19. Reprezentacja pędowa. Postać operatora położenia w reprezentacji pędowej
Jak wiemy, w reprezentacji położeniowej operator pędu wygląda następująco:
"
p=-i ! "r=-i !
ęą
" r
Ä…
Zagadnienie własne
i p r
"µÄ… Ä… Ä…
p
!
p µÄ… = p µÄ…p Ô! =Ä… µÄ… , czyli
ęą p
p p µÄ…p=C e
" r
Ä…
Bierzemy definicję delty Diraca  fizyków (tak, tą sprawiającą najwięcej wątpliwości
matematycznych). Plus kilka własności:
"
1
ºÄ…śą kźą= e-i k x dk (1)
+"
2 Ćą
-"
1
ºÄ…śą·Ä… k źą= ºÄ…śąk źą
(2)
#"·Ä…#"
"
f śąxoźą= f śąxźą ºÄ…śąx- xoźądx (3)
+"
-"
Funkcje normujemy do delty Diraca:
i śą px- px 'źą x i śą py- py 'źą y iśą p - pz 'źą z
-i p ' r i p r
Ä… Ä… Ä… Ä… z
3 3 3
! ! ! ! !
#" #" #" #"
µÄ…* 'µÄ…Ä… d r= C2 e e d r= C2 e e e d r=
+" +" +"
p p
Ä…
x,y,z - zmienne niezależne
i śą p - px 'źą x i śą py- py ' źąy iśą p - pz 'źąz
3
x z
2 Ćą
2
! ! !
#" #" #" #" ,
C e dx e dy e dz= C2 śą źą ºÄ…śą px- px' źąºÄ… śą p - p ' źąºÄ… śą pz- pz ' źą
+" +" +"
y y
#" #"
i /!
gdzie ostatnie przekształcenie używa definicji (1) i własności (2).
z czego wynika
i p r
3 Ä… Ä…
1
1
2 Ćą
2 !
C=
, więc :
#" #" µÄ…p śąrźą= e
C śą źą =1 Ò! Ä…
#" #"
i/! śą2 Ćą!źą3 /2 śą2 Ćą! źą3 /2
µÄ…p śąrźą
Dowolną funkcję można rozłożyć na funkcje własnych operatora pędu ą
3
µÄ…śąąźą= śą pźąµÄ… śąr p , gdzie  a to współczynniki dla każdej funkcji
r
ą ąźąd
+"a
p
(mamy tutaj nieme założenie o ciągłym widmie wartości własnych operatora pędu. Odczuwam w
swoim wykształceniu spore niedostatki formalizmu, zatem wyjaśnienie tego faktu zlecam komuś
bardziej światłemu).
i p r
Ä… Ä…
1
3 3
!
µÄ…śąąźą= a śą pźąµÄ… śąr p= a śą pźą e d p
r
+" ą ąźąd +" ą (4)
p
śą 2 Ćą!źą3 /2
Zauważamy, że jest to transformata Fouriera funkcji a
Jacak przedstawił to trochę na opak, znaki przy eksponencie  mówią o tym, czy jest to
transformata, czy transformata odwrotna. Jak zdefiniujemy, tak należy się tym posłużyć.
1
-1

Ä…
1! śą f śą kźąźą= f śą xźą eikxdx
+"
2Ćą
ćą
1

Ä…
1! śą f śąxźąźą= f śąkźą e-ikxdk
+"
2 Ćą
ćą
Z tego wszystkiego można napisać, że a(p) jest funkcją własną operatora pędu w bazie pędowej.
Skorzystamy z twierdzenia o równości wartości średnich operatora.
* 3 * 3
#" #"
)#µÄ… r µÄ… *#= śąąźąą µÄ…śąąźąd r= śąą ręąp a śą pźą d p
ęą
Ä…
+"µÄ… r r r +"a pźą
Wyliczmy pomocniczo
i p r
Ä… Ä…
1
3
!
r µÄ…śąr a śą pźą e d p= wchodzimy bezkarnie z r pod caÅ‚kÄ™
ą ąźą=r +" ą
Ä…
śą2 Ćą! źą3 /2
i p r i p r i p r
Ä… Ä… Ä… Ä… Ä… Ä…
1 1 "
3 3
! ! " !
r µÄ…śąr a śą p źąą e d p= Å"{ [-i ! e a śą pźą ] - śą-i !źą e śą a śą pźąźąd p
r
ą ąźą= +" ą ą +" ą
" p
-"
śą2 Ćą !źą3/ 2 śą2 Ćą !źą3/ 2 ą
zatem
i p r
Ä… Ä…
1 "
3
!
r µÄ…śąr e śąi ! a śą pźąźą d p
ą ąźą= +" ą
" p
śą2 Ćą !źą3/ 2 ą
Policzmy jeszcze sprzężenie(4)
-i p r
Ä… Ä…
1
3
!
µÄ…*śąr a*śą p źąe d p
ąźą= +" ą
śą2 Ćą !źą3/ 2
 zbudujmy teraz wyrażenie na wartość średnią (oczekiwaną) operatora  r
-i p ' r i p r
Ä… Ä… Ä… Ä…
1 "
3
! !
#" #"
)#µÄ… r µÄ… *#= µÄ…*śąąźąąµÄ…śąąźąd3 r= {śą a*śą p ' źąe d3 p ' źąśą e śąi ! aśą pźąźąd pźą} d3r=
ęą r r r
+" +" +" Ä… +" Ä…
" p
śą2Ćą !źą3 / 2 ą
-i p ' r i pÄ…
r
Ä… Ä… Ä…
1 "
3 3 3
! !
a*śąą źąe e śąi ! a śąą d p' d p d r=
p' pźąźą
-"
" p
śą2Ćą !źą3/ 2 ą
i śąą ą 'źąr
p- p
Ä…
1 "
3 3 3
!
a*śą p ' źą e śąi ! a śą pźąźą d p ' d p d r=*
Ä… Ä…
-"
" p
Ä…
śą2 Ćą !źą3/ 2
cytata z Jacaka (z tego wykładu)  no i masz nawykonywać tych całek...
korzystamy z:
i śą p- ą ą
p' źą r
Ä…
1
3
!
e d r=!3ºÄ…śą p-Ä… , wszystko siÄ™  upraszcza
p ' źą
Ä…
+"
śą2 Ćąźą3
"
* 3 3
*= śą p' źąºÄ… śą p-Ä… ' źąśąi ! a śą pźąźąd p ' d p=
p
ą ą ą całkujemy po  p korzystając z (3)
,"a
" p
Ä…
"
* 3 * 3
= śą p 'źąśąi ! źą a śą p ' źą d p '= śą p ręąp a śą pźą d p
ą ą ąźą ą , zatem
+"a +"a
" p '
Ä…
"
ęą
r =i !
p
" p
Ä…
Czujni niech sprawdzą, czy to zawiera błędy oraz czy trzyma się  kupy . Pieczarka