka swobodna)
rozpatrujemy część przestrzenną równania Schr�dingera :
h2 "2�(x)
- + U(x)�(x) = E�(x)
2m "x2
mv2 p2 2Ą h
Ek = =
k = ,h=
2 2m
2Ą
� = Aeąikx = A(cos kx ą i sin kx)
d2� (x) 2m
h
= - [E -U]�(x)
p
=
d x2 h2
k =
2m(E -U ) 2mEk
p
h
k = =
h h
otrzymaliśmy
relację de Broglie
Poka\emy, \e część przestrzenna wyra\a zasadę zachowania energii:
h2k2
h2 d2�(x) p2
+U = E
- +U�(x) = E�(x) +U = E
2m
2m dx2 2m
Zasada zachowania energii !!
Energia kinetyczna Energia potencjalna Energia całkowita
u(t) = e-i�t
dla części zale\nej od czasu :
otrzymaliśmy relację analog. do wzoru
Einsteina dla światła:
E
2ĄE 2ĄE
� =
2Ą� = 2Ą� =
E = h�
h h h
Cząstka w stałym potencjale U=const. (dla U = 0 to cząstka swobodna)
rozwiązanie równania Schr�dingera to
� (x,t) = A�"eąik x �"e-i�t = A�"eąik x-i�t =
funkcja falowa fali biegnącej cząstka nie
jest zwiazana ! : = A[cos(-�t ą kx) + i sin(-�t ą kx)]
Brak kwantyzacji dla cząstki niezwiązanej dowolne wartości energii i pędu!
Gęstość prawdopodobieństwa:
2
� = Aeikx �" Ae-ikx = A2 = const.
jednakowe prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki w ka\dym punkcie toru ruchu
Przykład 2: elektron w " studni potencjału
x < 0
U (x) "
x > L
0 d" x d" L U (x) = 0
Poza studnią prawdopodobieństwo znalezienia
Analogia do struny umocowanej
cząstki = 0 � (0) = 0 i � (L) = 0
na obu końcach.
2L
długość fali jest skwantowana
L = n lub = n = 1, 2, ...
2 n
nĄx
� (x) = Asin , n = 1, 2, ......
L
rozwiązanie równania Schr�dingera to funkcja falowa fali stojacej
cząstka jest związana (uwięziona) w studni potencjału ! :
2 nĄx
nĄx
� (x) = Asin � (x) = A2 sin2�ł �ł, n = 1, 2, ......
�ł �ł
L
L
�ł łł
2L h
L = n lub = n = 1, 2, ... =
2 n p
nh
p =
2L
mv2 p2
E = Ek = =
2 2m
h2
E = n2 , n = 1, 2, ......
8mL2
Dla cząstki związanej występuje
kwantyzacja energii !!
UWAGA: Opisując zachowanie cząstki funkcją falową (spełniającą
równania Schr�dingera) wyjaśniliśmy przyczynę kwantyzacji energii !!
Przykład 3: elektron w skończonej studni potencjału
d2�(x) 2m
= - [E-U(x)]�(x)
dx2 h2
Elektronowe fale materii
przenikają do obszaru o U (x) = U0
niedostępnego według klasycznej
mechaniki Newtona
Przykład 4: tunelowanie elektronu przez barierę potencjału
E < U0 !!!
klasycznie elektron odbije się od bariery
kwantowo istnieje prawdopodobieństwo,
\e elektron przeniknie (przetuneluje) przez
barierę
dla x < 0 obserwujemy falę stojącą powstałą
w wyniku nało\enia się elektronowej fali
padającej i odbitej od bariery
Elektron mo\e przejść przez ścianę mimo, \e
jego energia, z pozoru, na to nie pozwala
Zasada nieoznaczoności Heisenberga (Nagroda Nobla 1954)
Jedną z konsekwencji falowo-cząsteczkowej natury materii jest
to, \e jedyne czego mo\emy dowiedzieć się o ruchu elektronów
to prawdopodobieństwo znalezienia ich w przestrzeni.
Czy mo\emy "dokładnie" opisać ruch elektronu tzn. równocześnie określić jego poło\enie
i prędkość? Negatywna odpowiedz jest zawarta w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga.
Głosi ona, \e iloczyn nieokreśloności pędu cząstki i nieokreśloności jej poło\enia w
danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka
"px"x e"h/ 2 � = Aeąikx
pęd ściśle określony
"py"y e"h/ 2
cząstka niezlokalizowana
"pz"z e"h/ 2
p = kh
im dokładniej mierzymy pęd,
pakiet falowy cząstka
np. zmniejszamy "px, tym
�
�
�
�
zlokalizowana czyli pęd
bardziej rośnie
rozmyty interferencja
nieoznaczoność poło\enia
wielu fal o ró\nych pędach
"x.
x
przykład: dyfrakcja na szczelinie
h
"px e" p sin�min = sin�min

"x sin�min =
"x �" "px e" h e"h/ 2
Druga część zasady nieoznaczoności dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie
tego pomiaru.
Je\eli cząstka posiada energię E, to dokładność jej wyznaczenia "E
"E"t e"h/ 2
zale\y od czasu pomiaru "t zgodnie z relacją
Im dłu\ej cząstka jest w stanie o energii E tym dokładniej mo\na tę energię wyznaczyć (np.
w stanie stacjonarnym energia jest stała w czasie)
Ograniczenie dokładności pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładnościami
aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cząstek.

Wyszukiwarka