Układy cyfrowe - Wykład
Systemy liczbowe,
kodowanie i podstawowe kody
stosowane w technice cyfrowej
Wykład 2
Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji
Instytut Informatyki i Elektroniki
© Zbigniew SkowroÅ„ski
Systemy liczbowe - 1
W systemach cyfrowych bardzo ważną rolę odgrywają zbiory znaków
złożone z 2, 8, 10, 16 elementów (odpowiednio nazywamy je:
dwójkowym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym)
Sposób zapisywania liczb nazywamy pozycyjnym, gdy wartość cyfry
zależy od miejsca, czyli pozycji, jaką ta cyfra zajmuje w napisanej
liczbie
Każda pozycja ma określoną i niezmienną wagę liczbową
OznaczajÄ…c podstawÄ™ dowolnego pozycyjnego systemu liczbowego
przez p, można każdą n-cyfrową liczbę całkowitą przedstawić
w postaci ciÄ…gu:
n-1
(1) an-1 Å" pn-1 + an-2 Å" pn-2 + ... + a1 Å" p1 + a0 Å" p0 =
"a Å" pi
i
i=0
© Zbigniew SkowroÅ„ski 2
Systemy liczbowe - 2
W systemie liczbowym o podstawie p używane są cyfry ai z zakresu od 0 do p-1.
Należy zauważyć, że dla p > 10 należy wprowadzić dodatkowe znaki:
Podstawa systemu System Cyfry używane
liczbowego p liczbowy w systemie liczbowym
2 dwójkowy (ang. binary) 0, 1
8 ósemkowy (ang. octal) 0, 1, .., 6, 7
10 dziesiętny (ang. decimal) 0, 1, .., 8, 9
16 szesnastkowy (ang. hexadecimal) 0, .., 9, A, B, .., E, F
Wyrażenie (1) można łatwo rozszerzyć na liczby ułamkowe. Dla m-cyfrowej liczby
ułamkowej o podstawie p wyrażenie takie można przedstawić w postaci szeregu:
-1
(2) a-1 Å" p-1 + a-2 Å" p-2 + ... + a-(m-1) Å" p-(m-1) + a-m Å" p-m =
"a Å" pi
i
i=-m
A
ącząc wyrażenie (1) z wyrażeniem (2) otrzymamy ogólne dla liczby zawierającej
n-cyfrową część całkowitą i m-cyfrową część ułamkową. Wyrażenie to ma postać:
n-1
(3) an-1 Å" pn-1 + ... + a0 Å" p0 + a-1 Å" p-1 + ... + a-m Å" p-m =
"a Å" pi
i
i=-m
© Zbigniew SkowroÅ„ski 3
Dwójkowy system liczbowy - 1
Najprostszym systemem liczbowym wykorzystujÄ…cym zapis
pozycyjny jest system dwójkowy
Elementami zbioru znaków (bitów) systemu dwójkowego
jest para cyfr: 0 i 1
W dwójkowym systemie liczbowym podstawa systemu p=2.
Liczba w systemie dwójkowym N2, składająca się z n-cyfrowej części
całkowitej i m-cyfrowej części ułamkowej o postaci:
[an-1 an-2 .. a1 a0, a-1 a-2 .. a-m]2, gdzie ai " {0, 1}
ma wartość:
n-1
(4) N2 = an-1 Å" 2n-1 + ... + a0 Å" 20 + a-1 Å" 2-1 + ... + a-m Å" 2-m =
"a Å" 2i
i
i=-m
© Zbigniew SkowroÅ„ski 4
Dwójkowy system liczbowy - 2
Rozpatrzmy przykładowy zapis i określmy wartość danej liczby:
o 1101,10002 = 1*24-1 + 1*24-2 + 0*24-3 + 1*24-4 + 1*2-1 + 0*2-2 + 0*2-3 + 0*2-4 =
= 23 + 22 + 20 + 1/2 = 8 + 4 + 1 + 0,5 = 13,510
o 13,510 = 1101,12
13 : 2 = 6 reszta 1 (LSB - ang. Least Significant Bit)
6 : 2 = 3 reszta 0
3 : 2 = 1 reszta 1
1 : 2 = 0 reszta 1 (MSB - ang. Most Significant Bit)
0.5 * 2 = 1,000 0.000 nadmiar 1 MSB
o 5,12510 = 101,0012
5 : 2 = 2 reszta 1 (LSB)
2 : 2 = 1 reszta 0
1 : 2 = 0 reszta 1 (MSB)
0.125 * 2 = 0,25 0,25 nadmiar 0 (MSB)
0.25 * 2 = 0,5 0,5 nadmiar 0
0.5 * 2 = 1,000 0,000 nadmiar 1 (LSB)
© Zbigniew SkowroÅ„ski 5
Przedstawianie informacji w układach logicznych
Słowo binarne czyli ciąg cyfr dwójkowych (bitów) może
reprezentować sobą liczbę dziesiętną zapisaną w systemie binarnym
Nie jest jednak tak zawsze!!!
W zależności od przyjętej umowy związanej z przeznaczeniem
użytkowym danego układu cyfrowego, słowo binarne w sensie
informacyjnym może przedstawiać również znak alfanumeryczny (litera,
cyfra, znaki interpunkcyjne) bÄ…dz
pewną wielkość nienumeryczną
Oznaczmy przez I zbiór informacji ściśle określonego typu, natomiast
przez X zbiór słów binarnych:
Odwzorowanie przyporządkowujące każdej informacji ze zbioru I jednego i tylko jednego słowa ze
zbioru X nazywać będziemy kodowaniem binarnym
© Zbigniew SkowroÅ„ski 6
Kodowanie
Przez KOD(I) = X rozumieć będziemy słowo binarne reprezentujące
informacjÄ™ I
Rozważmy teraz jako przykład zbiór dwubitowych słów binarnych
X = {00, 01, 10, 11}
Słowa te mogą reprezentować nieujemną liczbę całkowitą ze zbioru
liczb I = {0, 1, 2, 3} bÄ…dz
również informacje nienumeryczne {start,
praca, alarm, stop}, symbolizujÄ…ce stany jakiegoÅ› urzÄ…dzenia
cyfrowego
Funkcję KOD w obu przypadkach można określić następująco:
KOD'' (start) = 00
KOD' (0) = 00
KOD'' (praca) = 01
KOD' (1) = 01
KOD'' (alarm) = 10
KOD' (2) = 10
KOD'' (stop) = 11
KOD' (3) = 11
© Zbigniew SkowroÅ„ski 7
Kody
Jeśli słowo binarne X o długości (liczbie bitów) n reprezentuje
informację liczbową, to jest możliwe podanie wzoru określającego
zależność między wartościami poszczególnych bitów słowa, a wartością
reprezentowanej przez to słowo liczby (tylko dla kodów wagowych,
w których każdy bit słowa ma określoną wagę)
Podstawowym kodem liczbowym stosowanym do przedstawiania
informacji liczbowej jest naturalny kod binarny - NKB
Przedstawmy kolejno wszystkie możliwe słowa o długości n= 1, 2, 3:
0 1
00 01 10 11
000 001 010 011 100 101 110 111
© Zbigniew SkowroÅ„ski 8
Naturalny kod binarny - ciÄ…g dalszy
Zasadę tworzenia takich słów można zrozumieć, gdy spostrzeże się pewną
prawidłowość w procesie ich tworzenia
n=1
0 1
n=2
0 1 0 1
n=3
0 1 0 1 0 1 0 1
W pokazanej strukturze "drzewa" należy przejść od górnego wierzchołka wszystkimi
możliwymi drogami w dół, notując opisujący daną drogę ciąg zer i jedynek, przechodząc
oczywiście liczbę poziomów równą liczbie n
© Zbigniew SkowroÅ„ski 9
Kod dwójkowo-dziesiętny
W różnych zastosowaniach układów logicznych często używanym
kodem jest kod dwójkowo-dziesiętny - BCD (ang. Binary Coded Decimal -
liczby dziesiętne kodowane binarnie)
W odróżnieniu od kodu NKB, w którym kodujemy binarnie liczbę
całkowitą, tutaj kodujemy oddzielnie poszczególne cyfry kodowanej
liczby dziesiętnej (ale przy pomocy czterech bitów w kodzie NKB)
Na przykład liczba 5410 ma następujące reprezentacje:
110110 w kodzie NKB
0101 0100 w kodzie BCD
5 4
© Zbigniew SkowroÅ„ski 10
Kody pierścieniowe
W układach logicznych stosuje się też kod "1 z n" najczęściej "1 z 10",
zwany też kodem pierścieniowym
W kodzie "1 z n" słowo binarne ma tylko jeden bit wyróżniony,
to jest przyjmujący wartość 1
Tak więc słowo binarne w kodzie "1 z n" reprezentuje nieujemną
liczbę całkowitą o wartości równej numerowi wyróżnionego bitu
Na przykład zapis liczby 7 i liczby 1 w kodzie "1 z 10" będzie
następujący (dla wag kolejno: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0) :
0010000000
0000000010
© Zbigniew SkowroÅ„ski 11
Kod Gray'a
Niezwykle ważnym kodem Sposób kodowania kolejnych
w teorii układów cyfrowych liczb w kodzie Gray'a dla dwóch
jest kod Gray'a (refleksyjny) i trzech zmiennych
Kod ten jest stosowany między
innymi do opisu tabel (siatek)
Karnaugh'a, stosowanych
0 0
0 0 0
w minimalizacji funkcji
0 1
0 0 1
boolowskich
0 1 1
1 1
0 1 0
1 0
W kodzie Gray'a kolejne słowa
1 1 0
binarne różnią się na najwyżej
1 1 1
jednym bicie
1 0 1
1 0 0
© Zbigniew SkowroÅ„ski 12
Skala integracji
Ciągły wzrost złożoności układów scalonych powiązany
z różnorodnością ich typów spowodował konieczność wprowadzenia
skali integracji układów cyfrowych
Miarą skali integracji jest złożoność logiczna półprzewodnikowej
struktury układowej, która reprezentowana jest równoważną liczbą
bramek elementarnych, tworzących ten układ scalony lub liczbą
elementów tego układu:
Mała Skala Integracji (SSI - ang. Small Scale Integration) - od 1 d 10 bramek
Åšrednia Skala Integracji (MSI - ang. Medium Scale Integration) - od 10 do 100
bramek
Wielka Skala Integracji (LSI - ang. Large Scale Integration) - od 100 do 1000
bramek
Bardzo Wielka Skala Integracji (VLSI - ang. Very Large Scale Integration) - ponad
105 bramek
© Zbigniew SkowroÅ„ski 13
Klasy układów scalonych
o TTL (ang. Transistor - Transistor Logic) - układy z tranzystorami bipolarnymi
H - szybka
L - wolna (małej mocy)
S - superszybka (z diodami Schottky'ego)
LS - małej mocy (z diodami Schottky'ego)
Standard
UCY 7400
o CMOS (ang. Complementary MOS, Complementary Metal Oxide
Semiconductor)
o Układy z tranzystorami polowymi o kanale typu n oraz kanale typu p
" p-MOS - nośnikami ładunku są dziury
" n-MOS - nośnikami ładunku są elektrony
© Zbigniew SkowroÅ„ski 14
Porównanie właściwości układów różnych klas
Parametr TTL p-MOS n-MOS CMOS
Czas propagacji 3 - 33 35 - 300 15 - 150 15 - 50
[ns]
Moc pobierana 10 mW - statyczna
przez bramkÄ™ 1 - 23 0.5 - 1.5 1 1 mW przy 1 MHz
[mW]
Asortyment b. duży mały (głównie mały (głównie duży
układowy LSI) LSI)
Elastyczność b. duża słaba dostateczna dobra
Å‚Ä…czeniowa
Parametr H L S LS Standard
Czas propagacji [ns] 6 33 3 9.5 20
Moc pobierana
przez bramkÄ™ 23 1 19 2 10
[mW]
© Zbigniew SkowroÅ„ski 15
Układy cyfrowe vs analogowe
o W chwili obecnej nie można jednoznacznie stwierdzić, który rodzaj układów jest lepszy?
Z jednej strony mamy bowiem do czynienia z ogromnymi zaletami układów cyfrowych:
 Większa niezawodność
 A
atwość automatyzacji projektowania
 Możliwość dużej integracji w technologii układów scalonych
 Większa standaryzacja
 Niska cena wynikająca z produkcji układów scalonych w dużych seriach
Z drugiej zaś sygnały analogowe niejako bardziej odpowiadają naturze, która zwykle ma
charakter ciągły
o Można znalez
ć przykłady wyższości układów analogowych nad cyfrowymi
sugerujące, że układy analogowe mogą odgrywać znaczącą rolę w przyszłości, wydaje
się jednak, że przyszłość należy do układów cyfrowych
o Postępy w dziedzinie miniaturyzacji i "upakowania" takich układów umożliwiają ich
zastosowanie w coraz to nowych dziedzinach, zastrzeżonych dotąd wyłącznie dla
układów analogowych
© Zbigniew SkowroÅ„ski 16