POLITECHNIKA WROCA
AWSKA
WYDZIAA
MECHANICZNO-ENERGETYCZNY
Kierunek: Mechanika i budowa maszyn (MBiM)
Specjalność: Inżynieria lotnicza (IL)
WYTRZYMALOŚĆ
KONSTRUKCJI
LOTNICZYCH
PROJEKT 3
Obliczenia dla zestawu nr 33
Autor:
Jan SÅ‚owik 163103
ProwadzÄ…cy:
dr inż. Bogusław Mrozek
Ocena pracy:
WROCA
AW 2011
Spis treści
1 Dane zadania: 2
1.1 Funkcje odległości od osi y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Obliczenie momentów stycznych względem osi Y przy myślowym prze-
cięciu w punkcie B 4
B A
2.1 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
AB
2.2 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
BC
2.3 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
CB
2.4 Sy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Podsumowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Obliczenie centralnego momentu bezwładności względem osi Y 7
4 Obliczenie ey 8
4.1 Á(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
y
4.2.1 odcinek B A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.2 odcinek AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.3 odcinek BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.4 odcinek CB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sc
4.2.5 Sy(s)Á(s)ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0
4.2.6 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
y
4.2.7 "ey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 ey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Obliczenie q(s) 12
5.1 Obliczenie q (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Obliczenie Mq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 Obliczenie Mw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Obliczenie qb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5 Obliczenie q(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Wykres rozkładu naprężeń wydatku naprężeń stycznych 14
Rozdział 1
Dane zadania:
Dane pochodzÄ… dla zestawu numer 33.
" Qz = 1300 [N]
" a = 41 [cm]
" ´ = 0.36 [cm]
1.1 Funkcje odległości od osi y
1 s1
z1(s1) = a - 0 s1 a
2 2
2
z2(s2) = -s 0 s2 a
2
s3
z3(s3) = -1a + 0 s3 3a
2 6
s4
z4(s4) = 0 s4 3a
6
1. Dane zadania: 3
{pict.orygi
Rysunek 1.1 Zestaw 33
Rozdział 2
Obliczenie momentów stycznych
względem osi Y przy myślowym
przecięciu w punkcie B
B A
2.1 Sy
s1
B A
Sy (s1) = z1(s)´ds1
0
s1
1 s1
= ( a - )´ds1
2 2
0
1 s2 1 s2
1 1
1
= ( as1 - )´ |s = ( as1 - )´
0
2 4 2 4
dla 0 s1 a
B
Sy (s1 = 0) = 0
1 a2 1
A
Sy (s1 = a) = ( a " a - )´ = ´a2
2 4 4
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y przy myślowym przecięciu w
punkcie B 5
AB
2.2 Sy
s2
AB A
Sy (s2) = Sy + z2(s2)´ds2
0
s2
s2
A
= Sy + - ´ds2
2
0
s2
A 2
2
= Sy + (- ´) |s =
0
4
s2 1 s2
A 2 2
= Sy - ´ = ´a2 - ´ =
4 4 4
´
= (a2 - s2)
2
4
dla 0 s2 a
´a2
A
Sy (s2 = 0) =
4
´
D
Sy (s2 = a) = (a2 - a2) = 0
4
BC
2.3 Sy
s3
BD B
Sy (s3) = Sy + z3(s3)´ads3 =
00
s3
1 s3
B
= Sy + - + ´ads3 =
2 6
00
s2 1
B 3
3
= Sy + ( - as3)´ |s ) =
0
12 2
s2 1
B 3
= Sy + ( - as3)´ =
12 2
s2 1
3
= 0 + ( - as3)´ =
12 2
s2 1
3
= ( - as3)´
12 2
dla 0 Ä…3 3a
2. Obliczenie momentów stycznych względem osi Y przy myślowym przecięciu w
punkcie B 6
B
Sy (s3 = 0) = 0
(3a)2 1
C
Sy (s3 = 3a) = ( - a(3a))´ =
12 2
9a2 3
= ( - a2))´ =
12 2
3
= - a2´ (2.1)
4
CB
2.4 Sy
s4
CB C
Sy (s4) = Sy + z4(s4)´ads4 =
00
s4
s4
C
= Sy + ´ds4 =
6
00
s2
C 4
4
= Sy + ´ |s ) =
0
12
s2
C 4
= Sy + ´ =
12
3 s2
4
= - a2´ + ´ =
4 12
´
= (s2 - 9a2) (2.2)
4
12
dla 0 s4 3a
3
C
Sy (s4 = 0) = - ´a2 (2.3)
4
(2.4)
´
B
Sy (s4 = 3a) = ((3a)2 - 9a2) = 0 (2.5)
12
2.5 Podsumowanie wyników
B
Sy = 0 ´a2 = 0 [cm3]
A 1
Sy = ´a2 = 151.29 [cm3]
4
B
Sy = 0 ´a2 = 0 [cm3]
C
Sy = -3 ´a2 = -453.87 [cm3]
4
Rozdział 3
Obliczenie centralnego momentu
bezwładności względem osi Y
k

2
Iy = Aizi
i=1
B A AB BD DB
= Iy + Iy + Iy + Iy =
AB DB
= 2Iy + 2Iy =
a
2 3 2
= 2 z2(s2)´ds2 + 2 az4(s4)´ds4 =
0 0
3a
a
s2 s4
= 2´( (- )2ds2 + ( )2ds4) =
2 6
0 0
3a
a
s2 s2
2 4
= 2´( ds2 + ds4)
4 36
0 0
s3 s3
2 4
= 2´( |a + |3a)
0 0
12 108
a3 27a3
= 2´( + )
12 108
2
= ´a3 (3.1)
3
2
Iy = ´a3 = 16541.04 [cm4]
3
Rozdział 4
Obliczenie ey
4.1 Á(s)
"
3
Á1(s1) = a
4
"
3
Á2(s2) = a
4
1 1
Á3(s3) = asin(arccos( ))
2 6
1 1
Á4(s4) = asin(arccos( ))
2 6
(4.1)
4.2 e
y

Sc
1
ey = - Sy(s)Á(s)ds
Iy 0
(4.2)
4. Obliczenie ey 9
4.2.1 odcinek B A
"

a a
1 s2 3
B A 1
Sy (s1)Á1(s1)ds1 = ( as1 - )´ ads1 (4.3)
0 0
"2 4 4
3 1 s2 s3
1 1
= a´ ( a - ) |a (4.4)
0
4 2 2 12
"
3 1 a2 a3
= a´ ( a - ) (4.5)
4 2 2 12
"
3 1 1
= a4´ ( - ) (4.6)
4 4 12
"
3 1
= a4´ ( ) (4.7)
4 6
"
3
= a4´ (4.8)
24
4.2.2 odcinek AB
"

a a
´ 3
AB
Sy (s2)Á2(s2)ds2 = (a2 - s2) ads2 (4.9)
2
0 0 4
"4
s3 ´ 3
2
= (a2s2 - ) a |a (4.10)
0
3 4 4
"
3 a3
= a´ (a2a - ) (4.11)
16 3
"
3 1
= a4´ (1 - ) (4.12)
16 3
"
3 2
= a4´ ( ) (4.13)
16 3
"
3
= a4´ (4.14)
24
4.2.3 odcinek BC

3a 3a
s2 1 1 1
BC 3
Sy (s3)Á3(s3)ds3 = ( - as3)´ asin(arccos( ))ds3 (4.15)
0 0 12 2 2 6
a´ 1 s3 as2
3
= sin(arccos( )( - ) |3a (4.16)
0
2 6 36 4
a´ 1 (3a)3 a(3a)2
= sin(arccos( )( - ) (4.17)
2 6 36 4
a´ 1 (27a3 9a3
= sin(arccos( )( - ) (4.18)
2 6 36 4
a4´ 1 3
= sin(arccos( )(- ) (4.19)
2 6 2
3 1
= - a4´sin(arccos( )) (4.20)
4 6
4. Obliczenie ey 10
4.2.4 odcinek CB

3a 3a
´ 1 1
BC
Sy (s3)Á3(s3)ds3 = (s2 - 9a2) asin(arccos( ))ds3 (4.21)
4
0 0 12 2 6
a´ 1 s3
4
= sin(arccos( ))( - 9a2s4) |3a (4.22)
0
24 6 3
a´ 1 (3a)3
= sin(arccos( ))( - 9a2 " (3a)) (4.23)
24 6 3
a4´ 1
= sin(arccos( ))(9 - 27) (4.24)
24 6
a4´ 1
= sin(arccos( ))(-18) (4.25)
24 6
3 1
= - a4´sin(arccos( )) (4.26)
4 6

Sc
4.2.5 Sy(s)Á(s)ds
0

Sc a a
B A AB
Sy(s)Á(s)ds = Sy (s1)Á1(s1)ds1 + Sy (s2)Á2(s2)ds2 (4.27)
0 0 0

3a 3a
BC CB
+ Sy (s3)Á3(s3)ds3 + Sy (s4)Á4(s4)ds4 (4.28)
0 0
" "
3 3 3 1 3 1
= a4´ + a4´ + (- a4´sin(arccos( ))) + (- a4´sin(arccos( )))
24 24 4 6 4 6
(4.29)
"
3 3 1
= a4´(2 - 2 sin(arccos( ))) (4.30)
6
"24 4
3 3 1
= a4´( - sin(arccos( ))) (4.31)
12 2 6
"
3 - 18sin(arccos(1))
6
= a4´ (4.32)
12
4.2.6 e
y

Sc
1
e = - Sy(s)Á(s)ds
y
Iy 0
"
1 3 - 18sin(arccos(1))
6
= - a4´
2
´a3 12
3
"
3
3 - 18sin(arccos(1))
6
= - a
2 12
"
18sin(arccos(1)) - 3
6
= a
8
(4.33)
4. Obliczenie ey 11
4.2.7 "ey
" przekÄ…tna d1
a
d1 = 2 " = a (4.34)
2
" przekÄ…tna d2

a a
d2 = a2 - ( )2 + (3a)2 - ( )2 (4.35)
2 2

a2 a2
= a2 - + 9a2 - (4.36)
4 4

3 35
= a2 + a2 (4.37)
4 4
" "
3 + 35
= a (4.38)
2
" Pole deltoidu F
1
F = d1d2 (4.39)
2
" "
1 3 + 35
= " a " a (4.40)
2 2
" "
3 + 35
= a2 (4.41)
4
" "ey

Sc Sy(s)
2F ds
0
´
"ey = (4.42)

Sc
Iy 0 ds
´

Sc
2F Sy(s)ds
0
= " (4.43)

Sc
Iy 0
ds
" "
2 " a2 3+ 35 -8a3´
4 3
= " (4.44)
2
´a3 8a
3
" "
3 + 35
= -a (4.45)
4
4.3 ey
ey = e + "ey (4.46)
y
" " "
18sin(arccos(1)) - 3 3 + 35
6
= a - a (4.47)
8 4
" "
18sin(arccos(1)) - 3 3 - 2 35
6
= a (4.48)
8
Rozdział 5
Obliczenie q(s)
Aby uprościć równania wszystkie równania są napisane względem bieguna w punkcie
przecięcia osi y i z.
5.1 Obliczenie q (s)
Qz " Sy(s)
q (s) = (5.1)
Iy
Qz

qB (s) = 0 = 0 [daN ]

a cm
3 Qz
qA(s) = = 11,890 [daN ]
8 a cm
Qz

qB(s) = 0 = 0 [daN ]
a cm

qC(s) = -9 Qz = -35,670 [daN ]
8 a cm

5.2 Obliczenie Mq
Qz Sc

Mq = " Sy(s)Á(s)ds (5.2)
Iz 0
"
Qz 3 - 18sin(arccos(1))
6
= " a4´ (5.3)
2
´a3 12
3
"
3 - 18sin(arccos(1))
6
= " Qza (5.4)
8
"
1
3-18sin(arccos( ))

6
Mq = Qza = -106707 [daN " cm]
8
5. Obliczenie q(s) 13
5.3 Obliczenie Mw
Mw = "Qzr (5.5)
"
3
= Qz " a (5.6)
2
"
3
Mw = Qza = 46159 [daN " cm]
2
5.4 Obliczenie qb
1

qb = (Mw - Mq) (5.7)
2F
" "
1 3 3 - 18sin(arccos(1))
6
" "
= (Qz " a - " Qza) (5.8)
2 8
a2 3+ 35
4
"
1 3 3 + 18sin(arccos(1)) Qz
6
" "
= (5.9)
4 a
3 + 35
3 Qz
= (5.10)
4 a
3 Qz
qb = = 23, 780 [daN ]
4 a cm
5.5 Obliczenie q(s)
q(s) = q (s) + qb (5.11)
3 Qz 6 Qz

qB (s) = ( 0 + ) = = 23,780 [daN ]
4 a 8 a cm
3 3 Qz 9 Qz
qA(s) = ( + ) = = 35,670 [daN ]
8 4 a 8 a cm
3 Qz 6 Qz
qB(s) = ( 0 + ) = = 23,780 [daN ]
4 a 8 a cm
3 Qz
qC(s) = ( -9 + ) = -3 Qz = -11,890 [daN ]
8 4 a 8 a cm
Rozdział 6
Wykres rozkładu naprężeń wydatku
naprężeń stycznych
{pict.orygi