Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 19
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ
DU PIERWSZEGO  lista zadań
1. Sprawdzić, czy funkcja y = y(x) jest całką szczególną podanego równania różniczkowego:
a) y = 5e- x + 3e- x, y/ + 2y = 3e- x , b) y = 2x2e4x , y/ - 4y = 2e4x ,
//
c) y = 2 cos x + sin x, y + y = 0 , d) y = ex + xex, y// - 3y/ + 2y = 0 .
2. Wykazać, że zbiór funkcji y = y( x,C) stanowi całkę ogólną równania różniczkowego:
x / / /
a) y = Ce , y = y , b) y =1 + Ce- x2 , y + 2xy = 2x , c) y = x -1 + (x + C)e- x , y + y = xe- x .
/ 2
3
3. Wykazać, że w przypadku równania y = y :
1
a) zbiór funkcji y = (x - C)3 stanowi całkę ogólną,
27
b) funkcja y = 0 stanowi rozwiązanie dodatkowe.
Naszkicować wykresy kilku funkcji spełniających podane równanie.
4. Podać rozwiązanie ogólne równania typu y/ = f (x) :
6x
a) y/ = 4x + 5 , b) y/ = cos x , c) y/ = 2e- x +1, d) y/ = , e) y/ = ln x .
1+ x2
5. Znalez
ć rozwiązanie ogólne równania, a następnie naszkicować kilka krzywych całkowych tego równania:
a) y/ = 2x + 2 , b) y/ = ex .
6. Znalez
ć rozwiązania ogólne równań o zmiennych rozdzielonych:
a) y/ = y2 , b) y/ = e- y , c) y/ =1+ y2 , d) y/ = y , e) y/ = -3y ,
f) y2 y/ = 2x , g) ey y/ = 4x , h) y/ = y2 cos x , i) xy/ =1+ y2 , j) x2 y/ = y2 .
7. Rozwiązać następujące zagadnienie Cauchy'ego:
2x
a) y/ = 4x, y(0) = 4 , b) y/ = y2, y(0) =1, c) y/ = , y(1) =-2 ,
y2
d) y/ = x2 y2, y(1) = -3 , e) y/ = y2ex , y(0) =1.
8. Rozwiązać równania różniczkowe metodą przewidywań:
a) y/ - 3y = 3x + 5 , b) y/ + y = x2 + 4x -1, c) y/ - 5y = 6e2x ,
d) y/ + 4y = 3cos5x - 4sin5x , e) y/ - y = (4x + 2)e- x , f) y/ + 2y = 3xe- x .
9. Rozwiązać równania różniczkowe skorygowaną metodą przewidywań:
a) y/ - 3y = 6e3x , b) y/ + 2y = 5e-2x , c) y/ - 3y = xe3x .
10. Rozwiązać następujące zagadnienie Cauchy'ego:
a) y/ + 2y = 3e-x, y(0) = 5 , b) y/ - 2y = 2x -1, y(0) = 3.
Zadania do wykładu 19: Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
2
Odpowiedzi
1. a) tak, b) nie, c) tak, d) nie.
4. a) y = 2x2 + 5x + C , b) y = sin x + C , ) y = -2e-x + x + C , d) y = 3ln(1+ x2) + C , e) y = xln x - x + C .
5. a) y = x2 + 2x + C . Jest to rodzina parabol o wierzchołkach leżących na prostej x =-1, otrzymanych
przez odpowiednie przesunięcie paraboli y = x2 .
b) y = ex + C . Rodzina krzywych wykładniczych otrzymanych z wykresu funkcji y = ex w wyniku
przesunięć wzdłuż osi OY.
1 1
6. a) y = , b) y =-ln(C -x) , c) y = tg(x - C) , d) y = (x - C)2 , e) y = Ce-3x ,
C - x 4
-1 x
3
f) y = 3x2 + C , g) y = ln(2x2 + C) , h) y = , i) y = tg(ln x + C) , j) y = .
sin x + C 1- Cx
1 -3 -1
3
7. a) y = 2x2 + 4 , b) y = , c) y = 3x2 -11 , d) y = , e) y = .
1- x x3 ex - 2
8. a) y = Ce3x - x - 2 , b) y = Ce- x + x2 + 2x - 3 , c) y = Ce5x + 2e2x ,
32 1
d) y = Ce-4x + cos5x - sin 5x , e) y = Cex - (2x + 2)e- x , f) y = Ce-2x + (3x - 3)e- x .
41 41
1
9. a) y = Ce3x + 6xe3x , b) y = Ce-2x + 5xe-2x , c) y = Ce3x + x2e3x .
2
10. a) y = 2e-2x + 3e- x , b) y = 3e2x - x .