T O P O L O G I A
WPPT I, sem. letni
LISTA 4
Wroclaw, 10 marca 2007
1 1
ZADANIE 1. W przestrzeni R \ {0} zadajemy metryk¸ d(x, y) = | - |. Czy ciag
e ¸
x y
an(-n)n jest podstawowy w tej metryce? Czy jest on zbieżny?
ZADANIE 2. Wykaż, że ciag (xn) w przestrzeni metrycznej (X, d) jest podstawowy
¸
wtedy i tylko wtedy gdy instnieje przestrzeÅ„ metryczna (X , d ) taka, że X ‚" X ,
d = d na X i (xn) jest zbieżny w X .
Wsk. Dolóż do X jeden punkt.
ZADANIE 3. Udowodnij, że [0, 1] jest przestrzenia zupeln¸ z każd¸ metryk¸ równoważn¸
¸ a a a a
z metryk¸  modul różnicy .
a
Wsk. Wykorzystaj wiedz¸ z analizy o funkcjach ciaglych na [0, 1].
e ¸
ZADANIE 4. Rozważmy zbiór CB(X, Y ) funkcji z przestrzeni metrycznej (X, d)
w (Y, e) ciaglych i ograniczonych (czyli obraz każdej z nich jest zawarty w pewnej
¸
kuli). Zbiór ten z metryk¸ supremum
a
dsup(f, g) = sup e(f(x), f(y))
x"X
jest przestrzenia metryczn¸ zupeln¸ wtedy i tylko wtedy gdy ??? jest przestrzenia
¸ a a ¸
zupeln¸
a.
Wstaw w miejsce ??? wlaÅ›ciw¸ treść: ,,(X, d) albo ,,(Y, e) albo ,,każda z przestrzeni
a
(X, d), (Y, e) .
Definicja. Funkcja f : (X, d) (Y, e) spelnia warunek Lipschitza (ze stala c > 0)
¸
jeśli
"x,y"X e(f(x), f(y)) d" cd(x, y).
ZADANIE 5. Sprawdz
, że jeÅ›li f : A R, gdzie A ‚" R jest przedzialem (wlaÅ›ciwym
lub niewlaÅ›ciwym), ma ograniczon¸ pochodn¸ to spelnia one warunek Lipschitza i
a a,
podaj z jak¸ stala.
a ¸
ZADANIE 6. Sprawdz
, że warunek Lipschitza implkuje jednostajn¸ ciaglość, ale
a ¸
nie odwrotnie (podaj odpowiedni kontrprzyklad).
Dalsze zadania dopisane po wykladzie.
ZADANIE 7. Sprawdz
, czy funkcja H(f) = F , z przestrzeni C([a, b]) funkcji
ciaglych na przedziale [a, b] z metryk¸ supremum w t¸ sam¸ przestrzeÅ„, gdzie F
¸ a a a
jest funkcj¸ pierwotn¸ z f spelniajac¸ warunek pocz¸ F (a) = c, (c dowolna
a a ¸ a atkowy
stala) spelnia warunek Lipshitza. JeÅ›li tak, to z jak¸ stala?
a ¸
2
ZADANIE 8. W zadaniu 1 przyj¸Ä‡ [a, b] = [0, ], c = 1. Do czego d¸Å¼¸ ciagi postaci
a a a ¸
3
Hn(f) (= H(H(H...(H(f))...)))?
ZADANIE 9. Zbadaj zbieżność ciagu rekurencyjnego
¸
"
a0 = Ä„ + e
Ä„
an+1 = 1 - + arctg(an).
4
Ä„
Wskazówka: Rozważyć odpowiednie odwzorowanie na przedziale [1- , ").
4
Tomasz Downarowicz