PODSTAWY ANALIZY
materiały pomocnicze do wykładu
2012/2013
Jest to konspekt wykładu z analizy matematycznej dla 1. semestru
studiów na Wydziale Inżynierii Lądowej.
Został on przygotowany w dwóch celach:
1. żeby słuchacze nie musieli wszystkiego przepisywać z tablicy, a mogli
więcej uwagi poświęcić wyjaśnieniom, komentarzom, przykładom oma-
wianym przez wykładowcę i to ewentualnie notować;
2. żeby podstawowe definicje, twierdzenia, schematy dowodów były
dostępne w prawidłowej postaci  z praktyki wiadomo, że w pośpiechu
robione notatki zawierają dużo błędów.
Konspekt zawiera tylko część informacji podawanej na wykładzie.
Lektura konspektu nie może zastąpić uczestnictwa w wykładach.
Mamy nadzieję, że korzystanie z konspektu pomoże w zrozumieniu i
nauczeniu się podstaw analizy matematycznej.
życzymy czytelnikom powodzenia, a chwilami może i satysfakcji.
Rozszerzenie materiału ujętego w tym konspekcie, z kompletnymi dowodami twierdzeń,
licznymi przykładami, uzupełnieniami, komentarzami, zawarte jest w skrypcie autorstwa
K. Litewskiej i J. Muszyńskiego pt. Matematyka, tom 1.
Dużą ilość przykładowych zadań i zadań do samodzielnego rozwiązania można znalez
ć
w skrypcie autorstwa T. Kowalskiego, J. Muszyńskiego i W. Sadkowskiego pt. Zbiór zadań
z matematyki, tom 1.
Obydwa skrypty wydane są przez Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej (Seria
Wydziału Inżynierii Lądowej).
1 Wstęp
1.1 Zbiory
Pojęcia zbioru, elementu, należenia elementu do zbioru są pojęciami pierwotnymi.
Rozważając zbiory zawsze ustalamy konkretny zbiór, który je wszystkie zawiera i
nazywamy go przestrzenią  na ogół oznaczamy go przez X . Takie ograniczenie
jest konieczne, bo nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów i w związku z tym nie można
przyjmować, że wszystko jest zawarte w jakimś uniwersalnym zbiorze.
Zbiór określamy podając jego wszystkie elementy (możliwe dla zbiorów skończonych)
lub określając własność, której spełnienie wyróżnia zbiór interesujących nas elementów
spośród wszystkich elementów przestrzeni, np.
A = {a1 , a2 , a3} , A = {x " R : x > 2}
1
Definicja 1.1 (Zawieranie zbiorów)
A �" B �! ( "a " A ) a " B
Definicja 1.2 (Suma, przekrój, różnica zbiorów)
A *" B = {x " X : (x " A) (" (x " B)}
A )" B = {x " X : (x " A) '" (x " B)}
A \ B = {x " X : (x " A) '" (x " B)}
/
Różnicę X \ A , czyli zbiór punktów przestrzeni X , które nie należą do zbioru A , nazywa
się uzupełnieniem zbioru A .
Definicja 1.3 (Suma i przekrój dowolnej rodziny zbiorów)

Xą = {x " X : (" ą " A) x " Xą}
ą"A

Xą = {x " X : ("ą " A) x " Xą}
ą"A
Przykład 1.1

"

1 2
1. 1 - , 1 = , 1
k 3
k=3

"

1 2
2. 1 - , 1 + = {1}
k k
k=1
Definicja 1.4 (Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów)
X1 � X2 � . . . � Xn = { (x1 , x2 , . . . , xn) : x1 " X1 , x2 " X2 , . . . xn " Xn }
1.2 Zbiory liczb
Oznaczenia:
N  zbiór liczb naturalnych; Z  zbiór liczb całkowitych;
Q  zbiór liczb wymiernych; R  zbiór liczb rzeczywistych;
C  zbiór liczb zespolonych.
Twierdzenie 1.1 Jeśli a , b " R i a < b , to istnieją liczby q " Q oraz r " R \ Q takie,
że a < q < b oraz a < r < b .
1.3 Kresy zbioru liczbowego
Definicja 1.5 (Zbiory ograniczone) Zbiór A �" R nazywa się:
1. ograniczonym z góry, jeśli ("v " R) ("a " A) a v  każdą taką liczbę v
nazywa się ograniczeniem górnym zbioru A ;
2
2. ograniczonym z dołu, jeśli ("u " R) ("a " A) a v  każdą taką liczbę v
nazywa się ograniczeniem dolnym zbioru A ;
3. ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i ograniczony z dołu.
Zbiór A �" R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieje przedział [u , v] taki, że
A �" [u , v] .
Definicja 1.6 (Kres górny i dolny)
Niech zbiór A będzie ograniczony z góry.

1. ("z " A) z g
sup A = g �!
2. ("� > 0)("z� " A) z� > g - �
Niech zbiór A będzie ograniczony z dołu.

1. ("z " A) z h
inf A = h �!
2. ("� > 0)("z� " A) z� < h + �
Kres górny zbioru (sup A) jest jego najmniejszym ograniczeniem górnym, a kres dolny
(inf A) jego największym ograniczeniem dolnym.
Przykład 1.2 Znalez
ć kresy górne i dolne podanych zbiorów.
" A = (0, 1) )" Q

n
" B = , n " N
2n+1
�ł �ł
�ł łł
" C = (-1)n 0. 3 . . . 3 , n " N

n

" D = x ; x3 - 6x2 + 11x - 6 < 0
Przykład 1.3 Znalez
ć

1
inf x + : x " R+
x
Jeśli zbiór A nie jest ograniczony z góry lub z dołu, to piszemy odpowiednio sup A = "
lub inf A = -" .
Definicja 1.7 (Maksimum i minimum zbioru liczbowego)
" Jeśli sup A " A , to mówimy, że zbiór ma maksimum i oznaczamy max A = sup A .
" Jeśli inf A " A , to mówimy, że zbiór ma minimum i oznaczamy min A = inf A .
Przykład 1.4
1. sup [0 , 1) = 1 , min [0 , 1) = 0

n n 1
2. sup : n " N = 1 ; min : n " N =
n+1 n+1 2
3. sup Q = " ; inf Q = -"
Kresami górnym i dolnym funkcji nazywamy odpowiednio kresy górny i dolny zbioru
jej wartości. Niech f : Df R .
sup f = sup{f(x) ; x " Df } , inf f = inf{f(x) ; x " Df }
Analogicznie określamy maksimum i minimum funkcji.
3
2 Ciągi liczbowe
Definicja 2.1 (Ciągi liczbowe) Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję, która
odwzorowuje zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb (rzeczywistych, zespolonych), czyli
f : N R lub f : N C .
Tradycyjnie elementy ciągu oznacza się an = f(n) , a ciąg {an}" lub {an} .
n=1
Przykład 2.1 Podać pięć pierwszych wyrazów ciągu określonego wzorem:

n+10
1. an =
n+1
"
n
2. bn = n
"
"
3. c1 = 2 , cn+1 = 2 + cn
Definicja 2.2 (Ciąg ograniczony) Ciąg liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym,
jeżeli zbiór jego wartości {an} ; n " N jest zbiorem ograniczonym w R.
Definicja 2.3 (Granica ciągu liczbowego)
lim an = g �! ("� > 0)("n� " N )("n > n�) |an - g| < �
n"
Geometrycznie zbieżność ciągu do granicy g oznacza , że w dowolnym otwartym przedziale
wokół g znajdują się prawie wszystkie (wszystkie poza skończoną liczbą) elementy ciągu
{an}.
Przykład 2.2 Na podstawie definicji granicy ciągu uzasadnić, że:
2n
1. lim = 2
n+1
n"
2. lim logn 3 = 0
n"
Definicja 2.4 Sumą ciągów {an} i {bn} nazywamy ciąg {an +bn} . Podobnie określamy
iloczyn ciągu przez liczbę {s � an} , iloczyn dwóch ciągów {an bn} , oraz iloraz {an } - w tym
bn
ostatnim przypadku wyrazy {bn} muszą być różne od zera.
Twierdzenie 2.1 (Własności ciągów zbieżnych) Niech lim an = a , lim bn = b .
n" n"
Wtedy istnieją granice lim (an ą bn) oraz lim (an � bn) i zachodzą wzory
n" n"
lim (an ą bn) = a ą b , lim (an � bn) = a � b
n" n"
an
Jeśli ponadto b = 0 , to istnieje granica lim i

bn
n"
an a
lim =
n"
bn b
(po lewej stronie uwzględniamy tylko ułamki, dla których bn = 0 ).

Przykład 2.3 Na podstawie definicji granicy ciągu oraz powyższych własności uzasadnić,
że nie istnieje lim sin n
n"
4
Lemat 2.1 Niech ("n) an 0 . Jeśli granica ciągu {an}" istnieje, to lim an 0 .
n=1
n"
Twierdzenie 2.2 (O zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy)
Jeśli ("n " N ) an bn , lim an = a , lim bn = b , to a b .
n" n"
Uwaga 2.1 Silna nierówność między wyrazami ciągu an < bn nie implikuje silnej
nierówności między granicami, a jedynie słabą a b.
Lemat 2.2 Niech ("n " N ) 0 an bn oraz lim bn = 0 . Wtedy lim an = 0 .
n" n"
Dowód: Z założeń wynika, że
("� > 0)("n�)("n > n�) |bn| < �
Ponieważ |an| |bn| , więc
("� > 0)("n�)("n > n�) |an| < �
a to oznacza, że lim an = 0 .
n"
e&
Twierdzenie 2.3 (O trzech ciągach) Niech ("n " N ) an bn cn
oraz lim an = lim cn = a . Wtedy lim bn = a .
n" n" n"
Dowód: Z założeń i twierdzenia 2.1 mamy
("n " N ) 0 bn - an cn - an oraz lim (cn - an) = 0
n"
Z lematu 2.2 wynika, że lim (bn - an) = 0 , czyli lim bn = lim an = a .
n" n" n"
e&
Twierdzenie 2.4 Dane są dwa ciągi ograniczone {an} i {bn}, przy czym lim an = 0 .
n"
Wtedy istnieje lim an bn i lim an bn = 0.
n" n"
Przykład 2.4
sin n! arctg n
lim = 0 , lim " = 0
n" n"
n + 1 n
"
n
Przykład 2.5 lim n = 1 .
n"
"
n
Dowód: Oznaczmy bn = n - 1 .

n n n
n = (1 + bn)n = 1 + bn + b2 + . . . + bn
n n
1 2 n
n
Ponieważ bn 0 więc n 1 + b2 . Stąd
n
2

2 2
0 b2 i 0 bn
n
n n
"
n
Z twierdzenia o trzech ciągach lim bn = 0 , czyli lim n = 1 .
n" n"
e&
5
"
n
Przykład 2.6 ("a > 0) lim a = 1 .
n"
Dowód: Dla a 1 równość wynika z poprzedniego przykładu i twierdzenia o trzech
ciągach, ponieważ nierówności
" "
n n
1 a n
są prawdziwe dla n a .

1 n 1
Dla 0 < a < 1 mamy > 1 , a więc z pierwszej części dowodu lim = 1 , skąd
a a
n"
"
n
lim a = 1 .
n"
e&


an+1
Twierdzenie 2.5 Niech {an} będzie ciągiem takim, że lim = q.
an
n"
Jeżeli q < 1, to lim an = 0
n"
1+q
Dowód: Wez
my r = .
2
Z definicji granicy wynika, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaz
niku większym od pewnego
n0 spełniają nierówność |an+1| < r |an|. Stąd dla dowolnej liczby naturalnej k
0 |an0+k| rk |an0|.
Przy k zbieżnym do nieskończoności otrzymujemy tezę.
e&
Przykład 2.7 Korzystając z powyższych twierdzeń uzasadnić, że:
"
n
1. lim 3n + 4n = 4
n"
"
n
2. lim 8n - 4n = 8
n"

1 1 1
3. lim + � � � + = 0
n2+1 n2+2 n2+n
n"
2n
4. lim = 0
n!
n"
nk
5. "a > 1, "k " N : lim = 0
an
n"
Lemat 2.3 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dowód: Niech ciąg będzie niemalejący, tzn.
("n " N ) an an+1
Zbiór wyrazów ciągu{an} jest ograniczony, a więc istnieje a = sup{an : n " N } .
Na mocy definicji supremum mamy
("n " N ) an a oraz ("� > 0)("an�) a - � < an�
Dzięki monotoniczności ("n > n�) an an� , a więc
("� > 0)("n�)("n > n�) a - � < an a < a + �
a to oznacza, że lim an = a .
n"
Dla ciągu nierosnącego dowód jest analogiczny.
e&
6
Przykład 2.8 Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu zadanego rekurencyjnie
"
"
a1 = 2 , an+1 = 2 + an , n " N
n
1
Przykład 2.9 (Liczba e ) Ciąg o wyrazach an = 1 + jest zbieżny. Granicę tego
n
ciągu nazywa się stałą Eulera i oznacza e . Jest ona podstawą logarytmów naturalnych. W
przybliżeniu e = 2 , 71828 . . .
Dowód zbieżności:
n "
1
1. Ciąg 1 + jest ograniczony.
n
n=1

n
1 n 1 n 1 n 1
an = 1 + = 1 + + + . . . + =
n 1 n 2 n2 n nn

1 2 1 n-1
1
1 - 1 - 1 - . . . 1 -
1 -
n n n n
n
= 2 + + + . . . +
2! 3! n!
Stąd
1 1 1 1 1 1 1
an 2 + + + . . . + 2 + + + . . . + = 3 -
2! 3! n! 2 22 2n-1 2n
i mamy ("n) 2 an < 3 .
n "
1
2. Ciąg 1 + jest monotoniczny. Skorzystamy z nierówności Bernoulliego:
n
n=1
(1 + x)m > 1 + mx , gdzie m > 1, m " N oraz x > -1, x = 0. Przyjmujemy:

1
m = n + 1 , x = - i otrzymujemy:
(n+1)2
n+1
1 n+1
an+1 1 + n + 1 1 n + 1 n + 1
n+1
n
= = 1 - > 1 - = 1
1
an n (n + 1)2 n (n + 1)2
1 +
n
Zatem ciąg jest rosnący.
Ciąg jest ograniczony i monotoniczny, więc zbieżny.
e&
n "
1
Uwaga 2.2 Ciąg 1 + jest rosnący, więc
n
n=1
n
1
("n " N ) 1 + < e
n
n+1 "
1
Uwaga 2.3 Analogicznie można wykazać, że ciąg 1 + jest malejący i
n
n=1
n+1
1
("n " N ) 1 + > e
n

1 1 1
Przykład 2.10 1. Wykazać, że ("n " N ) < ln 1 + <
n+1 n n
2. Wykazać, że ("n " N , n 3) nn+1 > (1 + n)n
7
Definicja 2.5 (Ciągi rozbieżne do +" i do -")
1. Mówimy, że ciąg {an} jest rozbieżny do +" i zapisujemy lim an = +" jeśli
n"
(" u " R) (" nu " N ) (" n > nu) an > u
2. Mówimy, że ciąg {an} jest rozbieżny do -" i zapisujemy lim an = -" jeśli
n"
(" u " R) (" nu " N ) (" n > nu) an < u
Przykład 2.11
"
1. Ciągi {n} , {n2} , { n} , {log n} są rozbieżne do +" ;
1
2. Ciągi {-n} , {-n5} , {log } są rozbieżne do -" ;
n
3. Ciągi {(-1)n} , {(-2)n} nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do +" lub -" . Są to
ciągi rozbieżne. Pierwszy jest ograniczony, drugi nie.
Opuszczając niektóre wyrazy ciągu możemy utworzyć nowy ciąg.
Definicja 2.6 (Ciąg częściowy lub podciąg) Niech {an}" będzie dowolnym
n=1
ciągiem liczbowym, a {nk}" rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ciąg {ank}"
k=1 k=1
nazywamy ciągiem częściowym ciągu {an} .
Przykład 2.12
" "
1 1
1. Ciąg jest ciągiem częściowym ciągu .
2k n
k=1 n=1
2. Ciąg liczb pierwszych jest podciągiem ciągu liczb naturalnych.
Lemat 2.4 (Podciągi ciągu zbieżnego) Jesli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg
jest zbieżny do tej samej granicy.
Ciąg, który nie jest zbieżny może (ale nie musi) mieć podciągi zbieżne.
Lemat 2.5 Jeśli każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby g, to
wyjściowy ciąg jest zbieżny do g.
2.1 Własności liczby e
Lemat 2.6 Prawdziwa jest równość
n

1
e = lim (1)
n"
k!
k=0
a ponadto dla każdego n
n

1 1
0 < e - < (2)
k! n! � n
k=0
8
 n
1
Dowód : Zastosujmy wzór na wyraz ciągu xn = 1 + dla n > k i odrzućmy wszystkie
n
1
składniki, które występują po wyrażeniu zawierającym . Dostaniemy prawdziwą dla
k!
wszystkich n > k nierówność

1 1 1 1 2
xn > 2 + 1 - + 1 - 1 - + . . .
2! n 3! n n

1 1 2 k-1
+k! 1 - 1 - . . . 1 -
n n n
Przechodząc z n do nieskończoności, przy ustalonym k , dostajemy nierówność
1 1
e 2 + + . . . +
2! k!
Oznaczmy prawą stronę tej nierówności przez yk . Mamy więc nierówności
xk < yk e
prawdziwe dla każdego k  w istocie prawa nierówność jest też ostra ze względu na silną
monotoniczność ciągu yk. Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy równość (1).
Teraz udowodnimy oszacowanie (2). Dla dowolnych n, m " N mamy
yn+m - yn =

1 1 1 1
1 + + + . . . + <
(n + 1)! n + 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2) � . . . � (n + m)

1 1 1 1
1 + + + . . . + <
(n + 1)! n + 2 (n + 2)2 (n + 2)m-1
1 1 1 n + 2
� = �
1
(n + 1)! -
(n + 1)! n + 1
1
n+2
Przechodząc z m do +" dostaniemy
1 n + 2 1 n + 2 1
e - yn � = � <
(n + 1)! n + 1 n! (n + 1)2 n!n
n+2 1
bo < .
(n+1)2 n
e&
Równość (1) z lematu 2.6 będziemy po wprowadzeniu pojęcia szeregu liczbowego i
sumy szeregu liczbowego zapisywali w następujący sposób
"

1
e =
n!
n=0
Oszacowanie (2) pozwala obliczać liczbę e z dowolną ustaloną dokładnością, jak również
udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.6 Liczba e jest niewymierna.
p
Dowód: Przypuśćmy, że liczba e jest wymierna i e = , gdzie p , q " N .
q
Zastosujmy oszacowanie (2) dla n = q .

p 1 1 1 1
0 < - 2 + + + . . . + <
q 2! 3! q! q!q
9
Możemy napisać
p 1 1 1 �
= 2 + + + . . . + +
q 2! 3! q! q!q
gdzie 0 < � < 1 .
Mnożąc obydwie strony tej równości przez q!q dostaniemy

1 1 1
� = pq! - qq! 2 + + + . . . +
2! 3! q!
Po lewej stronie jest liczba z przedziału (0, 1), a po prawej liczba całkowita  sprzeczność.
Liczba e musi więc być niewymierna.
e&
Uwaga. Można też wykazać, że liczba e jest niealgebraiczna (przestępna), to znaczy, że
nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Ciągowi, który posłużył do określenia e, można nadać ogólniejszą postać.
Lemat 2.7 Jeśli lim |xn| = +" to
xn
1
lim 1 + = e
n"
xn
DOWÓD: Niech [a] oznacza część całkowitą liczby a.
Rozważamy trzy przypadki:
1. lim xn = +"
Bierzemy pod uwagę tylko xn 1. Korzystając z nierówności [xn] xn < [xn] + 1
można napisać serię nierówności:
1 1 1
1 + < 1 + 1 +
[xn] + 1 xn [xn]
[xn] xn [xn]+1
1 1 1
1 + < 1 + 1 +
[xn] + 1 xn [xn]
[xn]+1
1 xn [xn]
1 +
1 1 1
[xn]+1
< 1 + 1 + 1 +
1
xn [xn] [xn]
1 +
[xn]+1
2. lim xn = -"
Najpierw wykażemy, że
-n
1
lim 1 + = e
n"
-n
-n n n-1
1 n 1 1
1 + = = 1 + 1 + e
-n n - 1 n - 1 n - 1
Bierzemy pod uwagę tylko xn < -2. Korzystając z nierówności [xn] xn < [xn] + 1
można napisać serię nierówności:
1 1 1
1 + < 1 + 1 +
[xn] + 1 xn [xn]
10
 [xn]+1 xn [xn]
1 1 1
1 + 1 + < 1 +
[xn] xn [xn] + 1
[xn]+1
[xn] xn 1
1 +
1 1 1
[xn]+1
1 + 1 + 1 + <
-1
[xn] [xn] xn
1
1 +
[xn]+1
(Trzeba brać pod uwagę, że wykładniki są ujemne, a podstawy potęg z przedziału
(0, 1). )
3. lim |xn| = +", ale żaden z poprzednich przypadków.
Ciąg xn zawiera podciąg rozbieżny do +" i podciąg rozbieżny do -". Można go
wtedy rozbić na dwa takie podciągi i zastosować do nich poprzednie punkty. Jeśli
ciąg jest rozbity na dwa podciągi, z których każdy jest zbieżny do tej samej granicy,
to sam ciąg też jest zbieżny do tej granicy.
e&
3 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
3.1 Pojęcie funkcji
Niech X , Y będą dwoma dowolnymi niepustymi zbiorami.
Definicja 3.1 (Funkcji)
Funkcją ( odwzorowaniem ) f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego
elementu zbioru Y i oznaczamy f : X Y . Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji
(oznaczamy Df = X ), a zbiór Y przeciwdziedziną.
Definicja 3.2 ( Obrazu funkcji)
Zbiór wszystkich wartości jakie przyjmuje funkcja f , nazywamy obrazem funkcji f i
oznaczamy f(X) .
Definicja 3.3 ( Wykresu funkcji )
Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór
{(x, y) �" X � Y ) : y = f(x)}
Definicja 3.4 ( Funkcji tożsamościowej )
Funkcję idX : X X taką, że ("x " X) idX(x) = x nazywamy
funkcją tożsamościową.
Definicja 3.5 ( Zwężenia funkcji )
Zwężeniem ( obcięciem ) funkcji f : X Y do zbioru A �" X nazywamy
odwzorowanie f|A : A Y o wartościach określonych wzorem
("x " A) f|A(x) = f(x)
Przykład 3.1 A = 0, 2Ą , X = Y = R, f(x) = sin x .
11
Definicja 3.6 (Odwzorowania  na )
Funkcję f nazywamy odwzorowaniem  na , jeżeli f(X) = Y .
Przykład 3.2 X = R, Y = -1, 1 , f(x) = sin x .
Definicja 3.7 ( Odwzorowanie różnowartościowe)
Funkcję f nazywamy różnowartościową w zbiorze X , jeżeli dla każdej pary różnych
elementów x1, x2 " X , f(x1) = f(x2) .

Ą
Przykład 3.3 X = -Ą , , Y = R, f(x) = sin x .
2 2
Definicja 3.8 (Funkcji wzajemnie jednoznacznej)
Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną, jeżeli jest różnowartościowa i  na .
Ą
Przykład 3.4 X = -Ą , , Y = -1, 1 , f(x) = sin x .
2 2
Definicja 3.9 (Funkcji złożonej)
Niech będą dane dwie funkcje f : X Y i g : Y Z .
Funkcję h : X Z taką, że (" x " X) h(x) = g(f(x)) nazywamy funkcją złożoną i
oznaczamy h = g ć% f .
Przykład 3.5 X = Y = Z = R , f(x) = sin x , g(y) = 2y , to h(x) = 2sin x.
Definicja 3.10 ( Funkcji odwrotnej)
Niech funkcja, f : X Y będzie odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.
Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f-1 : Y X określoną następująco:
f-1(y)) = x �! f(x) = y
Ą
Przykład 3.6 Funkcję odwrotną do funkcji f(x) = sin x, X = -Ą , , Y = -1, 1
2 2
oznaczamy f-1(x) = arc sin x . Dziedziną jest X = -1, 1 ,a zbiorem wartości
Ą
Y = -Ą , .
2 2
3.2 Granica funkcji
Definicja 3.11 (Punktu wewnętrznego zbioru)
Punkt x0 " R jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
(" � " R+) : (x0 - �, x0 + �) �" A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczmy int A i nazywamy wnętrzem tego zbioru.
Definicja 3.12 (Punktu skupienia zbioru)
Punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru A , jeśli
(" {xn} �" A, xn = x0) : lim xn = x0

n"
Uwaga 3.1 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
12
Definicja 3.13 (Domknięcia zbioru)
Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego
elementów. Oznaczamy ten zbiór A .
x0 " A �! (" {xn} �" A) : lim xn = x0
n"
Uwaga 3.2 Zauważmy, że A �" A , ponieważ każdy element x " A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego xn = x0.
Niech dane będą: zbiór A �" R , funkcja f : A R i x0 -punkt skupienia zbioru A .
Definicja 3.14 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g " R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
("{xn} �" A, xn = x0) [n" xn = x0 �! lim f(xn) = g]
lim
n"
Definicja 3.15 (Granicy funkcji w sensie Cauchy ego )
Liczbę g " R nazywamy granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
("� > 0) (" �(�, x0) > 0) ("x " A) [0 < |x - x0| < � �! |f(x) - g| < �]
Uwaga 3.3 Liczba g " R jest granicą funkcji w sensie Cauchy ego wtedy i tylko wtedy,
gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem lim f(x) = g .
xx0
Przykład 3.7 Udowodnić, że lim cos x = 1 .
x0
Dowód: Mamy pokazać, że
("� > 0) (" �(�, 0) > 0) ("x " R) [0 < |x| < � �! | cos x - 1| < �]
x x
Korzystamy z własności: ("x " R) |cosx-cos0| = |-2sinxsinx| = 2| sin sin | 2|x| .
2 2 2 2 2
Biorąc � = � otrzymujemy |x| < � �! | cos x - 1| < �.
e&
Twierdzenie 3.1 ( O zachowaniu nierówności w granicy)
Jeżeli funkcje f, g : A R mają w punkcie x0 granice oraz ( "x " A ) f(x) g(x), to
lim f(x) lim g(x)
xx0 xx0
Dowód: Wprowadzimy oznaczenia: g1 = lim f(x) , g2 = lim g(x) .
xx0 xx0
Niech {xn} �" A , xn = x0 będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x0 -punktu skupienia

zbioru A. Na podstawie definicji granicy w sensie Heinego mamy:
lim f(x) = g1 , lim g(x) = g2
xx0 xx0
Stosujemy twierdzenie o zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy dla ciągów i
otrzymujemy g1 g2 .
e&
13
Definicja 3.16 ( Granicy lewostronnej)
lim f(x) = g �! (" {xn} �" A , xn < x0) [n" xn = x0 �! lim f(x) = g]
lim
n"
xx-
0
Definicja 3.17 ( Granicy prawostronnej)
lim f(x) = g �! (" {xn} �" A , xn > x0) [n" xn = x0 �! lim f(x) = g]
lim
n"
xx+
0
Uwaga 3.4 Podane definicje granic: lewostronnej i prawostronnej są równoważne
następującym:
lim f(x) = g �! ("� > 0) (" �1(�, x0) > 0) ("x " A) [ x0 - �1 < x < x0 �! |f(x) - g| < � ]
xx-
0
lim f(x) = g �! ("� > 0) (" �2(�, x0) > 0) ("x " A) [ x0 < x < x0 + �2 �! |f(x) - g| < � ]
xx+
0
Przykład 3.8 1. Znalez
ć granice lewostronne i prawostronne funkcji w punkcie x0 :
x2-3x+2
" f(x) = , x0 = 1
x-1
|x|
" g(x) = , x0 = 0
x
1
2. Udowodnić, że lim 2x = 0
x0-
Twierdzenie 3.2 Funkcja f ma w punkcie x0 granicę wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
granice jednostronne oraz
lim f(x) = lim f(x)
xx- xx+
0 0
Granicą funkcji w punkcie x0 jest wspólna wartość obu granic jednostronnych.
Dowód:
 �! Wynika natychmiast z definicji granicy lim f(x) = g
xx0
 �!  Niech ("� > 0) (" �1(�, x0) > 0) ("x " A) [ x0 - �1 < x < x0 �! |f(x) - g| < � ] oraz
("� > 0) (" �2(�, x0) > 0) ("x " A) [ x0 < x < x0 + �2 �! |f(x) - g| < � ], wówczas
("� > 0) (" � = min(�1, �2)) ("x " A) [0 < |x - x0| < � �! |f(x) - g| < � ]
sin x
Przykład 3.9 Udowodnić, że lim = 1
x
xo
Ą
Dowód: Dla 0 < x < mamy sin x x tg x , a po przekształceniach nierówności te są
2
sin x
równoważne nierównościom cos x 1 .
x
Korzystając z definicji (w sensie Heine go) granicy funkcji oraz twierdzenia o trzech
ciągach otrzymujemy:
sin x
lim = 1
x0+ x
sin x
Podobnie udawadniamy, że lim = 1 . W tym przypadku należy skorzystać z
x0- x

nierówności tgx x sin x prawdziwej dla x " -Ą , 0
2
e&
14
Definicja 3.18 (Granica niewłaściwa w sensie Heine go)
lim f(x) = +" �! (" {xn} �" A , xn = x0) [n" xn = x0 �! lim f(xn) = "]
lim
xx0 n"
Definicja 3.19 ( Granica niewłaściwa w sensie Cauchy ego)
lim f(x) = +" �! ("E " R) ("�(x0, E) > 0) ("x " A) [ 0 < |x - x0| < � �! f(x) > E]
xx0
Analogicznie określa się granice niewłaściwe:
lim f(x) = -" , lim f(x) = +"
xx0
xx-
0
lim f(x) = +" , lim f(x) = -" , lim f(x) = -"
xx+ xx- xx+
0 0 0
1
Przykład 3.10 Udowodnić, że lim 2x = +" .
x0+
1
Dowód: Niech E > 1 będzie dowolną liczbą. Wówczas 2x > E wtedy i tylko wtedy, gdy
1
1 1 1
> log2E, czyli x < . Stąd dla � = mamy 0 < x < � �! 2x > E .
x log2E log2E
e&
Definicja 3.20 ( Granicy w nieskończoności)
Liczba g jest granicą funkcji f w +" wtedy i tylko wtedy, gdy
("� > 0) ("M(�) > 0) ("x " R)[ x > M �! |f(x) - g| < �]
Granicę tę zapisujemy lim f(x) = g .
x+"
Analogicznie definiujemy granice:
lim f(x) = g , lim f(x) = -" , lim f(x) = +" .
x-" x+" x-"
1
Przykład 3.11 Udowodnić, że lim = 0 .
x3
x+"
Dowód: Wystarczy brać pod uwagę x > 0 . Dla dowolnego ustalonego � > 0 nierówność
1 1 1
" "
< � jest równoważna nierówności x > . Przyjmując M = otrzymamy dla
3 3
x3 � �
1 1 1
x > M nierówność =| - 0 |< � , a to oznacza, że 0 jest granicą funkcji f(x) =
x3 x3 x3
przy x +" .
e&
1
Przykład 3.12 Wykazać, że lim (1 + )x = e .
x
x+"
1
Przykład 3.13 Wykazać, że lim (1 + )x = e .
x
x-"
1
Przykład 3.14 Wykazać, że lim(1 + x)x = e .
x0
15
1
Przykład 3.15 Udowodnić, że nie istnieje granica lim sin .
x
x0
1 1
Dowód: Korzystamy z definicji Heinego. Wez
my dwa ciągi xn = , xn = Ą
nĄ +2nĄ
2
zbieżne do 0 przy n " . Wówczas lim f(xn) = lim sin nĄ = 0 ,
n" n"
a lim f(xn) = lim sin(Ą + 2nĄ) = 1 . Granica ta nie istnieje, gdyż dwa ciągi
2
n" n"
{f(xn)} , {f(xn)} posiadają różne granice.
e&
Twierdzenie 3.3 ( O granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeżeli f : A R , g : A R , i x0 jest punktem skupienia zbioru A oraz istnieją
granice lim f(x) , lim g(x), to:
xx0 xx0
1. Istnieje granica sumy tych funkcji w punkcie x0 i równa się sumie granic:
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
xx0 xx0 xx0
Analogiczną własność ma różnica funkcji.
2. Dla dowolnej liczby rzeczywistej  istnieje lim (f(x)) i
xx0
lim (f(x)) =  lim f(x)
xx0 xx0
3. Istnieje granica iloczynu tych funkcji i równa się iloczynowi granic
lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x)
xx0 xx0 xx0
4. Przy dodatkowym założeniu , że ("x " A , g(x) = 0) oraz lim g(x) = 0 istnieje

xx0
granica ilorazu tych funkcji i równa się ilorazowi granic
lim f(x)
f(x)
xx0
lim =
xx0
g(x) lim g(x)
xx0
Uwaga 3.5 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych funkcji
w punkcie x0 oraz w -" lub +"
Przykład 3.16 Znalez
ć granice

tg x
" lim cos x +
x
x0
sin 5x
" lim
sin 7x
x0
"
3
x-4
"
" lim
8- x
x64
16
3.3 Ciągłość funkcji
Rozpatrujemy funkcję f : A R , gdzie A �" R i x0 " A jest punktem skupienia
zbioru A.
Definicja 3.21 ( Ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 " A , jeżeli istnieje granica lim f(x) oraz
xx0
lim f(x) = f(x0)
xx0
Uwaga 3.6 Ciągłość funkcji w x0 " A oznacza:
(" {xn} �" A) lim xn = x0 �! lim f(x) = f(x0)
n" xx0
i jest równoważna warunkowi:
("� > 0) (" �(�, x0) > 0) ("x " A)[ |x - x0| < � =�! |f(x) - f(x0| < � ]
Definicja 3.22 ( Ciągłości funkcji na zbiorze)
Funkcja f określona na zbiorze A �" R nazywa się ciągła na tym zbiorze, jeżeli jest ciągła
w każdym jego punkcie.
Uwaga 3.7 Ciągłość funkcji f : < a, b > R na przedziale domkniętym < a, b >
oznacza w szczególności , że lim f(x) = f(a) i lim f(x) = f(b) .
xa+ xb-
Przykład 3.17
Wykazać , że funkcja f(x) = sin x jest ciągła na R.
Dowód: Niech x0 będzie dowolnym punktem i x0 " R . Ze wzoru na różnicę sinusów
x - x0 x + x0
sin x - sin x0 = 2 sin cos
2 2
x-x0 x+x0
oraz własności | sin | |x-x0 | i | cos | 1 otrzymujemy oszacowanie
2 2 2
| sin x - sin x0| |x - x0|
Wtedy dla dowolnej liczby � > 0 wystarczy wziąć � = � , aby otrzymać implikację
|x - x0| < � �! | sin x - sin x0| < �
która udawadnia ciągłość funkcji w punkcie x0. Z dowolności tego punktu wynika ciągłość
funkcji na całej osi liczbowej.
e&
Twierdzenie 3.4 ( O ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu funcji)
Jeżeli f : A R , g : A R są funkcjami ciągłymi na A, to również funkcje:
f + g ,  � f ( " R) , f � g
f
|f| , oraz (przy dodatkowym założeniu, że ("x " A , g(x) = 0))

g
są ciągłe na A.
Dowód: Ciągłość funkcji |f| wynika z ciągłości funkcji f oraz nierówności:
||f(x)| - |f(x0)|| < |f(x) - f(x0)|
Dowód pozostałych punktów tezy wynika z Twierdzenia 3.3.
17
Przykład 3.18 Pokazać , że f(x) = x sin x jest funkcją ciągłą na R.

sin x
dla x " R \ {0}
|x|
Przykład 3.19 Zbadać ciągłość funkcji f(x) = .
1 dla x = 0
Twierdzenie 3.5 ( O ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f : A B jest ciągła w puncie x0 " A , a funkcja g : B C jest ciągła
w punkcie y0 = f(x0) " B , to funkcja złożona h = g ć% f, jest ciągła w puncie x0 .
Dowód:
Wez
my dowolny ciąg {xn} �" A , różny od ciągu stałego i zbieżny do x0 . Z ciągłości funkcji
f wynika, że lim f(xn) = f(x0) .
n"
Ciągłość funkcji g daje lim g (f(xn)) = g (f(x0)) . Udowodniliśmy więc, że
n"
(" {xn} �" A , xn = x0) lim xn = x0 �! lim g (f(xn)) = g (f(x0))

n" n"
co oznacza ciągłość funkcji g ć% f w punkcie x0.
e&
Przykład 3.20 Funkcja h(x) = exp(sin x) jest ciągła na R.
Definicja 3.23 ( Punktów nieciągłości)
Punkt x0 nazywa się punktem nieciągłości I. rodzaju funkcji f, jeśli istnieją granice
właściwe lim f(x) , lim f(x) , ale przynajmniej jedna z nich jest różna od f(x0) .
xx- xx+
0 0
Punkt nieciągłości I rodzaju nazywa się punktem nieciągłości usuwalnej, jeżeli granice
właściwe jednostronne są równe, ale różne od f(x0) .
Punktami nieciągłości II. rodzaju nazywają się pozostałe punkty nieciągłości.
W punktach tych nie istnieje przynajmniej jedna z granic lim f(x), lim f(x) lub
xx- xx+
0 0
przynajmniej jedna jest niewłaściwa.
ńł
�ł
0 dla x < 0
�ł
1
Przykład 3.21 Funkcja Heaviside a f(x) = dla x = 0 ,
2
�ł
ół
1 dla x > 0
stosowana w mechanice i teorii sprężystości ma punkt nieciągłości I. rodzaju w punkcie
x0 = 0 .

1
dla x " R \ {0}
x
Przykład 3.22 Funkcja f(x) = ,
0 dla x = 0
ma punkt nieciągłości x0 = 0 II. rodzaju.
Twierdzenie 3.6 ( O ciągłości funkcji odwrotnej)
O ile istnieje funkcja odwrotna do funkcji ciągłej określonej na < a, b >, to jest ona funkcją
ciągłą.
Przykład 3.23 Funkcja f(x) = arc sin x , x " -1, 1 jest ciągła.
18
3.4 Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f : A R jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym
A = a, b , to jest funkcją ograniczoną na A i istnieją punkty x1, x2 " A takie, że
f(x1) = inf f(x) , f(x2) = sup f(x)
x"A
x"A
Twierdzenie 3.8 ( O lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli f : A R jest ciągła w punkcie x0 " A i f(x0) > 0 , to
("� > 0) ("x " A) [|x - x0| < � �! f(x) > 0]
(Jeżeli f(x0) < 0 , to ("� > 0) ("x " A) [|x - x0| < � �! f(x) < 0])
Twierdzenie 3.9 (Darboux)
Jeżeli f :< a, b > R jest ciągła na przedziale < a, b >, f(a) = f(b) , a liczba r jest

zawarta między liczbami f(a), f(b), to istnieje c " (a, b) takie, że f(c) = r.
Wniosek 3.1 Jeżeli f :< a, b > R jest ciągła na przedziale < a, b > oraz
f(a)f(b) < 0, to istnieje c " (a, b) takie, że f(c) = 0.
Przykład 3.24 Pokazać, że równanie 2 sin x = x ma w przedziale < 0, Ą >, pierwiastek
rzeczywisty różny od zera .
Przykład 3.25 Znalez
ć rozwiązanie równania 4x = x2 na przedziale (-1,0) z
1
dokładnością do .
8
Przykład 3.26 Wykazać, że przez dowolny punkt wewnętrzny wielokąta wypukłego można
przeprowadzić sieczną w ten sposób, aby punkt ten był jej środkiem.
4 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
4.1 Pochodna
Definicja 4.1 ( Pochodnej)
Funkcja f : A R ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 " intA , jeżeli istnieje
granica ilorazu różnicowego
f(x) - f(x0)
lim
xx0
x - x0
df(x0)
Granicę tę oznaczamy f (x0) lub i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0.
dx
Twierdzenie 4.1
Jeżeli funkcja f : A R ma w punkcie x0 " intA pochodną f (x0), to jest ciągła w tym
punkcie.
Dowód: Obierzmy punkt x " A . Możemy zapisać:
f(x) - f(x0)
f(x) = � (x - x0) + f(x0)
x - x0
19
Po przejściu do granicy otrzymujemy:
f(x) - f(x0)
lim f(x) = lim � lim (x - x0) + f(x0) = f (x0) � 0 + f(x0) = f(x0)
xx0 x
x - x0 xx0
Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x0 .
e&
Definicja 4.2 (Pochodnej na zbiorze)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie wewnętrznym x " A , to funkcję x f (x)
df
nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze A i oznaczamy ją symbolem f lub .
dx
Przykład 4.1 Znalez
ć pochodną funkcji f(x) = sin x na zbiorze R.
Rozwiązanie:
Niech x0 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Oznaczmy "x = x - x0 .
"x "x "x
sin(x0 + "x) - sin x0 2 sin cos(x0 + ) sin "x
2 2 2
lim = lim = lim cos(x0+ ) = cos x0
"x
"x0 "x "x0 "x "x0 2
2
Z dowolności x0 wynika, że ("x " R) (sin x) = cos x .
Przykład 4.2 Wykazać, że (cos x) = - sin x.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech ą oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) i
dodatnim kierunkiem osi Ox. Wtedy
f (x0) = tg ą
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) ma postać:
y = f(x0) + f (x0) (x - x0)
Przykład 4.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = cos x w punkcie

Ą
, 0 .
2
Przykład 4.4 Wyprowadzić wzór na miarę kąta ostrego pod jakim przecinają się wykresy
dwóch funkcji.
Znalez
ć miarę kąta pod jakimi przecinają się wykresy f(x) = x2 , g(x) = x3.
Definicja 4.3 ( Pochodnej jednostronnej)
Niech x0 " A i istnieje takie � > 0 , że (x0 - �, x0 �" A . Pochodną lewostronną funkcji
f w punkcie x0 nazywamy granicę lewostronną właściwą:
f(x) - f(x0)

f-(x0) = lim
x - x0
xx-
0
Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną:
f(x) - f(x0)

f+(x0) = lim
x - x0
xx+
0
20
Uwaga 4.1 Funkcja f ma w punkcje x0 pochodną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
pochodne lewostronna i prawostronna w tym punkcie i są równe.
Przykład 4.5 Zbadać istnienie pochodnej funkcji f(x) = |x| w punkcie x0 = 0 .
Rozwiązanie: Obliczamy pochodne jednostronne:
|x| - |0| -x

f-(0) = lim = lim = -1
x0- x
x0- x
|x| - |0| x

f+(x0) = lim = lim = 1
x0+ x0+
x x

Skoro f-(x0) = f-(x0) , to nie istnieje pochodna funkcji f(x) = |x| w x0 = 0.

Przykład 4.6
1. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f(x) = | sin x| w punkcie x0 = 0 .
2. Znalez
ć pochodną f(x) = x|x| w punkcie x0 = 0
1
Przykład 4.7 Pokazać, że dla x > 0 mamy (ln x) = .
x
Dowód: Ustalmy dowolne x0 > 0 i oznaczmy "x = x - x0.
x0
ln(x0 + "x) - ln x0 1 "x 1 1
lim = lim ln(1 + )"x = ln e =
"x0 "x "x0 x0 x0 x0 x0
Przy obliczaniu powyższej granicy wykorzystano ciągłość funkcji f(x) = ln x na
1
"x
przedziale (0, ") oraz własność lim(1 + z)z = e, ( bierzemy z = ). Z dowolności
x0
z0
x0 > 0 otrzymujemy wzór:
1
("x " R+) (ln x) =
x
Definicja 4.4 ( Pochodnej na przedziale domkniętym)
Jeżeli funkcja f : a, b R ma pochodną w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b)
oraz istnieją pochodne f (a+) oraz f (b-) , to mówimy, że funkcja f ma pochodną na całym
przedziale a, b .
Definicja 4.5 ( Klas funkcji) Zbiór wszystkich funkcji mających pochodną na całym
zbiorze A oznaczamy przez D1(A) . Zbiór wszystkich funkcji mających ciągłe pochodne na
zbiorze A oznaczamy C1(A) .
Twierdzenie 4.2 ( O pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji)
Jeżeli funkcje f : A R , g : A R mają pochodne w punkcie x0 " A , to pochodną w
f
punkcie x0 mają też funkcje: f + g , f - g , f � g , oraz ( o ile g(x0) = 0 ).Ponadto

g
" (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0) .
" (f - g) (x0) = f (x0) - g (x0) .
" (f � g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x)g (x0) .
f (x0)g(x0)-f(x0)g (x0)
" (f ) (x0) = .
g (g(x0))2
21
Przykład 4.8 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji f(x) = tg(x) i g(x) = ctg(x).
Twierdzenie 4.3 (O pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , funkcja g ma pochodną w punkcie f(x0) ,
to funkcja złożona (g ć% f) ma pochodną w x0 oraz
(g ć% f) (x0) = g (f(x0)) � f (x0)
Twierdzenie 4.4 ( O pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech funkcja f
" będzie ciągła i wzajemnie jednoznaczna na zbiorze A
" ma pochodną f (x0) = 0


Wtedy funkcja odwrotna f-1 ma pochodną w punkcie y0 = f(x0) i

1
f-1 (y0) =
f (x0)
Uwaga 4.2 Jeżeli funkcja y = f(x) jest określona na A �" R i ma funkcję odwrotną
w A oraz w każdym punkcie x " A istnieje pochodna funkcji f i f (x) = 0 , to funkcja

odwrotna x = f-1(y) ma w każdym punkcie swojej dziedziny pochodną (f-1) (y) i
1
(f-1) (y) = |x=f-1
(y)
f (x)
Przykład 4.9 Udowodnić, że dla x " R (ex) = ex .
Dowód:
Funkcja f-1(x) = ex, x " R jest funkcją odwrotną do funkcji f(t) = ln t, t " R+ .
Korzystając z Twierdzenia 4.4 o pochodnej funkcji odwrotnej i Przykładu 4.7 otrzymujemy
1 1
x x
(f-1) (x) = |t=e = |t=e = ex
1
f (t)
t
Przykład 4.10 Pokazać, że
1
" (logax) = , x " R+, a " R+ \ {1} .
x ln a
" (ax) = ax ln a , x " R , a " R+ \ {1} .
Przykład 4.11 Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = arc sin x, x " -1, 1 .
Ą
Rozwiązanie: Niech y = sin x, x " -Ą , .
2 2
Funkcją odwrotną do tej funkcji jest f-1(y) = g(y) = arc sin y, y " -1, 1 .
Z twierdzenia 4.4 wynika, że
1 1 1 Ą Ą
g (y) = |x=f-1 = |y=sin = |y=sin x , x = i x = = -

(y)
f (x) (sin x) x cos x 2 2
"
Ą
Ale dla x "< -Ą , >, cos x = 1 - sin x2 = 1 - y2 .
2 2
1
"
Stąd g (y) = , dla y " (-1, 1) .
1-y2
1
"
Ostatecznie (arc sin x) = , dla x " (-1, 1) .
1-x2
22
Przykład 4.12 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji: y = arc cos x, y = arctg x.
Definicja 4.6 (Pochodnych rzędu n )
Drugą pochodną funkcji f : A R w punkcie x0 definiujemy jako pochodną pierwszej
pochodnej i oznaczamy


f (x0) = f (x0)
Pochodną n-tego rzędu w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie

f(n)(x0) = f(n-1) (x0)
Przykład 4.13 Obliczyć drugą pochodną funkcji f(x) = cos3 x .
2
Definicja 4.7 ( Klas funkcji dowolnego rzędu)
Zbiór wszystkich funkcji mających n - tą pochodną na zbiorze A oznaczamy Dn(A) , a
zbiór wszystkich funkcji mających ciągłą n - tą pochodną na A, przez Cn(A) .
Przez C"(A) oznaczamy zbiór funkcji posiadających na A pochodne dowolnego rzędu.
Wniosek 4.1
1. f " D"(A) �!�! {("n " N *" {0}), f " Cn(A)}
(Przyjmujemy, że C0(A) = C(A))
2. f " Dn(A) =�! {f " C(n-1)(A)} =�! {("k n - 1) , f " Ck(A)}
3. Jeśli f " Cn(A), to f " Dn(A)
4. Z tego,że f " Dn(A) nie wynika, że f " Cn(A)
4.2 Różniczka funkcji
Rozpatrujemy funkcję f A , A �" R.
Niech punkt x0 będzie punktem wewnętrznym zbioru A. Określamy przyrost:
"x = x - x0 taki, że x = x0 + "x również należy do A.
Definicja 4.8 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 " A .
Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej "x = x-x0 określoną
wzorem
df("x) = f (x0) � "x
Twierdzenie 4.5
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to
(f(x0 + "x) - f(x0)) - df("x)
lim = 0
"x0 "x
Uwaga 4.3 Dla dostatecznie małych przyrostów "x do obliczeń przybliżonych stosujemy
wzór
f(x0 + "x) H" f(x0) + df("x)
Przykład 4.14 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć wartości przybliżone wyrażeń:
" "
4
a) 1.2 b) 15.96 c) arctg 0.98
23
4.3 Twierdzenia o granicach nieoznaczonych
0 "
Wyrażenia nieoznaczone typu i
0 "
0
Twierdzenie 4.6 (Reguła de l Hospitala dla nieoznaczoności )
0
f f
Niech funkcje f, g, , będą określone w zbiorze (x0 -�, x0)*"(x0, x0 +�) oraz spełniają
g g
warunki:
" lim f(x) = lim g(x) = 0
xx0 xx0
f (x)
" istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
xx0 g (x)
f(x) f(x) f (x)
Wtedy istnieje lim i lim = lim
xx0 g(x) xx0 g(x) xx0 g (x)
"
Twierdzenie 4.7 (Reguła de l Hospitala dla nieoznaczoności )
"
f f
Niech funkcje f, g, , będą określone w zbiorze (x0 -�, x0)*"(x0, x0 +�) oraz spełniają
g g
warunki:
" lim f(x) = lim g(x) = "
xx0 xx0
f (x)
" istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
xx0 g (x)
f(x) f(x) f (x)
Wtedy istnieje lim i lim = lim
xx0 g(x) xx0 g(x) xx0 g (x)
Uwaga 4.4 Powyższe dwa twierdzenia są prawdziwe także dla granic jednostronnych w
punkcie x0 oraz dla granic w -" i +".
Przykład 4.15 Znalez
ć granice:
ln(1 + x) x - sin x x2
a) lim b) lim c) lim
x"
x0 x0
x x3 ex
Przykład 4.16 Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de l Hospitala?
1
x + cos2x x2 sin
x
a) lim b) lim
x"
x0
x - cosx sinx
Inne typy nieoznaczoność: 0 � ", " - ", 00, "0, 1"
Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu f(x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to
mówimy o nieoznaczoności (0 � ") . Jeśli w wyrażeniu f(x) - g(x) obydwie funkcje dążą
do +" lub -" , to nieoznaczoność jest typu ( " - " ). W wyrażeniach postaci f(x)g(x)
występują nieoznaczoności typu 00 , "0 , 1".
Uwaga 4.5 Przy badaniu granic wyrażeń postaci f(x)g(x) , f(x) > 0 należy skorzystać
z tożsamości
f(x)g(x) = eg(x) ln f(x)
24
Przykład 4.17 Znalez
ć granice:
1. lim x ln x
x0+

1 sin x
2. lim -
x2 x3
x0
3. lim xx
x0+
4. lim (ctg x)x
x0+
x
2
5. lim arctgx
Ą
x"
4.4 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Twierdzenie 4.8 (Twierdzenie Rolle a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
f(a) = f(b) , to istnieje punkt c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
Dowód:
Jeżeli f jest funkcją stałą na a, b , to f (x) = 0 w każdym punkcie x " (a, b).
Jeżeli f nie jest funkcją stałą, to z jej ciągłości na odcinku domkniętym i ograniczonym
wynika (Twierdzenie Weierstrassa 3.7), że f osiąga w tym przedziale wartość największą
M i najmniejszą m.
Ponieważ f(a) = f(b) , więc jedna z liczb m, M jest różna od f(a) = f(b) .
Istnieje więc c " (a, b) takie, że f(c) jest wartością największą lub najmniejszą funkcji f
w a, b .
Na przykład, niech w punkcie c " (a, b) funkcja osiąga kres górny.
Wtedy ("x " a, b ) f(x) f(c) , więc prawdziwe są implikacje:

f(x) - f(c) f(x) - f(c)
x > c �! 0 i x < c �! 0
x - c x - c
Z twierdzenia 3.8 o zachowaniu znaku w granicy wynika, że:
f(x) - f(c) f(x) - f(c)

lim = f+(c) 0 i lim = f-(c) 0
xc+ x - c xc- x - c

Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie c , więc f (c) = f-(c) = f+(c) , a to jest możliwe
jedynie gdy f (c) = 0.
e&
Przykład 4.18 Zbadać czy można zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji:
2
" f(x) = x3 , x "< -1, 1 >

Ą
" g(x) = cos x , x " -Ą ,
2 2
" h(x) = |x - 1|3 , x "< 0, 2 >
Twierdzenie 4.9 (Twierdzenie Lagrange a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to
istnieje punkt c " (a, b) taki, że f(b) - f(a) = f (c) � (b - a).
Dowód:
25
Rozważamy funkcję pomocniczą F (x) = (b - a) � f(x) - (f(b) - f(a)) � x.
Funkcja F spełnia założenia twierdzenia Rolle a.
Zatem istnieje punkt c " (a, b) taki, że

F (c) = (b - a) � f (c) - (f(b) - f(a)) = 0
e&
Uwaga 4.6 Jeżeli funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange a, to istnieje taki
punkt (c, f(c)) na wykresie tej funkcji, w którym styczna jest równoległa do siecznej, to
znaczy prostej przechodzącej przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)).
Przykład 4.19 Znalez
ć punkty na wykresie podanych funkcji, w których styczna jest
równoległa do siecznej.
1
a) f(x) = x2 , x "< -1, 2 > b) g(x) = , x "< 0, 3 >
1 + x
c) h(x) = arc cos x , x "< -1, 1 >
Twierdzenie 4.10 (Twierdzenie o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to dla
dowolnych punktów x0, x " a, b takich, że x0 = x istnieje liczba � " (0, 1) taka, że

f(x) = f(x0) + f (x0 + �(x - x0)) � (x - x0)
Dowód:
Stosując twierdzenie Lagrange a 4.9 dla przedziału < x0, x > , gdy x0 < x lub < x, x0 > ,
c-x0
gdy x < x0 otrzymujemy tezę twierdzenia z � = .
x-x0
Przykład 4.20 Korzystając z powyższego twierdzenia uzasadnić podane nierówności:
x
1. ("x > 0) < ln(1 + x) < x
1+x
2. ("x " R) ex 1 + x
3. ("x, y "< -1, 1 >) | arc sin x - arc sin y| |x - y|
Wniosek 4.2
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
("x " (a, b)) f (x) = 0 , to f jest funkcją stałą na < a, b >.
Przykład 4.21 Udowodnić, że:
"
"
1-x2
1. ("x " (0, 1 >) arc cos x = arc sin 1 - x2 = arctg
x
1 1
"
2. ("x > 0) arc cos = arcctgx
1+x2
Definicja 4.9 Funkcję f określoną na przedziale (a, b) nazywamy na tym przedziale
" rosnącą, jeśli ("x1, x2 " (a, b)) [x2 > x1 =�! f(x2) > f(x1)]
" niemalejąca, jeśli ("x1, x2 " (a, b)) [x2 > x1 =�! f(x2) f(x1)]
26
" malejąca, jeśli ("x1, x2 " (a, b)) [x2 > x1 =�! f(x2) < f(x1)]
" nierosnącą, jeśli ("x1, x2 " (a, b)) [x2 > x1 =�! f(x2) f(x1)]
Wniosek 4.3 Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b , ma pochodną wewnątrz
(a, b) oraz
" f (x) > 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale a, b rosnąca.
" f (x) 0 na (a, b) , to funkcja jest na przedziale a, b niemalejąca.
" f (x) < 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale a, b malejąca.
" f (x) 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale a, b nierosnąca.
Dowód: (dla f (x) > 0 )
Niech x1, x2 będą dowolnymi punktami z przedziału a, b takimi, że x1 < x2 . Z
twierdzenia Lagrange a 4.9 dla przedziału x1, x2 wynika, że istnieje takie c " (x1, x2),
że f(x2) - f(x1) = f (c)(x2 - x1) . Skoro f (c) > 0 i (x2 - x1) > 0, to f(x2) - f(x1) > 0,
więc funkcja f jest rosnąca.
Dowody dla pozostałych przypadków są podobne.
Przykład 4.22 Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji f(x) = xx.
Twierdzenie 4.11 ( Twierdzenie Taylora)

Jeżeli funkcja f jest klasy Cn( a, b ) Dn+1((a, b)) , to istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f (a) f (a) f(n)(a) f(n+1)(c)
f(b) = f(a) + (b - a) + (b - a)2 + (b - a)n + (b - a)n+1 .
1! 2! n! (n+1)!
Wniosek 4.4

Jeżeli funkcja f jest klasy Cn( a, b ) Dn+1((a, b)) , to dla dowolnych dwóch punktów
x0, x "< a, b > , istnieje liczba rzeczywista � " (0, 1) , że
n

f(k)(x0) f(n+1)(x0 + �(x - x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0)k + (x - x0)n+1
k! (n + 1)!
k=1
Uwaga 4.7
Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, przy czym ostatni składnik w tym wzorze
nosi nazwę n-tej reszty w postaci Lagrange a.
W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 , wzór nazywamy wzorem Maclaurina:
n

f(k)(0) f(n+1)(�x)
f(x) = f(0) + xk + xn+1 , � " (0, 1)
k! (n + 1)!
k=1
Przykład 4.23 Wykazać, że:
n

xk xn+1
a) ("x " R) ("� " (0, 1)) ex = 1 + + e�x
k! (n + 1)!
k=1
n

xk xn+1
b) ("x " R+) ("� " (0, 1)) ln(1 + x) = (-1)k-1 + (-1)n
k (n + 1) (1 + �x)n+1
k=1
27
4.5 Ekstrema funkcji
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Definicja 4.10
" Funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego
punktu (x0 - �, x0 + �), � > 0 , że dla każdego x " (x0 - �, x0 + �)
f(x0) f(x) (3)
" Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie
punktu (x0 - �, x0 + �), � > 0 , że dla każdego x " (x0 - �, x0 + �)
f(x0) f(x) (4)
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Jeżeli nierówności (3), (4) są ostre (dla x = x0), to ekstema lokalne nazywamy

właściwymi.
Twierdzenie 4.12 (Lemat Fermata)
Niech funkcja f :< a, b > R osiąga w punkcie c " (a, b) ekstremum lokalne oraz istnieje
pochodna f (c) . Wtedy f (c) = 0.
Dowód:
Niech f(c) będzie maksimum lokalnym funkcji f . Wtedy istnieje taki przedział
(c - �, c + �) , � > 0 , że dla każdego x " (c - �, c + �) , f(c) f(x).
W punkcie c funkcja ma pochodną, więc

f (c) = f+(c) = f-(c)
f(x)-f(c) f(x)-f(c)

Dla x > c mamy 0 . Stąd lim = f+(c) 0.
x-c
xc+ x-c

Analogicznie, dla x < c otrzymujemy pochodną lewostronną f-(c) 0.
To jest możliwe jedynie, gdy f (c) = 0.
Dowód dla minimum lokalnego jest podobny.
Uwaga 4.8
Punkty w których zeruje się pierwsza pochodna nazywamy punktami stacjonarnymi.
Zbiór punktów w których funkcja może osiągać ekstrema składa się z punktów
stacjonarnych i tych, w których pierwsza pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 4.13 ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a, b), ma pochodną w (a, x0) *" (x0, b) i istnieje
pewne otoczenie punktu x0 , w którym f (x) 0 dla x < x0 i f (x) 0 dla x > x0 , to
funkcja f osiąga w x0 minimum lokalne.
Jeżeli f (x) 0 dla x < x0 , a f (x) 0 dla x > x0 , to funkcja f osiąga w x0
maximum lokalne.
Dowód: wynika z Definicji ekstremum 4.10 i Wniosku 4.3.
Przykład 4.24 Zbadać istnienie extremów lokalnych funkcji:
f(x) = | ln x| , g(x) = e-|x|
28
Twierdzenie 4.14 ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli f " C2( a, b ), x0 " (a, b) i f (x0) = 0 oraz f (x0) = 0 , to funkcja f osiąga w

punkcje x0
" minimum lokalne właściwe, gdy f (x0) > 0 ,
" maksimum lokalne właściwe, gdy f (x0) < 0 .
Dowód:
Niech f (x0) > 0 . Na mocy Twierdzenia3.8 o lokalnym zachowaniu znaku istnieje � > 0 ,
takie, że dla x " (x0 - �, x0 + �) f (x) > 0 .
Na mocy Twierdzenia Taylora 4.11 dla n = 1 , mamy
f (x0) f (c)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2, gdzie c " (x0 - �, x0 + �). (5)
1! 2!
f (c)
Wykorzystując warunek f (x0) = 0 , otrzymujemy f(x) - f(x0) = (x - x0)2 .
2!
Z założenia f (c) > 0, więc f(x) - f(x0) > 0 dla x " (x0 - �, x0 + �), x = x0.

Oznacza to, że w punkcie x0 funkcja f osiąga minimum lokalne właściwe.
Dowód dla maksimum jest analogiczny.
Przykład 4.25 Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji:
f(x) = (sinh x)2 , g(x) = - cosh x
.
4.6 Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkty przegięcia
Definicja 4.11 ( Zbioru wypukłego )
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Zbiór D �" X nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych x1, x2 " D i ą " 0, 1
ąx1 + (1 - ą)x2 " D
Przykład 4.26 Niech X = Rn, x1, x2 " Rn .
Odcinek łączący punkty x1, x2 " Rn zdefiniowany w następująco:
x1, x2 = {x " Rn : x = ąx1 + (1 - ą)x2, ą " 0, 1 }
jest zbiorem wupukłym.
Uwaga 4.9 Zbiór D �" Rn jest wypukły, jeżeli z każdymi dwoma punktami x1, x2 " D
do zbioru tego należy również odcinek łączący te punkty.
Przykład 4.27 Przedział otwarty (a, b) �" R jest zbiorem wypukłym.
Definicja 4.12 ( Wypukłości funkcji )
Niech f będzie funkcją rzeczywistą f : (a, b) R . Funkcję tę nazywamy wypukłą w
(a, b) , jeżeli dla każdych dwóch punktów x1, x2 " (a, b) i każdego  " 0, 1 , spełniona
jest nierówność
29
f(x1 + (1 - )x2) f(x1) + (1 - )f(x2). (6)
Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna ( ) , to funkcję nazywamy wklęsłą w (a, b) .
Przykład 4.28
Pokazać, że funkcja f(x) = |x| jest wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Wez
my dwa dowolne punkty x1, x2 " R i dowolne  " 0, 1 . Wówczas
f(x1 + (1 - )x2) = |x1 + (1 - )x2| |x1| + |(1 - )x2| = |||x1| + |1 - ||x2| =
|x1| + (1 - )|x2| = f(x1) + (1 - )f(x2) .
e&
Definicja 4.13 ( ścisłej wypukłości funkcji )
Funkcję f : (a, b) R nazywamy ściśle wypukłą w (a, b) , jeżeli dla każdych dwóch
punktów x1, x2 " (a, b), (x1 = x2) i każdego  " (0, 1) spełniona jest nierówność

f(x1 + (1 - )x2) < f(x1) + (1 - )f(x2). (7)
Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna (>) , to funkcję nazywamy ściśle wklęsłą w
(a, b) .
Przykład 4.29 Wykazać, że funkcja f(x) = x2 jest ściśle wypukła w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Dowód:
Niech x1, x2 będą dwoma różnymi punktami należącymi do R, a  dowolną liczbą z
przedziału (0, 1) . Wówczas f(x1 + (1 - )x2) = [x1 + (1 - )x2]2 =
[(x1 - x2) + x2]2 = 2(x1 - x2)2 + 2(x1 - x2)x2 + x2 <
2
(x1 - x2)2 + 2(x1 - x2)x2 + x2 = x2 + (1 - )x2 = f(x1) + (1 - )f(x2) .
2 1 2
W dowodzie wykorzystano nierówność 2 <  , prawdziwą dla  " (0, 1) i założenie, że
x1 = x2 .

e&
Definicja 4.14 (Epigrafu funkcji)
Epigrafem funkcji f : (a, b) R , nazywamy zbiór
epi f = {(x, y) " R2 : f(x) y}
Twierdzenie 4.15
Funkcja f : (a, b) R jest wypukła w (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy epi f jest zbiorem
wypukłym.
Przykład 4.30 Pokazać, że epigraf funkcji f(x) = |x| jest zbiorem wypukłym.
Dowód:
Niech (x, y1), (x2, y2) " epi f (tzn: |x1| y1 i |x2| y2 ).
Dla x = ąx1 + (1 - ą)x2 i ą " 0, 1 mamy |ąx1 + (1 - ą)x2| |ą||x1| + |1 - ą||x2| =
ą|x1| + (1 - ą)|x2| ąy1 + (1 - ą)y2 .
Oznacza to, że (ąx1 + (1 - ą) x2, ą y1 + (1 - ą) y2) " epi f .
e&
30
Definicja 4.15 (Punktu przegięcia wykresu funkcji)
Punkt x0 " (a, b) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f " D1((a, b)) ,
jeżeli istnieje liczba (� > 0) taka, że dla x " (x0 - �, x0) funkcja jest ściśle wypukła
( ściśle wklęsła), a dla x " (x0, x0 + �) ściśle wklęsła ( ściśle wypukła ).
Twierdzenie 4.16 (Warunek wystarczający ścisłej wypukłości ( ściśłej wklęsłości ))
Jeżeli f " D2((a, b)) i f (x) > 0 (f (x) < 0) , dla każdego x " (a, b) , to funkcja f jest
ściśle wypukła ( ściśle wklęsła ).
Twierdzenie 4.17 ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Niech punkt (x0, f(x0)) będzie punktem przegięcia wykresu funkcji
f " C2((a, b)) . Wtedy f (x0) = 0 .
Dowód:
Niech f (x0) = 0 . Z ciągłości drugiej pochodnej funkcji f w punkcie x0 i Twierdzenia3.8

wynika, że istnieje takie � > 0 , że dla x " (x0 - �, x0 + �), f (x) > 0 lub f (x) < 0 .
Przeczy to założeniu, że punkt x0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
e&
Uwaga 4.10 ( Warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia)
" I warunek
Niech f " C2((a, b)) , f (x0) = 0 oraz f zmienia znak przy przejściu przez punkt
x0 .
" II warunek
Niech f " C3((a, b)) , f (x0) = 0 oraz f (x0) = 0 .

Przykład 4.31 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty
przegięcia funkcji :
2
a) f(x) = x3 , b) f(x) = sinh x , c) f(x) = xe-x , d) f(x) = e-x
4.7 Asymptoty wykresu funkcji
Definicja 4.16 (Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji
y = f(x) , jeżeli
lim f(x) = " albo lim f(x) = -"
xa- xa-
Definicja 4.17 (Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji
y = f(x) , jeżeli
lim f(x) = " albo lim f(x) = -"
xa+ xa+
Jeżeli prosta x = a jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną,
to mówimy, że jest asymptotą pionową obustronną.
31
Uwaga 4.11 (O lokalizacji asymptot pionowych funkcji)
Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach swej
dziedziny.
Przykład 4.32
Zbadać, czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji:
sin2 x 1 x2 + x - 2
a) f(x) = , x = 0 b) g(x) = ex , x = 0 c) h(x) = , x = 2
x x - 2
Definicja 4.18 (Asymptota ukośna wykresu funkcji)
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y = f(x) w +" wtedy i
tylko wtedy, gdy
lim (f(x) - ax - b) = 0
x+"
Podobnie definiuje się asymptotę ukośną w -". Jeżeli a = 0 , to asymptotę y = b
nazywamy poziomą.
Twierdzenie 4.18
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +" wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x)
a = lim i b = lim (f(x) - a x)
x+" x+"
x
Przykład 4.33 Znalez
ć asymptoty wykresu funkcji:
1
|x|
x x2
f(x) = , f(x) = , f(x) = , f(x) = x2e-x, f(x) = xex .
1-x x |x+1|
4.8 Badanie funkcji
" Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana.
" Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.
" Obliczenie granice funkcji na  krańcach dziedziny.
" Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
" Badanie pierwszej pochodnej funkcji:
1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie
2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema
3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji
4. znalezienie ekstremów
" Badanie drugiej pochodnej, określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu
funkcji oraz wyznaczenie punków przegięcia
" Sporządzenie tabelki
" Sporządzenie wykresu funkcji
Przykład 4.34 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
f(x) = x2e-x , g(x) = x + 2arcctgx
32
5 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
Niech A będzie pewnym przedziałem w R . Rozpatrujemy funkcje f : A R .
Definicja 5.1 (funkcja pierwotna)

F " D1(A) jest funkcją pierwotną funkcji f jeśli ("x " A) F (x) = f(x)
Wniosek 5.1 Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to ( "C " R) G = F + C też
jest funkcją pierwotną funkcji f
Wniosek 5.2 Dwie różne funkcje pierwotne F i G tej samej funkcji f różnią się w
całym przedziale o stałą.
Dowód:

("x " A) f(x) = F (x) = G (x) �!�! ("C " R) ("x " A) (F (x) - G(x) = C)
Definicja 5.2 (całka nieoznaczona)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
f i oznaczamy

f(x) dx
Wniosek 5.3 Całkowanie nie jest działaniem jednoznacznym.
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f to będziemy oznaczać

f(x) dx = F (x) + C
gdzie C jest dowolną stałą.
Przykład 5.1

1 ; x 0
f : < -1, 1 > R ; f(x) =
-1 ; x < 0
nie ma funkcji pierwotnej na przedziale < -1; 1 >.
W dalszej części wykładów wykażemy, że każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.
Wniosek 5.4 Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną na A to

d
("x " A) f(x) dx = f(x)
dx
Wniosek 5.5

f " C1(A) =�! f (x) dx = f(x) + C
Podstawowe wzory całkowania otrzymujemy z tablic pochodnych.
Na przykład:

xą+1
xą dx = + C ą = -1

ą + 1

1
dx = ln |x| + C
x

cos x dx = sin x + C

dx
= arctgx + C
1 + x2
33
Twierdzenie 5.1
Niech funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale A . Wtedy:

a ) " (f(x) + g(x)) dx '" (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx

b ) ("k " R) " k f(x) dx '" k f(x) dx = k f(x) dx
Dowód :
ad a) Niech F i G będą funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f i g .
d
Wtedy (F (x) + G(x)) = f(x) + g(x) , więc (F + G) jest funkcją pierwotną funkcji
dx
f + g .
ad b) analogicznie

d d
kf(x) dx = (k f(x) dx )
dx dx
Przykład 5.2

(sin x + cos x + 1) dx = sin x dx + cos x dx + dx = - cos x + sin x + x + C

(x + 1)2 1 dx 2 1 1 1 1 2 1
dx = dx + dx + dx = ln |x| - - + C
3x3 3 x 3 x2 3 x3 3 3 x 6 x2
5.1 Całkowanie przez podstawienie
Przykład 5.3 Znalez
ć całkę:

ln2 x
dx
x
Podstawiając nową zmienną u = ln x możemy zadanie rozwiązać w następujący sposób:

dx ln2 x u3 ln3 x
du = =�! dx = u2 du = + C = + C
x x 3 3
Twierdzenie 5.2 (pierwsze o całkowaniu przez podstawienie)

Niech u : A T ; u " D1(A) oraz " f(u) du na T . Wtedy

" f(u(x)) u (x) dx

oraz f(u(x)) u (x) dx = f(u) du dla u = u(x).
Dowód:

Oznaczmy F (u) = f(u) du . Wtedy F (u(x)) jest funkcją pierwotną funkcji
f(u(x)) u (x).
Rzeczywiście z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy
d dF (u) du
F (u) = = f(u(x)) u (x)
dx du dx
Przykład 5.4

1
a) tgx dx = - (cos x) dx = - ln | cos x| + C
cos x

u (x)
b) dx = ln |u(x)| + C
u(x)
34
Twierdzenie 5.3 (drugie o całkowaniu przez podstawienie)
Niech f : A R będzie funkcją całkowalną na A oraz (Ć : T A) odwzorowaniem

wzajemnie jednoznacznym. Niech " f(Ć(t)) Ć (t) dt .
Wtedy

f(x) dx = f(Ć(t)) Ć (t) dt
dla t = Ć-1(x)
Dowód:

Wystarczy sprawdzić , że pochodne względem x funkcji pierwotnych F (x) = f(x) dx

i G(t) = f(Ć(t))Ć (t) dt są sobie równe. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji
złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy:
d d d 1
G(Ć-1(x)) = G(t) Ć-1(x) = f(Ć(t)) Ć (t) = f(Ć(Ć-1(x))) = f(x)
dx dt dx Ć (t)
Przykład 5.5 Znalez
ć całkę:


1 - x2 dx
Funkcja podcałkowa jest określona na przedziale < -1; 1 > . Podstawmy x = sin t , gdzie

t "< - ; > . Wtedy dx = cos t dt i t = arc sin x
2 2


1 + cos 2t 1 sin t cos t
1 - x2 dx = | cos t| cos t dt = cos2 t dt = dt = t + + C =
2 2 2
"
1 x 1 - x2
arcsinx + + C
2 2
Przykład 5.6 Podstawiając x = t3 obliczymy całkę

" "
dx t2 1 3 2
3 3
" dx = 3 dt = 3 (t-1) dt + 3 dt = x3 + -3 x + 3 ln | x+1| +C
3
x + 1 t + 1 t + 1 2
5.2 Całkowanie przez części
Twierdzenie 5.4 Niech u, v " C1(A) .Wtedy

u(x) v (x) dx = u(x) v(x) - v(x) u (x) dx
Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji
(uv) = u v + uv
Przykład 5.7

1
ln x dx = (x) ln x dx = x ln x - x dx = x ln x - x + C
x

x ln(1 + x2)
arctg x dx = x arctgx - dx = xarctgx - + C
1 + x2 2
Uwaga: Nie wszystkie całki funkcji ciągłych (a więc całkowalnych) dają się przedstawić
przez funkcje elementarne.
Na przykład :

ex dy cos x 2 sin x
dx = ; dx ; e-x dx ; dx
x ln y x x
35
6 Funkcje wielu zmiennych
6.1 Definicja funkcji wielu zmiennych

n

Niech A �" Rn , x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, � � � yn) , d(x, y) = (yk - xk)2
k=1
Definicja 6.1 (Otoczenia punktu)
Otoczeniem o promieniu r punktu P0 " Rn nazywamy zbiór:
def
O(P0, r) = {P : d(P0, P ) < r}
Uwaga 6.1 Jeżeli promień otoczenia nie będzie istotny w rozważaniach, to zbiór O(P0, r)
będziemy oznaczali O(P0).
Definicja 6.2 (Zbioru otwartego) Zbiór A �" Rn nazywamy otwartym w przestrzeni
Rn jeżeli spełnia warunek:
("P " A) (" O(P )) : O(P ) �" A
Definicja 6.3
Odwzorowanie f : A R nazywamy funkcją rzeczywista n zmiennych, a zbiór A-
dziedziną tej funkcji.
Zbiór f(A) = {f(x) : x " A} nazywamy zbiorem wartości funkcji f.
Definicja 6.4 (Wykres i poziomica funkcji)
Wykresem funkcji f : A R jest zbiór punktów w przestrzeni Rn+1 o współrzędnych
(x1, x2, . . . xn, f(x1, x2, . . . , xn)) , (x1, x2, . . . , xn) " A.
W szczególności, wykresem funkcji dwóch zmiennych jest zbiór

W = (x, y, z) " R3 : (x, y) " A, z = f(x, y) tworzący na ogół pewną powierzchnię w R3.
Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h " R nazywamy zbiór:
{P " A : f(P ) = h}
Definicja 6.5 (Zbieżności ciągu w przestrzeni Rn)

k k k
x2
Ciąg {Pk} " Rn , Pk = x1, , . . . , xn zbiega do punktu P0 " Rn

0 0 0
P0 = x1, x2, . . . , xn wtedy i tylko wtedy, gdy lim d(Pk, P0) = 0.
k"

k k k
x2
Uwaga 6.2 Ciąg {Pk} " Rn , Pk = x1, , . . . , xn zbiega do punktu

0 0 0
P0 " Rn , P0 = x1, x2, . . . , xn wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
k
xi 0
i = 1, 2, . . . , n lim =xi.
k"
Definicja 6.6 (Punktu wewnętrznego zbioru) Punkt P0 " Rn jest punktem
wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
("r > 0) : O(P0, r) �" A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczamy int A i nazywamy wnętrzem tego
zbioru.
36
Definicja 6.7 (Punktu skupienia zbioru) Punkt P0 nazywamy punktem
skupienia zbioru A , jeśli
(" {Pn} �" A, Pn = P0) : lim Pn = P0

n"
Uwaga 6.3 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
Definicja 6.8 (Domknięcia zbioru) Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór
wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór A .
P0 " A �! (" {Pn} �" A) : lim Pn = P0
n"
Uwaga 6.4 Zauważmy, że A �" A , ponieważ każdy element P " A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego Pk = P .
6.2 Granica funkcji
Niech dane będą: zbiór A �" Rn , funkcja f : A R i P0 -punkt skupienia zbioru A .
Definicja 6.9 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g " R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie P0 , jeżeli
(" {Pk} �" A, Pk = P0) , lim Pk = P0 �! lim f(Pk) = g

k" k"
Definicja 6.10 (Granicy funkcji w sensie Cauchy ego )
Liczbę g " R nazywamy granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie P0 , jeżeli
("� > 0) (" �(�, P0) > 0) ("P " A) [0 < d(P, P0) < � �! |f(P ) - g| < �]
Uwaga 6.5 Liczba g " R jest granicą funkcji w sensie Cauchy ego wtedy i tylko wtedy,
gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem lim f(x) = g .
P P0
xy2
Przykład 6.1 Wykazać, że lim = 0
x2+y2
(x,y)(0,0)
y
Przykład 6.2 Wykazać, że nie istnieje granica lim
x+y
(x,y)(0,0)
6.3 Ciągłość funkcji
Rozpatrujemy funkcję f : A R , gdzie A �" Rn oraz P0 -punkt skupienia zbioru A.
Definicja 6.11 ( Ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja f jest ciągła w punkcie P0 , jeżeli istnieje granica lim f(P ) oraz
P P0
lim f(P ) = f(P0)
xx0
Ustalmy n=2 i rozpatrzmy funkcję z = f(x, y).
Jeżeli ustalimy x0 (takie, że (x0, y) " A ), to otrzymamy funkcję jednej zmiennej
g(y) = f(x0, y) , podobnie dla ustalonego y0 mamy f(x, y0) = h(x).
37
Twierdzenie 6.1
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0) , to funkcje g(y) = f(x0, y) i h(x) = f(x, y0)
są ciągłe.
Uwaga 6.6 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Przykład 6.3 Funkcja

xy
(x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 (x, y) = (0, 0)

1 1 2 1
nie jest ciągła w punkcie P0 = (0, 0) , ponieważ dla dwóch ciągów , , ,
n n n n
zbieżnych do P0 otrzymujemy różne granice ciągów wartości funkcji.
0y
x�0
Natomiast funkcje stałe: f(0, y) = a" 0 , f(x, 0) = a" 0 są ciągłe w (0, 0).
0+y2 0+y2
Twierdzenie 6.2 (O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli
funkcje f i g są ciągłe w punkcie P0, to w tym punkcie ciągłe są także funkcje:
" f + g, f - g
" g � f
f
" , o ile g(P0) = 0

g
Definicja 6.12 (Funkcji ciągłej na zbiorze)
Funkcja jest ciągła na zbiorze A A �" Rn , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru.
Uwaga 6.7 Dla funkcji ciągłych określonych na zbiorze domkniętym i ograniczonym w
Rn prawdziwe jest twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów (3.7) oraz twierdzenie o
lokalnym zachowaniu znaku (3.8).
6.4 Pochodne cząstkowe
Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych: A �" R2 f : A R , (x0, y0) " intA.
Definicja 6.13 (Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych)
Pochodną cząstkową względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
"f f(x, y0) - f(x0, y0)
def
(x0, y0) = lim
xx0
"x x - x0
Podobnie określamy pochodną cząstkową względem zmiennej y w punkcie (x0, y0)
"f f(x0, y) - f(x0, y0)
def
(x0, y0) = lim
yy0
"y y - y0

Uwaga 6.8 Pochodne te oznaczamy również: fx(x0, y0) , fy(x0, y0).
Analogicznie określa się pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji n zmiennych w

0 0 0
punkcie P0 = x1, x2, . . . xn " intA.
38
Definicja 6.14 (Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych)
Pochodną cząstkową względem zmiennej xk w punkcie P0 funkcji n zmiennych
nazywamy granicę:

0 0 0 0 0 0 0 0
f x1, x2, . . . , xk-1, xk, xk+1 . . . xn - f x1, x2, . . . xn
"f
def
(P0) = lim
0
0
"xk
xkxk xk- xk
Przykład 6.4 Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
x
a) f(x, y) = x2 sin y b) f(x, y) = ey c) f(x, y, z) = x2y + 3xz - yz2 + 12x + 3
Uwaga 6.9 Dla funkcji wielu zmiennych z istnienia pochodnych cząstkowych nie wynika
ciągłość funkcji.

xy
(x, y) = (0, 0)

x2+y2
Przykład 6.5 Funkcja f(x, y) = nie jest ciągła w punkcie
0 (x, y) = (0, 0)
(0, 0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją:
"f f(x, 0) - f(0, 0) 0 - 0
(0, 0) = lim = lim = 0
x0 x0
"x x x
"f f(0, y) - f(0, 0) 0 - 0
(0, 0) = lim = lim = 0
y0 y0
"y y y
6.5 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Definicja 6.15 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f : A R , A �" R2 ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu
punktu (x0, y0) . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x0, y0)
określamy wzorami:

"2f " "f "2f " "f
def def
(x0, y0) = (x0, y0) , (x0, y0) = (x0, y0)
"x "x "x "y "x "y
"x2

"2f " "f "2f " "f
def def
(x0, y0) = (x0, y0) , (x0, y0) = (x0, y0)
"y "y "y "x "y "x
"y2
"2f "2f
Uwaga 6.10 Pochodne drugiego rzędu i nazywamy pochodnymi mieszanymi.
"x "y "y "x
Analogicznie określamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji n zmiennych.
Definicja 6.16 Niech funkcja f : A R , A �" Rn ma pochodne cząstkowe w pewnym
otoczeniu punktu P0 " intA . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w

0 0 0
punkcie P0 = x1, x2, . . . , xn określamy wzorami:

"2f " "f
def
(P0) = (P0) (k, l = 1, 2, . . . n)
"xk "xl "xk "xl
39
Twierdzenie 6.3 (Schwarza o pochodnych mieszanych)
"2f "2f
Jeżeli pochodne cząstkowe , są ciągłe w punkcie (x0, y0) , to są równe, tj.
"x "y "y "x
"2f "2f
(x0, y0) = (x0, y0)
"x "y "y "x
Uwaga 6.11 Prawdziwe są także analogiczne równości dla pochodnych mieszanych
drugiego rzędu funkcji n zmiennych, gdzie n > 2.
Przykład 6.6 Znalez
ć pochodne drugiego rzędu i sprawdzić równość dla odpowiednich
pochodnych mieszanych.

x
a) f(x, y) = ey b) f(x, y, z) = ln x2y + zy3
Definicja 6.17 (Pochodne cząstkowe wyższych rzędów)
Niech funkcja n zmiennych ma pochodne cząstkowe rzędu m 1 przynajmniej na
otoczeniu punktu P0 " intA . Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0
pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu
m+1 funkcji f w punkcie P0.
Przykład 6.7 Znalez
ć pochodne cząstkowe trzeciego rzędu następujących funkcji:
sin x
a) f(x, y, z) = x2y + zy3 b) f(x, y, z) = ln (x + 2y - 3z) c) f(x, y) =
sin y
Definicja 6.18 (Funkcje klasy Cm)
Jeżeli funkcja f : A R , A �" Rn ma w zbiorze otwartym A ciągłe pochodne cząstkowe
do rzędu m włącznie, to mówimy, że funkcja f jest klasy Cm na tym zbiorze i zapisujemy:
f " Cm(A).
6.6 Pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Niech dana będzie funkcja n zmiennych z = f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn), gdzie
(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) " D, D �" Rn, oraz n funkcji xi = �i(t1, t2, . . . , tm),
(t1, t2, . . . , tm) " ", " �" Rm, przy czym �(") �" D .
Wówczas funkcja złożona z = f (�1(t1, t2, . . . , tm), . . . , �n(t1, t2, . . . , tm)) jest funkcją m
zmiennych.
Twierdzenie 6.4 (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja z = f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) jest klasy C1 na zbiorze D oraz funkcje
�i(t1, t2, . . . , tm) mają pochodne cząstkowe na ", to funkcja złożona z = f (�1, �2, . . . , �n)
ma pochodne cząstkowe na ". Wówczas:
n

"z "f "�i
= � , k = 1, 2 . . . , m
"tk i=1 "xi "tk
Przykład 6.8 Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych z = f(x, y) , f " C1(D), gdzie
x = Ć(u, v) , y = �(u, v) , (u, v) " " , " �" R2, oraz Ć, � " C1(").
"z "z
Wówczas wzory na pochodne cząstkowe i przyjmują postać:
"u "v
"z "f "Ć "f "�
= � + �
"u "x "u "y "u
40
"z "f "Ć "f "�
= � + �
"v "x "v "y "v
Rozważmy jeszcze dwa szczególne przypadki:
1. z = f(x, y), x = x(t), y = y(t). Funkcja złożona z = f (x(t), y(t)) jest funkcją tylko
jednej zmiennej. Mamy zatem:
dz "f dx "f dy
= � + �
dt "x dt "y dt
2. z = f(x, y), y = y(x)
dz "f "f dy
= + �
dx "x "y dx
"2z "2z
Przykład 6.9 Funkcja z = z(x, y) spełnia warunek + a" 0. Pokazać, że funkcja
"x2 "y2
"2z "2z
f(u, v) = z(u2 - v2, 2uv) spełnia równanie + a" 0.
"u2 "v2
Przykład 6.10 Sprawdzić, że funkcja z (x, t) = f(x + at) + g(x - at) , gdzie f i g są
dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej, spełnia równanie drgań struny
"2z "2z
= a2
"t2 "x2
6.7 Pochodna kierunkowa funkcji trzech zmiennych
Niech dana będzie funkcja f : A R , A �" R3 , punkt P0(x0, y0, z0) " int A oraz wersor

v ą, cos �, cos ł).
= (cos
Zakładamy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Definicja 6.19 (Pochodnej kierunkowej funkcji)

v
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P0 w kierunku określamy wzorem:
"f f(x0 + t cos ą, y0 + t cos �, z0 + t cos ł) - f(x0, y0, z0)
(x0, y0, z0) = lim

t0+ t
" v

v
Uwaga 6.12 Rozpatrując funkcję f na prostej o wersorze kierunkowym otrzymujemy
funkcję jednej zmiennej:
�(t) = f (x0 + t cos ą, y0 + t cos �, z0 + t cos ł)
Z określenia pochodnej kierunkowej mamy:
"f
(x0, y0, z0) = � (0)

" v
Z reguł obliczania pochodnych funkcji złożonej wynika:
"f "f "f "f
(P0) = (P0) � cos ą + (P0) � cos � + (P0) � cos ł

"x "y "z
" v
41
Uwaga 6.13 Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej.

v u
Np. dla funkcji f dwóch zmiennych i wersorów = (1, 0) , = (0, 1) mamy
"f "f "f "f
= oraz =

"x "y
" v " u

Pochodna kierunkowa określa prędkość zmiany wartości funkcji f w kierunku v
Analogicznie określamy pochodną kierunkową funkcji n zmiennych w punkcie P0

v
w kierunku wersora = (l1, l2, . . . , ln) i otrzymujemy wzór:
"f "f "f "f
(P0) = (P0) � l1 + (P0) � l2 + . . . (P0) � ln

"x1 "x2 "xn
" v
Definicja 6.20 (Gradient funkcji)
Gradientem funkcji f w punkcie P0 nazywamy wektor określony wzorem:

"f "f "f
def
grad f(P0) = (P0), (P0), . . . , (P0)
"x1 "x2 "xn
Uwaga 6.14

v
Jeśli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie P0 i jest dowolnym wersorem,
to:
"f
(P0) = grad f(P0)ć% v

" v
Interpretacja geometryczna gradientu
" Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji z tego
punktu.
" Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez
ten punkt.
6.8 Różniczka funkcji
Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A R określoną na zbiorze A �" Rn oraz punkty
0 0 0 0
P0, P " intA , P0 = (x1, . . . , xn) , P = (x1 +h1, . . . , xn +hn)
Definicja 6.21 (Funkcja różniczkowalna w punkcie)
"f
Niech istnieją pochodne cząstkowe (P0) , i = 1, . . . , n. Funkcja f jest różniczkowalna
"xi
w punkcie P0 " intA wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
"f "f "f
f(P ) - f(P0) - (P0)h1 - (P0)h2 - . . . - (P0)hn
"x1 "x2 "xn
lim = 0
P P0 |P P0|
Przykład 6.11 Zbadać różniczkowalność funkcji we wskazanych punktach:
42
" f(x, y) = x2 + y2 , P0 = (1, -2)
"
3
" f(x, y) = xy , P0 = (0, 0)
Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
"
3
Uwaga 6.15 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Funkcja f(x, y) = xy jest ciągła
w P0 = (0, 0), ale nie jest różniczkowalna w tym punkcie.
Twierdzenie 6.6 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji)

"f
Jeżeli pochodne cząstkowe , i = 1, . . . , n są ciągłe w punkcie P0, to funkcja f jest
"xi
różniczkowalna w tym punkcie.
Definicja 6.22 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P0. Różniczką funkcji f w punkcie P0
nazywamy funkcję df(P0) zmiennych "xi określoną wzorem:
"f "f "f
def
df(P0)("x1, "x2, . . . , "xn) = (P0) "x1 + (P0) "x2 + . . . + (P0) "xn
"x1 "x2 "xn

Przykład 6.12 Obliczyć różniczkę funkcji f(x, y) = x2 + y2 w punkcie P0 = (-3, 4).
Zastosowanie różniczki do obliczania przybliżonych wartości funkcji.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

0 0
P0 = x1, . . . , x2 , to
0 0 0 0
f(x1 +"x1, . . . , xn +"xn) H" f(x1, . . . , xn) + df(P0)("x1, "x2, . . . , "xn)
Przykład 6.13 Obliczyć wartości przybliżone podanych wyrażeń:

1. (1.03)2 + (1.97)3
2. (1.04)3.01
arctg 1.001
3.
arcsin 0.49
6.9 Podstawowe twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych wielu
zmiennych
Ograniczymy się do przypadku funkcji dwóch zmiennych klasy C2(A) , A �" R2. Całe
rozumowanie można powtórzyć dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.
Definicja 6.23 (Różniczka drugiego rzędu)
Różniczką drugiego rzędu funkcji f " C2(A) w punkcie P0(x0, y0) nazywamy funkcję
d2f(P0) zmiennych "x, "y określoną wzorem:
"2f "2f "2f
d2f(P0)("x, "y) = (x0, y0)("x)2 + 2 (x0, y0) "x "y + (x0, y0) ("y)2
"x"y
"x2 "y2
43
Twierdzenie 6.7 (Lagrange a o przyrostach)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym otoczeniu
O(P0), P0 = (x0, y0), to dla dowolnego punktu P (x, y) " O(P0) istnieje taka liczba
Ś " (0, 1), że
f(x, y) = f(x0, y0) + df(x0 + Ś(x - x0), y0 + Ś(y - y0))("x, "y)
Dowód:
Oznaczymy "x = (x - x0), "y = (y - y0) i wprowadzimy funkcję pomocniczą
Ś(t) = f(x0 + t "x, y0 + t "y).
Mamy: Ś(0) = f(x0, y0), Ś(1) = f(x0 + "x, y0 + "y). Funkcja Ś jest klasy C1 < 0, 1 > i
z twierdzenia Lagrange a dla funkcji jednej zmiennej 4.9 otrzymujemy:
"Ś " (0, 1) : Ś(1) = Ś(0) + Ś (Ś) (8)
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy
"f "f
Ś (t) = (x0 + t "x, y0 + t "y) "x + (x0 + t "x, y0 + t "y) "y
"x "y
Stąd Ś (Ś) = df(x0 + Ś"x, y0 + Ś"y)("x, "y) i stosując wzór (8) otrzymujemy tezę:
f(x, y) = f(x0, y0) + df(x0 + Ś(x - x0), y0 + Ś(y - y0))("x, "y)
e&
Wniosek 6.1
" Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są tożsamościowo równe zeru na zbiorze A, to
funkcja f jest stała na A.
" Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są ciągłe na A, to funkcja jest ciągła na A.
Twierdzenie 6.8 (Taylora)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie na pewnym
otoczeniu O(P0), P0 = (x0, y0), to dla dowolnego punktu P (x, y) " O(P0) istnieje taka
liczba Ś " (0, 1), że
1
f(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0)("x, "y) + d2f(x0 + Ś"x, y0 + Ś"y)("x, "y)
2
Dowód:
Oznaczymy "x = x - x0, "y = y - y0 i wprowadzimy funkcję pomocniczą
Ś(t) = f(x0 + t "x, y0 + t "y).
Mamy: Ś(0) = f(x0, y0), Ś(1) = f(x0 + "x, y0 + "y). Funkcja Ś jest klasy C2 < 0, 1 > i
z twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej 4.11 otrzymujemy:
1
"Ś " (0, 1) : Ś(1) = Ś(0) + Ś (0) + Ś (Ś) (9)
2!
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy
"f "f
Ś (t) = (x0 + t"x, y0 + t"y) "x + (x0 + t"x, y0 + t"y)"y
"x "y
"2f "2f "2f
Ś (t) = (x0+t"x, y0+t"y)"x2+2 (x0+t"x, y0+t"y)"x "y+ (x0+t"x, y0+t"y)"y2
"x2 "x"y "y2
44
Stąd
Ś (0) = df(x0, y0)("x, "y)
"2f "2f
Ś (Ś) = (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) "x2 + 2 (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) "x "y +
"x2 "x"y
2
+" f (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) "y2 = d2f(x0 + Ś"x, y0 + Ś"y)("x, "y)
"y2
Stosując wzór (9) otrzymujemy tezę:
1
f(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0)("x, "y) + d2f(x0 + Ś"x, y0 + Ś"y)("x, "y)
2
e&
6.10 Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A R , A �" Rn oraz punkt P0 " intA.
Definicja 6.24 (Maksimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P0)
takie, że dla dowolnego punktu P " O(P0) zachodzi nierówność:
f(P ) - f(P0) 0
Definicja 6.25 (Minimum lokalne)
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O(P0)
takie, że dla dowolnego punktu P " O(P0) zachodzi nierówność:
f(P ) - f(P0) 0
Uwaga 6.16 Jeżeli zamiast nierówności słabych występujących w definicji spełnione są
nierówności silne, to ekstrema nazywamy właściwymi.
Przykład 6.14 Korzystając z definicji sprawdzić, czy funkcja ma ekstremum lokalne w
punkcie (0,0):
1. f(x, y) = 2 - (x2 + y4)
2. f(x, y) = x4 - y4
Twierdzenie 6.9 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w punkcie P0,
"f
2. istnieją pochodne cząstkowe (P0) ( i = 1, . . . , n),
"xi
"f
to ("i = 1, . . . , n) (P0) = 0
"xi
Przykład 6.15 Sprawdzić, że funkcje: f(x, y) = x2 - y2, f(x, y) = x3 + y3 spełniają w
punkcie (0,0) warunek konieczny, ale nie mają w tym punkcie ekstremum.
45
Wniosek 6.2 (O lokalizacji ekstremów lokalnych)
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero albo w punktach, w których choć jedna z nich
nie istnieje.
Uwaga 6.17 Niech funkcja f : A R , A �" R2 jest klasy C2 na A. Wtedy wyznacznik
określony następująco:
�ł łł
"2f "2f
(x, y) (x, y)
"x2 "x"y
�ł �ł
W (x, y) = det
"2f "2f
(x, y) (x, y)
"y"x "y2
jest funkcją ciągłą. Z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku wynika, że jeżeli dla
pewnego punktu P0(x0, y0) " intA wyznacznik W (x0, y0) > 0 , to istnieje takie otoczenie
O(P0), że
("P (x, y) " O(P0)) W (x, y) > 0
Twierdzenie 6.10 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu
P0(x0, y0) oraz niech
"f "f
1. (x0, y0) = 0, (x0, y0) = 0,
"x "y
�ł łł
"2f "2f
(x0, y0) (x0, y0)
"x2 "x"y
�ł �ł
2. W (x0, y0) = det > 0
"2f "2f
(x0, y0) (x0, y0)
"y"x "y2
Wtedy w punkcie P0(x0, y0) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe i jest to:
"2f "2f
minimum, gdy (x0, y0) > 0 , albo maksimum, gdy (x0, y0) < 0 .
"x2 "x2
Dowód:
Spełnione są założenia twierdzenia Taylora 6.8 zatem
1
f(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0)("x, "y) + d2f(x0 + Ś"x, y0 + Ś"y)("x, "y)
2
Uwaględniając warunek konieczny otrzymujemy wzór na przyrost wartości funkcji w postaci
1
f(x, y) - f(x0, y0) = d2f(x0 + Ś"x, y0 + Ś"y)("x, "y) =
2

1 "2f "2f
= (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) "x2 + 2 (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) "x "y +
2 "x2 "x"y

"2f
+ (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) "y2
"y2
To oznacza, że przyrost funkcji jest formą kwadratową zmiennych "x i "y o macierzy:
�ł łł
"2f "2f
(x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y)
"x2 "x"y
�ł �ł
(10)
"2f "2f
(x0 + Ś "x, y0 + Ś "y) (x0 + Ś "x, y0 + Ś "y)
"y"x "y2
Z twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej (f ), założenia 2. i uwagi
xx
6.17 wynika, że forma kwadratowa o macierzy (10) jest istotnie określona :
46
"2f
przyrost wartości funkcji f jest dodatni, jeśli (x0, y0) > 0 (forma kwadratowa dodatnio
"x2
określona)
"2f
i ujemny, gdy (x0, y0) < 0 (wtedy forma kwadratowa jest ujemnie określona).
"x2
e&
Przykład 6.16 Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem:
f (x, y) = x3 + 3xy2 - 6xy + 3
Analogiczne twierdzenie można udowodnić dla funkcji n zmiennych.
Twierdzenie 6.11 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n zmiennych)
Jeżeli:
1. f " C2(A) i P0 " intA
"f
2. (P0) = 0 , i = 1, 2, . . . n
"xi
3. Forma kwadratowa:
n n

"2f
F ("x1, "x2, . . . , "xn) = (P0) "xi "xj
"xi"xj
i=1 j=1
jest istotnie dodatnio (ujemnie) określona, to funkcja ma w punkcie P0 minimum
(maksimum) lokalne.
Przykład 6.17 (Aproksymacja wielomianowa lub metoda najmniejszych kwadratów)
Dane jest (n+1) watości pomiarów {yi}n dokonanych w (n+1) punktach {xi}n
i=0 i=0
Zagadnienie aproksymacji wielomianowej na zbiorze X = {x0, x1, . . . , xn} polega na
wyznaczeniu wielomianu optymalnego Fm(x) = am xm + � � � + a0 tak, aby odległości yi
od Fm(xi) były minimalne. To oznacza, że współczynniki aj dobieramy tak, aby funkcja
n

H(a0, a1, . . . , am) = (yj - Fm(xj))2
j=0
(zwana odchyleniem średniokwadratowym) osiągała minimum.
Korzystając z warunku koniecznego ekstremum funkcji wielu zmiennych otrzymujemy układ
równań
�ł łł
n m

"H
�ł �ł
= -2 yi - aj xj xk = 0 , k = 0, . . . , m
i i
"ak
j=0 j=0
Ten układ równań sprowadza się do oznaczonego układu MT M a = MT y, gdzie
�ł łł
1 x0 . . . xm
0
�ł
1 x1 . . . xm śł
�ł śł
1
�ł śł
M = , y = (y0, . . . , yn), a = (a0, . . . , am)
. . .
.
�ł śł
. . . .
.
�ł . . . �ł
1 xn . . . xm
n
47
7 Równania rożniczkowe zwyczajne
7.1 Pojęcia wstępne
Definicja 7.1 (Równanie różniczkowe, rząd równania)
Niech dana będzie funkcja (n + 2). zmiennych F : A R , A �" Rn+2.
Równanie postaci:
F (x, y, y , y , . . . , y(n)) = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.
Definicja 7.2 (Rozwiązanie równania różniczkowego)
Funkcję g " D(n)(a, b) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego , jeżeli
("x " (a, b)) F (x, g (x), g (x), . . . , g(n)(x)) = 0
Rozwiązanie równania różniczkowego nazywamy również całką równania
różniczkowego.
Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.
Przykład 7.1 Sprawdzić, czy podane funkcje są całkami wskazanych równań na zadanych
przedziałach:
a) y1(x) = e-x, y2(x) = xe-x , y + 2y + y = 0 , x " R
1
b) y(x) = , y + 2xy2 = 0 , x " R
1 + x2
c) y1(x) = cos x, y2(x) = sin x , y + y = 0 , x " R
1
d) y(x) = , xy - y2 = 0 , x " (1, e)
1 - ln x
7.2 Równania różniczkowe pierwszego rzędu
Rozważamy równania pierwszego rzędu w postaci normalnej, (to znaczy rozwiązane
względem pochodnej)
y = f(x, y) (")
Uwaga 7.1 Będziemy się posługiwali również tzw. formą różniczkową równania:
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
Przykład 7.2 Sprawdzić, że rozwiązaniem równania:
(3 + x2 + y) dx + (x + y + 1) dy = 0
y2
x3
jest funkcja określona dla wszystkich x " R zależnością: + + xy + y + 3x = 1
3 2
Definicja 7.3 (Zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe y = f(x, y) (") oraz warunek
y(x0) = y0 ("")
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego. Warunek
(**) nazywamy warunkiem początkowym.
48
Przykład 7.3 Rozpatrzmy przykłady zagadnień początkowych:

2
y = e-x 3 y = f(y) y ln y dla y > 0
y = 3y
a) b) c) , gdzie f(y) =
y(0) = 2 y(0) = -1 0 dla y = 0
y(0) = 0
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania pierwszego rzędu (*) polega na
znalezieniu rozwiązania tego równania w pewnym przedziale I �" R, które spełnia warunek
początkowy (**).
Istnieją równania różniczkowe, które nie mają rozwiązań (np: (y )2 + 1 = 0).
Jeżeli równanie posiada rozwiązanie, to nie zawsze istnieje takie, które spełnia z góry
zadany warunek początkowy (c). Ponadto może się zdarzyć, że istnieją różne rozwiązania
jednego równania różniczkowego, spełniające ten sam warunek początkowy (b).
Twierdzenie 7.1 (Istnienie i jednoznaczość rozwiązania zagadnienia Cauchy ego)
�f
Jeżeli funkcja f : D R i jej pochodna są ciągłe na pewnym obszarze D �" R2 oraz
�y
(x0, y0) " D, to zagadnienie Cauchy ego

y = f(x, y)
y(x0) = y0
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga 7.2 Inaczej mówiąc, dla dowolnego punktu (x0, y0) " D istnieje dokladnie jedna
krzywa całkowa przechodząca przez ten punkt.
Przykład 7.4 Korzystając z podanego wyżej twierdzenia uzasadnić, że wskazane
zagadnienia początkowe mają jednoznaczne rozwiązania:

"
x2y + y2 = 0 dy = y - x dx y - y ctgx = sin x
a) b) c)
Ą
y(1) = 1 y(1) = 2 y(Ą ) =
2 2
7.3 Metody rozwiązywania niektórych równań różniczkowych
pierwszego rzędu
1. Równanie o zmiennych rozdzielonych
Definicja 7.4 (Równanie o zmiennych rozdzielonych)
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci:
y = g(x)h(y)
nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Twierdzenie 7.2 (Rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych)
Jeżeli funkcje g, h są ciągłe, przy czym h(y) = 0 dla każdego y, to rozwiązanie

równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych określone jest zależnością:

dy
= g(x) dx
h(y)
49
Dowód:
W formie różniczkowej równanie o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać
dy
= g(x)dx
h(y)
Rozwiązanie równania y = y(x)ma spełniać zależność:
y (x)dx
= g(x)dx
h(y(x))
Po scałkowaniu i zastosowaniu twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie
otrzymujemy tezę.
e&
Przykład 7.5 Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych:
y 1
a) = b) (1 + x + y + xy) y = 1
"
y x ln x
2. Równania różniczkowe jednorodne
Definicja 7.5 (Równanie jednorodne) Równanie różniczkowe, które można
zapisać w postaci:

y
y = f (J)
x
nazywamy równaniem jednorodnym.
Twierdzenie 7.3 (Zamiana zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych
przez podstawienie:
y = u � x
Dowód:
Szukamy funkcji u = u(x) takiej, aby funkcja y(x) = u(x) � x była rozwiązaniem
równania (J). Wtedy y (x) = u (x) � x + u(x) i po podstawieniu do równania (J)
otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:
x � u = f(u) - u
e&
Przykład 7.6
y x
a) y = + b) x y = y (ln y - ln x)
x y
3. Równania różniczkowe liniowe
Definicja 7.6 Równanie różniczkowe liniowe jest to równanie postaci:
y + p(x)y = q(x) (L)
gdzie p i q są funkcjami ciągłymi na wspólnym przedziale (a, b).
W przypadku q(x) a" 0 równanie nosi nazwę równania różniczkowego liniowego
jednorodnego i ma postać:
y + p(x)y = 0 (LJ)
50
Przykład 7.7 Wykazać, że przez każdy punkt obszaru
D = {(x, y) " R2 : a < x < b, y " R}
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (L).
Przykład 7.8 Uzasadnić, że rozwiązanie równania (LJ) dane jest wzorem:

y(x) = C exp - p(x)dx
gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.
Rozpatrzmy równanie (L), gdzie funkcja q nie jest tożsamościowo równa zeru. Takie
równanie liniowe nazwiemy równaniem liniowym niejednorodnym. Rozwiązanie
równania różniczkowego niejednorodnego (L) poszukujemy metodą uzmienniania
stałej.
Metoda ta polega na zastąpieniu stałej C w rozwiązaniu równania (LJ):

y(x) = C exp (- p(x)dx) taką funkcją C = C(x), aby funkcja

y(x) = C(x) exp (- p(x)dx) była rozwiązaniem równania (L).
Przykład 7.9 Znalez
ć rozwiązania podanych zagadnień początkowych:
2 1
a) xy + y = xex , y(1) = 2 b) y = 2y + ex - x , y(0) =
4
4. Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego jest to równanie postaci:
y + p(x)y = q(x) yr (B)
gdzie r " R \ {0, 1}.
Przykład 7.10 Wykazać, że równanie (B) sprowadza się do równania
liniowego niejednorodnego przez zamianę zmiennych: z = y1-r.
Znalez
ć całki ogólne równań:

a) y + y = y2 b) dy = y2ex - y dx
7.4 Równanie różniczkowe liniowe rzędu n
Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jest to równanie postaci:
y(n) + an-1(x) y(n-1) + an-2(x) y(n-2) + . . . + a0(x) y = q(x) (Ln)
gdzie funkcje ai są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale (a, b).
Definicja 7.7 Niech yi " R i = 0, 1, . . . , n - 1 .
Równanie różniczkowe (Ln) oraz warunki:
y(x0) = y0 , y (x0) = y1 , . . . , y(n-1)(x0) = yn-1 (W Ln)
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego. Warunki
(W Ln) nazywamy warunkami początkowymi.
51
Twierdzenie 7.4 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań)
Jeżeli funkcje a0, a1, . . . , an-1, q są ciągłe na przedziale (a, b) oraz
x0 " (a, b) , yi " R, to zagadnienie początkowe (Ln) (W Ln) ma dokładnie jedno
rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a, b).
Przykład 7.11 Uzasadnić, że jedynym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego:
y(n) - 1 = 0 , y(k)(0) = ck, k = 0, 1, . . . , n - 1
xn cn-1 xn-1 cn-2 xn-2
jest wielomian y(x) = + + + . . . + c1x + c0.
n! (n-1)! (n-2)!
7.5 Równania różniczkowe liniowe jednorodne
Definicja 7.8
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym nazywamy równanie (Ln) jeśli
funkcja q(x) a" 0. Równanie to oznaczymy (LJn).
y(n) + an-1(x) y(n-1) + an-2(x) y(n-2) + . . . + a0(x) y = 0 (LJn)
Twierdzenie 7.5
Rozwiązania równania (LJn) tworzą przestrzeń liniową.
Dowód:
Niech funkcje Ć1, Ć2 spełniają równanie (LJn).Wystarczy pokazać, że dla dowolnych
stałych ą, � " R funkcja ą Ć1(x) + � Ć2(x) również spełnia równanie (LJn):
(ą Ć1(x) + � Ć2(x))(n) + an-1(x)(ą Ć1(x) + � Ć2(x))(n-1) + . . . + a0(x)(ą Ć1(x) + � Ć2(x)) =
ą (Ć1(x))(n) + an-1(x) Ć1(x))(n-1) + . . . + a0(x) Ć1(x))+
+� (Ć2(x))(n) + an-1(x) Ć2(x)(n-1) + . . . + a0(x) Ć2(x)) = 0
Wykazaliśmy, że kombinacja liniowa dowolnych dwóch rozwiązań równania (LJn) jest
również rozwiązaniem tego równania.
e&
Uwaga 7.3 Zbiór funkcji określonych na wspólnej dziedzinie jest przestrzenią liniową.
Funkcje będące rozwiązaniami równania (LJn) tworzą podprzestrzeń.
Przypomnijmy definicję liniowej niezależności i zależności elementów przestrzeni liniowej
(wektorów):
Definicja 7.9 (Liniowa zależność i niezależność funkcji)
Funkcje g1, g2, . . . , gn są liniowo niezależne, jeżeli z tożsamości
ą1 g1(x) + ą2 g2(x) + . . . + ąn gn(x) a" 0 na przedziale (a, b)
wynikają równości:
ą1 = ą2 = . . . = ąn = 0
2 2
Jeżeli istnieją liczby rzeczywiste ą1, ą2, . . . , ąn , ą1 + ą2 + . . . , ą2 > 0 takie, że ą1 g1(x) +
n
ą2 g2(x) + . . . , ąn gn(x) a" 0 to funkcje g1, g2, . . . , gn nazywamy liniowo zależnymi.
52
Definicja 7.10 (Wrońskian układu funkcji)
Wrońskianem układu funkcji (y1, y2, . . . , yn) nazywamy wyznacznik:


y1(x) y2(x) . . . yn(x)


y1(x) y2(x) . . . yn(x)


W (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) = . . .
.

. . . .
.
. . .


(n-1) (n-1) (n-1)

y1 (x) y2 (x) . . . yn (x)
Twierdzenie 7.6 (Liniowa niezależność rozwiązań)
Rozwiązania równania liniowego jednorodnego (LJn) są na przedziale (a, b) liniowo
niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x " (a, b) spełniają warunek
W (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) = 0

dowód:
1.  �!  Zaprzeczmy tezie: "x0 " (a, b) : W (y1(x0), y2(x0), . . . , yn(x0)) = 0. Wtedy
uklad równań liniowych:
ńł
�ł ą1y1(x0) + ą2y2(x0) + . . . + ąnyn(x0) = 0
�ł
�ł
�ł
ą1y1(x0) + ą2y2(x0) + . . . + ąnyn(x0) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
�ł
ół (n-1) (n-1) (n-1)
ą1y1 (x0) + ą2y2 (x0) + . . . + ąnyn (x0) = 0
ma niezerowe rozwiązanie ą1, ą2, . . . , ąn . To oznacza, że funkcja y(x) = ą1y1(x) +
ą2y2(x) + . . . + ąnyn(x) spełnia równanie (LJn) oraz zerowe warunki początkowe.
Na mocy twierdzenia 3.1 jedynym takim rozwiązaniem jest rozwiązanie
tożsamościowo równe zero: y(x) a" 0.
2 2 2
Zatem istnieją liczby rzeczywiste ąi, ą1 + ą2 + . . . + ąn > 0
takie, że ą1y1(x) + ą2y2(x) + . . . + ąnyn(x) a" 0 , więc funkcje y1, y2, . . . , yn są
liniowo zależne.
2.  �!  Niech dla każdego x " (a, b) W (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) = 0

Rozpatrzmy funkcję y(x) a" 0 taką, że y(x) = ą1y1(x) + ą2y2(x) + . . . + ąnyn(x).
Wtedy dla każdego x " (a, b)
ńł
�ł ą1y1(x) + ą2y2(x) + . . . + ąnyn(x) = 0
�ł
�ł
�ł
ą1y1(x) + ą2y2(x) + . . . + ąnyn(x) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
�ł
ół (n-1) (n-1) (n-1)
ą1y1 (x) + ą2y2 (x) + . . . + ąnyn (x) = 0
Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu równań liniowych o wyznaczniku
W (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) = 0 jest rozwiązanie zerowe. Zatem

ą1y1(x) + ą2y2(x) + . . . + ąnyn(x) a" 0 �! ą1 = ą2 = . . . = ąn = 0
co oznacza liniową niezależność rozwiązań y1, y2, . . . , yn.
e&
Definicja 7.11 (Fundamentalny układ rozwiązań)
Ciąg (y1, y2, . . . , yn) liniowo niezależnych rozwiązań równania (LJn) nazywamy jego
fundamentalnym układem rozwiązań.
53
Twierdzenie 7.7 (Postać rozwiązania równania liniowego jednorodnego)
Niech (y1, y2, . . . , yn) będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJn). Wtedy
dla każdego rozwiązania Ć tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste
C1, C2, . . . , Cn takie, że
Ć(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + . . . + Cn yn(x)
Dowód:
Niech rozwiązanie Ć będzie tym jedynym rozwiązaniem równania (LJn) , które spełnia
warunek początkowy:
Ć(x0) = Ć0, Ć (x0) = Ć1, . . . , Ć(n-1)(x0) = Ćn-1
Wtedy stałe C1, C2, . . . , Cn są jedynym rozwiązaniem układu oznaczonego:
ńł
C1y1(x0) + C2y2(x0) + . . . + Cnyn(x0) = Ć0
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
C1y1(x0) + C2y2(x0) + . . . + Cnyn(x0) = Ć1
.
.
�ł
.
�ł
�ł
�ł
ół (n-1) (n-1)
C1y1 (x0) + C2y(n-1)(x0) + . . . + Cnyn (x0) = Ćn-1
e&
Wniosek 7.1 Przestrzeń liniowa rozwiązań równania jednorodnego (LJn) jest
przestrzenią n wymiarową.
7.6 Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych
współczynnikach
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach nazywamy
równanie (LJn), w którym funkcje ai są stałymi:
y(n) + an-1 y(n-1) + an-2 y(n-2) + . . . + a0 y = 0 (LSn)
Uwaga 7.4 Każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego o stałych
współczynnikach jest określone na R.
7.7 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego o
stałych współczynnikach
Naszym zadaniem jest wyznaczenie fundamentalnego układu rozwiązań równania:
y(n) + an-1 y(n-1) + an-2 y(n-2) + . . . + a0 y = 0 (LSn)
Przypuśćmy, że rozwiązanie ma postać: y(x) = e x. Po podstawieniu do równania (LSn)
otrzymujemy:
Wniosek 7.2 Funkcja y(x) = e x jest rozwiązaniem równania (LSn) , jeśli liczba 
jest pierwiastkiem wielomianu
n + an-1 n-1 + an-2 n-2 + . . . + a0 = 0
54
Definicja 7.12 (Wielomian charakterystyczny, równanie charakterystyczne)
Równanie
n + an-1 n-1 + an-2 n-2 + . . . + a0 = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania (LSn). Natomiast wielomian
W () = n + an-1 n-1 + an-2 n-2 + . . . + a0
nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.
Uwaga 7.5 Wielomian charakterystyczny równania (LSn) jest wielomianem n-tego
stopnia o współczynnikach rzeczywistych. W zbiorze liczb zespolonych ma dokładnie n
pierwiastków ( uwzględniając ich krotność). Ponadto jeśli liczba  jest jego pierwiastkiem
Ż
zespolonym, to również  jest jego pierwiastkiem.
Przykład 7.12 Wyznaczyć wielomiany charakterystyczne oraz ich pierwiastki dla
równań:
a) y(4) - y = 0 b) y(4) + y = 0
Przykład 7.13 Podać równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych
współczynnikach, jeżeli ich równania charakterystyczne mają postać:
a) 3 -  + 1 = 0 b) 2 + 1 = 0 c) 2 ( - 3) ( + 4) = 0
Przykład 7.14
Wyznaczyć równania różniczkowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie
najniższego rzędu, jeżeli podane są pierwiastki wielomianów charakterystycznych:
a) 1 = 2 , 2 = -3 , 3 = 0 b) 1 = i , 2 = -2i
Twierdzenie 7.8 (Fundamentalny układ rozwiązań równania (LSn))
Niech  będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (LSn). Wówczas:
1. Jeżeli  jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji:
ex, xex, . . . , xk-1 ex
jest rozwiązaniem równania (LSn);
Ż
2. Jeżeli  = ą + i� i  = ą - i�, � > 0, są k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,
to każda z 2k funkcji
eąx cos �x, eąx sin �x, xeąx cos �x, xeąx sin �x, . . . , xk-1eąx cos �x, xk-1eąx sin �x
jest rozwiązaniem równania (LSn). Ponadto funkcje zestawione w ten sposób dla
wszystkich pierwiastków wielomianu charakterystycznego równania (LSn) (jest ich
n) tworzą jego fundamentalny układ rozwiązań.
Kombinacja liniowa tych funkcji jest rozwiązaniem ogólnym równania
różniczkowego liniowego jednorodnego.
Oznaczmy rozwiązanie ogólne przez yRORJ. Z powyższego twierdzenia wynika:
yRORJ = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn
gdzie y1, y2, . . . , yn jest fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego.
55
7.8 Rozwiązanie równania niejednorodnego
Definicja 7.13 (Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach)
Równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym nazywamy
równanie (Ln), gdzie a1, a2, . . . , an-1 " R oraz funkcja q nie jest tożsamościowo równa
zeru. Równanie niejednorodne będziemy oznaczać (LNn).
y(n) + an-1 y(n-1) + an-2 y(n-2) + . . . + a0 y = q(x) (LNn)
Twierdzenie 7.9 Jeżeli funkcje Ć , � są rozwiązaniami równania niejednorodnego
(LNn), to ich różnica (Ć - �) jest rozwiązaniem równania jednorodnego (LJn).
Twierdzenie 7.10 (Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego) Niech Ć
będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (LNn) i niech (y1, y2, . . . , yn)
będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego (LSn) . Wtedy dla
każdego rozwiązania y(x) równania niejednorodnego (LNn) istnieją jednoznacznie
określone stałe rzeczywiste C1, C2, . . . , Cn takie, że:
y(x) = C1 y1(x) + c2 y2(x) + . . . + Cn yn(x) + Ć(x)
Wniosek 7.3 Powyższe twierdzenie oznacza, że mając fundamentalny układ rozwiązań
równania (LJn) i jedno rozwiązanie równania (LNn) można przez dobór stałych
C1, C2, . . . , Cn znalez
ć rozwiązanie z dowolnymi warunkami początkowymi.
Sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania równania
niejednorodnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego i
oznaczamy yRORN :
yRORN (x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + . . . + Cn yn(x) +Ć(x)

yRORJ
7.9 Metody znajdowania rozwiązania równania niejednorodnego (LNn)
.
1. Metoda współczynników nieoznaczonych - metoda przewidywań
Metodę tę stosujemy tylko do równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o
stałych współczynnikach, których prawa strona ma postać:

q(x) = eąx ckxk + ck-1xk-1 + . . . + c1x + c0 cos �x + blxl + bl-1xl-1 + . . . + b1x + b0 sin �x (
Twierdzenie 7.11 Niech dane będzie równanie:
y(n) + an-1 y(n-1) + an-2 y(n-2) + . . . + a0 y = q(x) (LNn)
gdzie q(x) jest postaci ( ).
Jeżeli liczba � = ą + i � jest pierwiastkiem krotności s wielomianu
charakterystycznego równania jednorodnego (LJn), to rozwiązanie równania (LNn)
ma postać:

Ć(x) = xs eąx Amxk + Am-1xk-1 + . . . + A1x + A0 cos �x
56

+ Bmxm + Bm-1xm-1 + . . . + B1x + B0 sin �x
przy czym m = max(k, l), a A0, A1, . . . , Am, B0, B1, . . . , Bm są odpowiednio
dobranymi współczynnikami rzeczywistymi.
Jeżeli � = ą + i � nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to w
powyższym wzorze przyjmujemy s=0.
Przykład 7.15
Wyznaczyć postacie rozwiązań podanych równań różniczkowych:
a) y - y = ex b) y - y = x c) y(4) + y = sin x d) y(4) + y = 2x2 + x + 1
2. Metoda uzmienniania stałych
Twierdzenie 7.12
Jeżeli (y1, y2, . . . , yn) jest fundamentalnym układem rozwiązań równania liniowego
jednorodnego (LSn) oraz ciąg funkcji C1, C2, . . . , Cn jest dowolnym rozwiązaniem
układu równań:
�ł łł �ł łł �ł łł

y1(x) y2(x) . . . yn(x)
C1(x) 0
�ł śł �ł śł �ł śł

y1(x) y2(x) . . . yn(x)
C2(x) 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
. . . =
. . .
�ł śł �ł śł �ł śł
. . . .
. .
.
. . .
�ł �ł �ł . �ł �ł . �ł
(n-1) (n-1) (n-1)

Cn(x) q(x)
y1 (x) y2 (x) . . . yn (x)
to funkcja
Ć(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + . . . + Cn(x)yn(x)
jest rozwiązaniem równania (LNn).
Uwaga 7.6

Powyższy układ równań z niewiadomymi C1(x), C2(x), . . . , Cn(x) ma jednoznaczne
rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest wrońskianem fundamentalnego układu
rozwiązań równania (LJn), więc jest różny od zera.
Przykład 7.16 Znalez
ć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y - 2y + y = ex arctg x , y(0) = 1 , y (0) = 0
"
b) y + 3y + 2y = 1 - ex y(0) = 1 y (0) = 0
57