Wykład 3
Granice ciągów liczbowych
Granica skończona ciągu
Granicą ciągu { an} jest liczba g (ciąg { an} jest zbieżny
do granicy g), co zapisujemy
lim an =� g
lub a �� g,
n
n��Ą�
jeśli
Ł��� Ł� (�n >� d� �� an -� g <� e� )�.
e� d� n��N
Granica nieskończona ciągu
Granicą ciągu { an} jest plus nieskończoność (ciąg { an}
jest rozbieżny doĄ� ), co zapisujemy
lima =� Ą� �� Ł��� Ł� (�n >� d� �� a >� M )�.
n n
n��Ą� M d� n��N
Granicą ciągu { an} jest minus nieskończoność (ciąg
{ an} jest rozbieżny do  ), co zapisujemy
Ą�
lima =� -�Ą� �� Ł��� Ł� (�n >� d� �� a <� M )�.
n n
n��Ą� M d� n��N
Podstawowe twierdzenia z
teorii granic ciągów
Twierdzenie 1
lim an =� a limbn =� b
Jeżeli i , to
n��Ą� n��Ą�
lim(�an ą� bn )� =� a ą� b
a) ,
n��Ą�
lim(�an ��bn )� =� a ��b
b) ,
n��Ą�
a a
n
lim =�
c) , przy założeniu, że dla każdego
n��Ą�
b b
n
n �� N
n
jest b ą� 0 i również b ą� 0.
Twierdzenie 2
lim an =� a {�an}�
Jeżeli i ciąg jest ciągiem o wyrazach
n��Ą�
p
p
lim an =� a
nieujemnych, to , gdzie p jest ustaloną
n��Ą�
liczbą naturalną.
Twierdzenie 3 (o trzech ciągach)
{�un}� {�an}�
Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów , ,
{�vn}�
spełniają nierówność
un Ł� an Ł� vn
{�un}� i {�vn}� mają wspólną granicę g,
i jeżeli ciągi
tzn.
limun =� lim vn =� g
,
n��Ą� n��Ą�
{�an}� ma tę samą granicę, czyli
to ciąg
lim an =� g.
n��Ą�
Przykład
Obliczyć granicę ciągów:
2
3n -� 4n +� 5
�� ��
a)
��2n +� 7n -� 6ż�
2
�� ��
Dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę liczby n
występującą w mianowniku ułamka, tj. przez n2, otrzymujemy:
2
3n 4n 5 4 5
-� +� 3 -� +�
2 2 2 2
n n n n n
a =� =� .
2
n
7 6
2n 7n 6
2 +� -�
+� -�
2
2 2 2
n n
n n n
Do licznika i mianownika stosujemy pdp. a) Twierdzenia1.
Zauważmy jeszcze, że przy n �� Ą� mamy
4 5 7 6
�� 0, �� 0, �� 0, �� 0.
2 2
n n n n
Otrzymujemy więc:
4 5 7 6
�� ��
limć�3 -� +� =� 3 -� 0 +� 0 =� 3 oraz limć�2 +� -� =�
�� �� �� ��
2 2
n��Ą� n��Ą�
n n n n
Ł� ł� Ł� ł�
2 +� 0 -� 0 =� 2.
Następnie stosując podpunkt c) Twierdzenia 1 otrzymu-
jemy:
3
lima =�
.
n
n��Ą�
2
2
b) {� 4n +� 3n -� 2n}�
Odjemna i odjemnik wyrazu ciągu rosną nieogra-
niczenie, dlatego też bezpośrednie wnioskowanie
jest trudne. Przekształćmy to wyrażenie korzysta-
jąc z następującego wzoru algebry elementarnej:
2 2
a -� b
a -� b =� .
a +� b
Otrzymujemy
2
2
2 2 2
(� 4n +� 3n)� -� (�2n)� 4n +� 3n -� 4n
a =� =� =�
n
2 2
4n +� 3n +� 2n 4n +� 3n +� 2n
3n
=�
2
4n +� 3n +� 2n
.
Dzielimy teraz licznik i mianownik przez n pamiętając o
tym, że aby podzielić pierwiastek kwadratowy przez n,
należy wyrażenie podpierwiastkowe podzielić przez n2.
Wyraz ogólny ciągu przyjmie postać:
3
a =�
.
n
3
4 +� +� 2
n
Następnie korzystając z Twierdzenia 2 obliczamy grani-
cę ciągu:
3 3 3
lim =� =� .
n��Ą�
3
4 +� 2 4
4 +� +� 2
n
n n n
n
c){� 2 +� 3 +� 5 }�
Rozwiązanie:
Prawdziwa jest poniższa nierówność:
n n n n n n n
5 <� 2 +� 3 +� 5 <� 5 +� 5 +� 5 ,
z której wynika, że
n n n n n
n n n
5 <� 2 +� 3 +� 5 <� 3��5 ,
czyli
n n n
n
n
5 <� 2 +� 3 +� 5 <� 5 3.
Aby obliczyć granicę badanego ciągu należy zasto-
sować tu Twierdzenie 3, czyli twierdzenie o trzech
ciągach.
{�an}�
Wyrazy naszego ciągu są zawarte pomiędzy
odpowiednimi wyrazami un = 5
n
i vn =� 5 3dwóch ciągów. Opierając się na wzorze
n
lim a =� 1
dla a > 0
n��Ą�
n
mamy lim5 3 =� 5��1= 5 ; oczywiście lim5 =� 5 , a
n��Ą� n��Ą�
więc również
lim 2n +� 3n +� 5n =� 5.
n��Ą�
n
�� ��
2
��
d)��ć�
��1+� ��
ż�
n
ł�
��Ł� ��
Rozwiązanie:
Aby obliczyć granicę tego ciągu skorzystamy z nastę-
pującego wzoru z teorii granic:
n
1
��
limć�1+� =� e,
�� ��
n��Ą�
n
Ł� ł�
gdzie e = 2,71828...(liczba Eulera) jest podstawą loga-
rytmu naturalnego.
Mamy także wzór ogólniejszy, a mianowicie
1
an
lim(�1+� an )� =� e lim an =� 0 an ą� 0.
, jeżeli i
n��Ą� n��Ą�
Z tegoż wzoru skorzystamy obliczając granicę na-
szego ciągu, który przekształcimy do postaci:
2
n
���� ��
ł�
2
��ę� ��
ć�1+� 2 ��
ś�
�� ��
�� ż�.
n
ł�
ś�
���� ��
��
���� ��
2
Podstawiając a =� otrzymujemy, że granicą ciągu
n
n
jest e2.