DRGANIA UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Drgania mechaniczne  ruch układów mechanicznych pod wpływem
zmiennych w czasie obciążeń.
Analiza drgań jest ważna z punktu widzenia oceny poprawnej pracy konstrukcji,
jak również zapewnienia trwałości jej pracy oraz bezpieczeństwa osób
przebywajÄ…cych w jej otoczeniu.
Małe drgania układów liniowych  cechy charakterstyczne:
1. Małe zmienne w czasie przemieszczenia.
Przyjęcie tego założenia powoduje, że geometrię układu drgającego możemy
uznać jako niezmienną.
2. Siły rozpraszające energię proporcjonalne do prędkości drgań.
W ymienione cechy są właściwe drganiom układów mechanicznych.
Możemy wyróżnić następujące metody analizy drgań mechanicznych:
1. Metody analityczne ilościowe  ich ogólna idea to rozwiązywanie problemu
drgań, poprzez poszukiwanie funkcji matematycznych opisujących zmienne
w czasie wielkości fizyczne, np. przemieszczanie, prędkość, energia. Do tej
grupy metod należą wszystkie metody analityczne rozwiązywania równań
różniczkowych, opisujących ruch drgający.
2. Metody analityczne jakościowe  ich idea polega na badaniu drgań bez
konieczności poszukiwania szczegółowych rozwiązań matematycznych, np.
badanie stabilności.
3. Metody przybliżone  stosuje się tam, gdzie nie można rozwiązać problemu
drgań w sposób ścisły. Dotyczą układów nieliniowych, tam gdzie nie
możemy rozwiązać równań różniczkowych.
4. Metody numeryczne  wykorzystujemy komputery, przy czym sÄ… to
zarówno metody wspomagające proces obliczeniowy (np. rozwiązywanie
równań różniczkowych ruchu), jak również, metody wspomagające techniki
pomiarowe (szybka transformacja Fouriera FFT analiza częstotliwościowa).
5. Metody doświadczalne  a ich idea polega na pomiarze (bezpośrednim lub
pośrednim) wybranych wielkości fizycznych, obserwowanych w procesie
drgań. Najczęściej dokonujemy pomiarów:
- przemieszczeń metodami bezstykowymi
- przyśpieszeń - pomiar dokonywany jest za pomocą obiektów
umocowanych na przedmiocie drgającym w sposób trwały. Są to
akcelerometry
Powszechnie stosowane są akcelerometry piezoelektryczne: bardzo czułe,
małe gabaryty, zakres pomiarowy do 100g.
- siły lub momentu siły. Pomiar bezpośredni za pomocą siłomierzy jest
bardzo kosztowny. StÄ…d zastosowanie w przypadkach uzasadnionych.
Ze względu na charakter wymuszenia wyróżniamy:
- drgania harmoniczne, w przypadku których wymuszeniem jest sygnał
sinusoidalny.
- drgania okresowe, gdzie wymuszeniem jest okresowa funkcja czasu.
- drgania o przebiegu dowolnym - wymuszone dowolnÄ… funkcjÄ… czasu.
Podział drgań ze względu na rodzaj wymuszenia:
- drgania wymuszone sygnałem siłowym. Sygnał wymuszający jest siłą
uogólnioną (moment siły też) o stałej amplitudzie.
- drgania wymuszone bezwładnościowo - np. wirującą niewyważoną masą.
- drgania wymuszone kinematycznie - sygnałem wymuszającym jest
przemieszczenie (lub prędkość) określonego elementu obiektu
drgajÄ…cego.
Układy o jednym stopniu swobody
Drgania swobodne w układach zachowawczych
Rozważmy układ posiadający masę oraz element
sprężysty. Pomijamy efekt rozproszenia energii
(taki układ nazywamy układem zachowawczym)
Pod wpływem sił ciężkości, masa m zmienia
swoje położenie względem położenia
początkowego. Towarzyszy temu wydłużenie
sprężyny o wartość ".
mg
W artość " wynika z warunku równowagi statycznej siły
ciężkości i siły oporu sprężyny (proporcjonalnej do różnicy
przemieszczeń jej końców).
mg - k" = 0
W arunek ten określa położenie równowagi masy m.
Rozważmy przemieszczenie masy m względem położenia równowagi mierzone
wzdłuż współrzędnej x. Ponieważ nowe położenie nie jest położeniem
równowagi statycznej, obowiązuje równanie dynamiki.
mx = mg - k(" + x)
Uwzględniając podany poprzednio warunek równowagi statycznej,
otrzymujemy po przekształceniu:
mx + kx = 0
Jest to równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach, jednorodne,
które możemy przekształcić do następującej postaci:
2
x + Én x = 0
Częstotliwość (częstość) kołowa drgań
k
Én =
swobodnych nietłumionych (drgań własnych)
m
[rad/s]
Én
fn =
Częstotliwość drgań własnych [Hz]
2Ä„
Istota: jedno równanie dynamiki,
dokładnie jedna współrzędna uogólniona (liniowo niezależna)
Częstotliwość drgań własnych jest cechą układu drgającego, ponieważ zależy
tylko od jego parametrów, tzn. od sztywności i od masy.
Aby rozwiązać problem drgań swobodnych nietłumionych należy:
- wyznaczyć czÄ™stość Én
- rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne 2-go stopnia
W praktyce: programy komputerowe
Rozwiązanie tego równania jest rozwiązaniem ogólnym:
x = Asin(Ént)+ B cos(Ént)
W spółczynniki A i B są stałymi całkowania, które wyznaczmy z warunków
poczÄ…tkowych.
1)
x0 = x(0)
W arunki poczÄ…tkowe
x0 = x(0)
2)
Po uwzględnieniu warunków początkowych równanie drgań przyjmuje postać:
x0
x(t) = sin(Ént)+ x0 cos(Ént)
Én
" Aby wystąpiły drgania swobodne, jeden z warunków początkowych musi
być niezerowy  albo prędkość, albo przemieszczenie
" Drgania swobodne nietłumione opisuje równanie ruchu harmonicznego masy
drgającej względem położenia równowagi.
Zasada zachowania energii mechanicznej podczas drgań swobodnych
nietłumionych
Całkowita energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej (sił sprężystości)
i kinetycznej i nie ulega zmianie.
T +V = const
d
(T + V )= 0
/ różniczkujemy względem czasu
dt
W yodrębniamy 2 stany
T1,V1
T2,V2
T1 +V1 = T2 +V2
T1 = 0
V2 = 0
W ybieramy stan pierwszy, taki że stan drugi
T1 = 0 V1 = max
V2 = 0 T2 = max
Stan pierwszy dotyczy maksymalnego wychylenia z położenia równowagi.
Stan drugi dotyczy maksymalnej prędkości.
V1 = T2
Na podstawie tych dwóch stanów możemy wyznaczyć częstość drgań własnych
Przykład. Rozważmy drgania wahadła skrętnego złożonego z wałka
elastycznego o sztywności skrętnej ks oraz zawieszonej na nim jednorodnej
tarczy, której biegunowy moment bezwładności wynosi I0. Przyjmujemy
założenie, że układ wykonuje drgania skrętne nietłumione opisane współrzędną
kÄ…towÄ…
¸ = ¸0 sin(Ént)
¸ = ¸max = ¸0
¸ = ¸0Én cos(Ént)
ks
¸ max = ¸0Én
I0
¸ = ¸0 sin(Ént)
1
2
V1 = ks Å"¸0
2
 1. Stan : max energia potencjalna
1 1
2 2 2
2. Stan max energia kinetyczna
T2 = I0¸ max = I0¸0Én
2 2
U1 = T2
Ponieważ:
1 1
stÄ…d:
2 2 2
ks Å"¸0 = I0¸0Én
2 2
ks
Én =
I0
Drgania w ruchu zależnym
Parametry układu drgającego
należy zredukować do układu,
którego ruch drgający opisuje
współrzędna uogólniona x.
Porównanie energii potencjalnych
i kinetycznych układu pierwotnego
oraz układu zredukowanego
Przykład 1. Układ drgający o 1 stopniu swobody:
Dane: m1=2 kg
m3
r1=0.05 m
m2=1.5 kg
k2 a=0.1 m
b=0.2 m
m3=3 kg
k1=1×104 N/m
b
k2=2×104 N/m
m2 x
Õ
a
Õ1
k1
m1, r1
x1
Energia potencjalna: Energia kinetyczna:
1 1 1 1 1 1 1 a3 + b3 1
2 2 2 2
V = k1x1 + k2x2 T = m1x1 + Å" m1r12Õ1 + Å" m2 Õ + m3x2
2 2 2 2 2 2 3 a + b 2
x - współrzędna uogólniona
Równania więzów  są to zależności (geometryczne i kinematyczne)
pomiędzy współrzędnymi niezależnymi (ogólnionymi)
a współrzędnymi zależnymi
x a
a
Õ = Õ1 = x
x1 = x
b br1
b
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 a
ìÅ‚k1ëÅ‚ öÅ‚ + 1 k2 ÷Å‚x2 = 1 kx2
V =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 b 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
k
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 3 a 1 a3 + b3 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
T = m1ëÅ‚ öÅ‚ + m2 Å" + m3 ÷Å‚x2 = mx2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 b 3 a + b b 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
m
Drgania swobodne tłumione
W rzeczywistych układach drgających mamy do czynienia ze zjawiskiem
rozpraszania energii. Nie jest spełniona zasada zachowania energii
mechanicznej.
Drganie układów liniowych z uwzględnieniem rozproszenia energii możemy
opisać równaniem:
mx + Fd + kx = F(t)
siła Fd tłumienia drgań, która
wprowadzona została w celu
uwzględnienia efektu rozproszenia
energii.
F(t)
F(t) - siła wymuszająca, którą na razie
(drgania swobodne) przyjmujemy
równą zero.
W rzeczywistych konstrukcjach mechanicznych przyjmujemy założenie że siła
tłumienia jest proporcjonalna do prędkości drgań.
c  stały współczynnik tłumienia
Fd = cx
Model tłumienia opisany tym równaniem nosi nazwę tłumienie wiskotyczne
(płynne).
Korzyści wynikające z zastosowania modelu wiskotycznego
1. zachowanie liniowości równania różniczkowego drgań
mx + cx + kx = 0
2. model ten jest właściwym opisem rzeczywistego rozpraszania energii drgań
mechanicznych.
Rozwiązanie równania różniczkowego drgań (rozwiązanie ogólne) możemy
przedstawić w postaci:
1 2
x = Aes t + Bes t
A, B są stałymi całkowania, wynikającymi z
podanych warunków początkowych
s1, s2
są pierwiastkami równania charakterystycznego, wyznaczanymi
według wzoru:
2
c c k
ëÅ‚ öÅ‚
s1/ 2 = - Ä… s1 > 0
ìÅ‚ ÷Å‚ -
2m 2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwzględniając te pierwiastki, rozwiązanie równania różniczkowego przyjmie
postać:
2 2
c k c k
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
c
ìÅ‚ ÷Å‚ - Å"t - ìÅ‚ ÷Å‚ - Å"t
-
ìÅ‚ ÷Å‚
2m m 2m m
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2m
x = e Ae + Be
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Funkcja przemieszczenia x zależy od wyrażenia występującego pod
pierwiastkiem i rozróżniamy przypadki:
2
1. W takim przypadku wykładniki mają wartości
c k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - > 0
dodatnie, zaÅ› rozwiÄ…zanie x jest sumÄ… funkcji
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
wykładniczych (nieokresowych), czyli nie ma drgań.
2
2. W takim przypadku funkcja wykładnicza przyjmuje
c k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - < 0
następującą postać
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
i funkcję tę możemy zapisać
2
k c
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
j -ëÅ‚ öÅ‚ Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚
k c k c
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
m 2m
íÅ‚ Å‚Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
e = cosìÅ‚ - Å"t Ä… j sinìÅ‚ - Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
m 2m m 2m
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
Częstość drgań swobodnych tłumionych
k c
ëÅ‚ öÅ‚
- = Ét
ìÅ‚ ÷Å‚
m 2m
íÅ‚ Å‚Å‚
2
c k
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
Én - = Ét = Én
ìÅ‚ ÷Å‚
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
Układ fizyczny, w którym obserwujemy rozproszenie energii, wykonuje drgania
tÅ‚umione o czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej Ét , opisanej podanym wzorem. Z zależnoÅ›ci tej
wynika, że czÄ™stość Ét jest mniejsza od czÄ™stoÅ›ci Én .
W rzeczywistych układach drgających różnica między tymi częstościami jest
nieznaczna, dochodzÄ…ca do 2 3%
2
c k
ëÅ‚ öÅ‚
3.
ìÅ‚ ÷Å‚ - = 0
Przypadek ten określa stan graniczny pomiędzy
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
ruchem drgajÄ…cym, czyli okresowym, a ruchem
nieokresowym.
Jest to warunek, przy którym zanikają drgania
mechaniczne.
Zwiększenie współczynnika tłumienia c od 0 aż do wartości spełniających
warunek 3 spowoduje zanik drgań.
Tłumienie spełniające ten warunek nosi nazwę: tłumienie krytyczne.
2
ckr k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - = 0
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
Jeżeli:
c = k Å" m
k2
Én =kr ckr = 2mÉn
m
Bezwymiarowy współczynnik tłumienia
c c
(dzeta)
Å› = =
ckr 2mÉn
w takim stanie sÄ… drgania mechaniczne
Å› < 1
Å› = 1
stan graniczny określony tłumieniem krytycznym
Å› > 1
nie ma drgań w tym stanie
W przypadku ruchu oscylacyjnego, dla którego ś < 1 rozwiązanie równania
różniczkowego możemy zapisać w postaci
2
n
x = Xe-Å›É t sin( 1- Å› Å"Ént + Õ )=
2 2
n
= e-Å›É t[c1 sin( 1-Å› Ént)+ c2 cos( 1-Å› Ént)]
Po uwzględnieniu warunków początkowych, podobnie jak przy drganiach
nietłumionych, otrzymamy rozwiązanie w postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
x0 +Å›Énx0
2 2
n
x = e-Å›É t ïÅ‚ Å"sin( 1-Å› Ént)+ x0 cos( 1-Å› Ént)
śł
2
ïÅ‚ śł
n
ðÅ‚É 1-Å› ûÅ‚
Aby zaistniały drgania swobodne tłumione, przynajmniej jeden z warunków
początkowych musi być `"0
W ykres przedstawia sinusoidÄ™
0,15
gasnącą, której okres drgań
(tłumionych) podany jest
0,1
n
wzorem i jest dłuższy od
Xe-ÂÉ t
0,05
okresu drgań nietłumionych.
= Õ
x0 X sin
t
0
2Ä„
0 2 4 6 8 10
T =
-0,05
2
n
1 - Å› Én
- Xe-ÂÉ t
-0,1
Sinusoida gasnąca ograniczona jest obwiednią będącą funkcją wykładniczą.
Logarytmiczny dekrement tłumienia
Rozważmy funkcję opisującą drgania tłumione
2
n
x = Xe-Å›É t sin( 1-Å› Ént +Õ)
Rozważmy dwie wartości tej funkcji
x 1 = x(t1)
x2 = x(t1 +Ä )
2Ä„
gdzie:
Ä =
2
1- Å› Én
Otrzymujemy wówczas
2
n
x1 = Xe-Å›É t1 sin( 1-Å› Ént1 +Õ)
2
n
x2 = Xe-Å›É (t1+Ä ) sin[ 1-Å› Én(t1 +Ä )+Õ]
W szczególnym przypadku, czas t1 określony dla pierwszego maksimum
krzywej gaśnięcia. Stanowi temu odpowiada przemieszczenie x1. W ówczas czas
odpowiadajÄ…cy drugiemu maximum wynosi t1+Ä , zaÅ› odpowiednia amplituda
wynosi x2. Obliczamy następujące wyrażenie
n
x1 Xe-Å›É t1
n
´ = ln = ln = lneÅ›É Ä =
n
x2 Xe-Å›É (t1 +Ä )
2Ä„ 2Ä„Å›
Å›ÉnÄ = Å›Én =
2 2
1-Å› Én 1-Å›
Dla maÅ‚ych Å› Ò! ´ E" 2Ä„ Å›
Å› Ò! ´ E" 2Ä„ Å›
Å› Ò! ´ E" 2Ä„ Å›
Å› Ò! ´ E" 2Ä„ Å›
W spółczynnik ´ (delta) oznacza logarytmiczny dekrement tÅ‚umienia i mierzy
szybkość zanikania drgań swobodnych tłumionych. W przypadku niewielkich
tłumień jest on proporcjonalny do bezwymiarowego współczynnika ś. Celowość
wprowadzenia współczynnika ´ uzasadnia Å‚atwy sposób jego wyznaczenia na
podstawie obserwacji sinusoidy gasnÄ…cej. ZnajÄ…c współczynnik ´ możemy
wyznaczyć współczynnik ś, który określa rozproszenie energii w układzie.
Identyfikacja współczynnika tłumienia w układzie drgającym realizowana w
następujących etapach:
I. W zbudzenie drgań tłumionych i obserwacja krzywej gaśnięcia
II. W yznaczenie amplitud w maksimach lokalnych x1, x2
x1
III. Obliczenie współczynnika
´ = ln
IV. Określenie współczynnika
x2
´
Å› =
2Ä„
V. W yznaczenie współczynnika tłumienia
c = Å› Å" ckr = Å› 2mÉn
Realizacja eksperymentalna identyfikacji tłumienia w układzie
Idea:
- uderzenie młotkiem testowym (zadany
c
warunek poczÄ…tkowy)
k
- obserwacja drgań na ekranie komputera
Czujnik bezwładnościowy  piezoelektryczny
m
(mierzy przyśpieszenia masy drgającej) do 20 kHz
W rezultacie:
´i różne dla i =1,& ,k
Drgania swobodne tłumione w ruchu zależnym
" Nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej
" Dla ruchu drgającego wzdłuż współrzędnej uogólnionej x stosujemy
równanie Lagrange a II rodzaju:
d "T "T "D "V
- + + = 0
dt "x "x "x "x
Energia kinetyczna: Funkcja rozproszenia Energia potencjalna:
energii (dyssypacji):
1 1
1
T = mx2 D = cx2 V = kx2
2 2 2
W rezultacie, otrzymujemy równanie dynamiki układu zredukowanego:
x0 = x(0)
üÅ‚
W ARUNKI
mx + cx + kx = 0,
POCZ
TKOW E
x0 = x(0)żł
þÅ‚
Układ drgający o 1 stopniu swobody:
Dane: m1=2 kg
r1=0.05 m
m1, r1
c1
m2=1.5 kg
k1
r2=0.1 m
m3=3 kg
Õ2 Õ1 k1=1×104 N/m
k2=2×104 N/m
x1
m3 k2
c1=100 Ns/m
m2, r2
x(0) = 0.1 m
x
x(0) = 1 m/s
1 1
2
V = k1x1 + k2x2
Energia potencjalna:
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
T = m1x1 + Å" m1r12 Å"Õ1 + Å" m2r22 Å"Õ2 + m3 x2
Energia kinetyczna:
2 2 2 2 2 2
1
2
D = c1x1
Funkcja rozproszenia energii:
2
x  współrzędna uogólniona
Równania więzów:
x
x
x
Õ2 = Õ1 =
x1 =
r2 2r1
2
1 1 1 1 3 1 1
ëÅ‚ ëÅ‚
V = k1 + k2 öÅ‚x2 = kx2
T = m1 + m2 + m3 öÅ‚ x2 = mx2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 2
2 8 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
m
k
1 1 1
ëÅ‚
D = Å" c1 öÅ‚ x2 = cx2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 2
íÅ‚ Å‚Å‚
c
Drgania wymuszone sygnałem harmonicznym
Ustalony stan drgań. Analiza w dziedzinie częstotliwości.
Drgania wymuszone siłowym sygnałem harmonicznym
Rozważmy układ drgający o 1 stopniu swobody, w którym ma miejsce
rozproszenie energii.
Układ ten poddano działaniu siły F, którą
przyjmujemy, jako harmonicznÄ… funkcjÄ™
c
czasu. Równanie dynamiki masy m
k
opisujące ruch wzdłuż współrzędnej x
względem położenia równowagi
m
statycznej możemy przedstawić w postaci
mx + cx + kx = F0 sin(Ét)
x
Jest to równanie różniczkowe liniowe rzędu
II, niejednorodne
F=F0sin(Ét)
Rozwiązanie ogólne składa się z: rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
1 część  rozwiązanie ogólne równania jednorodnego  nieustalone drgania
swobodne
2 część  rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego - ustalone
drgania wymuszone  to nas aktualnie interesuje
Ustalone drgania wymuszone są funkcją harmoniczną o tej samej częstości, co
częstość siły wymuszającej. Różnią się natomiast amplitudą oraz kątem
przesunięcia fazowego.
Rozwiązanie szczególne (ustalone drgania wymuszone) możemy opisać
zależnością
x = X sin(Ét - Õ)
X- amplituda drgań wymuszonych
Õ- kÄ…t przesuniÄ™cia fazowego
Analiza drgań ustalonych wymuszonych polega na badaniu amplitudy drgań
oraz kąta przesunięcia fazowego w funkcji częstości wymuszenia
Można wykazać, że wielkości te opisują zależności
F0
W yrażenia te przekształcamy do postaci
X =
2
bezwymiarowej otrzymujÄ…c w
2
2
(k - mÉ ) + (cÉ)
rezultacie:
cÉ
Xk 1
tg(Õ) =
=
2
2
k - mÉ F0 ëÅ‚
2 2
öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
É
ìÅ‚1 - ëÅ‚ É öÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
+
ìÅ‚É ÷Å‚ ìÅ‚2Å› Én ÷Å‚
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ n Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
É
ìÅ‚ ÷Å‚
2Å›
ìÅ‚É ÷Å‚
íÅ‚ n Å‚Å‚
tg(Õ) =
2
ëÅ‚ öÅ‚
É
1 - ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚É ÷Å‚
íÅ‚ n Å‚Å‚
Zależności te możemy przedstawić za pomocą wykresów, które noszą nazwę:
charakterystyki rezonansowe
5
Å›
Å›=0
Å›
Å›
4
Å›=0.1
Å›
Å›
Å›
3
Xk
Å›=0.25
Å›
Å›
Å›
F0 2
1
Å› =
1
2
0
É
0 1 2 3 4 5
Én
3,14
Å›=0
Å›
Å›
Å›
Õ[rad]
Å›
Å›
Å›
Å›=0.1
Å›=0.25
Å›
Å›
Å›
1,57
0
É
0 1 2 3 4 5
Én
Na podstawie obserwacji I wykresu (charakterystyki amplitudowe) możemy
stwierdzić, że:
- wykreślone krzywe osiągają maksimum dla częstości
2
Ér = Én 1- 2Å›
która to częstość nosi nazwę częstość rezonansowa.
W ielkość amplitudy w rezonansie wynosi
X Å" k 1 1
=
E"
2
F0 2Å›
2Å› 1 - Å› Å› <<1
- po przejściu przez rezonans rzędne charakterystyki maleją
asymptotycznie do zera przy wzroście częstości
- wielkość amplitudy w rezonansie zależy od współczynnika ś ; wraz ze
wzrostem tego współczynnika maleje wartość częstości rezonansowej.
GranicznÄ… wartoÅ›ciÄ… czÄ™stoÅ›ci jest Ér=0, dla której zanika zjawisko
rezonansu, ale drgania wymuszone sÄ…. TÅ‚umienie odpowiadajÄ…ce temu
przypadkowi nosi nazwÄ™:
tłumienie krytyczne przy drganiach wymuszonych i jest równe
1
Å› = Å› = < 1
kr
2
Możliwe są następujące przypadki:
1. 1
0 < Å› <
ustalone drgania wymuszone z obecnością rezonansu
2
2.
1
Å› =
przypadek graniczny - gdy zanika rezonans
2
3.
1
1 > Å› >
drgania wymuszone bez zjawiska rezonansu
2
4. brak drgań mechanicznych
Å› e" 1
Na podstawie obserwacji 2-ego wykresu (krzywa kątów fazowych) możemy
stwierdzić że:
- obserwujemy zmianę fazy z 0 na Ą (00 na 1800) dla częstości
É
niezależnie od tłumienia
= 1
É
n
- zmiana fazy jest tym łagodniejsza, im większa jest wartość ś
Badanie charakterystyk rezonansowych układów drgających jest ważne z punktu
widzenia:
- diagnostyki oraz oceny ich własności dynamicznych
- określenia parametrów układów drgających (np. rozproszenia energii)
Przykład. Element maszyny ważący m=4.3 kg wykonuje drgania wymuszone w
stanie ustalonym pod wpływem siły harmonicznej o amplitudzie F0=50 N.
Zmierzona amplituda w rezonansie wyniosła Xr=5 cm, zaś okres drgań Tr=0.2
s. W yznaczyć bezwymiarowy współczynnik tłumienia.
RozwiÄ…zanie:
Korzystamy z zależności opisujących amplitudę w rezonansie, jak również z
zależności opisujących częstość rezonansową, tzn.
X Å" k 1
r
2Ä„
2
=
= Ér = Én 1- 2Å›
Tr
F0 2Å›
dla Å›<<1 (jest to Én ) korzystamy z zależnoÅ›ci:
k
Én =
m
Eliminując z przedstawionych równań nieznaną sztywność k, otrzymamy (po
podstawieniu wartości liczbowych):
F0Tr 2
Å› = E" 0.1178
2
8Ä„ X m
r
Drgania wymuszone wirującą niewyważoną masą
Rozważmy układ drgający o jednym stopniu
m
k
swobody, w którym występuje rozproszenie
energii. Masa m pobudzana jest do drgań
mierzonych wzdłuż współrzędnej x , za
É
pomocą masy me, która wiruje z prędkością
c
e
me kÄ…towÄ… É na ramieniu e. RamiÄ™ e nosi
nazwę: mimośród.
Równanie dynamiki masy m przy założeniu,
x
że me<2
mx + cx + kx = meeÉ sin(Ét)
Amplituda
Jest to równanie różniczkowe liniowe rzędu II, niejednorodne. Prawa strona tego
równania jest funkcjÄ… okresowÄ…, której czÄ™stość koÅ‚owa wynosi É, a ponadto jej
amplituda jest proporcjonalna do kwadratu częstości.
Otrzymujemy rozwiązanie w stanie ustalonym, dla którego amplituda
przemieszczeń oraz kąt fazowy opisane są zależnościami
2
meeÉ cÉ
X = tgÕ =
2
2
2
2
k - mÉ
(k - mÉ ) + (cÉ)
W yrażenia te możemy przedstawić w postaci bezwymiarowej za pomocą
następujących wzorów:
2
ëÅ‚ öÅ‚
É
É
ìÅ‚ ÷Å‚
2Å›
ìÅ‚É ÷Å‚
m X Én
íÅ‚ n Å‚Å‚
Å" = tgÕ =
2
2
me e 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
É
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
É É
1- ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
śł +
Én
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚2Å› Én ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Én śł
ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
5
Å›=0
Å›
Å›
Å›
4
Å›=0.1
Å›
Å›
Å›
3
Å›=0.25
Å›
Å›
Å›
m X
Å"
me e
2
Å›=0.375
Å›
Å›
Å›
1
0
0 1 2 4 5
É /Én 3
3,14
Õ(rad)
Å› Å›=0.25 Å› Å›=0
Å›=0.375 Å› Å›=0.1 Å›
Å› Å› Å› Å›
Å› Å› Å› Å›
1,57
0
0 1 2 4 5
É /Én 3
 Na podstawie charakterystyki amplitud możemy stwierdzić:
1. amplituda bezwymiarowa rośnie wraz ze wzrostem częstości od 0 do
wartości max. rezonans w otoczeniu częstości bezwymiarowej
É
= 1
É
n
Po przejściu przez rezonans amplituda bezwymiarowa wraz ze
wzrostem częstości maleje asymptotycznie do wartości równej 1.
2. amplituda w rezonansie zmniejsza siÄ™ wraz ze wzrostem
współczynnika ś , zaś częstość rezonansowa nieznacznie rośnie.
Charakterystyki fazowe są identyczne jak w przypadku drgań wymuszanych
siłowym sygnałem harmonicznym o stałej amplitudzie.
Przykład. Dokonano badania efektu rozproszenia energii za pomocą
zainstalowanego na obiekcie drgającym bezwładnościowego
wzbudnika drgań.
É
me
wzbudnik z niewyważoną masą
x
Amplituda drgań Xr zmierzona w rezonansie
Xr=0.6 cm
m
zaÅ› amplituda zmierzona w strefie
pozarezonansowej
X=0.08 cm
c
k
Należy wyznaczyć bezwymiarowy współczynnik tłumienia.
RozwiÄ…zanie: Dla czÄ™stoÅ›ci rezonansowej É=Ér otrzymujemy
m X 1
(")
r
Å" E"
me e 2Å›
Dla czÄ™stoÅ›ci É >> Ér otrzymamy
m X
("")
Å" E" 1
me e
Dzieląc stronami oba wyrażenia otrzymamy:
X
Po przekształceniu
Å› =
X 1
r
2X
=
r
X 2Å›
Podstawiając wartości liczbowe, otrzymamy ś E" 0.066
Drgania wymuszone kinematycznie
m
x
y
c
k
y
Rozważmy układ drgający o jednym stopniu swobody (parametry m, c, k), przy
czym ruch masy m opisano za pomocą współrzędnej x.
Punkt zaczepienia sprężyny k oraz tłumika c doznaje przemieszczeń mierzonych
wzdłuż współrzędnej y i opisanych znaną harmoniczną funkcją czasu:
y=Ysin(Ét)
Równanie dynamiki przedstawionego układu możemy zapisać
Jest to równanie różniczkowe liniowe II rzędu
mx + cx + kx = ky + cy
niejednorodne
Rozwiązanie tego równania w stanie ustalonym drgań (całka szczególna
równania niejednorodnego) przyjmuje postać
x=Xsin(Ét-Õ)
StosujÄ…c zapis funkcji x i y w postaci zespolonej otrzymamy
y = YejÉt
j(Ét -Õ )
x = Xe
Dokonując różniczkowania względem czasu, a następnie wstawiając do
równania dynamiki, otrzymamy następujące wyrażenie
2
(- mÉ + jÉc + k)Xe- jÕ = (k + jÉc)Y
Po przekształceniu tego wyrażenia otrzymamy
X k + jÉc
e- jÕ =
2
Y (k - mÉ )+ jÉc
X
Z wyrażenia powyższego otrzymujemy iloraz jako względną amplitudę
Y
drgań
2
2
k + (Éc)
X
=
2
2
2
Y
(k - mÉ ) + (Éc)
3
mcÉ
tgÕ =
Kąt fazowy wyznaczamy z zależności:
2
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
É
2
2
ïÅ‚ +
k 1- ìÅ‚ ÷Å‚ śł (cÉ)
ìÅ‚ ÷Å‚
Én śł
ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Powyższe zależności możemy sprowadzić do postaci bezwymiarowej i
przedstawić w postaci charakterystyk: amplitudowej i fazowej
2 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
É É
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 + 2Å› 2Å›
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
É É
X
íÅ‚ n Å‚Å‚ íÅ‚ n Å‚Å‚
= tg Õ =
2 2 2
2 2
Y
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
É É
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
É É
1 - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ 2Å›
ïÅ‚1 - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
śł + 2ś
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
É É
É É íÅ‚ n Å‚Å‚ íÅ‚ n Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
íÅ‚ n Å‚Å‚ íÅ‚ n Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Na podstawie obserwacji charakterystyk amplitudowych możemy stwierdzić, że:
- dla małych wartości ś względna amplituda drgań osiąga wartość maksymalną
w otoczeniu czÄ™stoÅ›ci É/Én=1 (strefa rezonansu). Po przejÅ›ciu przez rezonans
maleje asymptotycznie do 0
- amplituda w rezonansie maleje wraz ze wzrostem współczynnika ś, zaś
czÄ™stość rezonansowa zmienia siÄ™ od Én do zera wraz ze wzrostem tego
współczynnika.
( 2; 1)
- charakterystyki przecinają się w punkcie o współrzędnych
 5
¾=0
¾
¾
¾
4
¾=0.1
¾
¾
¾
3
¾=0.25
¾
¾
¾
X
¾=0.375
¾
¾
¾
Y
2
1
0
É
0 1 2 4 5
2
Én 3
3,14
Õ[rad]
1,57
¾=0 ¾=0.1 ¾=0.25 ¾=0.375
¾ ¾ ¾ ¾
¾ ¾ ¾ ¾
¾ ¾ ¾ ¾
0
É
0 1 2 4 5
Én 3
Na podstawie obserwacji charakterystyk fazowych zauważamy że:
- kąt fazowy zmienia się, wraz ze wzrostem częstości, od 0 do wartości Ą/2
tym szybciej, im większa jest wartość współczynnika ś
- kÄ…t fazowy dla É/Én=1 wynika z zależnoÅ›ci:
É 1
= 1Ò! tgÕ =
Én 2Å›
(Inaczej, niż w poprzednich przypadkach drgań wymuszonych)
Drgania wymuszone sygnałem okresowym
Założenia
- ustalony stan drgań
- analiza w dziedzinie częstotliwości
Analiza harmoniczna okresowych sygnałów wymuszających
Założenie: sygnał okresowy spełniający warunki Dirichleta
2Ä„
F
CzÄ™stość podstawowa É =
0
T
Szereg Fouriera
t
Fa0 "
F(t) = + cosÄ…É0t +
"FaÄ…
2
Ä… =1
T
"
+ sinÄ…É0t
"FbÄ…
Ä… =1
T T
+ +
É0 2 É0 2
FaÄ… = F(t)cosÄ…É0tdt FbÄ… = F(t)sinÄ…É0tdt
przy czym
+" +"
Ä„ Ä„
T T
- -
2 2
"
FbÄ…
F(t) = cos(Ä…É0t -ÕÄ… ) tgÕÄ… =
Albo gdzie FÄ… = Fa2 + Fb2
"FÄ… Ä… Ä…
FaÄ…
Ä… =0
W praktyce uwzględniamy skończoną liczbę M składowych harmonicznych
szeregu Fouriera
Rozwiązywanie problemu drgań wymuszonych sygnałem harmonicznym dla
poszczególnych częstości
2
üÅ‚
(- mÉ0 + c jÉ0 + k)x(jÉ0) = F(jÉ0)
ôÅ‚
2
(- mÉ1 + c jÉ1 + k)x(jÉ1) = F(jÉ1)
ôÅ‚ jÕÄ…
przy czym F( jÉÄ… ) = F0Ä…e
żł
ôÅ‚
2
(- mÉM -1 + c jÉM -1 + k)x(jÉM -1) = F(jÉM -1)ôÅ‚
þÅ‚
Rozwiązaniami są składowe harmoniczne przemieszczeń w dziedzinie
czÄ™stotliwoÅ›ci x(jÉ0), x(jÉ1), ... , x(jÉM 1),
Drgania w dziedzinie czasu
Ponieważ analizowany układ jest liniowy, spełniona jest zasada superpozycji i
wówczas wektor drgań wymuszonych układu wyznaczamy z zależności:
M -1
j(ÉÄ…t+ÈÄ… )
x(t) = xÄ…e
"
Ä… =0
gdzie:
xą  amplituda współrzędnej uogólnionej dla składowej harmonicznej nr ą,
ÈÄ…  kÄ…t fazowy współrzÄ™dnej uogólnionej dla skÅ‚adowej harmonicznej nr Ä….
Proces rozwiązywania problemu ustalonych drgań wymuszonych
przebiega zatem w następujących etapach:
1. Analiza widmowa wymuszenia F(t)
2. W yznaczanie x(jÉÄ…) dla czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owych ÉÄ…, Ä…=0, 1, ..., M 1
3. W yznaczanie funkcji x (t) w dziedzinie czasu
Realizacja  algorytmu szybkiej transformacji Fouriera FFT (np. Matlab,
MathCad)  transformacja prosta transformacja odwrotna
Drgania nieustalone
Układ drgający wymuszony jest nieokresowym wymuszeniem F(t)
Odpowiedz
jest nieustalona  nie powstajÄ… drgania stanu ustalonego
Drgania z częstością drgań własnych  amplituda zależy od rodzaju
wymuszenia.
Wymuszenie impulsowe.
F
Impuls siły
"
Ć
F ´ (t
Å„Å‚ -¾ )= 0 dla t `" ¾
Ć
oraz F = F(t)dt = 1
òÅ‚
+"
µ
(t
ół´ -¾)= " dla t = ¾
0
¾ µ
t
Przykład. Drgania układu o jednym stopniu swobody
Fdt = mdv
Zasada pędu i impulsu siły:
Ć
F
Fdt F
v = = x(0)
Stąd: a następnie
+"dv = +"
m m
Drgania swobodne tłumione pobudzone niezerowym
warunkiem poczÄ…tkowym  ( x(0)=0 )
Ć
F
2
n
Ć
x(t) = e-¾É t sin 1-¾ Ént = Fg(t)
Otrzymujemy zatem
2
mÉn 1-¾
Wymuszenie dowolne
W ymuszenie dowolne F(t)  ciÄ…g
F
impulsów F(¾)
Ć
F = F(¾ )"¾
Dla impulsu
¾ "¾ tp ¾=t ¾
F(¾ )"¾g(t -¾ )
odpowiedz

x
StÄ…d
F(¾)"¾g(t-¾)
t
x(t) = F(¾ )g(t -¾ )d¾
+"
0
¾ t-¾
¾
Przykład. W ymuszenie układu nietłumionego (c=0 ) funkcją skokową
F0 t e" 0
Å„Å‚
F(t) =
òÅ‚
0 t < 0
ół
1
g(t) = sinÉnt
Odpowiedz
na impuls jednostkowy
mÉn
F0 t F0
x(t) =
StÄ…d
+"sinÉ (t -¾ )d¾ = k (1- cosÉnt)
mÉn 0 n