Wojciech Maćkowiak 20 maja 2004 roku
Analiza matematyczna III
1. Definicja metryki, kuli otwartej, zbioru ograniczonego, otwartego, domkniętego, punków skupienia, punktu wewnętrz-
nego, wnętrza zbioru, zbieżności ciągu w przestrzeni metrycznej.
2. Twierdzienie o jednoznaczności granicy ciągu, ograniczoności ciągu zbieżnego, dla punktu skupienia istnieje ciąg zbieżny
do niego, twierdzenie o zbieżnoÅ›ci (xn) ‚" Rk po współrzÄ™dnych .
3. Zbiór A ‚" (X, d) jest domkniÄ™ty Ð!Ò! "(a )‚"Aan a Ò! a " A.
n
4. Definicja ciągu Cauchy ego i przestrzeni zupełnej.
5. Jeżeli (xn) ‚" (X, d) jest zbieżny, to (xn) jest ciÄ…giem Cauchy ego.
6. Twierdzenie Cantora, w przestrzeni Rk każdy ciąg Cauchy ego jest zbieżny.
7. Definicja przestrzeni zwartej, zbioru zwartego.
8. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Zbiór a, b ‚" R jest zwarty.
9. Zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.
10. W przestrzeni Rn każdy zbiór domknięty i ograniczony jest zwarty. Każda przestrzeń (X, d) zwarta jest zupełna.
11. Definicja spójności przestrzeni.
12. Zbiór E ‚" R jest spójny Ð!Ò! jeżeli x, y " E oraz x < z < y, to z " E.
13. Definicja granicy, ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji w przestrzeniach metrycznych.
14. Funkcja f: X Y jest ciÄ…gÅ‚a Ð!Ò! "V ‚"Y f-1(V ) jest otwarty w X.
15. Twierdzenie o ciągłości złożenia funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych.
16. Jeżeli funkcja jest ciągła w przestrzeniach metrycznych, to obraz zbioru zwartego jest zwarty.
17. Jeżeli f: X Y jest ciągła i X jest zwarty, to f jest jednostajnie ciągła.
18. Jeżeli f: X Y jest 1-1 i ciągła, (X, d) jest zwarta, to f-1 jest ciągła.
19. Jeżeli f: X R jest ciągła i (X, d) jest spójna, to "x ,x2"X"y"(f(x ),f(x2))"x"(x ,x2)f(x) = y.
1 1 1
20. Jeżeli f: X Y jest ciągła i (X, d) jest spójna, to f(X) jest spójny.
21. Definicja punktowej i jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego.
22. Funkcja ´: B(X, Y ) × B(X, Y ) R, ´ (f1, f2) = supx"XdY (f1(x), f2(x)) jest metrykÄ… w B(X, Y ).
23. Jeżeli (fn) ‚" B(X, Y ) i fn Ò! f0, to f0 " B(X, Y ).
24. Jeżeli (Y, dY ) jest zupeÅ‚na, to (B(X, Y ), ´) jest zupeÅ‚na.
25. Warunki równoważne ciągłości i liniowości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych.
26. Jeżeli (Y, 2) jest zupełna, to (L(X, Y ), 1) jest zupełna.
27. Definicja pochodnej oraz różniczkowalności odwzorowania.
28. Twierdzenie o jednoznaczności istnienia pochodnej odwzorowania.
29. Jeżeli f: Rn Rm jest różniczkowalna w x0 " Rn, to f jest ciągła w x0.
n
30. Jeżeli f: Rn R i "x"R |f(x)| x 2, to f jest różniczkowalna w ¸.
31. Twierdzenie o addytywności i jednorodności pochodnej odwzorowania.
32. Twierdzenie o różniczkowalności złożenia odwzorowań różniczkowalnych.
33. Niech f: Rn Rm różniczkowalna w a " Rn, wtedy "i=1,...,mfi jest różniczkowalna w a.
34. Definicja pochodnej kierunkowej.
n
35. Jeżeli f: Rn Rm jest różn. w a, to "h"R "f (a) oraz fh(a) = Df(a)(h) = f (a) · h.
h
1
36. Jeżeli f: Rn Rm jest różn. w a, T : Rn Rm, T (h) = fh(a), to T " L(Rn, Rm).
37. Definicja pochodnej cząstkowej (względem zmiennej xi).
38. Postać macierzy Jacobiego przy różniczkowalności odwzorowania.
39. Jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe i są ciągłe w otoczeniu a, to f jest różn. w a.
40. Twierdzenie o wartości średniej.
41. Definicja funkcji klasy C1, homeomorfizmu, dyfeomorfizmu klasy C1.
42. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań różniczkowalnych.
43. Jeżeli f: G R, IntG = G ‚" R, oraz f " C1 i "x"Gf (x) = 0, to f jest różnowartoÅ›ciowa.
44. Definicja i twierdzenie o funkcji uwikłanej.
45. Twierdzenie o rzędzie.
46. Definicja różniczki, pochodnej i pochodnej cząstkowej drugiego rzędu.
47. Twierdzenie o symetryczności f (a).
48. Definicja pochodnej kierunkowej i pochodnych wyższych rzędów.
49. Jeżeli f: U R jest dwukrotnie różn. w a " U, to "h,k"R "fh,k(a) = f (a)(k, h).
n
"2f "2f
50. Jeżeli f: U R istnieją : U R ciągłe, to f jest dwukrotnie różn. w a oraz f (x)(ei, ej) = (x).
"xj"xi "xj"xi
51. Twierdzenie Schwartza.
"kfj
52. Odwzorowanie f: U R " Ck Ð!Ò! : U R sÄ… ciÄ…gÅ‚e.
"xik···"xi1
53. Twierdzenie Taylora.
54. Definicja ekstremum lokalnego, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji.
55. Definicja formy kwadratowej i jej określoność.
n
56. Forma kwadratowa T : Rn × Rn R dodatnio okreÅ›lona Ð!Ò! "c>0"h"R T (h, h) c h 2.
57. Kryterium Sylvestera dodatniej, ujemnej, niedodatniej, nieujemnej i nieokreślonej formy kwadratowej.
58. Jeżeli f ma w punkcie a minimum (maksimum) lokalne, to f (a) jest określona nieujemnie (niedodatnio).
59. Definicja ekstremum warunkowego (związanego), funkcji pomocniczej i mnożnika Lagrange a.
60. Warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum warunkowego.
61. Postać prostej, elipsy, okręgu, asteroidy, cykloidy, płaszczyzny; powierzchnie walcowe, obrotowe, elipsoida, hiperboloida
(jedno i dwupowłokowa) i paraboloida obrotowa, stożek obrotowy.
62. Definicja i postać stycznej do powierzchni, wektora i prostej normalnej, hiperpłaszczyzny stycznej do powierzchni.
63. Definicja odwzorowania i dyfeomorfizmu gładkiego, rozmaitości k-wymiarowej, układu współrzędnych i parametryzacji,
przestrzeni i wiązki stycznej do rozmaitości, pochodnej określonej na rozmaitościach.
64. Definicja półprzestrzeni Rn i jej brzegu, k-wymiarowej rozmaitości z brzegiem i przestrzeni do niej stycznej.
+
65. Definicja zbioru mierzalnego w sensie Jordana, obszaru wielokÄ…tnego.
66. Zbiór A jest mierzalny w sensie Jordana Ð!Ò! " >0"S,T wielokÄ…ty S ‚" A ‚" T oraz |S| - |T | < .
67. Zbiór A jest mierzalny w sensie Jordana Ð!Ò! jego kontur ma miarÄ™ zero.
68. Definicja caÅ‚ki podwójnej. CaÅ‚ka podwójna istenieje Ð!Ò! lim0(S - s) = 0.
69. Każda funkcja ciągła na zbiorze A mierzalnym w sensie Jordana jest całkowalna.
70. Jeżeli f jest nieciągła w punktach leżących na co najwyżej skończonej ilości krzywych o polu 0, to jest całkowalna.
Suma pól mających punkty wspólne z krzywą o polu 0 jest mniejsza od .
71. Własności całki podwójnej:
zmiana wartości funkcji wzdłóż krzywej o polu 0 nie zmieni całki; addytywność i jednorod-
ność całki; f(x, y)dxdy |f(x, y)|dxdy; twierdzenie całkowe o wartości średniej.
A A
2
72. Twierdzenie o istnieniu całki iterowanej na obszarze prostokątnym i normalnym.
73. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej.
74. Zastosowanie całki podwójnej: obliczanie objętości, pole płata gładkiego.
75. Całka podwójna i wielokrotna: całka iterowana, zamiana zmiennych, zastosowanie.
76. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej na płaszczyznie i w przestrzeni.
77. Twierdzenia o obliczaniu całek krzywoliniowych.
78. Definicja całki powierzchniowej i jej obliczanie.
79. Definicja k-tensora, różniczki, iloczynu tensorowego, antysymterycznego, alternacji tensora.
80. Definicja k-formy różniczkowej, ciągłej, przestrzeni tych form, iloczynu zewnętrznego.
81. Definicja pola wektorowego, gradientu, dywergencji, rotacji.
82. Definicja operacji przenoszenia k-formy różniczkowej f": Fk(Rm ) Fk(Rn) i jej własności.
p
f(p)
83. Definicja różniczki formy d: Fk(Rn) Fk+1(Rn) i jej własności.
84. Definicja n-kostki (singularnej), caÅ‚ki formy É na n-kostce (singlularnej).
n
85. Definicja n-łańcucha, jego brzegu, I(i,ą) ścianki.
86. Twierdzenie Stokesa: jeżeli É jest n - 1-formÄ… na V ‚" Rn i c jest n-Å‚aÅ„cuchem, to dÉ = É.
c "c
87. Definicja pola wektorowego i k-formy różniczkowej, jej przenoszenia i różniczki na rozmaitościach.
88. Definicja orientacji, rozmaitości orientowalnej, zorientowanej dodatnio, orientacja (indukowana) brzegu.
89. Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach, wnioski Greena i Gaussa-Ostrogradskiego.
90. P dx + Qdy nie zależy od wyboru jednostki à = AB w R2 Ð!Ò! dÉ = 0 (analogicznie dla 1-formy na R3).
Ã
91. Definicja ciaÅ‚a i Ã-ciaÅ‚a zbiorów, (przeliczalnie) addytywnej funkcji zbioru, miary i zbiorów mierzalnych.
92. Miara µ na M Ã-ciele jest niemalejÄ…ca, "(A )‚"M µ An µ(An).
n n"N n"N
93. Definicja miary zupeÅ‚nej, miary zewnÄ™trznej Caratheodory ego µ".
94. Jeżeli M speÅ‚nia "Z"P(X)µ"(Z) = µ"(Z )" A) + µ"(Z \ A), to M Ã-ciaÅ‚o oraz µ = µ"|M miara zupeÅ‚na na M.
95. Definicja miary zewnętrznej Lebesgue a (m") i miary Lebesgue a (mk).
k
96. Miara zewnÄ™trzna Lebesgue a jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ… Carathelolory ego i jest Ã-skoÅ„czona.
97. Dla każdego przedziaÅ‚u P ‚" Rk ograniczonego m"(P ) = ½(P ).
k
98. Każdy niepusty przedziaÅ‚ otwarty P ‚" Rk jest mierzalny w sensie Lebesgue a.
99. Definicja zbiorów FÃ, G´, zbiorów borelowskich.
100. Warunki równoważne mierzalności zbioru w sensie Lebesgue a.
101. Definicja funkcji mierzalnej i warunki jej równoważne, definicja funkcji prostej, funkcji równoważnych.
102. Jeżeli f, (fn)n"N sÄ… mierzalne, to funkcje |f|, g, d, s, i oraz F (f(x), g(x)), f Ä… g, f · g też sÄ… mierzalne.
Å»
103. Twierdzenie o istnieniu ciągu funkcji prostych zbieżnego punktowo lub jednostajnie do f: E R.
Å»
104. Jeżeli f: E R mierzalna to funkcja jej równoważna też jest mierzalna.
105. Definicja całki Lebesgue a i jej własności.
Å»
106. Jeżeli f: E R mierzalna, M A = An, "n =m"NAn )" Am = ", to f(x)dµ = f(x)dµ.
n"N n"N
A An
107. Jeżeli f(x) 0 dla x " A " M, to f(x)dµ = Ð!Ò! f(x) = 0 µ prawie wszÄ™dzie.
A
108. Jeżeli f " L(µ) na zbiorze A, to |f| " L(µ) na zbiorze A oraz | f(x)dµ| |f(x)|dµ.
A A
109. Jeżeli f " L(µ) na zbiorze A " M, to f jest µ prawie wszÄ™dzie skoÅ„czona.
110. Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej.
111. Jeżeli h = f + g, f, g " L(µ) na zbiorze E " M, to h " L(µ) na zbiorze E oraz h(x)dµ = f(x)dµ + g(x)dµ.
E E E
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza Matematyczna 2 ZadaniaanalizaANALIZA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW POMIAROWYCH — MSEAnaliza stat ścianki szczelnejAnaliza 1Analiza?N Ocena dzialan na rzecz?zpieczenstwa energetycznego dostawy gazu listopad 09Analizowanie działania układów mikroprocesorowychAnaliza samobójstw w materiale sekcyjnym Zakładu Medycyny Sądowej AMB w latach 1990 2003Analiza ekonomiczna spółki Centrum Klima S Aroprm ćwiczenie 6 PROGRAMOWANIE ROBOTA Z UWZGLĘDNIENIEM ANALIZY OBRAZU ARLANGFinanse Finanse zakładów ubezpieczeń Analiza sytuacji ekonom finansowa (50 str )analiza algorytmowANALIZA GRAFOLOGICZNA(1)Analiza zależności dwóch cech statystycznych ilościowychPrzyczynek do analizy polozenia17 Iskra Joanna Analiza wartości hemoglobiny glikowanej HbPraca mag Interaktywny system regułowej analizy danych marketingowych dotyczących satysfakcji klieanaliza wektorowawięcej podobnych podstron