Analiza Matematyczna 1.2
Lista zadań
Jacek Cichoń, Wrocław 2013/14
Ćwiczenia do tego kursu trwają tylko 15 godzin. Musimy ten czas dobrze wykorzystać. Na stronach Instytutu Matematyki
i Informatyki Politechniki Wrocławskiej (www.im.pwr.wroc.pl, podstrona Dla studentów/Narzedzia on-line) znalez
ć możecie
informacje o narzędziach informatycznych które mogą sie wam przydać do rozwiązywania zadań oraz szkicowania wykresów
funkcji. Przed ćwiczeniami wygenerujcie wykresy wszystkich funkcji które mają być na nich omawiane.
Gwiazdki oznaczają orientacyjny stopień trudności zadania. Zadania dodatkowe, bez numeracji, są przeznaczone do samo-
dzielnego rozwiązania przez studentów i będą omawiane na ćwiczeniach jeśli tylko wystarczy na to czasu.
C1 Logika, zbiory a " A}. Wywnioskuj z tego, że każdy ograniczony z dołu pod-
zbiór R ma kres dolny.
Zadanie 1  Zapisz za pomocÄ… symboli matematycznych
wyrażenie  n jest liczbą pierwszą .
Zadanie 9  Wyznacz liczby sup([0, 1]), sup((0, 1)),
1
sup(0, 1) )" Q), inf({ : n e" 1}), sup({n " N :
n
n jest liczbÄ… pierwszÄ…}).
Zadanie 2  Niech R(x,y) oznacza, że  x jest rodzicem y
oraz niech K(x) oznacza, że  x jest kobietą .
1. x i y są rodzeństwem
Zadanie 10  Korzystając z tego, że sin2(x) + cos2(x) = 1
"
pokaż, że | sin(x)+2 cos(x)| d" 5 dla każdego x " R. Wska-
2. x jest bratem y
zówka: Skorzystaj z nierówności Cauchy ego.
3. x jest matkÄ… y
4. x jest dziadkiem y
Zadania dodatkowe
Zadanie 3  Ustalmy liczby rzeczywiste a < b. Niech Aµ =
* Zadanie  Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n za-
1
(a - µ, a + µ) oraz Bµ = (b - µ, b + µ). Kiedy Aµ )" Bµ = " ?

chodzi równość 12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1).
6
Zadanie 4  Wyznacz zbiory [a, b] \ (a, b), (a, b) \ [a, b] oraz
* Zadanie  Rozważmy następujacą pętlę
[a, b] )" (a, b).
1: for I=1 to N do
2: for J=I to N do
3: for K=J to N do
Zadanie 5  Pokaż metodą Indukcji Matematycznej, że 1 +
4: Op(I,J,K)
1
2 + . . . + n = n(n + 1). Uwaga: Musisz również znać proste
2
5: end for
wyprowadzenie tego wzoru.
6: end for
7: end for
Zadanie 6  Pokaż, że zbiór liczb wymiernych Q jest za- Ile razy jest wykonywana operacje Op?
mknięty na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie
przez liczbę różną od 0.
* Zadanie  Załóżmy, że a < b oraz c < d. Podaj możliwie
prosty warunek na to aby (a, b) )" (c, d) = " .

"
Zadanie 7  Przypomnij sobie dowód tego, że 2 " Q. Po-
/
"
każ, że jeśli q " Q to 2 + q " Q.
/
* Zadanie  Niech x1, . . . , xn e" -1 będą liczbami o tym
samym znaku. Pokaż, że
* Zadanie 8  Sformułuj samodzielnie pojęcie kresu dolnego
n n
podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - oznaczmy go przez
(1 + xi) e" 1 + xi .
inf(A). Pokaż, że inf(A) = - sup(-A), gdzie -A = {-a :
i=1 i=1
1
Wskazówka: Wzoruj się na dowodzie nierówności Berno- Zadanie 19  Naszkicuj na jednym rysunku wykresy funkcji
1 1 3
uliego. ga(x) = loga(x) dla a = , , 1, , 2. Dla jakich wartości
4 2 2
a > 0 funkcja ga jest rosnąca a dla jakich malejąca (na półpro-
stej (0, "))?
** Zadanie  Niech A = {x e" : x2 < 2}. Pokaż, że
"0
sup(A)2 = 2 (czyli, że sup(A) = 2).
10
Zadanie 20  Znajdz
taka liczbę a, że 2log (x) = xa. Wska-
logb(x)
zówka: Skorzystaj ze wzoru loga(x) = na zamianę
logb(a)
* Zadanie  Niech ZM oznacza zdanie  w każdy niepustym
podstawy logarytmów.
podzbiorze zbioru liczb naturalnych istnieje element najmniej-
szy . Wyprowadz
ze zdania ZM zasadÄ™ Indukcji Matematycz-
Zadania dodatkowe
nej.
Zadanie  Funkcję f : R R nazywamy parzystą jeśli
** Zadanie  Wyprowadz
z zasady Indukcji Matematycznej
("x " R)(f(-x) = f(x)). FunkcjÄ™ f : R R nazywamy
zdanie ZM.
nieparzystą jeśli ("x " R)(f(-x) = -f(x)).
1. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji fn(x) = xn
dla róznych n " N.
C2 Funkcje elementarne
2. Pokaż, że każda funkcja f : R R jest sumą funkcji
parzystej i nieparzystej.
Zadanie 11  Pokaż, że dla dowolnych trzech liczb rzeczy-
wistych x, y, z zachodzi nierówność |x-z| d" |x-y|+|y -z|.
Uwaga: Nierówność ta nazywa się nierównością trójkąta.
Zadanie  Spróbuj naszkicować wykres funkcji f zadanej
Wskazówka: Na wykładzie pokazaliśmy, że |a + b| d" |a| + |b|
wzorem
1 : x " Q
dla dowolnych liczb a, b " R.
f(x) =
0 : x " Q
/
Uwaga: Funkcja ta nazywa siÄ™ funkcjÄ… Dirichleta.
Zadanie 12  Niech f(x) = x2 - 1. Naszkicuj wykresy
funkcji f1(x) = f(x), f2(x) = f(x + 1), f3(x) = f(x - 1),
1
f4(x) = |f(x)|, f5(x) = f(2x), f6(x) = , f7(x) =
f(x)
C3 Trygonometria
6
2f (x). Wskazówka: Możesz wykorzystać w tym celu wyszu-
kiwarkÄ™ informacji Google lub skorzystaj z serwisu Wolfram
Zadanie 21  Uzasadnij, że nastepujące dwa zdania są rów-
Alpha.
noważne:
1.("x, y " R)(x = yf(x) = f(y)),

Zadanie 13  Określ dziedziny i naszkicuj wykresy funkcji
x x+1
2.("x, y " R)(f(x) = f(y)x = y).
zadanych wzorami f1(x) = , f2(x) = , f3(x) =
x2+2x-5 x2-1
x+1
.
x-1
1
Zadanie 22  Pokaż, że sin2(x) = (1 - cos(2t)) oraz
2
1
Zadanie 14  Niech f(x) = sin(x) oraz g(x) = x2. Naszki- cos2(x) = (1 + cos(2t)).
2
cuj wykresy funkcji f ć%g oraz gć%f. Czy potrafisz w inny sposób
zapisać wzór na funkcję g ć% f ? Podaj kilka innych przykładów
Zadanie 23  Pokaż, że sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x),
na to, że zlożenie funkcji nie jest przemienne.
cos(2x) = cos2(x) - sin2(x), sin(3x) = 3 · sin(x) - 4 sin3(x)
oraz cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 · cos(x).
Zadanie 15  Naszkicuj wykresy funkcji fa(x) =
"
1 - x2 sin(a · x), dla a = 1, 10, 100, 200. Wyjasnij zaob-
tan(x)+tan(y)
serwowane zjawisko.
Zadanie 24  Pokaż, że tan(x + y) = .
1-tan(x) tan(y)
Zadanie 16  Naszkicuj na jednym rysunku wykresy funkcji
Zadanie 25  Pokaż, że
1 1 3
fa(x) = ax dla a = , , 1, , 2. Dla jakich wartości a > 0
4 2 2 x+y x-y
1. sin(x) + sin(y) = 2 sin( ) cos( )
funkcja fa jest rosnÄ…ca a dla jakich malejÄ…ca? 2 2
x+y x-y
2. cos(x) + cos(y) = 2 cos( ) cos( )
2 2
Zadanie 17  Pokaż, że jeśli f, g : R R sa funkcjami ro-
snącymi, to f ć% g też jest funkcją rosnącą.
Zadanie 26  Jaki jest związek między wykresami funkcji
y = f(x) oraz y = f(x + a), gdzie a jest ustalonÄ… liczbÄ…
rzeczywistÄ…?
Zadanie 18  Wyznacz funkcje odwrotne do funkcji zada-
x+1
nych wzorami f(x) = , g(x) = 2x+1, h(x) = log2(x+1).
x-1
2
Ä„ 2n2+n+3
Zadanie 27  Pokaż, że sin(x + ) = cos(x). Zrób to na 2. bn = ,
2 n2+3n+1
dwa sposoby: za pomocÄ… wzoru na sin(x + y) oraz za pomocÄ…
2n3+n+3
3. cn = .
n2+3n+1
interpretacji geometrycznej funkcji trygonometrycznych.
Zadanie 32  Ustalmy liczbę g. Rozważmy ciąg (an) o wy-
Zadanie 28  Narysuj wykresy funkcji y = arcsin(sin(x))
oraz y = arcsin(cos(x)) dla x " [-4Ą, 4Ą]. Wyjaśnij zaobser- razach zadanych wzorem
wowane zjawiska.
10ng
an = .
10n
Zadanie 29  Narysuj wykres funkcji y = arctan(tan(x)).
1. Pokaż, że ciąg (an) jest zbieżny i wyznacz jego granicę.
Wyjaśnij zaobserwowane zjawisko.
Wskazówka: Skorzystaj z nierówności x - 1 < x d"
x.
2. Jak szybko zbiega ciÄ…g (an) do swojej granicy?
Ä„
Zadanie 30  Pokaż, że arccos(x) = - arcsin(x) oraz
2
Ä„
3. Do czego w praktyce informatycznej może ci się przy-
arccot(x) = - arctan(x).
2
dać to zadanie?
Zadania dodatkowe
Zadanie 33  Oblicz granice
* Zadanie  Pokaż, że dla każdej ustalonej liczby naturalnej
1. limn" 1+2+...+n
n2
n istnieja takie stałe a0, . . . , an, że
2. limn" 12+22+...+n2
n3
"
n
3. limn"( n2 + n - n)
(cos(x))n = ak cos(kx) .
k=0
1
Wskazówka: Skorzystaj z tego, że cos(t) = (eit + e-it). Zadanie 34  Oblicz granice ciągów
2
n+(-1)n
1. ,
"2n+1
n
2. nn + 1,
* Zadanie  Pokaż, że dla każdej ustalonej liczby naturalnej
"
n
n mamy 3. n2n + n2.
n (n+1)x
sin(nx ) sin( )
2 2
sin(kx) =
x
Zadanie 35  Oblicz granicę następujących ciągów
sin( )
2
k=1
1
1. (1 + )3n+1,
n
oraz
1
n (n+1)x 2. (1 - )2n+1,
nx
n
cos( ) sin( )
2 2
2
cos(kx) =
1
x
3. (1 + )n ,
sin( )
n
2
k=0
n+1
4. ( )n+1,
n+1
Wskazówka: Oblicz sumę 1 + eit + (eit)2 + . . . + (eit)n.
1
5. (1 + )n.
Przy upraszczaniu skorzystaj z następującej równości: eit - 1 n2
it it -it it
t
2 2 2 2
= e (e - e ) = 2 · i · e · sin(2 ) (to mocno upraszcza
obliczenia) .
Zadanie 36  Niech n będą liczbami naturalnymi takimi, że
n > 0 oraz b > 1.
1. Pokaż, że reprezentacja liczby n przy podstawie b
C4 CiÄ…gi
składa się z logb(n) + 1 cyfr.
Odpowiedzi na większość zadań z tej grupy możesz znalez
ć
2. Niech lb(n) oznacza liczbÄ™ cyfr w reprezentacji liczby
za pomocÄ… programu Mathematica lub za pomocÄ… serwisu
n przy podstawie b Oblicz
Wolfram Alpha. Przez polecenie  oblicz rozumiemy więc w
l2(n)
poniższych zadaniach  oblicz samodzielnie . Ale z narzędzi
lim .
n"
tych warto korzystać do sprawdzenia poprawności swoich ob- l10(n)
liczeń.
"
Do znajdowania granic w programie Mathematica służy
n
Zadanie 37  Za pomocÄ… wzoru Strirlinga n! H" 2Ä„n( )n
e
polecenie Limit[f[n],n "]. Przykład wyznaczania granicy
oraz poprzedniego zadania oszacuj z ilu cyfr (przy podstawie
za pomocą serwisu Wolfram Alpha możesz znalez
ć na stro-
10) składa się liczba 1000!. Wyznacz następnie dokładną liczbę
nach WWW Instytutu Matematyki i Informatyki PWr (Stu-
cyfr w reprezentacji dziesiętnej liczby 1000! i porównaj z uzy-
denci/Narzędzia on-line).
skanym oszacowaniem. Wskazówka: Przydać Ci się mogą na-
stępujące dwie funkcje: IntegerDigits[x] oraz Length[x] pro-
Zadanie 31  Oblicz granice następujących ciągów: gramu Mathematica.
2n+n+3
1. an = ,
n2+3n+1
3
Zadanie 38  Pokaż, że jeśli |a| < 1 to Zadanie 42  Niech
0 : x = 0
1
f(x) =
1
lim (1 + a + . . . + an) = .
sin(x ) : x = 0

n"
1 - a
1. Wyznacz x takie, że f(x) = 0. Wskazówka: Jeśli x =

1 1
0 to (f(x) = 0) a" (sin( ) = 0) a" ("k " Z)( = kĄ)
x x
a" . . . .
Zadanie 39  Podaj prosty dowód tego, że ciąg an = (-1)n
2. Wyznacz x takie, że f(x) = 1.
nie jest zbieżny.
3. Naszkicuj wykres funkcji f.
4. Czy f jest ciągła w punkcie 0?
Zadanie 40  Bezpośrednio z definicji granicy ciagu pokaż,
"
5. Wyznacz punkty ciągłości funkcji f.
że limn 2n+1 = 0 oraz limn(n - n) = ".
n2
Zadanie 43  Na wykładzie pokazaliśmy, że każda funkcja
Zadania dodatkowe
stała jest ciągła, że suma i iloczyn dwóch funkcji ciągłych jest
ciągła. Pokaż, że jeśli f, g : (a, b) R są ciągłe, to funkcja h
Zadanie  Co możesz powiedzieć o granicy ciągu zadanego
w(n) zadana wzorem h(x) = f(x) - g(x) jest również ciągła.
wzorem postaci an = , gdzie w jest wielomianem stopnia
v(n)
k zaÅ› v jest wielomianem stopnia l?
Zadanie 44  Na wykładzie pokazaliśmy, że jeśli f :
(a, b) R, g : R R, x0 " (a, b) oraz f jest ciągła w punk-
Zadanie  Załóżmy, że 0 d" a d" b. Pokaż zbieżność i wy-
"
cie x0 a g jest ciągła w punkcie f(x0) to złożenie h = g ć% f
n
znacz granicÄ™ ciÄ…gu an + bn.
jest ciągłe w punkcie x0.
1. Pokaż, że jeśli f : (a, b) (c, d) jest i g : (c, d) R
jest ciągła to funkcja g ć% f jest ciągła na (a, b).
Zadanie  Pokaż, że ze zbieżności ciągu (an) wynika zbież-
ność ciągu (|an|). Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
2. Narysuj wykres funkcji f : R R zadanej wzorem
f(x) = | sin(x)| i pokaż, że jest ona jest ciągła. Możesz
skorzystać z tego, że funkcja y = sin(x) jest ciągła.
1
Zadanie  Niech an = (n mod 20) + . Wyznacz punkty
n
skupienia ciÄ…gu (an).
Zadanie 45  Dla zadanej liczby a definiujemy funkcjÄ™ fa :
R R wzorem
* Zadanie  Znajdz
taki ciąg dla którego każda liczba z prze-
x : x < 1
działu [0, 1] jest jego punktem skupienia.
fa(x) =
1
x2 + a : x e" 1
2
Dla jakiego a funkcja fa jest ciągła?
* Zadanie  Ustalmy liczbÄ™ a > 0. Niech x = 0 oraz
"0
1 a
xn+1 = (xn + ). Pokaż, że limn xn = a. Zastosuj
2 xn
ten wyniki dla a = 2. Który wyraz tak zbudowanego ciągu 1
" Zadanie 46  Niech f(x) = .
sin2(x)
różni się od 2 o mniej niż 10-3?
1. Wyznacz dziedzinÄ™ oraz obraz funkcji f.
2. Naszkicuj wykres funkcji f.
Zadanie  Niech (nk) będzie takim ciągiem liczb natural-
3. Ustalmy liczbę k " Z. Niech (an) będzie ciągiem
nych, że ("k)(nk < nk+1). Pokaż, że ("k)(k d" nk). Wska-
zbieżnym do liczby kĄ. Wyznacz granicę lim f(an).
zówka: Zacznij od zastanowienia się nad wyborem metody do-
wodu.
x2-1
Zadanie 47  Niech f(x) = .
x-1
1. Dla jakich x " R funkcja f jest określona?
C5 Ciągłość - I
2. Czy funkcja f jest ciągła?
Do szkicowania wykresów funkcji możesz stosować wyszuki-
warkÄ™ Google, polecenie Plot[f[x],{x,a,b}] programu Mathe-
matica bÄ…dz
poleceniem plot serwisu Wolfram Alpha.
Zadanie 48  Dla funkcji f : R R określamy
NC(f) = {x " R : f nie jest ciągła w punkcie x} .
Zadanie 41  Niech f(x) = x - x dla x " R.
1. Narysuj wykres funkcji f.
Wskaż (znajdz
) takie funkcje f : R R, że
2. Pokaż, że f(x + 1) = f(x) dla dowolnego x " R.
1. NC(f) = ",
3. Wyznacz obraz funkcji f.
2. NC(f) = {1, 2, 3},
4. Wyznacz punkty ciągłości funkcji f.
3. NC(f) = Z,
4. NC(f) = R.
4
Zadanie 49  Wiemy, że jeśli f : [a, b] R jest funkcją cią- Zadanie 53  Znajdz
funkcje f, g : R R takie, że
głą oraz f(a) < 0 i f(b) > 0, to istnieje takie c " (a, b), że limx" f(x) = limx" g(x) = +" oraz
f(c) = 0.
1. limx"(f(x) - g(x)) = +"
Wykorzystaj tę" funkcji ciągłych do znalezienia przy-
własność
2. limx"(f(x) - g(x)) = 0
bliżenia liczby 3 z dokładnością do jednego miejsca po prze-
cinku. 3. limx"(f(x) - g(x)) = -"
Wskazówka: Rozważ funkcję g(x) = x2 - 3. Zauważ, że
g(1) < 0, g(2) > 0 oraz, że g(x) = 0 a" x2 = 3.
Zadanie 54  Oblicz następujące granice:
x2+1
1. limx" 2x2+2x+1
Zadanie 50  Na wykładzie omówiliśmy następujące twier-
dzenie: jeśli f : [a, b] R jest funkcją ciągłą, to istnieją liczby
2x3+2x
2. limx" x2+3x+1
m, M " [a, b] takie, że f(m) = inf{f(x) : x " [a, b]} oraz
x2+1
f(M) = sup{f(x) : x " [a, b]}. 3. limx" 2x3+2x+1
1. Czy założenie ciągłości jest w tym twierdzeniu po-
trzebne?
Zadanie 55  Oblicz następujące granice (Wskazówka: mo-
2. Czy twierdzenie to byłoby prawdziwe, gdyby odcinek
żesz skorzystać z ciągłości funkcji trygonometrycznych, loga-
[a, b] zastąpić odcinkiem (a, b)?
rytmów i funkcji wykładniczej. ):
3. Czy twierdzenie to byłoby prawdziwe, gdyby odcinek
x
[a, b] zastąpić zbiorem R? 1. limx0 sin( )
x2+1
1
2. limx" log2((1 + )x)
x
Zadania dodatkowe 1
x
3. limx" 2( )
Zadanie  Pokaż, że jeśli funkcje f, g : R R są ciągłe,
to również funkcje m(x) = min{f(x), g(x)} oraz M(x) =
Zadanie 56  Pokaż, że funkcja
max{f(x), g(x)} są ciągłe.
Å„Å‚
òÅ‚ -1 : x < 0
sgn(x) = 0 : x = 0
Zadanie  Załóżmy, że f : [0, 1] [0, 1] jest funkcją ciągłą.
ół
1 : x > 0
Pokaż, że istnieje takie x0 " [0, 1], że f(x0) = x0
nie jest ciągła w punkcie 0. Wyznacz punkty ciąglości funkcji
sgn.
Zadanie  Załóżmy, że f : R R jest ciągła i f(d) < 0, to
istnieje > 0 takie, że
Zadanie 57  Wyznacz punkty ciągłości funkcji f(x) =
("x)(|x - d| < f(x) < 0) .
sgn(sin(x)), g(x) = sgn(cos(x)), h(x) = x oraz a(x) =
1
Sformułuj podobne twierdzenie dla przypadku f(d) > 0.
.
x
Zadanie  Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą, a < b, f(a) <
Zadanie 58  Narysuj wykresy funkcji zadanych wzorami
f(b). Niech x 1 1
y = , y = x - x , y = x sin( ), y = x2 sin( ),
x-1 x x
1 1
y = sin( ) oraz wyznacz ich granice w punkcie 0.
A = {x " [a, b] : f(x) < 0)} .
x x
1. Pokaż, że A = ".

2. Niech ´ = sup(A). Pokaż, że f(´) = 0
Zadanie 59  Oblicz granice limx1 x2-1 , limx1 x3-1 .
x3-1 x2-1
C6 Funkcje ciągłe i granice
Zadanie 60  Czy istnieje granica limx" sin(x)? Czy ist-
1
nieje granica limx0+ sin( )?
x
1
Zadanie 51  Niech f(x) = .
x2-1
1. Wyznacz asymptoty pionowe i poziome funkcji f.
Zadania dodatkowe
2. Naszkicuj wykres funkcji f.
3. Naszkicuj wykres funkcji f1(x) = 2f(x).
Zadanie  Załóżmy, że istnieje · > 0 taka, że ("x)(|x -
x0| < · f(x) = g(x)). Pokaż, że jeÅ›li f jest ciÄ…gÅ‚a w
punkcie x0 to również g jest ciągła w punkcie x0. Dlaczego
x2 x3+x
pokazaną własność funkcji ciągłych możemy wysłowić nastę-
Zadanie 52  Niech g(x) = oraz h(x) = . Wy-
x2-1 x2-1
pująco: ciągłość funkcji w punkcie jest pojęciem lokalnym?
znacz asymptoty pionowe i poziome funkcji g i h. Naszkicuj
wykresy funkcji g i h.
5
x
Zadanie  Pokaż, że każda funkcja ciągła f : R R Zadanie 63  Naszkicuj wykres funkcji f(x) = ,
(x-1)(x-2)
spełniająca warunek f(x + y) = f(x) + f(y) jest postaci wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji oraz jej wartości w tych
f(x) = a · x dla pewnej staÅ‚ej a. Wskazówka: Przyjmij punktach (doprowadz
te wartości do możliwie prostej postaci).
a = f(1) i pokaż najpierw, że f(x) = a · x dla wszystkich
x " N, potem dla wszystkich x " Q i w końcu dla wszystkich
Zadanie 64  Niech f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c są stałe
x " R.
oraz a = 0). Wyznacz punkt ekstremalny funkcji f.

Zadanie  Niech n > 0. Naszkicuj wykres funkcji zadanej
wzorem
Zadanie 65  W jakim punkcie funkcja f(x) = xe-x przyj-
1
muje wartość największą ?
f(x) = .
x(x - 1) · · · (x - n)
Wskazówka: rozważ oddzielnie przypadek n parzystego i n
Zadanie 66  Znajdz
taka funkcję f, że f (x) = 1+x+x2 +
nieparzystego.
x3 + . . . + x10.
Zadanie  Oblicz granice wielomianu postaci w(x) = xn +
Zadanie 67  Pokaż bezpośrednio z definicji pochodnej, że
an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 w nieskończoności. Wskazówka:
jesli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x to (f +
Rozważ oddzielnie przypadek n parzystego oraz n nieparzy-
g) (x) = f (x) + g (x).
stego.
f
Zadanie 68  Na wykładzie omówiliśmy wzór na ( ) (x)
Zadanie  Pokaż, że każdy wielomian (traktowany jako
g
1
funkcja z R w R) stopnia nieparzystego ma pierwiastek.
Zastosuj ten wzór do wyznaczenia wzoru na ( ) (x).
g(x)
Zadanie  Pokaż, że z Twierdzenia o Wartości Pośredniej
Zadanie 69  Chcemy zaprojektować naczynie o kształcie
wynika, że jeśli f : R R jest ciągła, a < b oraz f(a) <
otwartego od góry prostopadłościanu o podstawie kwadrato-
y0 < f(b) to istnieje x0 " (a, b) takie, że f(x0) = y0.
wej. Mamy do dyspozycji materiał o powierzchni S. Chcemy
zmaksymalizować objętość. Wyznacz optymalną długość pod-
h
stawy a oraz wysokość h. Wyznacz iloraz .
a
Zadanie  Korzystając z poprzedniego zadania pokaż, że je-
śli f : R R jest ciągła, to obraz dowolnego odcinka jest
odcinkiem. Wskazówka: Oto prosta charakteryzacja odcinka:
Zadania dodatkowe
I jest odcinkiem wtedy i tylko wtedy dla dowolnych a, b " I
takich, że a d" b mamy (a, b) ą" I.
Zadanie  Załóżmy, że istnieje · > 0 taka, że ("x)(|x -
x0| < · f(x) = g(x)). Pokaż, że jeÅ›li f jest różniczko-
walna w punkcie x0 to również g jest różniczkowalna w punk-
Zadanie  KorzystajÄ…c z poprzedniego zadania oraz twier-
cie x0. Dlaczego pokazaną własność funkcji ciągłych możemy
dzenia Weierstrassa o wartościach maksymalnych pokaz, że je-
wysłowić następująco: różniczkowalność funkcji w punkcie jest
śli f : R R jest ciągła, to obraz dowolnego ograniczonego
pojęciem lokalnym?
odcinka domkniętego jest odcinkiem domkniętym.
Zadanie  Niech f(x) = xex. Oblicz f (x), f (x), f (x).
Zadanie  Pokaż, że w każdej chwili istnieją dwa antypo-
Odgadnij, a następnie udowodnij wzór na n-tą pochodną funk-
dalne punkty na kuli ziemskiej w których jest taka sama tem-
cji f.
peratura.
Zadanie  Pokaż bezpośrednio z definicji pochodnej, że jeśli
C7 Różniczkowanie - I
funkcje f i g sÄ… różniczkowalne w punkcie x to (f · g) (x) =
f (x)g(x) + f(x)g (x).
Zadanie 61  Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zada-
nych następującymi wzorami: y = 2 + 3x + x3, y = 1 + x +
Zadanie  Pokaż bezpośrednio z definicji pochodnej, że jeśli
x2+x+1
x2 + . . . + xn, y = (x + 1)/(x - 1), y = y = x2ex,
x3-1
funkcja g jest różniczkowalne w punkcie x oraz g(x) = 0 to

x
y = .
1+ex
1 -g (x)
(x) =
g g(x)2
Zadanie 62  Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x(x-1)(x-
2), wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji oraz jej wartości w
tych punktach (doprowadz
te wartości do możliwie prostej po-
staci).
Zadanie  Korzystając z dwóch poprzednich zadań pokaż,
że jeśli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x oraz
6
g(x) = 0 to gdzie h(t) oznacza wysokość w chwili t zaś x(t) odległość

ciała od miejsca wystrzelenia w chwili t zaś g oznacza przy-
f f (x)g(x) - f(x)g (x) spieszenie grawitacyjne na poziomie powierzchni ziemi. Za-
(x) =
uważ, że h(0) = 0.
g g(x)2
1. Wyznacz tą > 0 takie, że h(tą) = 0.
2. Niech d(ą) = x(tą) (jest to odległość w momencie
Ä„
C8 Różniczkowanie - II
zderzenia siÄ™ z ziemiÄ…) Dla jakiego Ä… " [0, ] funkcja
2
d przyjmuje największą wartość?
Zadanie 70  Oblicz pochodne następujących funkcji y =
2
sin(2x2 + 1), y = ln(x2 + 1), y = xe-x , y = arctan(x2 + 1), Zadania dodatkowe
y = (x2 - x - 1)10, y = (cos(x))3.
Zadanie  Załóż, że f jest ciągła na odcinku [a, b] oraz róż-
niczkowalna wewnÄ…trz odcinka (a, b). Niech
Zadanie 71  Oblicz pochodne następujących funkcji: y =
sin(sin(x)), y = sin(sin(sin(x))), y = sin(sin(sin(sin(x)))), f(b) - f(a)
"
g(x) = f(x) - (x - a) + f(a)
y = arctan( x2 + 1), y = sin(ln(x2 + 1)).
b - a
1. Podaj interpretacjÄ™ funkcji g.
Zadanie 72  Wyznacz pochodne funkcji y = arcsin(x),
2. Pokaż, że g jest ciągła na [a, b] oraz różniczkowalna we-
y = arccos(x), y = arcctan(x). wnÄ…trz odcinka (a, b).
3. Pokaż, że g(a) = g(b) = 0.
4. Zastosuj twierdzenie Rolle a do funkcji g i wyprowadz

Zadanie 73  Pokaż, że jeśli funkcja f : R R jest cią-
z tego twierdzenie Lagrange a, czyli pokaż, że istnieje
gła, a < b < c, ("x " (a, b))(f (x) > 0) oraz ("x "
punkt c " (a, b) taki, że
(a, b))(f (x) < 0) to funkcja f ma lokalne maksimum w pun-
cie b.
f(b) - f(a)
= f (c) .
b - a
Zadanie 74  W jaki punkcie funkcja zadana wzorem y =
xex przyjmuje wartość największą i ile wynosi wartość funkcji
w tym punkcie?
Zadanie  Znajdz
prostÄ… geometrycznÄ… interpretacjÄ™ wzoru
1
(f-1) (t) = .
f (f-1(t))
Zadanie 75  Wyznacz największa i najmniejszą wartość
2
funkcji zadanej wzorem y = xe-x . Znajdz
obraz tej funk-
cji.
Zadanie  Niech
1

Zadanie 76  Zbadaj wykres funkcji określonej wzorem y = x2 sin( ) : x = 0
x
f(x) =
x3 - 9x + 1. Zlokalizuj zera tej funkcji z dokładnością 0.1. 0 : x = 0
1. Pokaż, że f jest funkcją różniczkowalną.
Zadanie 77  Zbadaj wykres funkcji zadanej wzorem y =
2. Pokaż, że f nie jest ciągła w punkcie 0.
x2-x-1
. Czy funkcja ta posiada lokalne ekstrema?
(x+1)(x-1)
Zadanie  Niech
1
Zadanie 78  Zbadaj wykres funkcji zadanej wzorem y =
e- x
: x > 0
x-2
f(x) =
. Wyznacz obraz tej funkcji.
(x+1)(x-1)
0 : x d" 0
1. Naszkicuj wykres funkcji f.
Zadanie 79  Położenie ciała w czasie t zadane jest wzorem
2. Pokaż, że f jest funkcją różniczkowalną.
x(t) = a sin(Ét).
3. Pokaż, że f jest również funkcja różniczkowalną.
1. Pokaż, że funkcja s jest okresowa i wyznacz jej okres.
2. Wyznacz prędkość oraz przyśpieszenie tego ciała.
C9 Różniczkowanie - III
Zadanie 80  Ruch ciała wystrzelonego pod kątem ą "
Zadanie 81  " pochodne następujących funkcji: y =
Oblicz
Ä„
[0, ] z prędkością v > 0 opisać można równaniem 1
"
2 2sin(x), y = x2 + 1, y = , y = log2(x2 + 1),
1+ex
x 1
3
y = (x)e , y = (cos(x)) .
x(t) = v · cos(Ä…)t
,
1
h(t) = - gt2 + v sin(Ä…)t
2
7
Zadanie 82  Oblicz pierwsze, drugie i trzecie pochodne na- Zadanie  Wyznacz kilka pierwszych wyrazów aproksyma-
"
stępujących funkcji: y = 2x + 1, y = x2 + x + 1, y = cji funkcji f(x) = 1 + x dla x H" 0.
x3 + x2 + 3x + 1, y = sin(x), y = xex.
Zadanie  Wyznacz kilkanaście pierwszych wyrazów aprok-
1
Zadanie 83  Zbadaj wykres funkcji zadanej wzorem y = symacji funkcji f(x) = ln dla x H" 0.
1-x
x
. Sprawdz
za pomocÄ… kryterium znaku drugiej pochodnej
1+x2
w jakich punktach funkcja ta ma lokalne ekstrema.
"
xk
Zadanie  Podstaw do wzoru ex = wartość x =
k=0 k!
i · t (gdzie i to jednostka urojona).
Zadanie 84  Znajdz
najmniejszą i największą wartość funk-
1. Uprość to wyrażenie (skorzystaj z tego, że i2 = -1,
cji y = x3 - x + 1 na odcinku [0, 2].
i3 = -i oraz i4 = 1). Pogrupuj wyrazy tak aby oddzie-
lić część rzeczywistą od części urojonej.
Zadanie 85  Znajdz
najmniejszą i największą wartość funk- 2. Wyznacz kilkanaście pierwszych wyrazów rozwinięcia
x2 1
cji y = na odcinku [-1, ]. funkcji sin(x) w szereg Taylora w punkcie 0.
1-x 2
3. Wyznacz kilkanaście pierwszych wyrazów rozwinięcia
funkcji cos(x) w szereg Taylora w punkcie 0.
|x|
Zadanie 86  Niech f(x) = . Podaj proste uzasadnienie
4. Porównaj wzory z punktu (1) ze wzorami z punktu (2) i
ex
tego, że funkcja f jest ciągła. Wyznacz ekstrema lokalne tej
(3).
funkcji. Wskazówka: Rozważ oddzielnie funkcję f na zbiorze
(-", 0] a potem na zbiorze [0, ").
C10 Pochodne i całki
Zadanie 87  Znajdz
pierwsze sześć wyrazów przybliżenia
Zadanie 91  Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz na-
Maclaurina funkcji y = cos(x). Podaj rozsÄ…dne oszacowanie
stępujące granice:
reszty.
1+n2
"n
limn" 2+n+2n2 , limn" n5 , limn" (ln n)3 , limn" ln ,
en n n
limx0 tan(x) , limx0 arctan(x) , limx0 1-cos(x) ,
x x x2
Zadanie 88  Znajdz
pierwsze sześć wyrazów przybliżenia
xe2x-x
Ä„
limx0 1-cos(3x) ,
Taylora funkcji y = sin(x) w punkcie a = . Podaj rozsÄ…dne
2
oszacowanie reszty.
3
limx0(ln(1 - cos(x)) - ln(x2)), limx"(1 - )2x,
x
" "
1
x
limx0 1-x- 1-x2 , limx"(ex + 1) , limx0+ x3 ln x,
x
Zadanie 89  Niech f(x) = x3 + 2x2 + x + 3. Zastosuj
1
wzór Maclaurina do funkcji f dla n = 5. Podaj interpretację
x
limx"(ln x) , limx0 ln(cos(x)) .
x2
otrzymanego wyniku.
Zadanie 92  Dla funkcji f, g : N R określamy
Zadanie 90  Niech f(x) = x3 + 2x2 + x + 3. Zastosuj
wzór Taylora do funkcji f dla n = 5 w punkcie a = 1. Po- f = O(g) a" ("C > 0)("N)("n > N)(|f(n)| d" C|g(n)|)
daj interpretację otrzymanego wyniku. Wskazówka: Podziel
Zapamiętaj tę definicję - będziesz często korzystać z tego poję-
wielomian x3 + 2x2 + x + 3 przez x - 1.
cia na kursach z analizy algorytmów.
f(n)
1. Pokaż, że jeśli limn" | | < ", to f = O(g)
g(n)
Zadania dodatkowe
2. Pokaż, że n2 = O(2n2) oraz 2n2 = O(n2).
3. Pokaż, że n = O(2n), n2 = O(2n) i n3 = O(2n).
Zadanie  Niech f : R R bedzie k - krotnie różniczko-
walna i a " R. Niech
4. Narysuj na jednym diagramie wykresy funkcji y = x3
oraz y = 2x dla x " [0, 20]. Wskazówka: Skorzystaj z
f (a) f(k)(a)
polecenia LogPlot[{f[x],g[x]},{x,0,20}] programu Ma-
pk(x) = f(a) + (x - a) + + . . . + (x - a)k
1! k!
thematica.
oraz
5. Pokaż, że dla dowolnego naturalnego k e" 1 mamy
f(x)-pk(x)
: x = a

nk = O(2n)
(x-a)k
Ék(x) =
0 : x = 0
Pokaż, że limxa Ék(x) = 0. Wskazówka: Zastosuj reguÅ‚Ä™
Zadanie 93  Dla funkcji f, g : N R określamy
L Hôpital a.
f(n)
f = o(g) a" lim = 0
n"
g(n)
Zadanie  Ile potrzebujesz wyrazów aproksymacji Taylora
funkcji f(x) = ex any otrzymać dokładność 10-4 na prze- Zapamiętaj również tę definicję - również z tego pojęcia bę-
dziale [-1, 1]? dziesz korzystać na kursach z analizy algorytmów.
8
Pokaż, że jeśli f = o(g) to f = O(g). Zadanie  Pokaż, że jeśli funkcja f : [a, b] R jest mono-
toniczna to jest całkowalna.
Zadanie 94  Dla f, g : N R określamy f g a"
f = o(g). Uporządkuj według relacji nastepujące ciągi: * Zadanie  Niech à będzie podziałem odcinka [a, b], niech
"
an = n,bn = n, cn = nn, dn = nln(n), en = n2, fn = 2n, b " [a, b] oraz niech · = Ã *" {b}. Niech f : [a, b] R.
gn = ln(n), hn = (ln(n))n, in = (ln(n))ln n, jn = (ln(n))2.
1. Pokaż, że s(f; Ã) d" s(f; ·).
2. Pokaż, że S(f; ·) d" S(f; Ã).
3. Wywnioskuj z tego, że dla dowolnych dwóch podzia-
Zadanie 95  Bezpośrednio z definicji całki Riemana pokaż,
łów Ã1, Ã2 odcinka [a, b] mamy s(f; Ã1) d" S(f; Ã2).
że jeśli a < b oraz c jest ustaloną liczbą rzeczywistą to
b
cdx = c · (b - a).
a
Zadanie 100  Pokaż, że jeśli a < b < c oraz obie całki
b d
Zadanie 96  Sprawdz
rachunki z alpetu o nazwie  Całka f(x)dx, f(x)dx istnieją, to funkcja f jest całkowalna na
a c
Riemana ze strony http://im.pwr.wroc.pl/StudenciPWr.php. przedziale [a, c] oraz
1
1
Zmodyfkuj je tak aby samodzielnie pokazać, że xdx = . c b c
0 2
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
a a b
Zadanie 97  Uogólnij rachunki z alpetu o nazwie  Całka
Riemana ze strony http://im.pwr.wroc.pl/StudenciPWr.php
a
tak aby obliczyć x2dx, gdzie a jest ustaloną liczbą dodat- * Zadanie  Pokaż, że jeśli f : [a, b] R, a = a0 < a1 <
0
a2 < . . . < ak-1 < ak = b oraz na każdym przedziale po-
niÄ….
staci (ai, ai+1) funkcja f jest ciągła i ograniczona, to f jest
całkowalna na [a, b].
t
Zadanie 98  Niech F (t) = x2dx. KorzystajÄ…c z wyniku
0
poprzedniego zadania oblicz pochodnÄ… F (t) funkcji F .
C11 Całkowanie
Zadanie 99  KorzystajÄ…c z interpretacji geometrycznej
Zadanie 101  Oblicz całkę nieoznaczoną (1+2x+3x2)dx
całki Riemana wyznacz pole obszaru
1
i następnie całę oznaczoną (1 + 2x + 3x2)dx.
0
"
A = {(x, y) : 0 d" x d" 1 '" x2 d" y d" x} .
"
2Ä„
Wskazówka: Zrób rysunek obszaru A. Zauważ, że x jest
Zadanie 102  Oblicz całkę sin(x)dx i następnie wy-
0
funkcjÄ… odwrotnÄ… do funkcji y = x2.
znacz pole obszaru D = {(x, y) : x " [0, Ä„] '" 0 d" sin(x)}
*" {(x, y) : x " [Ä„, 2Ä„] '" sin(x) d" y d" 0}.
Zadania dodatkowe
Zadanie 103  Wyznacz pole obszaru
* Zadanie  Pokaż, że dla dowolnych ciągów f, g : N R
D = {(x, y) : x " [-1, 1] '" 0 d" y d" 1 - |x|} .
następujące zdania są równoważne:
1.f = O(g)
2.lim supn" f(n) < "
Zadanie 104  Wyznacz stosując metodę całkowania przez
g(n)
części następujące całki nieoznaczone:
1. x cos(x)dx, x2 cos(x)dx, x3 cos(x)dx
Zadanie  Pokaż, że dla dowolnego ciągu f : N R naste- 2. x sin(x)dx, x2 sin(x)dx, x3 sin(x)dx
pujące zdania są równoważne:
3. xexdx, x2exdx, x3exdx
1.f = O(1)
4. x ln xdx, x2 ln xdx, x3 ln xdx.
2.f jest ciÄ…giem ograniczonym
Zadanie 105  Oblicz całkę (1 + 2x)3dx rozwijając wyra-
żenie (1 + 2x)3 = 1 + 3(2x) + 3(2x)2 + (2x)3 i następnie
Zadanie  Niech f, g, h : N R. Pokaż, że f = O(f) oraz,
oblicz tę samą całkę stosując podstawienie u = 1 + 2x.
że z tego, że f = O(g) i g = O(h) wynika, że f = O(h).
Zadanie 106  Wyznacz stosując metodę całkowania przez
Zadanie  Pokaż, że funkcja funkcja Dirichleta zdefiniowana
podstawienie następujące całki nieoznaczone:
w grupie zadań C2 nie jest całkowalana na żadnym przedziale
[a, b] takim, że a < b. 1. sin(3x + 1)dx
x
2. dx
x+1
9
 "
"
3. x 1 + x2dx (podstaw t = 1 + x2) 1.A = {(x, y) " R2 : 0 d" x d" 1 '" x2 d" y d" x}
1
4. dx
2.B = {(x, y) " R2 : 0 d" x d" Ä„ '" |y| d" sin x}
1+2x2
1
"
5. dx
3.C = {(x, y) " R2 : |x| d" 1 '" |y| < e-x}
1-3x2
"
6. 1 - x2dx (podstaw u = sin(x)) 4.Obszar ograniczony parabolą o równaniu y = 2x2 - 6x i
2
osiÄ… OX
7. xe-x dx
8. sin(ln x)dx (podstaw u = ln x, zastosuj dwukrotnie
całkowanie przez części)
Zadanie 110  Wyznacz pole mniejszego z obszarów ogra-
9. tan xdx
niczonego przez okrÄ…g x2 + y2 = 1 oraz wykresem funkcji
y = |x|.
Zadanie 107  Załóżmy, że a = b. Znajdz
takie liczby A i

Zadania dodatkowe
B, że
1 A B
= + .
(x - a)(x - b) x - 1 x - b
Zadanie  Niech n będzie liczbą naturalną. Wyznacz nastę-
pujące całki nieoznaczone
(a) xn cos(x)dx (b) xn sin(x)dx (c) xnexdx (d)
Zadanie 108  Oblicz następujące całki nieoznaczone z na- xn ln xdx.
stępujących funkcji wymiernych:
1 1
1. Wskazówka: Znajdz
liczby a i b takie, że =
x+x2 x+x2
Zadanie  Niech a > 1. Pokaż, że
a b
+ .
x 1+x
1a + 2a + . . . + na 1
2x+3
2.
lim = .
(x-2)(x+5)
n"
na+1 a + 1
1
3.
x3+x
Porównaj ten wzór z dokładnymi wzorami na 1a+2a+. . .+na
1
4.
1+x2
dla a = 1, 2, 3.
1
5.
(1+x2)2
1
6.
Zadanie  Załóżmy, że f jest funkcją różniczkowalna oraz,
(1+x2)3
że g jest funkcją ciągłą. Niech
Uwaga: w wielu przypadkach polecenie Apart programu Ma-
thematica może znalez
ć rozkład funkcji wymiernej na ułamki
f(x)
proste.
F (x) = g(t)dt .
a
Zadanie 109  Wyznacz pole następujących obszarów: Wyznacz F (x).
10