J. Szantyr - Wykład 8  Równanie zachowania masy
Prawo zachowania masy: w zamkniętym układzie fizycznym masa
nie może powstać ani nie może ulec anihilacji.
Założenia:
-rozpatrujemy nieustalony trójwymiarowy przepływ płynu ściśliwego,
-płyn w całości wypełnia przestrzeń (brak nieciągłości, pęcherzy itp.),
-stosujemy opis Eulera  nieruchoma objętość kontrolna ograniczona
-stosujemy opis Eulera  nieruchoma objętość kontrolna ograniczona
powierzchniÄ… kontrolnÄ….
Przy tych założeniach prawo zachowania masy brzmi:
przyrost masy w objętości = przepływ masy przez powierzchnię
Przyrost masy w objętości kontrolnej wynosi:
" "Á
(Á´x´y´z)= ´x´y´z
"t "t
Z kolei przepływ przez powierzchnię
kontrolnÄ… wynosi:
"(Áu) 1 "(Áu) 1
ëÅ‚ ëÅ‚
Áu - ´xöÅ‚´y´z - Áu + ´xöÅ‚´y´z +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"x 2 "x 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"(Áv) 1 "(Áv) 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
+ Áv - ´y÷Å‚´x´z - ìÅ‚ Áv + ´y÷Å‚´x´z +
ìÅ‚ ìÅ‚
"y 2 "y 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"(Áw) 1 "(Áw) 1
ëÅ‚ öÅ‚´x´y - ëÅ‚
+ Áw - ´z Áw + ´zöÅ‚´x´y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"z 2 "z 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Porównanie obu wyrażeń i podzielenie stronami przez objętość
kontrolnÄ… prowadzi do wzoru:
"Á "(Áu) "(Áv) "(Áw) "Á
+ + + = + div(Áu)= 0
"t "x "y "z "t
W przypadku ustalonego przepływu płynu ściśliwego równanie
zachowania masy przybiera postać:
"(Áu) "(Áv) "(Áw)
+ + = div(Áu)= 0
"x "y "z
W przypadku ustalonego przepływu płynu nieściśliwego równanie
zachowania masy przybiera postać:
zachowania masy przybiera postać:
"u "v "w
+ + = divu = 0
"x "y "z
W przypadku poruszającego się elementu płynu (opis Lagrange a)
równanie zachowania masy przybiera postać:
"Á "Á DÁ
+ div(Áu)= + u Å" gradÁ + Ádivu = + Ádivu
"t "t Dt
Równanie zachowania masy dla rurki prądu
Różnica natężeń przepływu masy pomiędzy przekrojami 1 i 2
1
1
"
"
( ) ( ) ( ) ( ) (~~ )
Á(s,t)u(s,t)dS - Á(s,t)u(s,t)dS = (ÁuS)ds
+" +" +"
"s
S1 S2 2
Odpowiednie wartości średnie są zdefiniowane następująco:
1
~
1
~
Á2 = Á2dS2
+"
Á1 = Á1dS1
+" S2 S2
S1 S1
1
1
~
~
u2 = Á2u2dS2
u1 = Á1u1dS1
~ +"
~ +"
S2Á2 S2
S1Á1 S1
Różnica ta może powstać w wyniku kompresji lub ekspansji płynu
w obszarze kontrolnym ograniczonym przekrojami 1 i 2. W takim
przypadku masa w obszarze kontrolnym zmienia się z prędkością:
2
"
~
Á(s,t)S(s,t)ds
+"
"t
1
Zgodnie z zasadą zachowania masy zmiana masy w objętości musi
być równa strumieniowi masy przez powierzchnię ograniczającą.
2
2 2
~ ~
~
~
~
"(ÁS) "(ÁuS)
" "(ÁuS)ds îÅ‚ Å‚Å‚ds = 0
~
ÁSds = - czyli:
+"ðÅ‚ "t +
ïÅ‚ śł
+" +"
"s
ûÅ‚
"t "s
1
1 1
Ponieważ powyższa równość zachodzi dla dowolnie wybranych
przekrojów 1 i 2, to funkcja podcałkowa powinna być równa zero.
Prowadzi to do następującego równania zachowania masy:
~ ~
~
"(ÁS) "(ÁuS)
+ = 0
"t "s
Dla płynu nieściśliwego (o stałej gęstości) otrzymujemy:
~
"S "(uS)
+ = 0
"t "s
Z kolei dla przepływu ustalonego otrzymujemy:
~
~
~
~
"(ÁuS)
ÁuS = const
czyli:
= 0
"s
Wnioski:
Wnioski:
-w ustalonym przepływie płynu ściśliwego natężenie przepływu
masy (strumień masy) przez każdy poprzeczny przekrój rurki prądu
jest stałe,
-w ustalonym przepływie płynu nieściśliwego objętościowe
natężenie przepływu (strumień objętości) jest stałe, czyli prędkość
przepływu jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju rurki
prÄ…du.