9. Stereometrie
9. STEROMETRIE

as ke studiu: 4 hodiny
Cíl
" Stereometrie se zabżvá studiem polohovżch a metrickżch vztaho
mezi body ,
pY
ímkami a rovinami v prostoru.
Abychom mohli tyto vztahy zkoumat, musíme nejdY
íve prostorové Å›tvary zobrazit do roviny,
jednodua
e Y
e%0Å„eno nakreslit na papír. Metodami zobrazení prostorovżch Å›tvaro
do roviny se zabżvá
samostatná disciplína  deskriptivní geometrie. V této kapitole budeme pou~
ívat volné rovnob%1Å‚~
né
promítání.
9.1. Volné rovnob%1Å‚~
né promítání
Tato názorná zobrazovací metoda je vhodná pro Y
ea
ení mén%1Å‚ náro%0Å„nżch Å›loh na jednoduchżch
hranatżch t%1łlesech., na kterżch mo
~
eme demonstrovat vztahy prostorovżch śtvaro
.
PY
i zobrazování t%1Å‚les pou~
íváme tyto zásady:
" Rovinnż obrazec le~
ící v rovin%1Å‚ rovnob%1Å‚~
né s nákresnou (tzv. pro
%0Å„elná poloha) se zobrazí ve
skute%0Å„né velikosti.
" Dv%1Å‚ rovnob%1Å‚~
né pY
ímky se zobrazí jako rovnob%1Å‚~
ky.
" Dv%1Å‚ rovnob%1Å‚~
né a shodné Å›se%0Å„ky se zobrazí jako rovnob%1Å‚~
né shodné Å›se%0Å„ky.
" Úse%0Å„ky kolmé k nákresn%1Å‚ zobrazujeme tak, ~
e svírají s horizontálními pY
ímkami Å›hel 45o a jejich
velikost zkracujeme na polovinu.
X
ea
enż pY
íklad
" Zobrazte krychli ABCDEFGH o stran%1Å‚ a = 12 .
X
ea
ení
PY
ední st%1Å‚na krychle %0Å„tverec ABFE je v pro
%0Å„elné poloze, narżsujeme ho ve skute%0Å„né velikosti, stranu
AB volíme v horizontální poloze vodorovn%1Å‚). Bo%0Å„ní hrany AD, BC, FG, EH , které jsou k rovin%1Å‚
%0Å„tverce ABFE a tedy i k nákresn%1Å‚ kolmé, narżsujeme tak, aby s pY
ímkami AB, EF svíraly Å›hel 45°
a jejich velikost bude polovi%0Å„ní. Viditelnost hran volíme tak, aby obraz krychle byl nadhled zprava.
345
9. Stereometrie
" Zobrazte kvádr ABCDEFGH o stranách a = AB = 12, b = BC = 6, c = AE = 8.
X
ea
ení
PY
ední st%1Å‚na kvádru je obdélník ABFE o rozm%1Å‚rech 12 a 8 , kterż narżsujeme ve skute%0Å„né velikosti,
Å›se%0Å„ky AD, BC, FG, EH rżsujeme pod Å›hlem 45° , jejich velikost bude polovi%0Å„ní, tedy 3 .
" Zobrazte trojbokż jehlan (%0ńtyY
st%1łn) ABCV vża
ky v = 12 , jeho~
podstava je rovnostrannż
trojÅ›helník ABC o stran%1Å‚ a = 10 .
X
ea
ení
NejdY
íve sestrojíme pomocnż rovnostrannż trojÅ›helník o stran%1Å‚ 10 a jeho vża
ku. Pro konstrukci
jehlanu narżsujeme Å›se%0Å„ku AB v horizontální poloze délky 10 a ve stY
edu této Å›se%0Å„ky narżsujeme
polopY
ímku tak, aby svírala s Å›se%0Å„kou AB Å›hel 45° a naneseme na ni polovinu vża
ky pomocného
346
9. Stereometrie
trojÅ›helníka, %0Å„ím~
získáme bod C . Sestrojíme stY
ed podstavy jako t%1Å‚~
ia
t%1Å‚ trojÅ›helníka ABC ,
vzty%0Å„íme kolmici k pY
ímce AB a vyzna%0Å„íme bod V tak, ~
e VS má velikost v = 12 .
" Zobrazte pravidelnż a
estibokż hranol o hran%1ł podstavy a = 4 a vża
ce v = 7 .
X
ea
ení
Sestrojíme pomocnż pravidelnż a
estiÅ›helník A1B1C1D1E1F1 a jeho Å›hlopY
í%0Å„ky A1E1, B1D1, C1F1 .
Jejich pro
se%0Å„íky jsou body P1, Q1 . Pro konstrukci hranolu narżsujeme Å›se%0Å„ku FC o velikosti 2a = 8
a vyzna%0Å„íme na ní body P, Q , jejich~
vzdálenosti od krajních bodo
śse%0ńky odm%1łY
íme v pomocném
a
estiÅ›helníku. V bodech P, Q narżsujeme pY
ímky tak, aby svíraly s Å›se%0Å„kou FC Å›hel 45° a
naneseme na ka~
dou polopY
ímku od bodu P a Q polovinu Å›se%0Å„ky PE1 . Získáme body A, B, D, E.
Ve va
ech bodech podstavy vzty%0Å„íme kolmice k Å›se%0Å„ce FC a naneseme vża
ku v = 7 .
347
9. Stereometrie
" Zobrazte pravidelnż %0ńtyY
bokż jehlan ABCDV o hran%1ł podstavy a = 12 a vża
ce v = 15 .
X
ea
ení
Podstava pravidelného %0Å„tyY
bokého jehlanu je %0Å„tverec ABCD , kterż sestrojíme stejn%1Å‚ jako podstavu
krychle ABCDEFGH v prvním pY
íkladu. Sestrojíme stY
ed S %0Å„tverce jako pro
se%0Å„ík Å›hlopY
í%0Å„ek.
V bod%1Å‚ S vzty%0Å„íme kolmici k Å›se%0Å„ce AB a sestrojíme vrchol V tak, ~
e VS = v = 15.
2 2 2
" Zobrazte pravidelnż trojbokż hranol ABCA B C o hran%1ł podstavy a = 6 a vża
ce v = 10 .
X
ea
ení
Podstava pravidelného trojbokého hranolu je rovnostrannż trojÅ›helník ABC , kterż sestrojíme stejn%1Å‚
jako podstavu pravidelného trojbokého jehlanu ABCV ve tY
etím pY
íkladu. Pro v%1Å‚ta
í názornost
mo
~
eme vrchol C sestrojit v dolní polorovin%1Å‚ ur%0Å„ené pY
ímkou AB . V bodech podstavy A, B, C
vzty%0Å„íme kolmice k pY
ímce AB a naneseme vża
ku v = 10 , obdr~
íme vrcholy horní podstavy
2 2 2
A B C .
348