SYSTEMY LICZENIA
Binarny system liczenia -
Informacje
Dzia ania
dodawanie
odejmowanie
Kod znak Modu
Kod uzupe nienia do dwóch
Binarny system - informacje
Liczby systemu dwójkowego
Liczby systemu dziesi tnego
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
Dodawanie
Dodawanie liczb binarnych wykonuje si tak samo jak
w systemie dziesi tkowym, to znaczy rz d po rz dzie,
zaczynaj c od najni szego.
101101 - pierwszy sk adnik
+10100 - drugi sk adnik
0 + 0 = 0
1000001 - suma 0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Dodawanie
a b s c
a i b sumowane bity
0 0 0 0
s wynik sumowania na danej
0 1 1 0
pozycji
1 0 1 0
c przeniesienie
1 1 0 1
b c
a s
Symbol pó sumatora jednobitowego
Dodawanie
ai bi ci si ci+1
0 0 0 0 0
ai, bi, ci sumowane bity
0 0 1 1 0
si wynik sumowania na danej
0 1 0 1 0
pozycji
0 1 1 0 1
ci+1 przeniesienie
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
bi ci+1
1 1 1 1 1
ci
ai si
Symbol sumatora pe nego jednobitowego
Odejmowanie
0  0 = 0
02  12 jest niewykonalne,
1  0 = 1
wi c tak jak w systemie dziesi tnym musisz
1  1 = 0
"po yczy " jedynk z lewej strony.
10  1 = 1
Rezultatem tego b dzie takie dzia anie:
102  12 = 12
Odejmijmy dwie liczby:
10110(2)
22(10)
I sprawd my:
-1010(2)
-10(10)
1100(2) 12(10)
Kod znak modu (ZM)
W kodzie tym najstarszy bit jest bitem znaku. Je li liczba jest dodatnia, to bit
.
znaku jest równy 0, a gdy jest ujemna, to jest on równy 1. Pozosta e bity reprezentuj
modu liczby w kodzie NKB. Zakres kodowanych liczb zale y od d ugo ci s owa.
W przypadku s owa n-bitowego mo na przedstawia liczby dziesi tne
z zakresu od -(2n-1  1) do +(2n-1  1). Na przyk ad je li n=4, to za pomoc kodu ZM
mo na zapisa liczby dziesi tne z przedzia u od  7 do 7. Na przyk ad: -7 = 1111
(najstarszy bit równa si 1), natomiast 7 = 0111 (najstarszy bit równa si 0).
Mo na zauwa , e na czterech bitach nie da si zapisa liczby  13, gdy nie
nale y ona do przedzia u [-7,7]. W celu zakodowania liczby  13 nale y wykorzysta n=5
bitów. Wówczas, -13 = 11101, natomiast 13 = 01101.
Je li przyjmie si n=8 (s owo 8-bitowe  1 bajt), to zakres mo liwych do
przedstawienia liczb dziesi tnych nale y do przedzia u od  127 do 127. Na przyk ad: -
127 = 11111111, natomiast 127 = 01111111.
W kodzie ZM istniej dwie dopuszczalne reprezentacje liczby 0. Dla 8-bitowych
ów s to nast puj ce s owa: 0 = 00000000ZM (reprezentacja dodatnia) oraz -0 =
10000000ZM (reprezentacja ujemna). Podwójna reprezentacja liczby 0 jest wad tego
kodu, gdy stwarza pewne problemy przy realizacji algorytmów arytmetycznych.
Liczba
Znak-modu
ca kowita
Kod znak modu (ZM)
+7 0111
+ 6 0110
+ 5 0101
Kod ten pozwala kodowa liczby
+4 0100
ca kowite ze znakiem. Jego idea jest
+3 0011
prosta. Najstarszy bit s owa tego kodu
+ 2 0010
reprezentuje znak liczby, na przyk ad
0 -  +",
+ 1 0001
1 -  -"
0 0000
Pozosta e bity s owa reprezentuj
-1 1001
warto bezwzgl dn , czyli modu
zapisywanej liczby, przy czym nale y
-2 1010
oczywi cie okre li , w jakim kodzie
-3 1011
jest on zapisany.
-4 1100
Przyk adowo, je eli modu
zapisujemy w kodzie NKB, to zapis
- 5 1101
010111Zm reprezentuje w zapisie ZM
- 6 1110
liczb 23,
- 7 1111
a 110111Zm - liczb -23.
(-0) 1000
Kod uzupe nienia do dwóch
Po dan sytuacj by by stan, w którym operacje dodawania i odejmowania liczb
binarnych ze znakiem (czyli zarówno dodatnich, jak i ujemnych) da oby si sprowadzi
do prostych do wykonania (dla uk adów cyfrowych) operacji. Takimi operacjami s :
dodawanie i negacja wszystkich bitów liczby (s owa).
Kodem, który umo liwia takie rozwi zanie, prowadz c do bardzo prostego algorytmu,
jest kod uzupe nienia do dwóch (U2).
Definicja
Kodem uzupe nienia do dwóch (kodem U2) nazywamy kod wagowy,
który dowolnej ca kowitej liczbie dziesi tnej przyporz dkowuje s owo binarne
an-1........a0 takie, e spe niony jest poni szy wzór:
Xu2 =an-i ........a0 = -an-1 * 2n-1 + an-2 * 2n-2 +& & & .+ a0 * 20 = XD
Kod uzupe nienia do dwóch
Definicja
Kodem uzupe nienia do dwóch (kodem U2) nazywamy kod wagowy,
który dowolnej ca kowitej liczbie dziesi tnej przyporz dkowuje s owo binarne
an-1........a0 takie, e spe niony jest poni szy wzór:
Xu2 =an-i ........a0 = -an-1 * 2n-1 + an-2 * 2n-2 +& & & .+ a0 * 20 = XD
Najpierw zwracamy uwag , e je eli najstarszy (u nas czwarty) bit liczby zapisanej w
kodzie U2 jest równy 1, to mamy do czynienia z liczb ujemn .
Prosimy jednak zauwa , e bit ten nie jest wy cznie bitem znaku,
lecz niesie wraz ze swoj wag (ca ) warto ujemn .
Przyk ad
Liczba 1101U2 zgodnie ze wzorem podanym w definicji odpowiada liczbie dziesi tnej -3,
bo:
1101U2 = -1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*2° = -8 + 4 + 1 = -3d
Nast pnie atwo zauwa , e zapis liczb dodatnich w kodzie U2
i w kodzie NKB jest identyczny.