Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa II,
cz¸Å›Ä‡ pierwsza (3 III 2008)
e
1. X, X1, X2, . . . i Y, Y1, Y2, . . . s¸ rzeczywistymi zmiennymi losowymi, przy
a
czym I (X = 0) = 1, zaÅ› Y ma rozk wyk
P lad ladniczy z parametrem 1. Z kolei
(an)" jest ciagiem liczb rzeczywistych.
¸
n=1
a) Czy z tego, że ciag (an)" zbiega do a " I i (Xn)" zbiega wed rozk
¸ R lug ladu
n=1 n=1
do X, gdy n - ", wynika, że limn" I (Xn d" an) = I (X d" a)?
P P
b) Czy z tego, że ciag (an)" zbiega do a " I i (Yn)" zbiega wed rozk
¸ R lug ladu
n=1 n=1
do Y, gdy n - ", wynika, że limn" I (Yn d" an) = I (Y d" a)?
P P
2. Rzeczywiste zmienne losowe X1, X2, . . . określone na tej samej przestrzeni
probabilistycznej s¸ niezależne i wszystkie maj¸ taki sam rozk Ponadto
a a
n lad.
wiemy, że ciag (Zn)" , zadany wzorem Zn = n-1/4 · Xk, jest zbieżny
¸
n=1 k=1
wed rozk do pewnej rzeczywistej zmiennej losowej Z, gdy n - ". Czy
lug ladu
wynika st¸ że I (Z = 0) = 1?
ad, P
3. Ciag (Xn, Fn)" jest martynga określonym na pewnej przestrzeni pro-
¸ lem
n=1
babilistycznej (&!, F, I ), zaÅ› (Gn)" jest jego filtracj¸ minimaln¸ to znaczy
P a a,
n=1
Gn = Ã(X1, X2, . . . , Xn) dla n = 1, 2, . . . Czy wynika st¸ że ciag (Xn, Gn)"
ad, ¸
n=1
też jest martynga
lem?
Prosz¸ wszystko dok uzasadniać!
e ladnie
Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa II,
cz¸Å›Ä‡ druga (3 III 2008)
e
4. (Xt)" jest jednorodnym lańcuchem Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, . . . , k},

t=0
okreÅ›lonym na przestrzeni probabilistycznej (&!, F, I ), zaÅ› A jest jego macierz¸
P a
przejÅ›cia. Niech (Yt)" b¸ ciagiem zmiennych losowych rzeczywistych okre-
edzie ¸
t=0
ślonych na (&!, F, I ) zadanym wzorem Yt = Xt2 dla t = 0, 1, 2, . . .
P
a) Czy wynika st¸ że (Yt)" też spe warunek Markowa?
ad, lnia
t=0
b) Czy wynika st¸ że (Yt)" też jest jednorodnym laÅ„cuchem Markowa?
ad,
t=0
5. Prosz¸ udowodnić, że jeÅ›li ciag rzeczywistych zmiennych losowych (Xn)"
e ¸
n=1
jest zbieżny wed rozk gdy n - ", to ciag rozk (µX )" jest
lug ladu, ¸ ladów
n n=1
j¸
edrny.
Prosz¸ wszystko dok uzasadniać!
e ladnie