RÓŻNE
Prosta dostatecznie gruba"
Marek W. Gutowski""
Instytut Fizyki PAN, Warszawa
Fat enough straight line
Abstract: Introduction of interval calculus and methods to everyday laboratory practice is encouraged.
After a short presentation of basic facts from interval analysis, an algorithm is presented, which finds
the straight line describing the experimental data. The results are compared with those obtainable by
least squares method. Not only this method handles easily the linear cases with uncertainties in either
one or two variables, but it also has other important and rather unexpected uses. There is no particular
confidence level, the results are simply guaranteed.
1. Wprowadzenie w pamiętnym roku 1968 (otwarcie samodzielnego
Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego).
Nie ma chyba fizyka, który w swoich czasach
Profesor nie tylko kazał nam czym prędzej za-
studenckich nie został pouczony przez starszych,
pomnieć wszystko, czego dotychczas nauczyliśmy
bardziej doświadczonych kolegów, że  przez do- się w szkole średniej pod hasłem  fizyka , obiecu-
wolne trzy punkty da się przeprowadzić prostą,
jąc w zamian nauczyć nas jej całkowicie od nowa.
byle dostatecznie grubą . Chodziło, oczywiście,
Rzucił także uwagę, która brzmiała mniej więcej
o opracowanie wyników doświadczalnych, które
tak:  Prawdziwy fizyk musi zwątpić we wszystko
 przedstawione w odpowiednim układzie współ- przynajmniej raz .
rzędnych na płaszczyz
nie  powinny układać się
Tyle tytułem wyjaśnienia, jakie są korze-
na linii prostej, a ze względu na nieuniknione
nie dalszego ciągu narracji. Celem tego arty-
niepewności pomiarowe nie bardzo miały na to
kułu jest pokazanie, do czego może być przy-
ochotę, stając się tym samym powodem konfuzji
datna fizykom mało znana a dynamicznie roz-
i frustracji beana. Z czasem, po cierpliwych wyja-
wijająca się gałąz
matematyki, którą nazywa
śnieniach asystentów prowadzących zajęcia labo-
się r a c h u n k i e m i n t e r w a ł o w y m (przedzia-
ratoryjne, gdzie opisane zdarzenia miały zazwy-
łowym), będąca w gruncie rzeczy fragmentem
czaj miejsce, student zaczynał pojmować głębszy
o wiele większej mozaiki matematycznej, znanej
sens tego powiedzonka, co w najmniejszym stop-
jako analiza globalna. Autor jest przekonany, że
niu nie przeszkadzało mu w jego rozpowszechnia-
zastosowanie metod interwałowych w fizyce i po-
niu rok póz
niej.
krewnych naukach doświadczalnych jest w naj-
Do z
ródeł inspiracji tego artykułu trzeba bliższym czasie nieuchronne. Konieczne przy tym
także dołączyć kilka zdań z wykładu inaugura- będzie ponowne przeanalizowanie sposobu patrze-
cyjnego z fizyki doświadczalnej, wypowiedzianych nia na dane doświadczalne oraz reinterpretacja
przez prof. Andrzeja Kajetana Wróblewskiego pewnych głęboko zakorzenionych pojęć. Zmiany
"
Rozszerzona wersja artykułu, opublikowanego w zesz. 4/2002 (Postępy Fizyki 53, 181 (2002)).
""
Adres elektroniczny: [e-mail].
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [1]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
te z pewnością będą dotyczyć nie tylko ekspery- są przekształceniami liniowymi; 2) przekształce-
mentatorów. nia te są złożeniami tylko kilku elementarnych
Układ artykułu jest następujący: po krótkim operacji: trójwymiarowych (przestrzennych) ob-
wprowadzeniu w zasady i metody matematyki in- rotów i przesunięć, jednowymiarowych przesunięć
w czasie oraz transformacji Lorentza [3].
terwałowej prezentujemy z kilku stron tytułową
dostatecznie grubą prostą. Niejako przy okazji
Przez i n t e r w a ł o w y c h a r a k t e r rozu-
opisany jest algorytm pozwalający na jej znalezie- miemy tu przede wszystkim brak relacji dobrego
nie. Wywody te są podsumowane wynikami kon- porządku w przestrzeni czterowymiarowej; nie
kretnych obliczeń, skonfrontowanych z wynikami,
o każdej parze punktów można jednoznacznie
jakie w omawianym przypadku otrzymuje się uży- orzec, który ze składników pary jest wcześniejszy,
wając metody najmniejszych kwadratów.  Idąc
a który póz
niejszy.
za ciosem , wskazujemy na dwa inne pokrewne
Temat interwałów pojawił się na serio w li-
zastosowania, z których przynajmniej jedno po-
teraturze wkrótce po okresie pierwszej fascynacji
winno zainteresować także inżynierów i zapewne
możliwościami, zwłaszcza obliczeniowymi,  móz-
specjalistów teorii sterowania, automatyki lub ro-
gów elektronowych , zwanych dziś komputerami.
botyki, nie wyłączając ekonomistów czy ekonome-
Okazało się, że komputery wprawdzie liczą bardzo
trów. Kończymy, jak to jest w zwyczaju, podzię-
szybko, jednakże czasami produkują wyniki wy-
kowaniami.
raz
nie błędne. Tak zwane, głównie przez dzienni-
karzy, pomyłki komputerów stanowiły przyczynę
zdarzeń już to zabawnych, jak np. naliczenie kary
2. Krótka historia
za niezapłacenie w terminie rachunku za energię
Interwały (odcinki, przedziały) mają w fizyce
elektryczną w wysokości 0 marek 0 fenigów, już
stosunkowo niedługą historię, choć związane są
to bardzo kosztownych (4 czerwca 1996 r. rakieta
nierozerwalnie z pomiarami, które z kolei są esen-
Ariane 5, własność Europejskiej Agencji Kosmicz-
cją tej gałęzi nauki. Żartobliwie można by stwier-
nej, warta wraz z wyposażeniem ok. 500 milionów
dzić, że jednym z pionierów rachunków interwało-
dolarów, samounicestwiła się po ok. 30 s lotu, na
wych był Archimedes z Syrakuz (287 212 p.n.e.),
pułapie 3700 m; rakieta i jej zawartość były owo-
który  oprócz znanego ze szkoły prawa Archime-
cem 10-letniej pracy, której koszty wyniosły 7 mld
desa  podał następujące oszacowanie liczby Ą:
dolarów), już to tragicznych (28 żołnierzy amery-
kańskich zginęło 25 lutego 1991 r. w Dharan (Ara-
10 1
bia Saudyjska), podczas wojny w Zatoce Perskiej,
3 + Ą 3 + (1)
71 7
kiedy sterowana komputerowo rakieta Patriot nie
zdołała przechwycić nadlatującego pocisku Scud).
wraz z przepisem umożliwiającym stopniowe po-
Bliższe szczegóły tych i innych wydarzeń można
lepszanie tego oszacowania.
znalez
ć w Internecie [4].
Pierwsze idee rachunków interwałowych trze-
Prasa przypisała obydwa te wydarzenia  po-
ba przypisać amerykańskiemu matematykowi
myłce komputera i tak zostało to utrwalone
Norbertowi Wienerowi, który w 1914 r. w pracy
 A contribution to the theory of relative posi- w świadomości czytelników. Tymczasem kom-
tion [1] użył interwałów do opisu pomiarów po- putery pokładowe obu rakiet były całkowicie
sprawne, a błędy tkwiły w oprogramowaniu, a ści-
łożenia, oraz nieco póz
niej w pracy  A new theory
of measurements: a study in the logic of mathe- ślej biorąc, ich z
ródłem były niedostatki arytme-
tyki zmiennopozycyjnej (dawniej: zmiennoprze-
matics [2]  do opisu pomiaru czasu.
cinkowej), powszechnie używanej w maszynach
Nie sposób nie wspomnieć o pięknym,
cyfrowych do obliczeń na liczbach rzeczywistych.
choć nieoczekiwanym wyniku uzyskanym przez
Aleksandra Daniłowicza Aleksandrowa, geome- Nic więc dziwnego, że pierwsze prace z ma-
trę i członka Akademii Nauk ZSRR. Dowiódł on tematyki interwałowej poświęcone były przede
w latach pięćdziesiątych XX w., że interwałowy wszystkim arytmetyce  czyli zwykłym rachun-
charakter struktury czasoprzestrzeni jest równo- kom. Przez ok. 30 lat metody interwałowe roz-
znaczny z następującymi faktami: 1) jedno-jedno- wijały się zupełnie bez rozgłosu, jako nieco egzo-
znaczne odwzorowania czasoprzestrzeni w siebie tyczna część metod numerycznych. Pierwsze cało-
[2] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
ściowe ujęcie tej problematyki przedstawione zo- stwo czasu i wysiłku nad rozwijaniem liniowych
stało przez Ramona E. Moore a w jego rozprawie przybliżeń o wątpliwej dokładności .
doktorskiej obronionej w 1962 r. na Uniwersytecie
Stanforda. Moore rozpoczął badania w tej dziedzi-
3. Podstawy rachunku interwałowego
nie kilka lat wcześniej, publikując w 1959 r. co naj-
mniej dwa wewnętrzne raporty techniczne w fir- W skrócie można powiedzieć, że metody in-
mie Lockheed Missiles and Space Co. Pierwszą terwałowe to zespół środków w postaci twierdzeń
szeroko dostępną monografią z tej dziedziny jest matematycznych oraz algorytmów postępowania,
jego książka [5], lecz Moore zajmuje się wciąż tą gwarantujących otrzymywanie wiarygodnych wy-
problematyką. Niezależnie podwaliny arytmetyki ników liczbowych w sytuacjach, w których dane
interwałowej badał polski matematyk Mieczysław wejściowe nie są znane dokładnie. Oczywiście wy-
Warmus [6], jednakże brak wyraz
nych odniesień nikiem takiego rachunku nie może być j e d n a
do problemów obliczeń komputerowych był za- l i c z b a, lecz p r z e d z i a ł dopuszczalnych (moż-
pewne przyczyną, że prace te nie zostały zauwa- liwych) wartości.
żone. Interwały (przedziały) będziemy dalej ozna-
czać tłustym drukiem, pojedynczym znakiem,
W ostatnich latach sytuacja zaczęła się zmie-
albo ujawniając szczegóły jego budowy. Tak więc
niać, kiedy okazało się, że szereg zagadnień o wiel-
kim znaczeniu praktycznym, nie posiadających
x = [x, x] := {x " R: x x x} (2)
ogólnych rozwiązań analitycznych, daje się sku-
jest dobrze określonym podzbiorem zbioru liczb
tecznie atakować właśnie metodami interwało-
rzeczywistych, ograniczonym liczbami x oraz x.
wymi. Trzeba tu wymienić problemy optymaliza-
Zbiór wszystkich interwałów oznaczamy jako IR.
cji globalnej oraz rozwiązywanie układów równań
Zwykłe liczby rzeczywiste możemy utożsamiać
nieliniowych. Co więcej, rozwiązania uzyskiwane
z interwałami typu [a, a], zwanymi cienkimi.
tymi metodami mogą mieć moc ścisłego dowodu,
Liczbę w(x) = x - x nazywa się s z e r o k o ś c i ą
że w danym obszarze poszukiwań znalezione roz-
albo ś r e d n i c ą interwału, natomiast połowę tej
wiązanie albo jest jedyne, albo nie istnieje.
1
wartości r(x) = w(x)  p r o m i e n i e m inter-
2
Obecnie metody interwałowe wkroczyły do
1
wału. Z kolei m(x) = (x + x) to ś r o d e k (cen-
2
wielu innych działów matematyki, jak statystyka,
trum) interwału. Używając właśnie wprowadzo-
logika (w tym logika rozmyta), systemy wniosku-
nych pojęć, możemy zapisywać konkretne inter-
jące (automatyczne dowodzenie twierdzeń), sieci
wały także w postaci (proszę zwrócić uwagę na
neuronowe, algorytmy genetyczne, teoria obsługi
odmienne nawiasy)
masowej, teoria sterowania optymalnego, równa-
x = m(x), r(x) , (3)
nia różniczkowe i wiele innych. Metody interwa-
łowe stały się więc de facto częścią  zwykłej ma-
która powinna być szczególnie miła fizykom, gdyż
tematyki. Inne dziedziny nauk ścisłych, jak fizyka
przypomina tradycyjny zapis wyniku pomiaru,
czy chemia kwantowa, zaczynają dopiero korzy-
zwykle także podawany jako para liczb: wynik ą
stać z podstawowych osiągnięć tych metod. Wszę-
niepewność.
dzie tam, gdzie w grę wchodzą przedsięwzięcia
Cztery podstawowe działania arytmetyczne
o wielkich kosztach lub bezpieczeństwo ludzi, np.
na interwałach definiuje się tak, aby ich wynik
ekspedycje kosmiczne, konieczne jest dysponowa-
był interwałem zawierającym wszystkie możliwe
nie gwarantowanymi wynikami obliczeń. Gwaran-
wyniki odpowiednich operacji na liczbach rzeczy-
cje takie dają jedynie obliczenia interwałowe.
wistych, z których pierwsza pochodzi z pierwszego
Jako zachętę do zastosowań w fizyce przyj- interwału, a druga z drugiego, i  podkreślmy 
mijmy wypowiedz
Williama Walstera, jednego t y l k o te wyniki, co nie zawsze jest ogólną regułą.
z tych ludzi, którzy twórczo przetwarzają najnow- Konkretne przepisy wyglądają następująco:
sze osiągnięcia z tej dziedziny w nowe konstruk-
dodawanie: z = x + y = [x + y, x + y],
cje procesorów i kompilatorów języków progra-
odejmowanie: z = x - y = [x - y, x - y],
mowania [7]:  Interwały pozwalają fizykom for-
mnożenie: z = x � y = [min(x y, x y, x y, x y),
mułować problemy w postaci uwikłanych równań,
które problem definiują, zamiast spędzać mnó- max(x y, x y, x y, x y)].
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [3]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
Przepis na dzielenie wygląda identycznie jak na W pełnej analogii do tradycyjnych obiektów
mnożenie, tylko z zamianą znaku mnożenia na algebry liniowej definiuje się ponadto wektory
dzielenie i z zastrzeżeniem, że dzielnik nie może oraz macierze interwałowe; k-wymiarowe wektory
zawierać zera. interwałowe, będące elementami zbioru IRk, na-
W ten sposób wyposażyliśmy zbiór IR zywa się też k-wymiarowymi kostkami lub pudeł-
w pewną strukturę algebraiczną. Mimo tego za- kami (ang. box).
biegu zbiór IR nie stał się ani grupą, ani ciałem. Do zaspokojenia podstawowych potrzeb ob-
A to dlatego, że dla żadnego z jego elementów nie liczeniowych brakuje nam jeszcze funkcji o war-
istnieje element odwrotny (przeciwny). Interwały tościach interwałowych, których argumentami są
stały się więc obiektami algebraicznymi, ale nie także interwały. Przez ścisły interwałowy odpo-
przestały być zbiorami, co oznacza, że mogą być wiednik funkcji liczbowo-liczbowej f rozumie się

one używane w operacjach znanych z teorii mno-
�
f(x) = inf f(x), sup f(x) , (7)
gości. Poprawne są więc wyrażenia: x = "  zbiór
x"x
x"x
pusty, z = x )" y  część wspólna. Z sumą teo-
riomnogościową (unią) jest pewien kłopot  nieko- czyli po prostu zakres wartości przyjmowanych
przez f w przedziale x. Niestety, poza prostymi
niecznie jest ona interwałem. Zamiast niej używa
się często p o w ł o k i i n t e r w a ł o w e j, tj. naj- przypadkami, podanie ścisłego wzoru na funk-
cję interwałową bywa kłopotliwe. Posługujemy
mniejszego podzbioru R, który zawiera obydwa
składniki unii i jednocześnie także jest interwa- się wówczas innymi, łatwiejszymi do znalezienia
funkcjami, które można by nazwać o b w o l u t a -
łem. Mamy więc:
m i i n t e r w a ł o w y m i (ang. interval enclosure)
z = x *" y = [min(x, y), max(x, y)] (4)
swoich pierwowzorów. Nie narzuca się przy tym
żadnych wymagań co do tego,  jak ciasno ob-
i oczywiście
woluta F ma obejmować oryginalną funkcję f,
x *" y ą" x *" y. (5)
poza tym jednym, aby dla dowolnych argumen-
Pora na niespodziankę. Okazuje się, że gene- tów prawdziwa była implikacja
ralnie prawdziwa jest relacja
(x " x) �! (f(x) " F (x)), (8)
x(y + z) ą" xy + xz. (6)
którą często zapisuje się w postaci
Ale przecież to oznacza, że wartości równo-
�
F (x) �" f(x). (9)
ważnych wyrażeń, obliczone różnymi sposobami,
mogą być różne! Rzeczywiście tak jest, ale jedno
Można powiedzieć, że obwoluta interwałowa danej
jest gwarantowane: i n t e r w a ł w y n i k o w y
funkcji oszacowuje tę funkcję z obu stron, tj. jed-
z a w s z e z a w i e r a w s o b i e p r a w d z i w y
nocześnie od dołu i od góry. Obwoluty nazywamy
w y n i k. Z drugiej strony mamy wyraz
ne wska-
też funkcjami inkluzywnymi albo obejmującymi
zanie, że mechaniczna przeróbka starego, dobrze
w stosunku do oryginału. Szczególnie pożyteczne
działającego programu komputerowego na wersję
są funkcje monotonicznie inkluzywne, tj. mające
interwałową może prowadzić do opłakanych wyni-
własność
ków. Szczególnie przykre może okazać się stwier-
lim F (x) = f(x). (10)
w(x)0
dzenie, że nawet tak proste wyrażenie jak x - x
przeważnie nie jest równe zeru. (Jeśli argument zmierza do interwału cienkiego,
Dla wielu osób niespodzianką może być też to także wartość funkcji staje się  punktowa
fakt, że interwałów nie można traktować w ra- i równa wartości funkcji oryginalnej). Warunku
chunkach dokładnie tak samo jak dwuwymia- tego nie da się spełnić, jeśli f jest nieciągła,
rowych wektorów albo liczb zespolonych, choć tak jak np. funkcja signum. Można dowieść, że
wszystkie te obiekty wyglądają bardzo podobnie. mechaniczne zastąpienie w wyrażeniu algebraicz-
Wystarczy popatrzeć na regułę odejmowania, nie nym wszystkich zmiennych przez zawierające je
zaszkodzi też wypróbować samodzielnie przemno- interwały daje w wyniku poprawną funkcję inklu-
żyć kilka interwałów przez ujemne liczby rzeczy- zywną, choć niekoniecznie będzie to ścisły odpo-
wiste, aby przekonać się, na czym polega różnica. wiednik interwałowy oryginału. Konstrukcje takie
[4] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
nazywamy n a t u r a l n y m i albo n a i w n y m i. nych metod ogranicza się do aspektów czysto
Przykład: niech f(x) = x2; obliczmy f([-1, 2]); rachunkowych, i to w zakresie czterech działań
otóż [-1, 2]�[-1, 2] = [-2, 4], podczas gdy ścisłym arytmetycznych. Przykładem niech będą najnow-
wynikiem jest oczywiście przedział [0, 4] �" [-2, 4]. sze pomiary (maj 2000 r.) stałej grawitacji G.
Dzięki nim wiemy, że nasza planeta ma masę
Na zakończenie tego z konieczności bardzo
(5,972 23 ą 0,000 08) � 1024 kg, a G = 6,673 90 �
skrótowego, choć przydługiego wstępu konieczne
10-11 m3 � kg-1 � s-2 z niepewnością 0,0014%. Do
jest zwrócenie uwagi Czytelnika na znaczenie
tej samej kategorii można zaliczyć pracę Diane
zaokrągleń w rachunkach interwałowych. Abso-
Doser, która przedstawiła w czasopiśmie Relia-
lutną koniecznością jest wykonywanie tej czyn-
ble Computing (dawniej: Interval Computations)
ności w każdym kroku obliczeniowym. Co więcej,
opis niepewności pomiarów geofizycznych w ję-
stosujemy tzw. z a o k r ą g l a n i e n a z e w n ą t r z
zyku analizy interwałowej.
(ang. outward rounding), co oznacza, że w każ-
dym pośrednim wyniku dolny koniec przedziału
zaokrągla się w dół, a górny  w górę. Jedynie
5. Sformułowanie problemu
takie postępowanie daje gwarancję, że otrzymany
rezultat z całą pewnością zawiera prawdziwy wy- W wielu gałęziach nauk doświadczalnych czę-
nik. Szczęśliwie dla programistów nie jest to żadne sto spotykamy się z problemem dopasowania da-
dodatkowe obciążenie ani utrudnienie, gdyż pro- nych. Nazwa dopasowanie (lub okropna żargo-
cedury biblioteczne zajmują się tym automatycz- nowa nazwa  fitowanie ) jest używana wtedy, gdy
nie. Najnowsze konstrukcje procesorów pozwalają chodzi o pewien rodzaj przybliżenia, często zwany
na zaokrąglanie w opisany sposób już na poziomie także regresją. Do naszych celów sformułujemy
sprzętu, zupełnie zwalniając programistę z tego problem tak: mając zestaw danych, zwanych dalej
obowiązku. Jeśli nie dysponujemy komputerem pomiarami, tzn. zbiór par liczb {(xj, yj)}n , oraz
j=1
wyposażonym w taki właśnie procesor, to radzimy pewien model, należy znalez
ć odpowiednie warto-
sobie, symulując poprawne zaokrąglanie przez po- ści parametrów tego modelu, tak aby poprawnie
mnożenie końców pośrednich wyników przez 1ą�, opisywał on zebrane dane.
gdzie � > 0 jest niewielką liczbą, rzędu kilku do
W dalszym ciągu założymy ponadto, że:
kilkunastu dokładności maszynowych.
1) wartości obu składników każdej pary (współ-
Esencję rachunków interwałowych stanowią rzędnych) mogą być niepewne, tzn. dla każdego
dwie rzeczy: 1) podawanie g w a r a n t o w a n y c h xj (odpowiednio yj) znamy przedział [xj, xj] = xj
granic, w których mieści się prawdziwy wynik; (odp. [yj, yj] = yj), zawierający xj (odp. yj) i da-
2) dołożenie wszelkich starań, aby te granice były jący gwarancję, że prawdziwa, choć nieznana war-
wyznaczone możliwie najlepiej, tj. były możliwie tość mierzonej (y) względnie będącej pod kontrolą
wąskie. (x) wielkości fizycznej mieści się w nim; 2) szu-
kamy parametrów modelu liniowego, opisującego
zależność y od x: y = ax + b.
4. Znane zastosowania w fizyce
Podane dalej rozważania stosują się bezpo-
W sierpniu 1998 r. Tom Hales (hales@math. średnio do wielu innych modeli z dwoma parame-
lsa.umich.edu) ogłosił dowód słynnej hipotezy Ke- trami. Rozszerzenie na modele o większym stop-
plera, będącej na chyba jeszcze słynniejszej li- niu komplikacji jest także niemal natychmiastowe.
ście problemów matematycznych przedstawionej Wybraliśmy model liniowy dlatego, że jest on
przez Davida Hilberta w 1900 r. Treścią hipotezy bardzo ważny, szeroko stosowany, a jednocześnie
było przypuszczenie, że żaden układ identycznych prawdopodobnie najprostszy.
kul nie może przewyższać gęstością struktury po-
Krótko mówiąc, naszym celem będzie znale-
wierzchniowo centrowanej fcc. Wszyscy to wie-
zienie ograniczeń na dwa parametry, nazywane
dzieliśmy z kursu fizyki ciała stałego, jednakże
odtąd a i b, które możliwie najlepiej opisują dane
ścisły dowód stał się możliwy dopiero dzięki me-
doświadczalne. Znanych jest wiele sposobów roz-
todom interwałowym.
wiązania tego problemu. Wszystkie one zależą od
Trzeba jednak przyznać, że przytłaczająca określenia, czym jest n a j l e p s z e d o p a s o w a -
większość dotychczasowych zastosowań opisywa- n i e. Wśród nich należy wymienić metodę naj-
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [5]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
mniejszych kwadratów (LSQ) oraz metodę naj- Na koniec, wszystkie te metody, jawnie lub
mniejszych odchyleń bezwzględnych (LAD), które w sposób ukryty, czynią użytek z centralnego
są najbardziej znane i najszerzej stosowane. Jed- twierdzenia granicznego, bez przejmowania się ta-
nakże nawet interwałowe odpowiedniki tych me- kim drobiazgiem, że wszelkie wnioski z niego pły-
tod nie dostarczają wyników oczekiwanych przez nące mają zastosowanie jedynie w granicznym
eksperymentatorów. Często tzw. problem skupisk przypadku, gdy liczba pomiarów staje się nieskoń-
(ang. clustering problem) [8,9] uniemożliwia pre- czenie wielka.
cyzyjne zlokalizowanie poszukiwanego minimum. Oceny interesujących parametrów, otrzymane
Zjawisko to polega na tym, że w okolicach po- metodami probabilistycznymi, są podawane w po-
szukiwanego minimum znajdujemy ogromne sku- staci dwóch liczb, które oznaczają wartość śred-
piska niewielkich kostek i nie potrafimy roz- nią (lub najbardziej prawdopodobną) oraz dys-
strzygnąć, która z nich zawiera owo minimum, persję (znowu przy milczącym założeniu normal-
a która nie. W rezultacie otrzymujemy oszacowa- ności rozkładu!) albo  znacznie rzadziej  gra-
nia interwałowe, które są z reguły bardzo pesymi- nice przedziału ufności. Wybór tak zwanego po-
styczne  tak szerokie, że praktycznie bezwarto- ziomu ufności, który jest wówczas trzecią poda-
ściowe. waną liczbą, pozostaje w zasadzie dowolny. Do-
dajmy, że poziom ufności jest tylko luz
no, jeśli
Po cóż więc w ogóle zajmować się jeszcze
w ogóle, powiązany z wykonanymi pomiarami.
jedną metodą interwałową?
7. Podejście interwałowe
6. Niedostatki obecnych metod
Naszym celem jest podanie ciasnych i jedno-
Najbardziej popularne obecnie metody dopa-
cześnie gwarantowanych ograniczeń dla obu para-
sowań są oparte na podstawach probabilistycz-
metrów a i b. Zgodnie z tym zamierzeniem, bę-
nych. Dzieje się tak dlatego, że wyniki pomia-
dziemy szukać interwałów a = [a, a] i b = [b, b],
rów są traktowane jak wartości zmiennych loso-
zawierających z c a ł ą p e w n o ś c i ą prawdziwe
wych. Nie ma nic złego w takim podejściu, acz-
wartości a i b. Zadanie to jest równoważne znale-
kolwiek dalsze przetwarzanie danych doświadczal-
zieniu rozwiązań następującego układu równań:
nych odbywa się przy  rzadko kiedy podawa-
ńł
nych w jawnej formie  silnych założeniach do-
ax1 + b = y1
�ł
�ł
datkowych, które dotyczą rozkładów prawdopo- . . .
. . .
. (11)
. . .
�ł
dobieństwa mierzonych wartości. Najczęściej za-
ół
axn + b = yn
kłada się, i praktycznie nigdy nie sprawdza, że
badane zmienne mają rozkład normalny (gaus-
Jest to układ n > 2 równań liniowych z tylko
sowski). Niestety, wbrew obiegowej opinii, zwykle
dwiema niewiadomymi. Ponieważ liczba danych
wcale tak nie jest. Dziś znakomita większość po-
przekracza liczbę niewiadomych, to układ (11)
miarów odbywa się przy użyciu cyfrowych instru-
jest nadokreślony i z tego powodu na ogół nie ma
mentów pomiarowych, tak że nawet jeśli badane
rozwiązań w zwykłym sensie. Mimo to znajdziemy
zjawisko podlega rozkładowi normalnemu, to już
takie interwały a i b, że równania (11) oraz dane
zbiór jego pomiarów, złożony przecież wyłącznie
pomiarowe będą w jakimś sensie zgodne.
z dyskretnych wartości, nie może mieć rozkładu
Najpierw jednak powinniśmy się zastanowić,
normalnego.
co właściwie oznacza wypisany układ równań,
Jest także druga hipoteza  że niepewności jak te równania rozumieć i czego możemy wyma-
pomiarowe, dawniej zwane błędami pomiarów, są gać od przyszłych rozwiązań. Zgodnie z klasyfi-
małe. Tego to już zupełnie nie da się sprawdzić, kacją rozwiązań układów interwałowych równań
tym bardziej, że rzetelny ekperymentator nie ma liniowych, podaną przez Shary ego [10], jest wiele
najmniejszego wpływu na wielkość niepewności sposobów określenia typu pożądanych rozwiązań.
tych pomiarów, które już wykonał. Tymczasem Bliższa analiza wykazuje, że w naszym przypadku
wszelkie  prawa przenoszenia się błędów mają sens mają dokładnie 4 typy rozwiązań. Nie bę-
sens i rację bytu jedynie jeśli owe  błędy rzeczy- dziemy, z braku miejsca, dyskutować tutaj ich
wiście są małe. wszystkich. Zainteresowanego Czytelnika wypada
[6] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
odesłać do pracy [11]. Skupimy się na rozwiąza- części artykułu, tutaj jedynie sygnalizując tę in-
niach zwanych zjednoczonymi (ang. united). Jest teresującą możliwość.
to najbardziej oczywisty rodzaj rozwiązań i dla- A co z dostatecznie grubą prostą? Począt-
tego mówi się o nich po prostu  rozwiązania , bez kujący student zapewne wyobrażał ją sobie jako
dodatkowych określeń. figurę geometryczną nakrywającą w c a ł o ś c i
Rozwiązania zjednoczone definiuje się w na- wszystkie  prostokąty niepewności . Okazuje się,
stępujący sposób: para liczb (a, b) należy do że zbiór określony w taki sposób jest tak z
le zde-
zbioru rozwiązań zjednoczonych układu rów- finiowany, że trudno w ogóle mówić o jego istnie-
nań (11), jeśli dla niektórych liczb x1 " x1, niu. Próby znalezienia rozwiązań o takiej właści-
y1 " y1, . . . , xn " xn, yn " yn zachodzi jedno- wości kończą się wynikami przypadkowymi, żeby
cześnie n równości: axk + b = yk dla k = 1, . . . , n. nie powiedzieć nonsensownymi. Zdarza się nawet,
Para liczb (a, b) reprezentuje na płaszczyz
nie xy że znaleziona  prosta przebiega w kierunku pro-
pewną linię prostą. Przytoczona definicja ma więc stopadłym do oczekiwanego!
prostą, przemawiającą do wyobraz
ni interpreta-
cję geometryczną. Ewentualnymi rozwiązaniami
(zjednoczonymi) układu (11) są linie proste o tej
właściwości, że każda z nich przechodzi przez
wszystkie  prostokąty niepewności xk � yk. Ilu-
strujemy to na rys. 1. W sposób ścisły zapisujemy
definicję zbioru rozwiązań zjednoczonych jako:
{(a, b): "k=1,...,n "x"x "y"y ax + b = y}. (12)
k k
Zamiast zbioru rozwiązań będziemy w dal-
szym ciągu rozważać jego powłokę interwałową,
tzn. najmniejszą dwuwymiarową kostkę (wektor)
(a, b) zawierającą wszystkie poszukiwane pary
Rys. 1. Interpretacja geometryczna kilku rozwiązań zjed-
liczbowe (a, b). Pamiętając, że interwały są jed- noczonych układu równań (11). Narysowanie wszystkich
rozwiązań zaciemniłoby niepotrzebnie rysunek, jest jed-
nocześnie najzwyklejszymi zbiorami, możemy za-
nak wyraz
nie widoczne, jaką figurę geometryczną two-
pisać warunek, jaki musi spełniać powłoka inter-
rzy zbiór wszystkich rozwiązań: jest to właśnie tytułowa
wałowa (a, b) zbioru rozwiązań:
 gruba prosta . Widać także, że niektóre  prostokąty
niepewności zostaną nakryte ową figurą w całości, inne
 tylko w części, jednakże żaden z nich nie będzie roz-
"k=1,...,n (axk + b) )" yk = ". (13)

łączny z  grubą prostą .
Oczywiście, nie każda para liczbowa (a, b) " (a, b)
jest elementem zbioru rozwiązań, jednakże sama
8. Interpretacja fizyczna
kostka (a, b) zawiera z całą pewnością wszystkie
rozwiązania. Czytelnik zapewne zauważył, że przystę-
Eksperymentatorzy z pewnością będą zainte- pujemy do poszukiwań nieznanych parametrów
resowani jeszcze innym typem  rozwiązań , spoza w sposób zupełnie odmienny od ogólnie przyję-
klasyfikacji Shary ego, które wypadałoby nazwać tego. Korzystając z metod interwałowych, wcale
z g r u b n y m i. Chodzi o  rozwiązania określone nie zamierzamy szukać ekstremum żadnego funk-
prawie tak samo jak zjednoczone, jednakże z osła- cjonału. Mamy świadomość, że w literaturze ist-
bionym wymaganiem (13). Wystarczy, aby wa- nieje wiele interwałowych odpowiedników klasycz-
runki (13) były spełnione dla większości po- nych metod optymalizacyjnych. Nie chcemy ich
miarów, niekoniecznie dla wszystkich. Oczywi- używać, m.in. dlatego, że nie dają one oszacowań
ście, rozwiązania zjednoczone stanowiłyby wów- niepewności poszukiwanych parametrów, a przy-
czas podzbiór rozwiązań zgrubnych. Ten typ  roz- najmniej nie pojawiają się one jako bezpośredni
wiązań może być bardzo przydatny przy anali- i wiarygodny rezultat obliczeń. Zamiast tego roz-
zie danych zawierających tzw. błędy grube (ang. ważymy jedynie, w jakich granicach muszą znaj-
outliers). Odkładamy ich dyskusję do dalszych dować się poszukiwane parametry, aby dobrze opi-
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [7]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
sać dane doświadczalne. Podejście to ma podsta- p o z a przebadanym dotychczas zakresem będą-
wowe zalety. Po pierwsze, jest zgodne z powszech- cej pod kontrolą zmiennej x; 2) przez wyraz
ne
nym rozumieniem postępu w badaniach jako po- polepszenie dokładności nowych pomiarów miesz-
większaniem zasobów wiedzy. Przyrost wiedzy czących się we wstępnie przebadanym obszarze.
jest równoważny zmniejszaniu ignorancji, co się
Przedyskutujmy teraz kwestię istnienia lub
daje przetłumaczyć jako zmniejszanie niepewno- nieistnienia rozwiązań.
ści, czyli  w języku tego artykułu  szerokości
Jeśli r o z w i ą z a n i a z j e d n o c z o n e i s t -
interwałów zawierających wartości liczbowe bada-
n i e j ą, to zebrane dane są zgodne z używanym
nych wielkości fizycznych. Każdy nowy pomiar to
modelem; innymi słowy, nie ma sprzeczności mię-
potencjalnie nowe ograniczenia na możliwe war-
dzy teorią a wynikami doświadczalnymi. Mówie-
tości poszukiwanych parametrów. Pomiary nie-
nie, że dane są w  przyzwoitej ,  dobrej lub
zbyt staranne, czyli niezbyt dokładne, nie wnoszą
wręcz  znakomitej zgodności z teorią jest raczej
do istniejącej wiedzy niczego nowego, bo ograni-
kwestią gustu niż czegokolwiek innego. Używanie
czenia z nich wynikające i tak są mniej rygory-
tych określeń może być usprawiedliwione jedynie
styczne od już znanych. I nie ma najmniejszej po-
porównaniem z podobnymi wynikami, zwłaszcza
trzeby dyskryminowania tych  gorszych pomia-
pod względem szerokości interwałów a i b, otrzy-
rów przez nadawanie im jakichkolwiek arbitral-
manymi przez innych autorów lub innymi meto-
nych wag. Te liczby (wagi) nie są przecież żadnym
dami.
obiektywnym atrybutem zebranego materiału do-
Jeśli r o z w i ą z a n i a z j e d n o c z o n e n i e
świadczalnego  po cóż więc mnożyć byty po-
i s t n i e j ą, to musiało zajść jedno z następujących
nad rzeczywistą potrzebę? Po drugie, rozwiązania
zdarzeń:
otrzymywane na drodze analizy ograniczeń w na-
 co najmniej jeden z pomiarów jest niewia-
turalny sposób mają wyznaczone, wiarygodne nie-
rygodny, tzn. związane z nim niepewności zostały
pewności, które wynikają ściśle z niepewności
błędnie oszacowane, a konkretnie zaniżone; być
przeprowadzonych pomiarów. Zbędne jest posłu-
może dotyczy to nawet wszystkich pomiarów;
giwanie się jakimikolwiek  prawami przenosze-
 jeden lub większa liczba pomiarów są
nia się błędów , których zakres stosowalności jest
obarczone grubym błędem. Może to być wyni-
właściwie poza wszelką realną kontrolą.
kiem awarii lub niewłaściwej kalibracji aparatury
pomiarowej, przekłamaniem w transmisji danych
Podejście interwałowe pozwala na wyciągnię-
albo zwykłą pomyłką osoby wykonującej pomiary
cie jeszcze innych, niezwykle interesujących, wnio-
w czasie ręcznej rejestracji uzyskanych wyników
sków i to jeszcze zanim przedstawimy konkretną
lub podczas wprowadzania ich do pamięci kom-
metodę otrzymywania rozwiązań. Przypuśćmy,
putera.
patrząc na rys. 1, że do istniejącego już zestawu
Możliwa jest także trzecia przyczyna: uży-
danych przybywa po pewnym czasie nowy pomiar.
wany model (w naszym przypadku liniowy) nie
Po pierwsze, jeśli nasze pomiary są rzetelne, to
opisuje dobrze badanego zjawiska. Ta ostatnia
nie może on się pojawić gdziekolwiek, a jedynie
możliwość może się przytrafić całkiem łatwo w na-
w takim miejscu, aby mieć przynajmniej jeden
ukach fizycznych, w których przybliżone, liniowe
punkt wspólny ze znalezionym wcześniej zbiorem
lub zlinearyzowane modele są często wykorzysty-
rozwiązań  oszacowań liczb a i b. Jest jasne, że
ponowne oszacowanie a i b może co najwyżej za- wane. Są one użyteczne tylko tak długo, aż po-
węzić dotychczasowe ograniczenia tych parame- jawią się nowe, dokładniejsze wyniki pomiarów.
Może się wówczas okazać, że nadeszła pora kry-
trów. W szczególności, pomiar wykonany znacznie
tycznego przeglądu dotychczasowej teorii, jej ko-
mniej dokładnym przyrządem (byle rzetelny!) nie
rekty, a może nawet odrzucenia.
może zmienić dotychczasowych oszacowań. Bez
angażowania jakiegokolwiek aparatu matematycz- Możemy też popatrzeć na zbiór rozwiązań
nego widzimy, że istotny postęp w znajomości zjednoczonych z innej perspektywy: jeśli jest on
wartości parametrów a i b da się osiągnąć na dwa pusty, to mamy d o w ó d, że nasz model jest
sposoby: 1) przez wykonanie nowych pomiarów, n i e z g o d n y z posiadanymi danymi, nie opisuje
o jakości (w sensie dokładności czy niepewności) ich adekwatnie. Nieprzydatność modelu może być
porównywalnej z dotychczasową, ale wykonanych przykrą wiadomością, lecz z drugiej strony ści-
[8] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
sły dowód tego faktu wart jest niepomiernie wię-  spróbuj odciąć plasterek z kostki V z lewej
cej niż wynik jakiegokolwiek testu statystycznego. strony; zamień kostkę na mniejszą, jeśli próba
Jednakże, aby taki wynik uznać za pewny, mu- cięcia zakończyła się sukcesem;
simy mieć gwarancję, że niepewności pomiarowe  spróbuj odciąć plasterek z kostki V z prawej
wszystkich danych zostały oszacowane poprawnie strony; zamień kostkę na mniejszą, jeśli próba
 co oznacza, że wzięto pod uwagę wszelkie z
ró- cięcia zakończyła się sukcesem.
dła niepewności [12] i że w żadnym wypadku nie
Jeśli dla którejkolwiek niewiadomej uzyskano po-
zostały one zaniżone.
wodzenie, to procedurę należy powtórzyć.
Wnioski powyższe są logiczną konsekwencją
Wyniki
przyjętych na początku założeń oraz trzech  ak-
Ciasna powłoka interwałowa (a, b) dla parame-
sjomatów teorii błędów pomiarowych, przypi-
trów a i b.
sywanych Rabinovichowi (1993)1: 1) prawdziwa
wartość mierzona istnieje; 2) mierzona wartość
pozostaje stała w trakcie pomiaru; 3) wynik po-
miaru daje tylko oszacowanie mierzonej warto-
9.1. Co to jest odcinanie plasterków?
ści, ona sama pozostaje nieznana. Aksjomaty te,
Przypuśćmy, że aktualna kostka to V =
choć dalekie od matematycznej ścisłości, w oczy-
(p1, p2, . . . , pr) " IRr i że właśnie pracujemy
wisty sposób nawiązują do ducha analizy interwa-
z parametrem (niewiadomą) o numerze k, ozna-
łowej.
czaną jako pk. Odcinanie plasterka z lewej strony
to ciąg czynności:
9. Algorytm rozwiązania
1. � �! 1;
2. � �! �/2;
W niniejszym rozdziale przedstawiona jest ge-
3. podziel V na dwie części, przez rozcięcie
neralna strategia znajdowania powłoki interwało-
płaszczyzną pk = p�, gdzie p� = pk + �(pk - pk);
wej zbioru rozwiązań układu równań (11). Algo-
niech kostki potomne noszą nazwy: plasterek
rytm ten można uważać za odpowiednik funkcji
(pk p�) i reszta (pk p�);
interwałowych ZERO1 i ZERO2 opublikowanych
4. wykonaj badanie (ang. probing) [13] pla-
przez van Emdena [13]. Nasza metoda ma an-
sterka, co oznacza stwierdzenie, czy plasterek
gielską nazwę box slicing albo box peeling, co
spełnia układ rozważanych nierówności.
możnaby przetłumaczyć na polskie  cięcie w pla-
Jeśli ż a d e n punkt plasterka nie spełnia
sterki lub  obieranie ze skórki .
układu nierówności, to:
Pierwszym krokiem jest przekształcenie uk-
 V �! reszta (zapomnij o plasterku);
ładu (11) w równoważny zbiór warunków, na
 zakończ pracę (odcinanie plasterków z le-
ogół w postaci nierówności. Ponadto powinni-
wej strony) z parametrem pk; koniec z sygnaliza-
śmy określić początkową kostkę V , zawierającą
cją sukcesu;
wszystkie potencjalne rozwiązania. O tym wszyst-
a w przeciwnym wypadku (spróbuj cieńszego pla-
kim za chwilę, teraz przedstawmy generalny sche-
sterka):
mat algorytmu, który pozwoli znalez
ć najmniejszą
 jeśli kryteria zakończenia nie zostały speł-
kostkę (wektor interwałowy) (a, b) " IR2, zawie-
nione, to wróć do kroku 2, a w przeciwnym
rającą wszystkie pary (a, b), dla których spełnione
wypadku zakończ odcinanie plasterków (para-
będą nałożone warunki.
metr pk) z lewej strony; wyjście z sygnalizacją
niepowodzenia.
Dane wejściowe Odcinanie plasterków z prawej strony jest po-
dobne, z tą różnicą, że początkowa wartość � to
Początkowa kostka V " IR2 zawierająca wszystkie
zero, a póz
niejsze zmiany zachodzą według wzoru
rozwiązania.
� �! (1 + �)/2.
Algorytm
Pora na kilka uwag dodatkowych. Jak wynika
Dla każdej niewiadomej po kolei wykonaj: z opisu, na początku algorytm próbuje odcinać
1
Sformułowania te padły podczas kuluarowych dyskusji na jednej z konferencji i nie zostały nigdzie opublikowane.
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [9]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
duże fragmenty wyjściowej kostki V . W rzeczy sa- sena o ostrości [14]. To dlatego wyliczone powłoki
mej, pierwszy testowany plasterek ma taką samą są optymalne, także w przypadku modeli wielo-
objętość jak pozostała część kostki, podczas gdy liniowych czy zlinearyzowanych. Stwierdzenie to
 w razie niepowodzenia  kolejne plasterki są co- niekoniecznie pozostaje prawdziwe, jeśli badany
raz cieńsze. Kończymy próby odcinania plaster- model jest nieliniowy.
ków (w bieżącym kierunku) przy pierwszym suk- Złożoność przestrzenna algorytmu jest bar-
cesie i natychmiast rozpoczynamy badania kolej- dzo atrakcyjna. W dowolnej fazie obliczeń pra-
nej niewiadomej, zgodnie z sugestiami van Em- cujemy z co najwyżej trzema kostkami jednocze-
dena [13]. śnie (oryginalna, plasterek i reszta), każda o roz-
miarze proporcjonalnym do liczby niewiadomych
A jakie są kryteria zakończenia obliczeń?
(m = 2 = const), tak więc Cs <" O(1).
Te najbardziej oczywiste powinny być związane
z grubością odcinanych plasterków. Odcinanie bez
9.2. Badania plasterków
powodzenia powinno zostać zakończone najpóz
-
niej wtedy, gdy grubość plasterka, tj. średnica in-
Celem procedury jest określenie, czy dana
terwału pk stanie się mała, porównywalna z do-
kostka (plasterek) zawiera punkty o żądanych
kładnością maszynową. Można byłoby pomyśleć
własnościach, w naszym przypadku  rozwiązania.
o wcześniejszym kończeniu postępowania, po osią-
Kostki, które nie zawierają co najmniej jednego
gnięciu wcześniej ustalonego progu �: odcinanie
interesującego punktu, są eliminowane z dalszych
plasterków ustaje, gdy � � (odcinanie z le-
rozważań.
wej) albo 1 - � � (odcinanie z prawej), gdzie �
Dowód, że we wskazanym obszarze znajdują
jest niewielką, dowolnie wybraną liczbą dodat-
się poszukiwane rozwiązania zwykle nie jest pro-
nią, zwykle rzędu 10-6 10-3. Trzeba sobie zdawać
sty. Z tego powodu w trakcie badania będziemy
sprawę, że takie  oszczędnościowe podejście nie
raczej zmierzali do wyeliminowania rozpatrywa-
gwarantuje, że otrzymana powłoka interwałowa
nej kostki. Testy ( pytania ), których zechcemy
będzie optymalna. Mimo wszystko, postępowanie
użyć muszą być starannie dobrane, gdyż  probing
uproszczone może się okazać praktyczne w sensie
has a logic of its own (badania rządzą się swoją
potrzebnego czasu procesora i być całkowicie wy-
własną logiką  M.H. van Emden [13]). Wyja-
starczające przy przetwarzaniu danych doświad-
śnimy to bliżej.
czalnych, których dokładność jest i tak o wiele
Przypuśćmy, że p < q i dla pewnego układu
rzędów wielkości gorsza od precyzji maszynowej.
nierówności I otrzymaliśmy następujące wyniki:
Kończąc opis algorytmu, podsumujmy jesz-  I jest niesprzeczny dla x q;
cze jego złożoność obliczeniową. Pojedynczy cykl,  I jest niesprzeczny dla x p.
obejmujący wszystkie niewiadome, w najgorszym Czy możemy na tej podstawie powiedzieć coś
przypadku, wymaga czasu proporcjonalnego do m pewnego o położeniu na osi liczbowej rozwiązań
 liczby niewiadomych, i do n  liczby pomiarów: układu I, w szczególności o istnieniu rozwiązań
Ct = 2Kmn; efektywnie Ct <" O(n), jako że m = w przedziale [p, q]? Niestety  nie, ale z drugiej
2 jest ustalone z góry. Czynnik 2 bierze się stąd, strony, gdybyśmy wiedzieli, że (I jest sprzeczny
ze odcinanie plasterków zachodzi zawsze z obu dla x q) i (I jest sprzeczny dla x p), to mieli-
stron. K, stała proporcjonalności, jest z grubsza byśmy d o w ó d, że układ I w ogóle nie ma rozwią-
równa liczbie bitów mantysy powiększonej o po- zań, natomiast informacja (I jest sprzeczny dla
dwojoną wartość największego wykładnika uży- x q) i (I jest sprzeczny dla x p) implikuje, że
wanego w zmiennopozycyjnym zapisie maszyno- rozwiązania, o ile istnieją, m u s z ą znajdować się
wych liczb rzeczywistych. Trzeba jednak pamię- w przedziale [p, q], skoro ich nie ma na zewnątrz
tać, że pojedynczy obieg po wszystkich niewiado- tego przedziału.
mych jedynie w wyjątkowych przypadkach będzie Pomóżmy sobie rysunkiem (rys. 2). Postrze-
wystarczający. Na szczęście, w przypadku linio- gajmy sytuację przedstawioną na nim jako do-
wym, którym się tu zajmujemy, wszystkie inter- tyczącą wybranego punktu pomiarowego, po-
wały, nawet wyliczane w sposób naturalny ( na- wiedzmy pierwszego, oraz wszystkich nierówności,
iwny ), mają dokładne (mówimy: ostre) końce. w których ten pomiar występuje w sposób jawny.
Wynika to bezpośrednio z pakietu twierdzeń Han- Dla uproszczenia będziemy odtąd opuszczać in-
[10] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
deks numerujący pomiary. Chcemy znalez
ć prze- niż w tradycyjnych, punktowych rachunkach  nie
działy a i b, dla których da się rozstrzygnąć tych wątpliwości przez bez-
pośrednie sprawdzenie, gdyż kostka, choćby była
(ax + b) )" y = " (14)

bardzo mała, wciąż zawiera nieprzeliczalną liczbę
punktów.
dla par (x, y) " (x, y). Warunek przeciwny, tzn.
Wyjście z tego kłopotu okazuje się zupełnie
taki, że interwały ax + b oraz y s ą r o z ł ą c z n e,
proste. Rozpoczynając obliczenia z kostką V jako
będzie dla nas bardziej użyteczny. W standardo-
startową, odrzucamy te jej części, w których praw-
wej notacji możemy go zapisać jako
dziwy jest pierwszy człon alternatywy (15), otrzy-
mując w rezultacie kostkę Vd ą" V . Kostka Vd po-
(ax + b < y) (" (ax + b > y). (15)
krywa się z obszarem I na rys. 2. Następnie po-
wtarzamy procedurę, znowu startując z kostki V ,
Alternatywa (15) dostarcza nam poprawnej od-
ale tym razem używamy jako kryterium odrzuca-
powiedzi na pytanie, czy warunek (14) jest
nia drugiego członu alternatywy (15). Teraz wy-
sprzeczny. Kostki (a, b), dla których jakikolwiek
nikowa kostka to Vg ą" V , odpowiadająca obsza-
z członów warunku (15) jest prawdziwy, można
rowi II na rys. 2. Rozwiązanie, o ile istnieje, musi
bezpiecznie pominąć w dalszych rozważaniach,
zawierać się w części wspólnej Vd )" Vg. To prze-
jako że w s z y s t k i e zawarte w nich punkty na-
cięcie, jeśli nie jest zbiorem pustym, staje się po-
ruszają warunek (14). Wszystkie kostki o takiej
nownie kostką startową V do następnego cyklu
własności są zlokalizowane na zewnątrz obszarów
iteracji. Kontynuując to postępowanie, otrzymu-
oznaczonych jako I i II na rys. 2, tzn. można je
jemy coraz lepsze oszacowania interwałowe obsza-
znalez
ć w obszarach III, IV lub VII. Tak więc al-
rów oznaczonych jako V i VI na rys. 2. Proce-
dura kończy się ( eventually stabilizes w języku
pracy [15]), kiedy Vg = Vd = V , albo, innymi
słowy, kiedy operacja odcinania plasterków stanie
III
II
się idempotentna. Pusty przekrój Vg i Vd w do-
wolnym stadium obliczeń jest dowodem na to, że
VII
zbiór rozwiązań jest pusty.
V
Tak więc zadawanie odpowiednich pytań
podczas badania plasterków nie jest trywialne.
VI
Główna trudność polega na skonstruowaniu odpo-
IV
wiednich testów odrzucania. Tylko testy Q o wła-
I sności (V �" W " IRn):
Q(V ) wykazuje niesprzeczność
Rys. 2. Ramka zakreśla granice początkowego obszaru Ó! (16)
poszukiwań na płaszczyz
nie ab. Obszar poszukiwany,
Q(W ) wykazuje niesprzeczność
nieznacznie przesadzony, to prostokąt w okolicach środka
rysunku. Dwie pozostałe linie, ciągła i przerywana,
dzielą obszar wyjściowy na części, w których pewne wa-
są właściwe. A to dlatego, że zwykle rozpo-
runki są spełnione (po jednej stronie danej linii) albo nie
czynamy obliczenia z dużą, mocno przesadzoną
(po drugiej jej stronie). Region ograniczony linią przery-
kostką, o której wiemy, że zawiera wszystkie roz-
waną jest oznaczony jako I, a ograniczony linią ciągłą 
jako II. Szczegóły dotyczące obszarów III VII podane są wiązania. Nie chcielibyśmy, aby została ona od-
w tekście.
rzucona w całości w wyniku pierwszego zastoso-
wanego testu, prawda?
ternatywa (15) może być używana przez algorytm
box slicing jako kryterium odrzucania. Pomyślmy
9.3. Pozostałe szczegóły
jednakże, co się stanie, jeśli zbiór rozwiązań będzie
pusty? W takim wypadku zakończymy obliczenia W przypadku dokładnie dwóch różnych po-
z bardzo małą kostką, wciąż nie mając pewności, miarów (n = 2, x1 )" x2 = ") problem może być
czy zawiera ona jakiekolwiek rozwiązania. Inaczej szybko rozwiązany  analitycznie :
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [11]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
y2 - y1
Podsumowując: aby znalez
ć interwałową po-
a = , (17)
x2 - x1
włokę wypukłą r o z w i ą z a ń z j e d n o c z o n y c h
b = (y1 - ax1) )" (y2 - ax2). (18)
potrzebujemy kostki startowej podanej wzo-
rem (19) oraz pary reguł odrzucania zawartych
Autor nie może się oprzeć pokusie skomentowa-
w relacji (15). Mamy więc wszystkie potrzebne
nia elegancji i symetrii wyrażenia (18)  oby-
elementy.
dwa pomiary uczestniczą w nim na dokładnie
równych prawach, są jednakowo ważne i cenne.
Jest to, nawiasem mówiąc, typowy przykład tri- 10. Przykład rachunkowy
ków obliczeniowych stosowanych w rachunkach in-
Program w języku FORTRAN, opisany
terwałowych. Jeśli pewną wielkość daje się ob-
w pracy [16], zastosowano do 10 sztucznych punk-
liczyć na kilka sposobów, to należy tak uczynić
tów pomiarowych, z niepewnościami w obu zmien-
i za końcowy wynik przyjąć część wspólną rezulta-
nych. Jako niepewności dla każdego pomiaru, �x
tów cząstkowych. Mimo elegancji, wyrażenie dla b
i �y, przyjęto trzecie części promieni odpowied-
niekoniecznie opisuje ciasną powłokę interwałową
nich interwałów, czyli szóste części ich szerokości.
parametru b, podczas gdy powłoka (17) dla a
Tak spreparowane dane przedstawione są w tab. 1,
j e s t optymalna ( ostra w terminologii Hansena,
a wyniki obliczeń w tab. 2.
patrz [14]). Odpowiedzialny za to zjawisko jest
tzw. p r o b l e m z a l e ż n o ś c i, którego nie da się
tutaj uniknąć. Polega on na tym, że b wyraża się
Tabela 1. Dane użyte w przykładowych obliczeniach.
m.in. przez a, x1 oraz y1, podczas gdy już a zo-
�x i �y zostały wzięte jako zaokrąglone trzecie części
stało obliczone przy użyciu tych samych zmien-
promieni odpowiadających im interwałów.
nych. Mówiąc obrazowo: niepewności poszczegól-
nych interwałów pojawiających się w rachunkach
m(x) r(x) �x m(y) r(y) �y
kilkakrotnie niepotrzebnie się kumulują, zawyża-
jąc tym samym wszelkie oszacowania. Brak ostro-
0,9 0,1 0,333 3,65 0,45 0,150
ści nie jest w tym przypadku wielkim problemem,
1,9 0,1 0,333 4,60 0,40 0,133
gdyż zawsze możemy ulepszyć otrzymane rozwią-
2,9 0,1 0,333 5,65 0,22 0,073
zanie opisanym algorytmem, który jest tak skon-
3,9 0,1 0,333 6,60 0,40 0,133
struowany, że w przypadkach liniowych zawsze ge-
5,4 0,1 0,333 8,00 0,50 0,167
neruje powłoki optymalne.
5,9 0,1 0,333 9,05 0,50 0,167
Konstrukcja dana wzorami (17) i (18) może
6,9 0,1 0,333 9,60 0,50 0,167
być użyta do określenia granic początkowej
8,7 0,1 0,333 11,30 0,50 0,167
kostki V , w której będziemy poszukiwać rozwią-
9,1 0,1 0,333 12,75 0,55 0,183
zań oryginalnego problemu liniowego. Wystarczy
10,1 0,1 0,333 13,70 0,30 0,100
położyć:

V = (a, b) = (ajk, bjk), (19)
jk
Tabela 2. Wyniki otrzymane z programu [16], przepi-
gdzie ajk i bjk są interwałami otrzymanymi z pary
sane z ekranu komputera, bez żadnych zaokrągleń.
pomiarów j i k. Wypisana powyżej powłoka
wypukła zawiera wyniki obliczone dla wszyst-
parametr wartość parametr wartość
kich par danych doświadczalnych (j, k) spełnia-
jących wymaganie xj )" xk = ". Wyliczenie (19)
charakteryzuje się złożonością O(n2), co może
aLSQ 1,086 633 92 �a 0,013 649 0939
się wydawać nadmierne, zwłaszcza, gdy liczba bLSQ 2,491 811 99 �b 0,082 284 525
pomiarów jest znaczna. Zamiast tak określonej
kostki początkowej możemy wówczas użyć V =
([-�, +�], [-�, +�]), gdzie � jest pewną dosta-
tecznie wielką liczbą, powiedzmy 1040, jednakże za Znaleziono także powłokę interwałową po-
cenę zwiększonej liczby niezbędnych iteracji póz
- szukiwanych parametrów jako rozwiązań zjedno-
niej. czonych odpowiedniego układu liniowych równań
[12] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
przedziałowych. Oczywiście, tym razem uwzględ- dobna , do której jesteśmy tak przywiązani. Przy-
niono pełne niepewności pomiarowe. Wyniki, za- padki takie w praktyce nie powinny się zdarzać 
okrąglone do pięciu cyfr po przecinku, są nastę- obie metody powinny dawać zbliżone wyniki. Jeśli
pujące: tak nie jest, to zapewne niepewności pomiarowe
zostały oszacowane zbyt optymistycznie albo na-
(a, b) = ([1,02271, 1,04840], [2,78378, 2,96827]).
stąpiła jakaś pomyłka podczas zbierania danych.
Przebieg obliczeń oraz wyniki  zarys zbioru roz-
Tabela 3. Wyniki przykładowych obliczeń. Końce
wiązań i jego powłokę interwałową  przedstawia
wypisanych interwałów zostały zaokrąglone  na ze-
rys. 3.
wnątrz do dwóch cyfr po przecinku, podczas gdy
liczby opisane jako yLSQ ą 3�, wynik obliczeń punk-
towych, zaokrąglono konwencjonalnie.
3,05
3,00
x y y yfit yfit yLSQ yLSQ
2,95
-3� +3�
2,90
2,85
0,8 3,20 3,65 3,81 3,112 3,610
2,80
1,0 4,10 3,80 4,02 3,328 3,828
2,75
1,8 4,20 4,62 4,86 4,190 4,705
2,70
2,0 5,00 4,82 5,07 4,405 4,925
2,65
2,60 2,8 5,43 5,64 5,91 5,262 5,807
3,0 5,87 5,84 6,12 5,476 6,027
2,55
1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08
3,8 6,20 6,67 6,96 6,329 6,913
Rys. 3. Końcowe iteracje wykonane przez algorytm prze-
4,0 7,00 6,87 7,17 6,542 7,135
twarzający przykładowe dane, przedstawione na płasz-
czyz
nie ab (a  na osi poziomej). Ciemny kształt w naj- 5,3 8,55 8,20 8,53 7,922 8,580
mniejszej kostce utworzony jest przez 15 000 par (a, b)
5,5 9,55 8,40 8,74 8,134 8,802
należących do zbioru rozwiązań zjednoczonych. Począt-
kowa kostka to: a " [-2,375, 12,5], b " [-32,45, 34,3].
5,8 8,20 8,71 9,05 8,452 9,137
Wynik końcowy wymagał wykonania 50 cykli.
6,0 8,90 8,92 9,26 8,663 9,360
6,8 9,10 9,73 10,10 9,509 10,253
Uzyskane wyniki liczbowe posłużyły do spo-
7,0 10,10 9,94 10,31 9,720 10,477
rządzenia tab. 3.  Korytarz błędów (w tab. 3
8,6 10,80 11,57 11,99 11,407 12,267
wielkości yLSQ - 3� oraz yLSQ + 3�) dla wyników
8,8 11,80 11,78 12,20 11,617 12,491
z metody najmniejszych kwadratów obliczono dla
każdego pomiaru oddzielnie, stosując znany wzór
9,0 12,20 11,98 12,41 11,828 12,715
2 2 9,2 13,30 12,19 12,62 12,038 12,939


"y "y

� = �a + �b = |x�a|2 + |�b|2. 10,0 13,40 13,01 13,46 12,880 13,836

"a "b
10,2 14,00 13,21 13,67 13,090 14,061
(20)
Jak widać z tab. 3, w zakresie zmiennej x, w któ-
rym wykonano pomiary, wyniki obu metod są
porównywalne. Obydwa zestawy parametrów opi- Warto odnotować, że problem interpolacji da-
sują pomiary mniej więcej jednakowo dobrze. Ra- nych doświadczalnych o wartościach interwało-
chunki interwałowe dały wyraz
nie mniejszą szero- wych był badany już wcześniej, np. w [17] (wie-
kość  korytarza błędów , lecz jest to kwestia przy- lomian interpolacyjny Lagrange a) oraz w [18]
padku; zwykle będzie odwrotnie. Szokujące nato- (przez rozkład na funkcje bazy: uogólnione wie-
miast jest to, że aLSQ " a oraz bLSQ " b! Nie, to lomiany). W obu przypadkach niepewności wy-
nie jest pomyłka. To tylko przykład wskazujący, stępowały tylko w jednej (zależnej) zmiennej. Nie
jak bardzo zwodnicza i odległa od rzeczywistości dyskutowano ani sensu fizycznego, ani wartości
może okazać się  wartość najbardziej prawdopo- uzyskanych parametrów.
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [13]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
11. Inne zastosowania Innymi słowy, poszukujmy z g r u b n y c h rozwią-
zań, wspomnianych wcześniej. W tym celu od-
11.1. Automatyczne wykrywanie błędów grubych
rzućmy w trakcie obliczeń kostki (a, b), w których
warunek (13) nie jest spełniony przez co najmniej
Przypuśćmy, że próbujemy znalez
ć powłokę
k pomiarów i gdzie indeks k, początkowo równy
interwałową rozwiązań zjednoczonych pewnego
zeru, numeruje kolejne podejścia. Wartość k, przy
problemu liniowego i zbiór ten okazuje się pu-
której po raz pierwszy osiągniemy sukces (tzn.
sty. Oznacza to, że jeden lub większa liczba
znajdziemy niepusty zbiór rozwiązań zgrubnych)
pomiarów jest obarczona błędami grubymi. Ist-
powie nam, czy stwierdzono obecność pomiarów
nieje kilka metod, zarówno czysto heurystycz-
odstających w zestawie danych doświadczalnych
nych, jak i opartych na rachunku prawdopodo-
(gdy k = 0), a jeżeli tak, to ile ich jest (k). Ich

bieństwa, które umożliwiają identyfikację takich
identyfikacja jest natychmiastowa: żaden z nich
odstających pomiarów. Zauważmy przy okazji,
nie spełnia warunku (13), w którym zamiast in-
że w przeciwieństwie do metod interwałowych,
terwałów a i b użyto ostatnio uzyskanych warto-
metoda najmniejszych kwadratów z a w s z e do-
ści. Zauważmy przy okazji, że nie potrzeba żadnej
starcza oszacowań poszukiwanych parametrów,
wcześniejszej wiedzy o tym, k t ó r e pomiary są
niezależnie od tego, czy zestaw danych zawiera
podejrzanej jakości (w innych metodach wiedza
pomiary odstające, czy nie. Takie wyniki po-
taka bywa wymagana).
miarów najłatwiej zauważyć po ich umieszcze-
Metoda opisana wyżej powinna być bardzo
niu, wraz z najlepiej dopasowaną linią prostą,
skuteczna  powinna umożliwić wykrycie cał-
na wspólnym wykresie. Jest to raczej wyczer-
kiem sporej liczby pomiarów odstających, nawet
pujące zajęcie, w którym w dodatku bardzo ła-
gdyby stanowiły one prawie 50% wszystkich da-
two o kolejne pomyłki, jeśli praca jest wykony-
nych. Autor przeprowadził dość ograniczone ba-
wana ręcznie. W takich zastosowaniach, jak kon-
dania w tym kierunku, zawsze z tylko jednym lub
trola procesów produkcyjnych czy technologicz-
dwoma odstającymi pomiarami. Testy wykazały,
nych, wszystko jedno, czy w hali produkcyjnej,
że metoda działa zgodnie z oczekiwaniami. Jest
czy w laboratorium naukowym, kiedy otoczenie
oczywiste, że ten algorytm zawsze się zatrzyma,
jest pełne zakłóceń elektromagnetycznych, niepo-
najpóz
niej wtedy, gdy pozostaną tylko dwa po-
prawne odczyty urządzeń pomiarowych czy prze-
miary.
kłamania podczas transmisji danych mogą zda-
rzać się całkiem często i uchodzić uwadze opera-
tora czy laboranta. Może to być przyczyną znacz- 11.2. Znajdowanie asymptot i stycznych
nego obniżenia jakości i niezawodności procedur
Czasem zachodzi potrzeba znalezienia na
kontrolnych, a czasami prowadzić nawet do kata-
podstawie niedoskonałych przecież pomiarów
strofalnych skutków.
równania linii prostej, która jest asymptotą albo
Przewaga metod interwałowych nad trady-
jest styczna do badanej krzywej. Metody inter-
cyjną metodą najmniejszych kwadratów jest tedy
wałowe, opisywane w tym artykule, mogą być
oczywista: żaden pomiar odstający nie może po-
w tym pomocne, gdyż eliminują wszelkie przejawy
zostać niezauważony. Jedyną kwestią jest tylko,
subiektywnego oglądu osoby opracowującej dane
j a k go wykryć, o czym za chwilę. Powinniśmy tu
tego typu. Co ciekawe, nigdzie w literaturze nie
wspomnieć, że inne znane metody zazwyczaj za-
udało się znalez
ć recepty postępowania w takich
wodzą, gdy natrafią na więcej niż jeden odstający
okolicznościach. Tymczasem problem jest ważny
pomiar albo gdy są tylko dwa  złe pomiary, ale
i wobec tego jest istotne, aby parametry określane
występujące kolejno.
na tej drodze były wiarygodne, tzn. miały rzetel-
Do stwierdzenia obecności oraz wykrywa-
nie określone niepewności.
nia pomiarów odstających możemy zastosować
Jako przykład omawianej sytuacji rozpa-
następującą procedurę: powtarzajmy poszukiwa-
trzmy proces, którego ewolucję opisuje wzór
nia zbioru rozwiązań zjednoczonych dla danego
zestawu pomiarów, używając osłabionego wa-
k

t
runku (13), tzn. godząc się z tym, że ów warunek
y(t) = A0 + Aj exp - , (21)
�j
może nie być spełniony przez niektóre pomiary.
j=1
[14] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
gdzie liczba różnych podprocesów, k, nie musi 12. Podsumowanie
być nawet dokładnie znana z góry, ale o których
Na prostym przykładzie pokazano, w jaki
można założyć, że charakteryzujące je (nieznane)
sposób analiza interwałowa może być użyteczna
czasy relaksacji �j są dobrze rozdzielone (wyraz
-
w obiektywnym, wiarygodnym i rzetelnym prze-
nie się różnią) oraz są uporządkowane w kolejno-
twarzaniu danych doświadczalnych. Przedsta-
ści rosnącej. Rejestrując przebieg takiego procesu,
wiona metoda radzi sobie z jednakową łatwością
zwłaszcza w okolicy t = 0, otrzymujemy
z klasycznym przypadkiem, kiedy niepewności po-
A1
y(t) H" y(0) - t, (22)
miarowe dotyczą tylko jednej ze zmiennych, jak
�1
i wtedy, kiedy obie zmienne obarczone są niepew-
tj. równanie linii prostej, o ile przebieg procesu
nością. Nie ma żadnej potrzeby ustalania wag dla
jest początkowo zdominowany przez podproces
poszczególnych pomiarów, zawsze mniej lub bar-
o najkrótszym czasie relaksacji. Równanie to jest
dziej arbitralnego. Przedziały, w których mieszczą
często używane przy badaniu kinetyki reakcji fo-
się wyniki są gwarantowane, tj. charakteryzują się
tochemicznych, rozpadu promieniotwórczego, re-
poziomem ufności równym dokładnie 100%.
laksacji w układach wielopoziomowych i innych
zjawisk. Wyrażenia o podobnym  asymptotycz-
Prezentowane podejście zostało w znacznym stop-
nym charakterze otrzymuje się m.in. dla po-
niu zainspirowane pracami polskiego matematyka pra-
czątkowej przenikalności materiałów ferromagne- cującego od lat w Holandii, Krzysztofa R. Apta,
w szczególności pracą [15]. Po przeczytaniu cytowa-
tycznych albo podatności paramagnetyków. We
nego artykułu autor zdał sobie sprawę, że częściowy
wszystkich takich przypadkach interesujące para-
porządek istniejący w zbiorze IR, który generowany
metry fizyczne są ukryte w równaniu linii pro-
jest przez relację inkluzji, jest jego fundamentalną wła-
stej stycznej do krzywej doświadczalnej. Jednym
ściwością. Metody interwałowe powinny w jak naj-
z nich jest temperatura Curie Weissa, niosąca in-
szerszym stopniu wykorzystywać tę cechę, tak jak
to jest w przypadku najbardziej znanego osiągnię-
formacje o rodzaju oddziaływań magnetycznych.
cia analizy przedziałowej  interwałowej wersji me-
Jak możemy otrzymać rzetelną ocenę parametrów
tody Newtona. Część interwałowa przedstawionych
tej prostej?
wyników numerycznych została otrzymana przy uży-
Przypuśćmy, że udało nam się znalez
ć po-
ciu INTLIB [19]  wolnodostępnej biblioteki napisanej
włokę interwałową rozwiązań zjednoczonych do-
w FORTRAN-ie 77. Praca jest częścią działalności sta-
brze opisujących n pierwszych punktów pomia-
tutowej autora w Instytucie Fizyki PAN.
rowych: (an, bn). Zastanówmy się, co się stanie,
kiedy wzbogacimy zestaw danych doświadczal-
Literatura
nych o kolejny punkt pomiarowy i spróbujemy
rozwiązać problem ponownie. Jest oczywiste, że
[1] N. Wiener, Proc. Cambridge Philos. Soc. 17, 441
jeśli tylko n+1 poprawnych pomiarów leży na linii (1914).
prostej, to otrzymamy (an+1, bn+1) ą" (an, bn). [2] N. Wiener, Proc. London Math. Soc. 19, 181 (1921).
Ta nieskomplikowana obserwacja jest jednocze- [3] A.D. Aleksandrow, Usp. Mat. Nauk 5, 187 (1950) 
śnie podstawą proponowanego sposobu postępo- wyniki wstępne, A.D. Aleksandrow, W.W. Owczin-
nikowa, Leningrad Uniw. Wiestnik 11, 94 (1953) 
wania: poczynając od dwóch pierwszych pomia-
pełny dowód; obydwie prace w języku rosyjskim.
rów (w tym przypadku rozwiązania zjednoczone
[4] http://www.math.psu.edu/dna/disasters/.
zawsze istnieją, patrz wzory (17) i (18)), znaj-
[5] R.E. Moore, Interval Analysis (Prentice Hall, Engle-
dujmy kolejne zbiory rozwiązań, za każdą próbą
wood Cliffs, NJ 1966).
wzbogacając zestaw danych o wynik kolejnego
[6] M. Warmus, Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. III 4, 253
pomiaru. Zakończmy, kiedy (an+1, bn+1) = ".
(1956); M. Warmus, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser.
Rozwiązaniem jest wówczas (an, bn). Oczywiście,
math., astr. et phys. 9, 241 (1961).
dane powinny być odpowiednio uporządkowane:
[7] W. Walster, korespondencja prywatna, za zgodą au-
albo w kolejności wzrastających, albo malejących
tora, sierpień 2001.
wartości x  stosownie do sytuacji.
[8] B. Kearfott, K. Du, Computing 9 (Suppl.), 117
Nakreślony sposób postępowania to w tej
(1992).
chwili jedynie szkic, który wymaga jeszcze staran-
[9] K. Du, R.B. Kearfott, Journal of Global Optimization
nego dopracowania. 5, 253 (1994).
POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE [15]
M.W. Gutowski  Prosta dostatecznie gruba
[10] S.P. Shary, Extended Abstracts APIC  95 (Interna- ment of Computer Science, University of Victoria,
tional Workshop on Applications of Interval Compu- BC, Canada; w sieci internetowej http://arXiv.org/
tations, El Paso, 23 25 lutego 1995), Reliable Com- abs/cs/0106008.
puting (Suppl.), s. 181.
[14] E.R. Hansen, Reliable Computing 3, 17 (1997).
[11] M.W. Gutowski, Reliable Computing, wysłane do [15] K.R. Apt, Theoretical Computer Science 221, 179
druku; tekst można znalez
ć pod adresem interneto- (1999).
wym: arXiv.org/abs/math/0108163.
[16] P.L. Jolivette, Computers in Physics 7, 208 (1993).
[12] G.W. Walster, w: Reliability in Computing, red. [17] Ch. Hu, A. Cardenas, S. Hoogendoorn, P. Sepulveda,
R.E. Moore (Academic Press Inc., San Diego, CA Jr., Reliable Computing 4, 27 (1998).
1988), s. 309.
[18] S. Markov, Y. Akyildiz, Journal of Universal Compu-
ter Science 2, 59 (1996).
[13] M.H. van Emden, praca prezentowana na konferen-
cji Sixth Annual Workshop of the ERCIM Working [19] R.B. Kearfott, M. Dawande, K. Du, Ch. Hu, ACM
Group on Constraints, 18 20 czerwca 2001, Uniwersy- Trans. Math. Software 20, 447 (1994).
tet Karola, Praga; także raport DCS-268-IR, Depart-
[16] POST
PY FIZYKI TOM 53 ROK 2002 MATERIAA
Y DODATKOWE