T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni LISTA 4 Wroclaw, 10 marca 2007 1 1 ZADANIE 1. W przestrzeni R \ {0} zadajemy metryk¸ d(x, y) = | - |. Czy ciag e ¸ x y an(-n)n jest podstawowy w tej metryce? Czy jest on zbieżny? ZADANIE 2. Wykaż, że ciag (xn) w przestrzeni metrycznej (X, d) jest podstawowy ¸ wtedy i tylko wtedy gdy instnieje przestrzeÅ„ metryczna (X , d ) taka, że X ‚" X , d = d na X i (xn) jest zbieżny w X . Wsk. Dolóż do X jeden punkt. ZADANIE 3. Udowodnij, że [0, 1] jest przestrzenia zupeln¸ z każd¸ metryk¸ równoważn¸ ¸ a a a a z metryk¸ modul różnicy . a Wsk. Wykorzystaj wiedz¸ z analizy o funkcjach ciaglych na [0, 1]. e ¸ ZADANIE 4. Rozważmy zbiór CB(X, Y ) funkcji z przestrzeni metrycznej (X, d) w (Y, e) ciaglych i ograniczonych (czyli obraz każdej z nich jest zawarty w pewnej ¸ kuli). Zbiór ten z metryk¸ supremum a dsup(f, g) = sup e(f(x), f(y)) x"X jest przestrzenia metryczn¸ zupeln¸ wtedy i tylko wtedy gdy ??? jest przestrzenia ¸ a a ¸ zupeln¸ a. Wstaw w miejsce ??? wlaÅ›ciw¸ treść: ,,(X, d) albo ,,(Y, e) albo ,,każda z przestrzeni a (X, d), (Y, e) . Definicja. Funkcja f : (X, d) (Y, e) spelnia warunek Lipschitza (ze stala c > 0) ¸ jeÅ›li "x,y"X e(f(x), f(y)) d" cd(x, y). ZADANIE 5. Sprawdz, że jeÅ›li f : A R, gdzie A ‚" R jest przedzialem (wlaÅ›ciwym lub niewlaÅ›ciwym), ma ograniczon¸ pochodn¸ to spelnia one warunek Lipschitza i a a, podaj z jak¸ stala. a ¸ ZADANIE 6. Sprawdz, że warunek Lipschitza implkuje jednostajn¸ ciaglość, ale a ¸ nie odwrotnie (podaj odpowiedni kontrprzyklad). Dalsze zadania dopisane po wykladzie. ZADANIE 7. Sprawdz, czy funkcja H(f) = F , z przestrzeni C([a, b]) funkcji ciaglych na przedziale [a, b] z metryk¸ supremum w t¸ sam¸ przestrzeÅ„, gdzie F ¸ a a a jest funkcj¸ pierwotn¸ z f spelniajac¸ warunek pocz¸ F (a) = c, (c dowolna a a ¸ a atkowy stala) spelnia warunek Lipshitza. JeÅ›li tak, to z jak¸ stala? a ¸ 2 ZADANIE 8. W zadaniu 1 przyj¸Ä‡ [a, b] = [0, ], c = 1. Do czego d¸Å¼¸ ciagi postaci a a a ¸ 3 Hn(f) (= H(H(H...(H(f))...)))? ZADANIE 9. Zbadaj zbieżność ciagu rekurencyjnego ¸ " a0 = Ä„ + e Ä„ an+1 = 1 - + arctg(an). 4 Ä„ Wskazówka: Rozważyć odpowiednie odwzorowanie na przedziale [1- , "). 4 Tomasz Downarowicz