Układy współrzędnych
Zadanie 1.1
Dany jest punkt we współrzÄ™dnych kartezjaÅ„skich P(1, 1, "2).
a) Naszkicuj rzut perspektywiczny, zaznaczając położenie punktu P.
b) Znajdz
współrzÄ™dne cylindryczne (Á0, Ć0, z0) oraz sferyczne (r0, ¸0, Ć0) punktu P.
Zadanie 1.2
Dany jest punkt we współrzędnuch cylindrycznych P(1, 0.5Ą, 1). Znajdz
współrzędne kartezjańskie oraz
sferyczne tego punktu.
Zadanie 1.3
Oblicz iloczyn skalarny wersorów:
a) ix Å"iÁ
b) i Å"i¸
z
c) iÁ Å"ir
w punkcie o współrzędnych kartezjańskich (1,1,1).
Analiza wektorowa
Zadanie 1.4
Dana jest funkcja skalarna f (x, y, z)= x + y + z oraz pole wektorowe F = x + y i + y i + z i .
( )
x y z
Obliczyć:
a) "f b) "F c) " × F
d) "2 f e) "2F f) "(f F)
2
g) "(f ) h) "2 ex f
( )
Zadanie 1.5
Znajdz
kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego U = x2 + y2 + z2 . Wykonaj obliczenia dla
punktu P0(4, 3, 0).
Zadanie 1.6
Obszar pewnego pokoju opisany jest we współrzędnych kartezjańskich. W punkcie P0(20 m, 15 m, 2 m)
K
zmierzono temperaturÄ™ T(P0) = 312 K oraz jej gradient "T P0 = i + i . Znajdz
przybliżoną
( )
( )
x z
m
wartość temperatury w punkcie P1(21 m, 14 m, 3 m).
Zadanie 1.7
Oblicz strumień wektora położenia r przez sferę o promieniu r0 =5.
Zadanie 1.8
Oblicz strumień wektora położenia r przez powierzchnię sześcianu o boku a = 5. Trzy krawędzie
sześcianu leżą na dodatnich półosiach układu współrzędnych 0xyz.
Zadanie 1.9
Oblicz cyrkulację wektora A = 2 + y i po ścieżce wyznaczonej przez krawędzie kwadratu l x l,
( )
x
którego dwie krawędzie leżą na osiach Ox oraz Oy. Wybierz prawoskrętną cyrkulację wokół osi Oz.
Zadanie 1.10
Oblicz strumień wektora A = x i + 3x2 i + 5 y + 3 i przez powierzchnię kuli o promieniu a i środku
( )
x y z
w początku układu współrzędnych 0xyz.
Parametry ośrodków
Zadanie 1.11
Wyznacz kąt pomiędzy wektorami E i D w ośrodku o danym tensorze przenikalności elektrycznej:
1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
µ = µ0 ïÅ‚0 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 4ûÅ‚
Oblicz maksymalny kąt pomiędzy tymi wektorami, jeśli:
a) E = E i + E i
x x z z
b) E = E i
y y
Zinterpretuj otrzymane wyniki.
Zadanie 1.12
W pewnym punkcie w półprzewodniku znana jest amplituda zespolona wektora natężenia pola
V
elektrycznego: E = 2 i . Półprzewodnik ten jest materiałem anizotropowym o przenikalności
z
m
elektrycznej danej następującym tensorem:
2 0 3j
îÅ‚ Å‚Å‚
śł
µ = µ0 ïÅ‚ 0 1 0 .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-3j 0 2
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Znajdz
wektor indukcji elektrycznej D = µE .
Wyznacz chwilową wartość natężenia pola elektrycznego oraz indukcji elektrycznej w chwilach:
a) Ét1 = Ä„/6
b) Ét2 = 3Ä„/2
Zadanie 1.13
W półprzewodniku o parametrach z poprzedniego zadania znana jest amplituda zespolona wektora
C
indukcji elektrycznej: D = 2Å"10-9 i . Znajdz
wektor natężenia pola elektrycznego.
z
m
Zadanie 1.14
W pewnym punkcie w namagnesowanym ferrycie o właściwościach opisanych tensorem Poldera:
µb 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
µ = µ0 ïÅ‚ 0 1 -jµa śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 jµa 1
ðÅ‚ ûÅ‚
dana jest amplituda zespolona natężenia pola magnetycznego: H = i + j i . Znajdz
wektor indukcji
x y
magnetycznej B w ferrycie. Wyznacz kąt pomiędzy wektorami B i H .
Warunki istnienia pól elektromagnetycznych
Zadanie 1.15
sinĆ
Sprawdz
, czy wyrażenie E = E0 cos Ét - ²Á iÁ może opisywać natężenia pola elektrycznego w
( )
Á
próżni.
Zadanie 1.16
Sprawdz
, czy następujące wyrażenie może stanowić opis pola indukcji pola magnetycznego w pewnym
ośrodku nieograniczonym i bez z
ródeÅ‚: B = B0 y cos Ét - ²z i .
( )
z
Zadanie 1.17
Sprawdz
, czy w próżni może istnieć pole elektromagnetyczne, którego wektor natężenia pola
E = Asin(² z -Ét)i
elektrycznego opisany jest wyrażeniem: . Jeśli tak, to pod jakim warunkiem?
x
Zadanie 1.18
Dany jest wektor natężenia pola magnetycznego H = Asin axsin Ét i . Jaka musi być wartość
y
parametru a, przy której pole to może istnieć w oÅ›rodku o parametrach µ, µ, à = 0 ? Znajdz
wyrażenie
opisujące wektor natężenia pola elektrycznego.
Zadanie 1.19
Oblicz wzglÄ™dnÄ… przenikalność elektrycznÄ… µr bezstratnego dielektryka, w którym natężenia pola
V
îÅ‚ Å‚Å‚
elektrycznego opisane jest wyrażeniem E = 1000sin 106t - 0.01z ix ïÅ‚ śł . Oblicz natężenie pola
( )
m
ðÅ‚ ûÅ‚
magnetycznego.
Zadanie 1.20
Czy amplituda zespolona pola elektrycznego wypromieniowanego przez pewną antenę w próżni może
sin¸
być opisana wyrażeniem E = E0 e- j²ri¸ ? JeÅ›li tak, to oblicz wartość parametru ² dla czÄ™stotliwoÅ›ci
r
10 GHz. Uwaga: przeprowadz
obliczenia dokładne oraz przybliżone z pominięciem wyrazów o wyższych
potęgach r w mianowniku.
Zadanie 1.21
2
V
îÅ‚ Å‚Å‚
Dane jest natężenie pola elektrycznego w próżni E = iye-(x-vt) ïÅ‚ śł . Oblicz wartość parametru v oraz
m
ðÅ‚ ûÅ‚
znajdz
wyrażenie opisujące natężenie pola magnetycznego.
Własności pól elektromagnetycznych
Zadanie 1.22
1
îÅ‚ Å‚Å‚
W materiale o parametrach µ = 1, µ = 1, Ã = 0.05
prąd przesunięcia opisany jest wyrażeniem
r r
ïÅ‚&!m śł
ðÅ‚ ûÅ‚
A A
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Jd = 2Å"10-2cos Ét - ²z ix ïÅ‚ śł , natomiast prÄ…d przewodzenia Jà = 10-2sin Ét - ²z ix ïÅ‚ śł .
( ) ( )
m2 m2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Znajdz
natężenie pola elektrycznego i magnetycznego oraz czÄ™stotliwość. Przyjmij ² = É µµ .
Zadanie 1.23
W dielektryku niejednorodnym o przenikalnoÅ›ci elektrycznej µ = µ0 sin x + cos y istnieje statyczne
( )
pole elektryczne o natężeniu E = E0 i cos x + i sin y . Znajdz
rozkład ładunków objętościowych
( )
x y
Áv(x,y).
Zadanie 1.24
Względna przenikalność magnetyczna jednorodnego, bezstratnego ośrodka dana jest tensorem
diagonalnym µ = 1, µy = 4, µz = 1. Czy w tym oÅ›rodku można wzbudzić statyczne pole indukcji
x
magnetycznej dane wzorem:
B(t,r ) = B0(ix sin y + iy sin x) [T]? Jeśli tak, to:
" jakie z
ródła są potrzebne to wygenerowania takiego pola?
" jaki jest kąt między polem indukcji magnetycznej a polem natężenia pola magnetycznego?
Odpowiedzi należy uzasadnić korzystając z właściwych równań Maxwella.