R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
20. nodarb%2łba
1 x
#
1. piemrs. Atrast f ; 3ś# un f (1; -1), ja f (x, y)= xy + .
ś# ź#
2 y
# #
1 1
#
Apr7inot f ; 3ś# , dotaj funkcij jievieto x = , y = 3 :
ś# ź#
2 2
# #
1
1 1 3 1 5
#
2
f ; 3ś# = "3+ = + = .
ś# ź#
2 2 3 2 6 3
# #
Lai apr7intu f (1; -1), ievietosim x = 1, y = -1:
1
f (1; -1) =1"(-1)+ = -2.
-1
# ś# x2 - y2
1 1 1
2. piemrs. Atrast f (y, x), f (- x,-y), f ś# , ź# , , ja f (x, y)= .
ś# ź#
x y f (x, y) 2xy
# #
y2 - x2
" f (y, x) = = - f (x, y).
2yx
2 2
(- x) - (- y) x2 - y2
" f (- x,- y) = = = f (x, y).
2(- x)(- y) 2xy
2
2
# ś# - x2
1 1
# ś# y2
ś# ź# - ś# ź#
ś# ź#
# ś# x y
1 1 x2 y2 (y2 - x2)xy y2 - x2
# #
# #
" f ś# , ź# = = = = = - f (x, y).
ś# ź#
1 1 2
x y 2x2 y2 2xy
# #
2 " "
x y xy
1 1 2xy
" = = .
f (x, y) x2 - y2 x2 - y2
2xy
3. piemrs. Atrast un attlot funkcijas z = x2 - 4 + 4 - y2 defin%2łcijas apgabalu.
Funkcija ir definta, ja izpilds neviend%2łbas
20. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
ż# x "(- "; - 2]*"[2; + ").
ż# - 4 e" 0 x2 e" 4
x2
# #
2
y "[- 2; 2]
#4 - y2 e" 0 #y d" 4
Funkcijas defin%2łcijas apgabals ir pard%2łts 1. z%2łmjum. Tas sastv no divm joslm.
y
2
-2 O 2 x
-2
1. z%2łm.
4. piemrs. Atrast un uzz%2łmt funkcijas z = xy l%2łmeFl%2łnijas.
L%2łmeFl%2łniju viendojums ir xy = C . Kpinot abas puses kvadrt, iegkstam
2
C
xy = C2 y = . L%2łmeFl%2łnijas da~dm C vrt%2łbm, t.i., C = 1, C = 2 un C = 3
x
pard%2łtas 2. z%2łmjum.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
2. z%2łm.
20. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
5x - 7
5. piemrs. Noteikt funkcijas z = x3e-2xy + parcilos atvasinjumus.
y2 + 3
Dots funkcijas otro saskaitmo prrakst%2łsim savdk:
1
-
2
z = x3e-2xy + (5x - 7)"(y2 + 3) .
Tad
1
- 5
2
2
zx = 3x2e-2xy + x3e-2xy "(- 2y)+ 5(y2 + 3) = e-2xy(3x2 - 2x3 y)+ ;
y2 + 3
3
1
# ś# - y(5x - 7)
2
2
zy = x3e-2xy "(- 2x)+ (5x - 7)" (y2 + 3) " 2y = -2x4e-2xy - .
ś#- ź#
3
2
# #
(y2 + 3)
6. piemrs. Noteikt funkcijas z = arcsin 6x - xy3 + ctg2(2y3)- 4sin x parcilos
atvasinjumus.
1
1 1 -
2
2
zx = " (6x - xy3) "(6 - y3)- 4sin x ln 4 " cos x =
2
2
1-( 6x - xy3)
6 - y3
= - 4sin x ln 4 " cos x ;
2 (1- 6x + xy3)(6x - xy3)
1
1 1 - # ś#
1
2
2
zy = " (6x - xy3) "(- 3xy2)+ 2ctg(2y3)" ś#-
ś# 2 ź#
2
2 sin (2y3)ź# " 6y2 =
# #
1-( 6x - xy3)
3xy2 12y2ctg(2y3).
= - -
2
sin (2y3)
2 (1- 6x + xy3)(6x - xy3)
7. piemrs. Atrast funkcijas u = ln(xy + z) parcilos atvasinjumus punkt (1; 2; 0).
"u 1 y "u(1; 2; 0) 2
= "(xy + z)2 x = ! = =1,
"x xy + z xy + z "x 1" 2 + 0
"u 1 x "u(1; 2; 0) 1 1
= "(xy + z)2 y = ! = = ,
"y xy + z xy + z "y 1" 2 + 0 2
20. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
"u 1 1 "u(1; 2; 0) 1 1
= "(xy + z)2 z = ! = = .
"z xy + z xy + z "z 1" 2 + 0 2
8. piemrs. Noteikt visus pirms krtas parcilos atvasinjumus funkcijai
x + y 1
x ś#
u = arctg + (y + ln z) - sin3#1+
ś# ź#
1- xy 3z
# #
Atvasinot funkciju parcili pc x, uzskata, ka y un z ir konstantes:
1 1- xy - (x + y)(- y)
x
2
ux = " + (y + ln z) ln(y + ln z) =
2 2
(1- xy)
# ś#
x + y
1+ ś# ź#
ś#1- xy ź#
# #
1+ y2
x
= + (y + ln z) ln(y + ln z).
2 2
(1- xy) + (x + y)
Parcilo atvasinjumu pc y atrod, uzskatot par konstantm x un z:
1 1- xy - (x + y)(- x)
x-1
2
uy = " + x(y + ln z) =
2 2
(1- xy)
# ś#
x + y
1+ ś# ź#
ś#1- xy ź#
# #
1+ x2
x-1
= + x(y + ln z) .
2 2
(1- xy) + (x + y)
Atvasinot parcili pc z, par konstantm uzskata x un y:
1 1 1 1
x-1 #1+ ś#cos#1+ ś#
2
2
uz = x(y + ln z) " - 3sin " (- z-2)=
ś# ź# ś# ź#
z 3z 3z 3
# # # #
x 1 1 1
x-1
= (y + ln z) + sin2 #1+ ś#cos#1+ ś# .
ś# ź# ś# ź#
z z2 3z 3z
# # # #
2
(x + y)
9. piemrs. Noteikt funkcijas z = pilno diferencili.
x + 3
Vispirms noteiksim dots funkcijas parcialos atvasinjumus. Atvasinjumu pc x
meklsim pc dal%2łjuma atvasinjuma formulas:
20. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
2(x + y)(x + 3)- (x + y) "1 2x2 + 6x + 2xy + 6y - x2 - 2xy - y2 x2 - y2 + 6x + 6y
2
zx = = =
2 3 2
(x + 3) (x + 3) (x + 3)
Parcili atvasinot pc y, saucjs ir konstante, l%2łdz ar to jatvasina tikai skait%2łtjs:
2(x + y)
2
zy = .
x + 3
2 2
Atliek aos atvasinjumus ievietot piln diferenci<a formul dz = zxdx + zydy :
x2 - y2 + 6x + 6y 2(x + y)dy .
dz = dx +
2
x + 3
(x + 3)
x
10. piemrs. Noteikt funkcijas z = + 1+ ln2(x + 5y) pilno diferencili.
1- cos y
Doto funkciju prrakst%2łsim adi:
1
-1
2
z = x(1- cos y) + (1+ ln2(x + 5y)) .
Dots funkcijas parcilie atvasinjumi:
1
1 - 1
-1
2
2
zx = (1- cos y) + (1+ ln2(x + 5y)) " 2ln(x + 5y)" "1 =
2 x + 5y
1 ln(x + 5y)
= + ;
1- cos y
(x + 5y) 1+ ln2(x + 5y)
1
1 - 1
-2
2
2
zy = -x(1- cos y) " sin y + (1+ ln2(x + 5y)) " 2ln(x + 5y)" " 5 =
2 x + 5y
xsin y 5ln(x + 5y).
= - +
1- cos y
(x + 5y) 1+ ln2(x + 5y)
Dots funkcijas pilnais diferencilis:
# ś#
1 ln(x + 5y)
ś# ź#dx +
dz = +
ś#1- cos y + 5y) 1+ ln2(x + 5y) ź#
(x
# #
# ś#
ś#- xsin y + 5ln(x + 5y) ź#dy .
+
ś# ź#
1- cos y
(x + 5y) 1+ ln2(x + 5y)
# #
20. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1+ ex xx
11. piemrs. Noteikt funkcijas u(x, y, z) = + 2ln - xe2z (cos y + sin z) pilno
1- e- y
diferencili.
Noteiksim dots funkcijas visus pirms krtas parcilos atvasinjumus (pirmo saskaitmo
-1
prrakst%2łsim k (1+ ex)(1- e- y ) ):
1
x 1" ln x - x "
-1
x
2
ux = ex(1- e- y ) + 2ln x ln 2 " - e2z (cos y + sin z) =
ln2 x
ex xx ln x -1
= + 2ln ln 2 " - e2z (cos y + sin z);
1- e- y ln2 x
-2 (1+ ex)e- y
2
uy = -(1+ ex)(1- e- y ) "(- e- y )"(-1)- xe2z (- sin y) = - + xe2z sin y ;
2
(1- e- y )
2
uz = -xe2z " 2(cos y + sin z)- xe2z cos z = -xe2z (2cos y + 2sin z + cos z).
Dots funkcijas pilnais diferencilis ir
y
# ś#
#
ex xx ln x -1 (1+
ś#- ex)e- xe2z sin yź#dy -
ś# ź#
du = (cos +
2
ś#1- e- y + 2ln ln 2 " x - e2z y + sin z)ś#dx +
ź#
ś# ź#
ln2
(1- e- y )
# #
# #
- xe2z (2cos y + 2sin z + cos z)dz .
12. piemrs. Pierd%2łt, ka funkcija z = ln(x2 + xy + y2) apmierina viendojumu
"z "z
x + y = 2 .
"x "y
Atrad%2łsim funkcijas z = ln(x2 + xy + y2) parcilos atvasinjumus pc x un pc y:
"z 2x + y "z x + 2y
= , = .
"x x2 + xy + y2 "y x2 + xy + y2
Ievietojot atvasinjumus viendojum, iegkstam
?
2x + y x + 2y
x " + y " =2 ,
x2 + xy + y2 x2 + xy + y2
20. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2x2 + xy + xy + 2y2 ?
=2 ,
x2 + xy + y2
?
2(x2 + xy + y2)
=2 2 = 2.
x2 + xy + y2
x - y t - x
13. piemrs. Pierd%2łt, ka funkcija u = + apmierina viendojumu
z - t y - z
"u "u "u "u
+ + + = 0 .
"x "y "z "t
Atrad%2łsim funkcijas visus pirms krtas parcilos atvasinjumus:
"u 1 -1 "u -1 1 t - x
-2
= + , = + (t - x)"(-1)(y - z) = - - ,
2
"x z - t y - z "y z - t z - t - z)
(y
"u x - y t - x
-2 -2
= (x - y)"(-1)(z - t) + (t - x)"(-1)(y - z) "(-1) = - + ,
2 2
"z
(z - t) (y - z)
"u 1 x - y 1
-2
= (x - y)"(-1)(z - t) "(-1)+ = + .
2
"t y - z - t) - z
y
(z
Parcilos atvasinjumus ievietosim dotaj viendojum:
?
1 1 1 t - x x - y t - x x - y 1
- - - - + + + = 0 ,
2 2 2 2
z - t y - z z - t - z) (z - t) (y - z) (z - t) - z
y
(y
0 = 0 .
20. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka